棱柱和棱锥
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高中数学教案 第九章直线平面简单几何体(B)（第25课时） 王新敞
新疆奎屯市第一高级中学 第 1页（共7页） GFEDC'B'A'CBA6．棱柱的性质
（1）棱柱的侧棱相等，侧面都是平行四边形；直棱柱侧面都是矩形；正棱柱侧面都是全等的矩形；
（2）棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等的多边形（图（1））；
（3）过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形（图（2））．
棱柱的概念有两个本质的属性：①有两个面（底面）互相平行；②其余每相邻两个面的交线互相平行．
要注意“有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体”不一定是棱柱．
三、讲解范例：
例2．正三棱柱ABCABC的底边长为a的正三角形，在侧棱BB上截取2aBD，在侧棱CC上截取CEa，
（1）求证：平面ADE平面ACCA；
（2）求ADE的面积
证明：（1）分别取,AEAC中点,FG，连结,,DFFGBG，
则1//,2FGECFGEC，又∵1//,2DBECDBEC，
//,FGDBFGDB，∴四边形DFGB是平行四边形，∴//DFBG，
∵ABC是正三角形，∴BGAC，
又平面ABC平面ACCA，BG平面ACCA，
∴DF平面ACCA，又∵DF平面ADE，
∴平面ADE平面ACCA．
（2）在直角梯形BDEC中，225()2DEECDBBCa，
在直角三角形DBA中，2252DADBABa，
在直角三角形ECA中，222AEECACa，
∴2232DFDEEFa， 高中数学教案 第九章直线平面简单几何体(B)（第25课时） 王新敞
新疆奎屯市第一高级中学 第 2页（共7页） HOA'D'C'B'DCBA∴21624ADESAEDFa．
四、课堂练习：
1判断下列命题是否正确：
（1）有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱；
（2）有一个侧面垂直于底面的棱柱是直棱柱；
（3）有一条侧棱垂直于底面两边的棱柱是直棱柱；
（4）有两个相邻的侧面是矩形的棱柱是直棱柱；
（5）底面是正方形的棱柱是正棱柱；
（6）棱柱最多有两个面是矩形；
（7）底面是菱形且一个顶点处的三条棱两两互相垂直的棱柱是正棱柱；
（8）每个侧面都是全等的矩形的四棱柱是正四棱柱
答：（1）错（2）错（3）错（4）对（5）错（6）错（7）对（8）错
1 平行六面体、长方体、正方体
底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体．侧棱与底面垂直的平行六面体叫直平行六面体，底面是矩形的直平行六面体长方体，棱长都相等的长方体叫正方体
C'B'A'D'DABCC'B'A'D'DABC
三、讲解范例：
例2．已知：正四棱柱ABCDABCD的底面边长为2，侧棱长为2，
（1）求二面角BACB的大小；（2）求点B到平面ABC的距离
解：（1）连结BD，设,ACBD交于O，连结BO，
∵ABCD是正方形，∴BOAC，
又∵BB底面ABCD，
∴BOAC，∴BOB是二面角BACB的平面角，
在RtBOB中，122OBAC，又2BB，
∴45BOB，∴二面角BACB为45．
（2）作BHBO于H，∵AC平面BOB，∴BHAC， 高中数学教案 第九章直线平面简单几何体(B)（第25课时） 王新敞
新疆奎屯市第一高级中学 第 3页（共7页） ∴BH平面ABC，即BH为点B到平面ABC的距离，
在等腰直角三角形BOB中，∵2BBBO，
∴1BH，
所以，点B到平面ABC的距离为1．
∴AFCE．
二、讲解新课：
1 棱锥的概念：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，这样的多面体叫棱锥其中有公共顶点的三角形叫棱锥的侧面；多边形叫棱锥的底面或底；各侧面的公共顶点()S，叫棱锥的顶点，顶点到底面所在平面的垂线段()SO，叫棱锥的高（垂线段的长也简称高）．
2．棱锥的表示：棱锥用顶点和底面各顶点的字母，或用顶点和底面一条对角线端点的字母来表示
如图棱锥可表示为SABCDE，或SAC．
3．棱锥的分类：（按底面多边形的边数）
分别称底面是三角形，四边形，五边形„„的棱锥为三棱锥，四棱锥，五棱锥„„（如图）
4．棱锥的性质：
定理：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积比等于顶点到截面的距离与棱锥高的平方比．
已知：在棱锥SAC中，SH是高，截面ABCDE平行于底面，并与SH交于H，
求证：截面ABCDE～底面ABCDE，
且22ABCDEABCDESSHSSH．
解：因为截面平行于底面，
∴//ABAB，//BCBC，//CDCD，„
∴,ABCABCBCDBCD，„
又∵平面SAH分别与截面和底面相交于AH和AH，
∴//AHAH，
得ABSASHABSASH，同理BCSHBCSH，„ 高中数学教案 第九章直线平面简单几何体(B)（第25课时） 王新敞
新疆奎屯市第一高级中学 第 4页（共7页） ∴ABBCSHABBCSH，
因此，截面ABCDE～底面ABCDE，且2222ABCDEABCDESABSHSABSH．
中截面：经过棱锥高的中点且平行于底面的截面，叫棱锥的中截面
5．正棱锥
定义：底面是正多边形，顶点在底面上的射影是底面的中心的棱锥叫正棱锥．
性质：（1）正棱锥的各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等（叫正棱锥的斜高）．
（2）正棱锥的高、斜高、斜高在底面上的射影组成一个直角三角形；正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形．
三、讲解范例：
例1 已知正三棱锥SABC的高SOh，斜高SMl，求经过SO的中点O平行于底面的截面ABC的面积
解：连结,OMOA，在RtSOM中，22OMlh．
∵棱锥SABC是正三棱锥，∴O是ABC中心，
∴2222tan6023ABAMOMlh，
222333()4ABCSABlh，
由棱锥截面性质得：2214ABCABCShSh，
∴2233()4ABCSlh．
例3．四棱锥的高为h，底面为菱形，侧面PAD和侧面PDC所成的二面角为120，且都垂直于底面，另两个侧面与底面所成的角都为60，求此棱锥的全面积
解：∵侧面PAD底面AC，侧面PDC底面AC，
∴PD底面AC，
ADC为二面角APDC的平面角，即120ADC，
∵四边形为菱形，DBC，取BC中点E，连结,PEDE， 高中数学教案 第九章直线平面简单几何体(B)（第25课时） 王新敞
新疆奎屯市第一高级中学 第 5页（共7页） EDCBAPGEPDCBA则DEBC，由三垂线定理知PEBC，
∴PED是侧面PBC与底面AC所成的二面角的平面角，60PED，
在RtPDE中，323,,33PDhDEhPEh，
∴23sin3DECDh，
∵,PDAPDCPBCPAB，
22PDAPBCABCDSSSS全
222sin(31)33PDCDBCPEADh．
说明：棱锥的侧面积等于各侧面三角形的面积之和，正棱锥的侧面积等于底面周长与斜高之积的一半．
四、课堂练习：
1判断下列结论是否正确，为什么？
（1）有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥，
（2）正四面体是四棱锥，
（3）侧棱与底面所成的角相等的棱锥是正棱锥，
（4）侧棱长相等，各侧面与底面所成的角相等的棱锥是正棱锥．
答：（1）错 ，（2）错，（3）错，（4）对．
2．在三棱锥PABC中，ABC为正三角形，90PCA，D为PA中点，二面角PACB为120，2,23PCAB，（1）求证：ACBD；（2）求BD与底面ABC所成的角，（3）求三棱锥PABC的体积．
解：（1）取AC的E，连结,BEDE，则//DEPC，
由PCAC，知DEAC，
由ABC为正三角形，得BEAC，
又DEBEE，
∵AC平面DEB，BD平面DEB，
∴ACBD．
（2）作DGBE，垂足为G，
∵AC平面DEB，DG平面DEB， 高中数学教案 第九章直线平面简单几何体(B)（第25课时） 王新敞
新疆奎屯市第一高级中学 第 6页（共7页） C
B
O C1
B1 A1 A DGAC，DG平面ABC，BD与底面ABC所成的角DBG，
由DEAC，BEAC知
DEB是二面角PACB的平面角，120DEB，
∵112DEPC，∴32DG，又∵332BEAB，
∴22213213cos12013BD
∴39sin26DGDBEDB，
∴BD与底面ABC所成的角为39arcsin26．
（3）∵D为PA中点，∴P到平面ABC的距离23hDG，
2113(23)33334PABCABCVSh．
例3 斜三棱柱的底面的边长是4cm的正三角形,侧棱长为3cm,侧棱1AA与底面相邻两边都成060角.
(1)求证:侧面11CCBB是矩形;
(2)求这个棱柱的侧面积;
(3)求棱柱的体积.
证明(1):∵1AA与,ABAC所成的角都为060,
∴A在面ABC上的射影O在CAB的平分线上.
又∵ABC是正三角形
∴AOBC ∴1AABC.
又∵11AABB, ∴1BBBC,
∴四边形11CCBB是矩形.
