第三章总结
集合是一个不能精确定义的基本概念。把具有共同性质的一些东西，汇集成一个整体，就形成一个整体。
说明集合的方法有两种：1.列举法2.叙述法。
外延性原理：两个集合是相等的，当且仅当它们有相同的成员。
1． A⊆A 自反性
2． （A⊆B）∧(B⊆C)⇒(A⊆C) 传递性
3． 若A⊆B，且A≠B则B⊈A 反对称性
集合A和B相等的充分必要条件是这两个集合互为子集。
对任何集合A，⏀⊆A。
给定集合A，由集合A的所有自集为元素组成的集合，称为集合A的幂集。
集合的交运算
a) A∩A=A幂等律
b) A∩⏀=⏀零律
c) A∩E=A同一律
d) A∩B=B∩A交换律
e) （A∩B）∩C=A∩（B∩C）结合律
集合并运算
a) A⋃A=A
b) A⋃E=E
c) A⋃⏀=A
d) A⋃B=B⋃A
e) (A⋃B) ⋃C=A ⋃(B⋃C)
分配律
a) A∩(B⋃C)=(A∩B) ⋃（A∩C）
b) A⋃(B∩C)=(A⋃B) ∩(A⋃C)
设A，B为任意两个集合，所有属于A二不属于B的一切元素组成的集合S称为B对于A的补集，或相对补，记作A-B。
设E为全集，对任一集合A关于E的补E-A，称为集合A的绝对补。
∼(A⋃B)= ∼A∩∼B ∼(A∩B)= ∼A⋃∼B
A-B=A∩∼B A-B=A-(A∩B)
A∩(B-C)=(A∩B)-(A∩C)
设A，B为两个集合，若A⊆B，则a) ∼B⊆∼A b)(B-A) ⋃A=B
令A和B是任意两个集合，若序偶的第一个成员是A的元素，第二个元素是B的元素，所有这样的序偶集合，称为集合A和B的笛卡尔积或直积，记A×B.
笛卡尔积不能交换。不能结合。保序，可分配。
设A,B,C,D为四个非空集合，则A×B⊆C×D的充要条件A⊆C，B⊆D.
A×B=⏀⇔A=⏀⋁B=⏀
若Z和S是从集合X到集合Y的两个关系，则Z，S的并 交 补 差仍是X到Y的关系。
离散数学第3版习题答案
离散数学是一门重要的数学学科，它研究的是离散对象和离散结构的数学理论。离散数学的应用广泛，涉及到计算机科学、信息技术、通信工程等领域。在学习离散数学的过程中，习题是不可或缺的一部分，通过解答习题可以加深对知识的理解和掌握。本文将为大家提供《离散数学第3版》习题的答案，希望能对学习者有所帮助。
第一章：命题逻辑
1.1 习题答案：
1. (a) 真值表如下：
p | q | p ∧ q
T | T | T
T | F | F
F | T | F
F | F | F
(b) 命题“p ∧ q”的真值表如下：
p | q | p ∧ q
T | T | T
T | F | F
F | T | F
F | F | F
(c) 命题“p ∨ q”的真值表如下：
p | q | p ∨ q T | T | T
T | F | T
F | T | T
F | F | F
(d) 命题“p → q”的真值表如下：
p | q | p → q
T | T | T
T | F | F
F | T | T
F | F | T
1.2 习题答案：
1. (a) 命题“¬(p ∧ q)”等价于“¬p ∨ ¬q”。
(b) 命题“¬(p ∨ q)”等价于“¬p ∧ ¬q”。
(c) 命题“¬(p → q)”等价于“p ∧ ¬q”。
(d) 命题“¬(p ↔ q)”等价于“(p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ q)”。
1.3 习题答案：
1. (a) 命题“p → q”的否定是“p ∧ ¬q”。
(b) 命题“p ∧ q”的否定是“¬p ∨ ¬q”。
(c) 命题“p ↔ q”的否定是“(p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ q)”。
(d) 命题“p ∨ q”的否定是“¬p ∧ ¬q”。
1.4 习题答案：
1. (a) 命题“p → q”与命题“¬p ∨ q”等价。 (b) 命题“p ∨ q”与命题“q ∨ p”等价。
离散数学第三章答案冯伟森等编著机械工业出版社
9(1)法1:(A∩B)-(A∩C)法：=A∩B∩A∩C=A∩B∩(A∪C)(∪)=(A∩B∩A)∪(A∩B∩C)())=∪(A∩B∩C))=A∩(B-C)-)法2:对某:某∈(A∩B)-(A∩C):∈某∈A∩B∧某A∩C∈某∈A∧某∈B∧~某∈A∩C∈∈
第三章
某∈A∧某∈B∧~(某∈A∧某∈C)∈∈(∈)某∈A∧某∈B∧(某A∨某C)∈∈)某∈∨(某∈A∧某∈B-C)∈∈∈某∈A∩(B-C)故等式成立∈()(某∈A∧某∈B∧某A)∨(某∈A∧某∈B∧某C)∈∈∈
(3)法1:(A-B)-C法：=(A∩B)-C=(A∩B)∩C(=A∩B∪C=A-(B∪C)-)=A∩C∩B=(A-C)∩B-=(A-C)-B--法2:对某:某∈(A-B)-C:∈某∈A∧某B∧某C∈某∈A∧某(B∪C)∈某∈A-(B∪C)∈)某∈A∧某C∧某B∈某∈(A-C)∧某B∈)某∈(A-C)-B∈)
13(4)法1:利用“AB”证明对某:某∈A∩C某∈B∩C:利用“证明对:∈∈证明对某∈A∩C∈某∈A∧某∈C(已知AB)∈∈某∈B∧某∈C∈∈某∈B∩C∈法2:利用包含的等价关系：:利用包含的等价关系：ABA∩B=AA∩C∩B∩C=A∩C故A∩CB∩C故(6)AC∧BCA∪BC已知A已知CA∪C=CBCB∪C=C得A∪B∪C=A∪C=C故A∪BC
15.A某B={(1,c)(1,d)(2,c)(2,d)(3,c)(3,d)}某A某A={(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)(3,1)(3,2)(3,3)}某(A某B)某B={((1,c),c)((1,c),d)((1,d),c)(1,d),d)((2,c),c)某某((2,c),d)((2,d),c)((2,d),d)((3,c),c)((3,c),d)((3,d),c)((3,d),d)}
16.2A={,{},{a},{{b}},{,a},{,{b}},{a,{b}}{,a,{b}}} 17.证明：2A∩2B=2AnB证明：欲证：欲证：某:某∈2A∩2B某∈2AnB∈∈某∈2A∩2B∈某∈2A∧某∈2B∈∈某A∧某B某A∩B某∈2AnB∈19.(1)充分性BA某CB某C充分性:A充分性某某利用“欲证(某,y)∈A某C(某,y)∈B某C利用“AB”欲证欲证某某(某,y)∈A某C某某∈A∧y∈C(已知B)已知A∈∈已知某∈B∧y∈C∈∈(某,y)∈B某C∈某
方世昌离散数学第三版教材课件第3章二元关系（可编辑）
方世昌离散数学第三版教材课件第3章二元关系
31 基本概念 32 关系的合成 33 关系上的闭包运算 34 次序关系
35 等价关系和划分 31 基本概念311 关系关系的数学概念是建立在日常生活中关系的概念之上的让我们先看两个例子例31-1 设 A abcd 是某乒乓球队的男队员集合 B efg 是女队员集合如果A和B元素之间有混双配对关系的是a 和gd和e我们可表达为 R 〈ag〉〈de〉这里R表示具有混双配对关系的序偶集合所有可能具有混双配对关系的序偶集合是 A×B 〈xy〉x∈A∧y∈B 〈ae〉〈af〉〈ag〉〈be〉〈bf〉〈bg〉〈ce〉〈cf〉〈cg〉〈de〉〈df〉〈dg〉例31-2 设学生集合A1 abcd 选修课集合A2 日语法语成绩等级集合A3 甲乙丙如果四人的选修内容及成绩如下 a 日乙 b 法甲c 日丙 d 法乙我们可表达为S 〈a日乙〉〈b法甲〉〈c日丙〉〈d法乙〉这里S表示学生和选修课及成绩间的关系而可能出现的全部情况为 A1×A2×A3 〈xyz〉x∈A1∧y∈A2∧z∈A3 〈a日甲〉〈a 日乙〉〈a日丙〉〈a法甲〉〈a法乙〉〈a法丙〉〈b日甲〉〈b日乙〉〈b日丙〉〈b 法甲〉〈b法乙〉〈b法丙〉〈c日甲〉〈c日乙〉〈c日丙〉〈c法甲〉〈c法乙〉
〈d法丙〉定〈c法丙〉〈d日甲〉〈d日乙〉〈d日丙〉〈d法甲〉
〈d法乙〉
义31―1 1 A×B的子集叫做A到B的一个二元关系
2 A1×A2××An n≥1 的子集叫做A1×A2××An上的一个n元关系
3 从定义可看出关系是一个集合所有定义集合的方法都可用来
定义关系例31-1和例31-2是列举法的例子一个谓词P
x1x2xn 可以定义一个n元关系R R 〈x1x2xn〉P x1x2xn 例如实数R上的二元关系＞可定义如下＞〈xy〉x∈R∧y
∈R∧x＞y 反之一个n元关系也可定义一个谓词当n 1时R 〈x〉P x 称为一元关系它是一重组集合表示论述域上具有性质P的元素集合其
