棱柱、棱锥、棱台的概念和性质

1 1 3 1 ¢ \ MN = (0, , ); AB = ( , - ,1) 2 4 2 2
A N
AB ¢? MN = 0-
3 ?0 2
1 1 1 (- ) + ? 1 2 2 4
B
M
Y
C
X
1 1 + = 0 4 4
AB MN .
总结：
本节课主要学习了棱柱的定义及棱柱的有关性 质: 1.棱柱定义：棱柱的底面、侧面、侧棱、顶点、 对角线、高。
分析： 右图：AA1⊥AB且A A1与底面不垂直时， 棱柱为斜棱柱。 左图：
A1 B1 C1
两个相邻侧面与底面 垂直时，它们的交线 也与底面垂直。
A B
C
2. 斜棱柱、直棱柱和正棱柱的底面、 侧面各有什么特点？
1). 斜棱柱、直棱柱的底面为任意多边形。 正棱柱的底面为正多边形。
2). 斜棱柱的侧面为平行四边形。直棱柱 的侧面为矩 形。正棱柱的各个侧面为全 等的矩形。
答：不一定是．如右图所示，不是棱柱．
问题1：有两个面互相平行，其余各面都是 平行四边形的几何体是棱柱吗？ 答：不一定是． 如右图所示，不是棱柱．
棱柱的表示法； 1 .用平行的两底面多边形的字母表示棱柱,如： 棱柱ABCDE- A1B1C1D1E1 2 .用表示一条对角线端点的两个字母表示，如： 棱柱A C1
2
a 2a 2 + b 2
骣 2÷ ÷ ?ç 0, ç ÷ ç ÷ ç 2 桫
D
AC1 D1 C 形
骣 p p÷ ç , ÷ ç ç 桫 4 2÷
A
B
教 学 参 考 ——一题多解
M 是底 例1 已知正三棱柱ABC A B C 的各棱长都为1，
面上 BC 边的中点，N 是侧棱 CC 上的点，且CN CC， 4 求证：AB MN 。 解1：纯几何法1 。联结AM、B¢ M, 由 已知条件和正三棱柱的性质，知 A'
②侧面是 三角形
思考题:
有一个公共顶点的 能否类比棱柱的表示法与分类给出棱锥的表示法 与分类?
1.棱台的定义
观察下图，如何将棱锥变换成下方 的几何体?
棱 锥
棱 台
1.棱台的定义
棱锥被平行于底面的一个平面所截后，截面和底面之间 的部分叫做棱台(truncated pyramid).
2.棱台的元素
E D A B C A1 C1 E1 D1
B1
5.右图中的几何体
是不是棱台？为什
么？
6.多面体至少有几个面？这个多面体是怎样
的几何体？
5 个. 7.棱柱的面至少有_____
回顾反思
线段 平行四边形
平面多边形 棱柱
三角形
棱锥
梯形
棱台
几何体
侧棱
图形
底面
两个底面是全等 的多边形且对应 边互相平行相等
多面体、棱柱与它的性质
北流高中李东儒
多面体、棱柱与它的性质
多面体：由若干个平面多边形围成的几何体
称为多面体。
围成多面体的各个多边形称为多面体的面，两个 面的公共边叫做多面体的棱，若干个面的公共顶点叫 做多面体的顶点。
面
棱
顶点
多面体的对角线——连结不在同一面上的 两个顶点的线段
C1
3、棱柱的性质
棱柱的性质； 1. 侧棱都相等，侧面是平行四边形； 2. 两个底面与平行于底面的截面是全 等的多边形； 3. 过不相邻的两条侧棱的截面是平行 四边形。
4. 正四棱柱中，求A C1与DC所成角的取 值范围。 C1 D1 设AB = a, CC1 = b
A1 B1
则 cos ? AC1 D 1 = 1 骣 b÷ 2+ ç ÷ ç ç 桫 a÷
· · · H’ A’ · · · · · · · · · · · 平行的面
E’ D’ H’ H’ C’ H’ H’ B’ H’ H’ H’ H’ H’ 两个互相 叫做棱柱 的底面 E H
底面
A H
· 底面 ·H · H· H · · ·· · · · · · ·
H H H H H B C D
问题1：有两个面互相平行，其余各面都是 四边形的几何体是棱柱吗？
数学运用
练一练：以三角形ABC为底面画一个三棱柱.
C
A B
C C
A B
C
A
A
B
B
课堂练习
1.判断：有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何 体是棱锥. (× ) 2.如图,四棱柱的六个面都是平行四边形，这个四棱柱可以 由哪个平面图形按怎样的方向平移得到? 3.将下列几何体按结构特征分类填空 ①集装箱 ②魔方 ③金字塔 ④三棱镜 ⑤一个四棱锥形的建筑物被台风刮走了一个顶， 剩下的上底面与地面平行 （1）棱柱结构特征的有： ① （2）棱锥结构特征的有： ③ （3）棱台结构特征的有： ⑤ ② ④
应用三垂线定理
教 学 参 考 ——一题多解
M 是底 例1 已知正三棱柱ABC A B C 的各棱长都为1，
1
面上 BC 边的中点，N 是侧棱 CC 上的点，且CN CC， 4 求证：AB MN 。 C 的中点G, 由 解2：直角坐标法 。 取 Bⅱ ^ BC, 已知条件和正三棱柱的性质，得 AM Z A' 如图建立坐标系。则 1 1 3 1 ¢ B' C' M (0, 0, 0, ), N (0, , ), A(, 0, 0), B (0, - ,1), G 2 4 2 2
②画侧棱——从四边形的每一个顶点 画平行且相等的线段
D A B
C
③画下底面——顺次连结这些线段的 另一个端点
注意:被挡住的线要画成虚线.
数学运用
(2)画一个三棱台
S
A B
A B
①画一个三棱锥
C C
②在侧棱上任取一点,从这点开始, 顺次在各个侧面内画出与底面 对应边平行的线段
③将多余的线段擦去
2 ). 两个底面与平行于底面的截面是全等的多边 形；
3. )过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形。
埃及卡夫拉王金字塔
墨西哥太阳金字塔
1.棱锥的定义
观察下图，如何将棱柱变换成下方的几何体?
1.棱锥的定义
观察下图，如何将棱柱变换成下方的几何体?
当棱柱的一个底面收缩为一个点时，得到的几何体 叫做棱锥(pyramid).
3、棱柱的性质
棱柱的性质； 1. 侧棱都相等，侧面是平行四边形； 2. 两个底面与平行于底面的截面是全 等的多边形； 3. 过不相邻的两条侧棱的截面是平行 四边形。
总结：
本节课主要学习了棱柱的定义及棱柱的有关性 质: 1.棱柱定义：棱柱的底面、侧面、侧棱、顶点、 对角线、高。
2.棱柱的性质； 1.) 侧棱都相等，侧面是平行四边形；
侧面
平行四边形
侧棱
互相平行 且相等
棱柱
侧面 底面 侧棱
棱锥
侧面 底面
一底面是多边形, 有一个公共顶 交于一点 另一底面缩为一点 点的三角形
棱台
上底面 侧棱 侧面 下底面
上下底面平行， 两多边形相似。
侧面是梯形
侧棱交 于一点
练一练
三 5 面数最少的棱柱是 棱柱。它有 个面，其中 个底面、 个侧面，它有 条棱，其中 条侧棱 2 3 9 ，它有 个顶点， 条对角线 6 3 0
（1）侧棱不垂直于底 面的棱柱叫做斜棱柱 （2）侧棱垂直于底 面的棱柱叫直棱柱
特别地：底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱
3.棱柱集合、斜棱柱集合、直棱柱集合、 正棱柱集合之间存在怎样的包含关系？
棱柱集合 直棱柱集合 斜棱柱 集合 正棱柱 集合
1. 有一个侧面是矩形的棱柱是不是直棱柱? 有两个相邻侧面是矩形的棱柱呢?为什么?
C A C1 B
A1
B1
N(N是正整数)棱柱有 N+2 个面，其中 2 个底面、 N 个侧面，有 条棱，其中 3N 条侧棱，有 个顶点， N 条对角线 2N
N(N-3)
3).侧棱都相等，侧面是平行四边形
已知：三棱柱ABC-A1 B1 C1 求证：AA1 =B B1 = C C1 ，侧面AB B1 A1 是 平行四边形 证明：底面ABC ∥底面A1 B1 C1 底面ABC ∩平面ABB1A1=AB C 底面A1B1C1∩平面 A B ABB1A1=A1B1 AB ∥ A1 B1 C1 AA1 ∥ B1 B
}
}
A1
B1
侧面AB B1 A1 是平行四边形
两个底面与平行于底面的截面是全等的 多边形 已知：三棱柱ABC-A B C ，
A M
A1
平面MNP∥底面ABC，且交三 条侧棱于M、N、P C 求证： △MNP≌△ABC 证明： 平面MNP ∥底面ABC P 平面MNP∩平面AB B1 A1 C1 N =MN MN∥AB 平面ABC ∩平面AB B1 A1AMNB =AB B1 A A1 ∥B1 B AB=MN 同理:BC=NP,AC=MP
2.棱锥的元素
A B
类比棱柱，给棱锥各元素命名 顶点
C
S
底面
A
由棱柱的一个 底面收缩而成 底面
C
B
A B
C
侧面
侧面
侧棱 相邻两侧面 的公共边
侧棱 相邻两侧面 的公共边
3.棱锥的性 质
观察下列棱锥，归纳它们的底面和侧面各有什么特征？
在同一个棱锥中的各个侧面三角形有什么共同特征?
棱锥的性质： ①底面是多边形(如三角形、四边形、五边形等）
（1）凸多面体：
把多面体的任何一个面伸展为平面，如果所有其他 各面都在这个平面的同侧，这样的多面体叫做凸多 面体。 V
C
α
相对于多面体的任一个面α，其 余各面都在α的同一侧的多面体