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8.4 线性多步法

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线性多步法matlab程序,数学实验“线性多步法（数值积分法,Taylor展开法）”实验报。。。

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线性多步法matlab程序,数学实验“线性多步法（数值积分法,Taylor展开法）”实验报。

数学实验“线性多步法(数值积分法,Taylor展开法)”实验报告(内含matlab程序).西京学院数学软件实验任务书课程名称数学软件实验班级数0901学号0912020107姓名李亚强实验课题线性多步法(数值积分法，Taylor展开法)实验⽬的熟悉线性多步法(数值积分法，Taylor展开法)实验要求运⽤Matlab/C/C++/Java/Maple/Mathematica等其中⼀种语⾔完成实验内容线性多步法(数值积分法，Taylor展开法)成绩教师实验⼆⼗五实验报告实验名称：线性多步法(数值积分法，Taylor展开法)。

实验⽬的：进⼀步熟悉线性多步法(数值积分法，Taylor展开法)。

实验要求：运⽤Matlab/C/C++/Java/Maple/Mathematica等其中⼀种语⾔完成程序设计。

实验原理：数值积分法：常微分⽅程初值问题(1)数值解法中，某⼀步的公式不仅与前⼀步解的值有关，⽽且与前若⼲步解的值有关，利⽤前⾯多步的信息预测下⼀步的值，这就是多步法的基本思想，可以期望获得较⾼的精度。

将(1)中的⽅程在区间上积分，可以得到：⽤等距节点的插值多项式来替代被积函数，再对插值多项式积分，这样就得到⼀系列求积公式。

⽤梯形⽅法计算积分项代⼊(1)中得：设由个数据点 构造插值多项式，这⾥，运⽤插值公式有：得到下列计算公式：(2)其中，由此可得(2)中的系数。

公式(2)是⼀个r+1步的显式公式，称为Adams显式公式。

Taylor展开法：基于数值积分可以构造出⼀系列求解常微分⽅程的计算公式，下⾯介绍基于 Taylor 展开的待定系数法，它可灵活地构造出线性多步法。

对固定的系数，可以选取待定系数使线性多步法的阶尽可能⾼。

还可以根据需要，确定显式还是隐式。

设构造如下具有 p 阶精度的线性多步公式：(4)它们的局部截断误差为:即： (5)对(5)式的右端各项在点处作Taylor展开有:代⼊(5)中得：使的系数为零，得到关于和的线性⽅程组：⽽且得到线性多步法的局部截断误差：实验内容：%数值积分法function [k,X,Y,wucha,P]= Adams4x(funfcn,x0,b,y0,h)x=x0; y=y0;p=128; n=fix((b-x0)/h);if n<5return;endX=zeros(p,1);Y=zeros(p,length(y)); f=zeros(p,1);k=1; X(k)=x; Y(k,:)=y';for k=2:4c1=1/6;c2=2/6;c3=2/6;c4=1/6;a2=1/2; a3=1/2;a4=1;b21=1/2;b31=0;b32=1/2; b41=0;b42=0;b43=1;x1=x+a2*h; x2=x+a3*h;x3=x+a4*h; k1=feval(funfcn,x,y);y1=y+b21*h*k1; x=x+h;k2=feval(funfcn,x1,y1);y2=y+b31*h*k1+b32*h*k2;k3=feval(funfcn,x2,y2);y3=y+b41*h*k1+b42*h*k2+b43*h*k3;k4=feval(funfcn,x3,y3);y=y+h*(c1*k1+c2*k2+c3*k3+c4*k4); X(k)=x; Y(k,:)=y; endX;Y;f(1:4)=feval(funfcn,X(1:4),Y(1:4));for k=4:nf(k)=feval(funfcn,X(k),Y(k));X(k+1)=X(1)+h*k;Y(k+1)=Y(k)+(h/24)*((f(k-3:k))'*[-9 37 -59 55]');f(k+1)= feval(funfcn,X(k+1),Y(k+1));f(k)=f(k+1); k=k+1; endfor k=2:n+1wucha(k)=norm(Y(k)-Y(k-1)); k=k+1; endX=X(1:n+1); Y=Y(1:n+1,:); n=1:n+1, wucha=wucha(1:n,:); P=[n',X,Y,wucha']; - 0 -。

数值分析习题

数值分析习题

1.1 求下列各数的具有四位有效数字的近似值, 并指出其绝对误差限和相对误差限)1.0ln(,121,1011,1014321====x x x x1.2 下列各数都是对准确值进行四舍五入得到的近似值, 指出它们的绝对误差限、相对误差限和有效数字的位数。

3*5*4*3*2*1100.5,5000,50.31,3015.0,0315.0⨯=====x x x x x1.3 为了使31的近似值的相对误差不超过0.1%, 问应取几位有效数字?1.4 怎样计算下列各题才能使得结果比较精确?(1) x x sin )sin(-+ε,其中ε充分小 (2) ⎰++121N Nx dx,其中N 是充分大的正数(3)xxsin cos 1-,其中x 充分小(4) o 1cos 1- (5) 1001.0-e(6) )11010ln(84--1.5 求方程01562=+-x x 的两个根, 使至少具有四位有效数字。

2.1 证明方程043=-+x x 在区间[1,2]内有且仅有一个根。

如果用二分法求它具有五位有效数字的根，试问需对分多少次？(不必求根)2.2 用二分法求方程0134=+-x x 在[0.3, 0.4]内的一个根, 精度要求21021-⨯=ε。

2.3 找出下列方程的有根区间，选择适当的初始点用二分法求方程的根，精度要求210-=ε。

(1) 02=--x x ；(2) 06cos 2=-++-x e x x ； (3) 01tan =--x x ； (4) 0sin 2=--x e x 。

2.4 考虑方程032=-x e x ，将其改写为3xex ±=，取00=x ，用两种迭代公式迭代，分别收敛到1.0和-0.5附近的两个根(取精度要求310-=ε)。

2.5 为求方程0123=--x x 在5.1=x 附近的一个根，建立下列形式的迭代公式：(1) 2121111kk x x xx +=⇒+=+，；(2) 3212311k k x x x x +=⇒+=+，；(3) 111112-=⇒-=+k k x x x x ，。

计算方法-95线性多步法资料

计算方法-95线性多步法资料

a
k 0
r
k
yn k h
k 1

r
k f nk
其中, f nk f ( xnk , ynk )(k 1,0,1,..., r ).
当 10 时，为隐式公式；1=0 则为显式公式。
2019/1/30 2
构造线性多步法的主要方法：数值积分法和泰 勒展开法。 基于数值积分的构造法 将 y f ( x, y ) 在 [ xn r , xn 1 ] 上积分，得到
2019/1/30
5
若积分
xn1

xn1
xnr
y' ( x)dx 用节点
xn , xn1,, xnq
作为积分点，则有

xnr
y' ( x)dx h[a0 y' ( xn ) a1 y' ( xn1) aq y' ( xnq )] hRn1
局部截断误差
q
y' ( xn ) f ( xn , y( xn ))
y( xn1) y( xnr )

xn1
xnr
f ( x, y( x))dx
f ( x, y( x))dx ， 只要近似地算出右边的积分 I r xnr 则可通过 yn 1 yn r I r 近似y(xn+1) 。而选用不同近 似式 Ir，可得到不同的计算公式。
2019/1/30 3

xn1
3 9 y( xn1 ) y( xn2 ) hy( xn1 ) hy( xn1 ) 4 4
2019/1/30 4
(n 0,1,2,...)
(2) 对右端定积分采用梯形 公式, 略去误差项有 h yn 1 yn （f ( xn , yn ) f ( xn 1 , yn 1 )) 2 这就是熟知的梯形公式 。 有望提高精度。 (n 0,1,2,...)

6线性多步法的收敛性与稳定性.ppt

6线性多步法的收敛性与稳定性.ppt

方程组
(6.1)

uukk

1
ak 1uk 1 ak 1uk


a1u1 a1u2

a0u0 a0u1
n0
n1


2 方程的解法
首先，令E表示位移算子，即Eun un1, E iun uni ,i 0,1,2, ,若
L Ek ak 1E k1 a1E a0I
un=c12n+c23n,
由u0=2,u1=5,得
c1 + c2 =2 2c1 + 3c2 =5
2=un=c12n+c23n ( n=0) 5=un=c12n+c23n (n=1)
解得c1=1,c2=1,所以差分方程的通解为un=2n +3n,n=0,1,…。
6.2 线性多步法的方法稳定性
设有线性多步法 引进多项式
它的特征多项式是 p() 2 4 5 ，其根为 1 1,2 5 ，不满足 根条件，因此，该方法虽是三阶方法，但不具有收敛性，不能使用. §5的其它方法都满足根条件。
说明：满足根条件的线性多步法，当 h 0 时，数值解收敛到 准确解。不满足根条件的线性多步法，舍入误差会随计算步数增加 而呈指数增长，截断误差也会随步数增加呈指数形式影响解。把 满足根条件的线性多步法，称为稳定的方法。
替代复根a+bi及a-bi，
因此差分方程(6.1)的通解中含有项
c1,c（2为3）任若意常r~ 是数特，n(c征1c多osa项n2式bp2c(，2rs)in的nma重)rct根g ，ab 。则Lr n (r r~)m q(r) rn ,
其中q(r)是某个次数为k-m的多项式。于是对任意的 0 l m,

ADAMS方法和一般线性多步法

ADAMS方法和一般线性多步法

Created with SmartPrinter trail version
2. l 步隐式Adams（亚当姆斯）方法(内插法)
公式: 用过点 ( xk i , fk i ),i = 1,0,L,l 1 的插值多项式
~p(x) = l 1 fk
i= 1
l1 x x i
fk 5
fk
fk 2) 1 + fk
2)
yk+1 = yk + 7h20(251fk+1 + 646fk 264fk 1 + 106fk 2 19fk 3)
表 8.3
显式Adams方法
步数(l ) 方法阶 ( p)
公式
1
1
2
2
3
3
4
4
yk+1 = yk + hfk
yk+1
=
yk
+
h(3 2
fk
fk 1)
= xk+1 [ f (x, y(x))
i=0
p( x)]dx
xk
t=x
xk
= xk+1 y(l+1)( (x))(x
xk
l!
xk )(x
xk 1)L(x
xk l+1)dx
h
=
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y(l +1)(
( x )) {
1
t(t + 1)(t + 2)L(t + l
1)dt }hl +1
l!
0
Created with SmartPrinter trail version
xx xxkk i

14.09级Ch8.5.2Adams方法和一般线性多步法

14.09级Ch8.5.2Adams方法和一般线性多步法

(
xk
1
,
y(xk1)) 4 f (xk ,
y(xk ))
f ( xk1,
y( xk 1 ))]
1 90
h5
y(5)
(
k
)
用 yk1, yk1 近似 y( xk1), y( xk1) ，得Simpson方法
yk 1

yk 1

h( 3
fk1

4
fk

fk 1 )
局部截断误差为
注（2）预估－校正－改进方法 同预估－校正－改进Adams方法一样，利用两个同阶的显式方 法和隐式方法，即四阶Milne方法（显式）和四阶Hamming方法 （隐式）可以合成以下预估－校正－改进方法.
则(5.12)确定的线性多步法至少为2l-1阶的.隐式类似. 但是线性 多步法与单步法有很大的不同，并不是所有的线性多步法都可以
应用.这是因为由(5.16)得到的方程组的解的情况不定.另外，常 用四步四阶Adams显式公式、三步四阶Adams隐式公式、 Milne(米 尔尼)公式、四阶Hamming（哈明）公式也可由Taylor展开得到.
解得 0 4,1 5, 0 4, 1 2,
且
C4

1 (1 4!
1

4
1)

1 (1 24

5

4
2)

1 6

0
因此得阶数最高的二步显式线性多步法为
yk1 4 yk 5 yk1 h(4 fk 2 fk 1 )
(5.17)
其主局部截断误差为
y( xk1) yk1
l 1
l 1
y( xk1 ) i y( xki ) h i f ( xki , y( xki ))

常微分方程数值解法

第七章 常微分方程数值解法常微分方程中只有一些典型方程能求出初等解(用初等函数表示的解)，大部分的方程是求不出初等解的。

另外，有些初值问题虽然有初等解，但由于形式太复杂不便于应用。

因此，有必要探讨常微分方程初值问题的数值解法。

本章主要介绍一阶常微分方程初值问题的欧拉法、龙格-库塔法、阿达姆斯方法，在此基础上推出一阶微分方程组与高阶方程初值问题的 数值解法；此外，还将简要介绍求解二阶常微分方程值问题的差分方法、试射法。

第一节 欧拉法求解常微分方程初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y x y y x f dxdy（1）的数值解，就是寻求准确解)(x y 在一系列离散节点 <<<<<n x x x x 210 上的近似值 ,,,,,210n y y y y{}n y 称为问题的数值解，数值解所满足的离散方程统称为差分格式，1--=i i ix x h 称为步长，实用中常取定步长。

显然，只有当初值问题(1)的解存在且唯一时，使用数值解法才有意义，这一前提条件由下 面定理保证。

定理 设函数()y x f ,在区域+∞≤≤-∞≤≤y b x a D ,:上连续，且在区域D 内满足李普希兹(Lipschitz)条件，即存在正数L ，使得对于R 内任意两点()1,y x 与()2,y x ,恒有()()2121,,y y L y x f y x f -≤-则初值问题(1)的解()x y 存在并且唯一。

一、欧拉法(欧拉折线法)若将函数)xy 在点nx处的导数()n x y '用两点式代替， 即()hx y x y x y n n n )()(1-≈'+，再用n y 近似地代替()n x y ,则初值问题(1)变为⎩⎨⎧==++=+ ,2,1,0),()(001n x y y y x hf y y n n n n(2)(2)式就是著名的欧拉(Euler)公式。

以上方法称 为欧 拉法或欧拉折线法。

龙格-库塔法、线性多步法

河北联合大学第9章常微分方程初值问题数值解法§9.3 龙格-库塔法 §9.4 线性多步法1. 什么是p 阶Runge-Kutta 法？写出经典的四阶Runge-Kutta 法。

答：考虑增加计算),(y x f 的次数，就有可能构造出精度较高的近似公式。

构造如下形式的计算公式：),,3,2( ),( ),(11111p i K b h y h a x f K y x f K K c h y y i j j ij n i n i n n p i i i n n （1）其中i ij i c b a ,,都是参数，确定它们的原则是使近似公式在),(n n y x 处的Taylor 展开式与)(x y 在n x 处的Taylor 展开式的前面的项尽可能多地重合。

将式（1）称为p 阶显式Runge-Kutta 方法，简称R-K 方法。

取4 p ，通过更复杂的计算，式（1）成为),( )2,2( )2,2( ),( )22(6342312143211hk y h x f K K h y h x f K K h y h x f K y x f K K K K K h y y n n n n n n n n n n 上式称为经典形式的四阶R-K 公式，是常用的四阶R-K 公式。

局部截断误差为5()O h 。

2. 如何导出线性多步法的公式？它与单步法有何区别？答：（1）利用Taylor 展开构造线性多步方法线性多步法(Linear-Multistep Method)的一般形式为ri i n i r i i n i n f h y y 101 （2）其中i i ,均为常数，),(k k k y x f f ),,,1(r n n n k 。

若01 ，公式（2）为显式法；01 ，公式为隐式法。

利用Taylor 展开导出线性多步公式的基本方法是：将线性多步公式（2）在n x 处进行Taylor 展开，然后与1() n y x 在n x 处的Taylor 展开式相比较，要求它们前面的项重合，由此确定参数i i ,。

§8.4-解线性方程组的超松弛迭代法法

第四节 解线性方程组的 超松弛迭代法
1
第八章 解线性方程组的迭代法
SOR迭代法是Gauss—Seidel 迭代法的一种修正， 可由下述思想得到.
设已知x(k)及已计算x(k+1)的分量xj(k+1) (j=1,2,,i-1).
(1) 首先用Gauss—Seidel 迭代法定义辅助量 x~i(k1),

1
1

1
4 1 1
1 4 1
1 1 4





x2 x3 x4






1 1 1

.
Hale Waihona Puke 它的精确解为x*=(-1, -1, -1, -1 )T.
解 取初始向量x(0)=0，迭代公式为

x1( k x2( k x3( k
x(11) (0.99999646, 1.00000310, 0.99999953, 0.99999912)T ,
(11) 0.46 105. 2
满足误差

(k) 105.
2
迭代次数k
对取其它值，迭代次数如表. 1.0
22
1.1
17
从此例看到，松弛因子选择
1.2
aii
.
j1
ji
i 1,2,, n 也可写作：


x(0) x(k1)
i
( x1(0) ,, xn(0)
xi(k) xi ,
)T
,

i 1
n
xi
(bi

aij
x
(k j

第八章 微分方程1


考虑引例1 考虑引例1，对于微分方程 dy = 2x dx 函数y=x2+C是其通解，y=x2+1是其满足初始 是其通解， 函数 是其通解 是其满足初始 条件x 的特解。 条件 0=1，y(x0)=2的特解。 ， 的特解
3
微分方程的(部分 积 微分方程的 部分)积 部分 分曲线(0≤C≤2)见右 分曲线 见右 图，其中红色曲线 为满足初始条件的 特解曲线。 特解曲线。
例8.2 求微分方程 x2 y″+xy′+(x2 -1/4)y=0 的通解 s=dsolve('x^2*D2y+x*Dy+(x^2-1/4)*y=0','x') s = (C1*cos(x)+C2*sin(x))/x^(1/2) 注意 (1)若不加自变量 ，则将把 作为常数求解。 若不加自变量x，则将把x作为常数求解 作为常数求解。 若不加自变量 (2)所得结果可以用命令 所得结果可以用命令pretty进行简化。 进行简化。 所得结果可以用命令 进行简化 例 pretty(s) C1 cos(x) + C2 sin(x) --------------------1/2 x
应满足条件x=1时y=2，因此可解得 又y(x)应满足条件 应满足条件 时 ，因此可解得C=1 故所求曲线方程为y=x2+1。 故所求曲线方程为 。
列车在平直路线上以20米 秒的速度行驶 秒的速度行驶， 例2 列车在平直路线上以 米/秒的速度行驶， 当制动时，列车获得加速度-0.4米/秒2，问开始 当制动时，列车获得加速度 米秒 制动后多长时间能停住， 制动后多长时间能停住，以及列车在这段时间 行驶了多少路程？ 行驶了多少路程？ 设列车开始制动后t秒内行驶了 解:设列车开始制动后 秒内行驶了 米，则 设列车开始制动后 秒内行驶了s米
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