2.2.2 抛物线的简单性质（一）
[A.基础达标]
1．以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆x 2＋y 2
－2x ＋6y ＋9＝0的圆心的抛物线的方程是( )
A ．y ＝3x 2或y ＝－3x 2
B ．y ＝3x 2
C ．y 2＝－9x 或y ＝3x 2
D ．y ＝－3x 2或y 2
＝9x
解析：选D.圆的方程可化为(x －1)2＋(y ＋3)2
＝1，圆心为(1，－3)，由题意可设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)或x 2
＝－2py (p >0)．把(1，－3)代入得9＝2p 或1＝6p ，
所以p ＝92或p ＝16，所以y 2＝9x 或x 2
＝－13
y .
2．设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2
＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心，|FM |为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则y 0的取值范围是( )
A ．(0，2)
B ．[0，2]
C ．(2，＋∞)
D ．[2，＋∞)
解析：选C.圆心到抛物线准线的距离为p ＝4，根据题意只要|FM |>4即可，由抛物线定义，|FM |＝y 0＋2，由y 0＋2>4，解得y 0>2，故y 0的取值范围是(2，＋∞)．
3．已知抛物线y 2
＝2px (p >0)的经过焦点的弦AB 的两端点坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则
y 1y 2
x 1x 2
的值一定等于( ) A ．4
B ．－4
C ．p 2
D ．－p 2
解析：选B.当AB 的斜率为k 时，AB 所在的直线方程为y ＝k ⎝ ⎛
⎭⎪⎫
x －p 2，代入y 2＝2px 得：k 2x
2
－(k 2
p ＋2p )x ＋k 2p
2
4＝0.根据根与系数的关系可得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝k 2
p ＋2p
k
2，x 1x 2
＝p
2
4
，
y 1y 2＝k 2⎝
⎛⎭⎪⎫x 1－p 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－p 2＝－p 2，故y 1y 2x 1x 2＝－4.
当AB 斜率不存在时，即AB ⊥x 轴，易得y 1y 2
x 1x 2
＝－4.
4．过抛物线y ＝ax 2
(a >0)的焦点F 的直线交抛物线于P ，Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别
是p ，q ，则1p ＋1
q
等于( )
A ．2a B.
12a C ．4a
D.4a
解析：选C.设直线方程为y ＝kx ＋14a ，代入y ＝ax 2，得ax 2
－kx －14a
＝0.
由根与系数的关系可得⎩⎪⎨⎪⎧x 1
＋x 2
＝k
a ，x 1x 2
＝1
－4a
2
.p ＝y 1
＋14a ＝kx 1
＋12a ，q ＝y 2
＋14a ＝kx 2
＋12a ，所以1p ＋1
q ＝
1kx 1＋12a ＋1
kx 2＋12a ＝k 2＋1
a k 2＋14a
2
＝4a . 5．已知抛物线y ＝x 2
上有一定点A (－1，1)和两动点P 、Q ，当PA ⊥PQ 时，点Q 的横坐标的
取值范围是( )
A ．(－∞，－3]
B ．[1，＋∞)
C ．[－3，1]
D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)
解析：选D.设P (x 0，x 20)，Q (x ，x 2
)，其中x 0≠－1，x ≠x 0， 则PA →＝(－1－x 0，1－x 20)，PQ →＝(x －x 0，x 2－x 2
0)， 因为PA ⊥PQ ，
所以PA →·PQ →
＝0.
所以－(1＋x 0)(x －x 0)＋(1－x 20)(x 2－x 2
0)＝0， 即－1＋(1－x 0)(x ＋x 0)＝0，
所以x ＝－x 0＋1
1－x 0
＝(1－x 0)＋1
1－x 0
－1，
当x 0<1时，1－x 0＋1
1－x 0
≥2，当且仅当x 0＝0时，等号成立．
所以x ≥2－1＝1；
当x 0>1时，1－x 0＋1
1－x 0
＝－[(x 0－1)＋1
x 0－1
]≤－2，当且仅当x 0＝2时，等号成立，
所以x ≤－2－1＝－3，
故点Q 的横坐标的取值范围是(－∞，－3]∪[1，＋∞)．
6．将两个顶点在抛物线y 2
＝2px (p >0)上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形的个数记为n ，则n ＝________．
解析：根据抛物线对称性知正三角形的一边平行于y 轴，又过焦点且与x 轴的夹角为30°的直线有两条，故符合题意的正三角形有两个．
答案：2
7．已知点A 、B 是抛物线y 2
＝4x 上的两点，O 是坐标原点，OA →·OB →＝0，直线AB 交x 轴于
点C ，则|OC →
|＝________．
解析：设A 、B 的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫y 214，y 1、⎝ ⎛⎭
⎪⎫y 2
24，y 2， 因为OA →·OB →
＝0，所以y 2
14·y 2
24
＋y 1y 2＝0，
即y 1y 2＝－16.AB 所在的直线方程为y －y 1＝y 2－y 1y 224
－
y 214
(x －y 214)＝4y 1＋y 2(x －y 21
4
)，
令y ＝0，得x ＝－y 1y 2－y 2
14＋y 2
14＝－y 1y 2
4
＝4.
