18.2.3 正方形lg_整体设対经历正方形的定义及其性质和判定定理的探究过程 ，丰富认识图形的经验，进一步发展学生的逻辑推理能力和表达能力 .让学生在发现、归纳、概括中逐步提高思维能力 ，培养用数学的思想和方法来思考和分析问题的习惯.♦教学重难点【重点】 正方形性质和判定定理的应用【难点】 正方形与平行四边形、矩形、菱形的区别与联系.⑥教学准备【教师准备】 教学中出示的教学插图、问题和例题.【学生准备】 复习平行四边形、矩形、菱形的定义、性质和判定L 新课导入导入一：［过渡语］前面我们研究了平行四边形、矩形、菱形的定义、性质和判定 ，现在请同学们回忆学过的内容，回答下面的问题.（i ）教具（几何画板）演示：如图所示，改变/ B 的大小，平行四边形ABC'D'的形状随之发生变化.当/ B 为直角时，这时 的图形是 _________ 形;我们平移边CD 改变BC 的大小，矩形ABCD 勺形状随之发生变化.当 BC'=C'D'时，图形是 _______ 形.（2）如图所示，我们平移边CD 改变BC 的大小，平行四边形ABCD 勺形状随之发生变化.当 BC'=C'D'时，图形是 _______ 形；改变/ B 的大小，菱形ABC'D'的形状随之发生变化.当/ B 为 直角时，图形是 ________ 形.教学目标1. 理解并运用正方形的定义计算和证明 .2. 理解并运用正方形的性质、判定进行计算和证明,理解一般与特殊的关系教学过程学生观察教具变化情况，结合所学菱形、矩形知识，回答上面的问题•［设计意图］正方形是学生熟悉的几何图形，小学已经学过，这里让学生从动态的角度出发认识正方形，体会正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系与区别，感受特殊与一般的关系导入二：八年级(2)班的简兰同学想买一条方纱巾•有一天她在商店里看到一块漂亮的纱巾，非常想买，但她拿起来看时感觉纱巾不太方，商店老板看她犹豫不决的样子，马上过来拉起一组对角让她看另一组对角是否对齐，她还有些疑惑，老板又拉起另一组对角让她检验，她终于买下这块纱巾，你认为她买的这块纱巾是正方形的吗？当时采用什么方法可以检验出来？学了这节后，你就会做出准确的判断了•［设计意图］将数学问题融入生活情境，拉近了学生与数学之间的距离，激发学生研究正方形的积极性•陋新知构建1. 正方形的认识思路一［过渡语］结合上面的演示，请同学们回答下面的问题：(1) 什么样的图形是平行四边形？(2) 什么样的图形是矩形？(3) 什么样的图形是菱形？(4) 什么样的图形是正方形？学生讨论，回答•在学生回答的基础上，教师引导学生归纳：正方形是有一组邻边相等，有一个角是直角的平行四边形•追问：正方形与矩形、菱形之间有什么关系呢？学生思考，回答：正方形既是矩形，又是菱形•［设计意图］结合图形的演示，让学生回忆学过的平行四边形、矩形、菱形的定义、性质及判定.在此基础上尝试归纳正方形的定义，理解正方形的定义，体会它们之间的联系与区别感受特殊与一般的关系.思路二心［过渡语］前面我们学习了平行四边形、矩形、菱形的性质和判定，小学认识过了正方形，请同学们回答下面的问题.(1) 正方形与矩形有怎样的关系？(2) 正方形与菱形有怎样的关系？(3) 正方形、平行四边形、矩形、菱形有怎样的关系？学生观察、思考、交流.生1：正方形是特殊的矩形，即有一组邻边相等的矩形是正方形•生2：正方形是特殊的菱形，即有一个角是直角的菱形是正方形.1. HA ------------------------------------- ? &/rnp---------苣济无：—LJ—I_匸-h fl L5 --------------------------- 口r t教师画图说明，正方形、平行四边形、矩形、菱形的关系如图总结：正方形、矩形、菱形都是特殊的平行四边形.你能根据正方形、平行四边形、矩形、菱形的关系，解释下面的问题吗？(1) 把一张长方形纸片按如图所示的方式折一下 ，就可以裁出正方形纸片•为什么？ (2) 如何从一块长方形纸片中裁出一块最大的正方形纸片呢 ？ 学生动手折叠、思考、交流 •(1) 由折叠得所得的四边形有三个直角 ，且一组邻边相等•有三个角是直角的四边形是矩形 有一组邻边相等的矩形是正方形，所以裁出的纸片是正方形.(2) 要使裁出的四边形是最大的正方形 ，只要让四边形(正方形)的边长等于长方形的宽即 可.教师总结：正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形.［设计意图］结合图形的折叠，让学生归纳得出有一组邻边相等的矩形是正方形 ；有一个 角是直角的菱形是正方形.从矩形、菱形的角度出发体会它们之间的关系 ，感受特殊与一般的 关系. ［过渡语］上面认识了正方形，下面我们继续研究正方形的性质 . 正方形是特殊的平行四边形 ，它也是特殊的矩形、 特殊的菱形，因此它具有平行四边形、 矩 形、菱形的所有性质.请回忆学过的内容，回答下面的问题(从边、角、对角线、轴对称性四 方面考虑):(1) 平行四边形有哪些性质 ？ (2) 矩形有哪些性质？ (3) 菱形有哪些性质？ (4) 正方形有哪些性质？，，. 思路二正方形是特殊的平行四边形 ，它也是特殊的矩形、 特殊的菱形，因此它具有平行四边形、 矩 形、菱形的所有性质.请把它们写出来，并与同桌交流. 学生梳理总结得： 正方形［设计意图］让学生回忆学过的平行四边形、矩形、菱形的定义和性质 ，体会它们之间的 联系与区别.在此基础上梳理得出正方形的性质 ，有助于这些知识的正确运用 . 3. 正方形的判定 思路一提问：怎样判定一个四边形是正方形呢 ？把你所想的判定方法写出来 . 学生自由发言.教师引导学生总结、归纳得正方形的判定方法 ：(1) 定义法：有一个角是直角，有一组邻边相等的平行四边形是正方形 . (2) 矩形法：有一组邻边相等的矩形是正方形 . (3) 菱形法：有一个角是直角的菱形是正方形 . 思路二既然正方形是特殊的图形，那么我们就可以通过一般图形来判定正方形 .请大家考虑： 满足什么条件的矩形是正方形 ？你有哪些方法？ 类似地，如何通过菱形和平行四边形来判定正方形 ？教师深入学生中，督促学生积极探索交流，了解学生的思维深度和广度并及时加以校正和 激励. 派学生代表走向讲台进行总结发言，并鼓励其他学生大胆提问. 师进一步归纳正方形的判定方法［知识拓展］(1)平行四边形、矩形、菱形和正方形的定义和判定方法如下表 ：图形 | 定义 | 判定图形 对边 对角 对角线 对称性 平行四边 形平行、相等相等 互相平分 不是轴对称图形 矩形 平行、相等四个角都是直 角互相平分且相等 轴对称图形，有两条对称 轴 菱形 平行、四条边都相 等 相等 互相垂直且平分，每条 对角线平分一组对角轴对称图形，有两条对称 轴 正方 形 平行、四条边都相 等四个角都是直 角 互相垂直、平分且相等，每条对角线平分一 组对角轴对称图形，有四条对称 轴 ［设「意图］ 让学生回忆学过的平行四边形、矩形、菱形的定义和性质 .在此基础上理解平行四边形两组对边分别平行的四边形1. 两组对边分别相等的四边形2. 两组对角分别相等的四边形3. 对角线互相平分的四边形4. 一组对边平行且相等的四边形矩形有一个角是直角的平行四边形1. 对角线相等的平行四边形2. 有三个角是直角的四边形菱形有一组邻边相等的平行四边形1. 对角线互相垂直的平行四边形2. 四条边相等的四边形正方形有一个角是直角，有一组邻边相等的平行四边形1. 有一个角是直角的菱形2. 有一组邻边相等的矩形3. 有一个角是直角，有一组邻边相等的平行四边形对角线互相壬直、平分且相等的四边形是止万形4.［过渡语］上面我们研究了正方形的定义、性质和判定，下面我们举例说明它们的应用(教材例5)求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形•学生分析题设和结论,画图,写出已知和求证.已知：如图,四边形ABCD是正方形,对角线ACBD相交于点0.求证:△ ABO△ BCQ A CDQ A DAO是全等的等腰直角三角形.师生分析：利用正方形的性质“对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角”可以得到四个三角形是全等的等腰直角三角形.学生独立完成解题过程.一生板书：证明：•••四边形ABCD1正方形,••• AC=BDACL BDAO=BO=CODO.•••△ABO△ BCO△ CDO△ DAOTE是等腰直角三角形，并且△ ABO^A BC(^^ CD(^^ DAO. 教师点评，纠正写法上的不足•ABC曲，O是CD的中点，连接AO并延长，交BC的延长线于点E.⑴求证△ AOH EOC(2)连接ACDE当/ B=Z AEB：______ 。
内容： 18.2.3 正方形的性质和判定 班级 姓名 座号 一．选择题： 1.【a 】下列命题中，不正确的是( ) A. 顺次连结菱形的各边中点所得的四边形是矩形B. 有一个角是直角的菱形是正方形C. 正方形的对角线相等且互相垂直D. 顺次连接四边形各边中点所得四边形是菱形，则原四边形是矩形2.【a 】如图，将长方形纸片折叠，使A 点落BC 上的F 处，折痕为BE ，若沿EF 剪下，则折叠部分是一个正方形，其数学原理是( )A. 邻边相等的矩形是正方形B. 对角线相等的菱形是正方形C. 两个全等的直角三角形构成正方形D. 轴对称图形是正方形3.【a 】如图，四边形ABCD 中，AB =BC ，∠ABC =∠CDA =90°，BE ⊥AD 于点E ，且四边形ABCD 的面积为4，则BE=( )A. 1B. 2C. 3D. 4第2题 第3题 第4题 第5题4.【a 】如图，P 是边长为1的正方形ABCD 的对角线BD 上的一点，点E 是AB 的中点，则PA +PE 的最小值是( )A. √52B. √62C. 12+√22D. √2 5.【a 】如图，四边形ABCD 是正方形，以CD 为边作等边三角形CDE ，BE 与AC 相交于点M ，则∠AMD 的度数是( )A. 75°B. 60°C. 54°D. 67.5°二．填空题：第6题第7题第8题第9题6.【a】如图，正方形ABCD的边长为2，MN//BC分别交AB、CD于点M、N，在MN上任取两点P、Q，那么图中阴影部分的面积是______．7.【a】如图，正方形ABCD中，AB=3，延长BC至E，使BE=BD，则△BDE的面积为______ ．8.【a】如图，边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG，EF交AD于点H，那么DH的长是______．9.【a】如图，正方形ABCD边长为1，连接AC，AE平分∠CAD，交BC的延长线于点E，FA⊥AE，交CE于点F，则EF的长为______．10.【a】如右图，正方形ABCD的边长为8，点E是BC上的一点，连接AE并延长交射线DC于点F，将△ABE沿直线AE翻折，点B落在点N处，AN的延长线交DC于点M，当AB=2CF时，则NM的长为______三．解答题：11.【a】如图，正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O，分别过点C、点D作CE//BD，DE//AC.求证：四边形OCED是正方形．12.【a】如图，菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在正方形ABCD的边AB、CD、DA上，连接CF．(1)求证：∠HEA=∠CGF；(2)当AH=DG时，求证：菱形EFGH为正方形13.【a】如图，△ABC中，∠ACB=90°，D为AB中点，四边形BCED为平行四边形，DE、AC相交于F．(1)试确定四边形ADCE的形状，并说明理由；(2)若AB=16，AC=12，求四边形ADCE的面积；(3)若四边形ADCE为正方形，△ABC应添加什么条件，并证明你的结论．答案：一．选择题：1.D2.A3.B4.A5.B二．填空题：6.27.92√2 8.√3 9.2√2 10.23三．解答题：11.证明：∵CE//BD，DE//AC，∴四边形OCED是平行四边形，∵四边形ABCD是正方形，∴OA=OC=OB=OD，AC⊥BD，∴四边形OCED是正方形．12.证明：(1)连接GE，∵AB//CD，∴∠AEG=∠CGE，∵GF//HE，∴∠HEG=∠FGE，∴∠HEA=∠CGF；(2)∵四边形ABCD是正方形，∴∠D=∠A=90°，∵四边形EFGH是菱形，∴HG=HE，{AH=DGHE=HG，在Rt△HAE和Rt△GDH中，∴Rt△HAE≌Rt△GDH(HL)，∴∠AHE=∠DGH，又∠DHG+∠DGH=90°，∴∠DHG+∠AHE=90°，∴∠GHE=90°，∴菱形EFGH为正方形；13.证明：(1)∵平行四边形DBEC，∴CE//BD，CE=BD，∵D为AB中点，∴AD=BD，∴CE//AD，CE=AD，∴四边形ADCE为平行四边形，又BC//DE，∴∠AFD=∠ACB=90°，∴AC⊥DE，故四边形ADCE为菱形，(2)在Rt△ABC中，∵AB=16，AC=12，∴BC=4√7，∵D为AB中点，F也为AC的中点，∴DF=2√7，∴四边形ADCE的面积=AC×DF=24√7，(3)应添加条件AC=BC．证明：∵AC=BC，D为AB中点，∴CD⊥AB(三线合一的性质)，即∠ADC=90°．∵四边形BCED为平行四边形，四边形ADCE为平行四边形，∴DE=BC=AC，∠AFD=∠ACB=90°．∴四边形ADCE为正方形．(对角线互相垂直且相等的四边形是正方形)。
