离散数学第三章 集合

别地，以集合为元素的集合称为集合族或集合类，
如A={{1,2,3}, { 8,9,6}}。
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2. 子集、全集与空集 子集是描述一个集合与另一个集合之间的 关系，其定义如下。

定义3.1.1 设A和B是任意两个集合，如果集合 A 的每个元素，都是集合 B 中的一个元素，则
称A是B的子集，或称A被包含于B中，或者说
正则公理的一个自然推论是: 对任何集合S, {S} S (否则有…SSS),
从而规定了集合{S}与 S的不同层次性。
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集合与其成员是两个截然不同的概念, 集合 的元素可以是任何具体或抽象事物, 包括别的集
合, 但不能是本集合自身。
因为一个集合是由它的成员构成的, 是先有
10ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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表示一个特定集合，基本上有两种方法：

一是枚举法，在可能时列出它的元素，元素之 间用逗号分开，再用花括号括起。如 A={a,e,i,o,u}
表明集合A是由字母a, e, I ,o和u为元素构成的。
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二是谓词法，用谓词公式来确定集合。即个体 域中能使谓词公式为真的那些元素，确定了一 个集合，因为这些元素都具有某种特殊性质。 若P(x)含有一个自由变元的谓词公式，则 {x|P(x)}定义了集合S，并可表为 S={x|P(x)}
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定义3.1.3 如果一个集合包含了所要讨论的每 一个集合，则称该集合为全集，记为U或E。 它可形式地表为 U={x|P(x)∨┐P(x)}
其中P(x)为任何谓词公式。
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显然，全集U即是第二章中的全总论域。于
是，每个元素x都属于全集U，即命题(x)(xU)
B包含A，并记为AB。
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子集定义也可表成 AB(x)(xA→xB) 这表明，要证明AB，只需对任意元素x，有 下式 xA→xB 成立即可。 此外，若集合B不包含集合A，记为A /B。
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定义3.1.2 设A和B是两个集合，若AB且AB， 则称A是B的真子集，记为AB，也称B真包含 A。该定义也可表为 AB(AB∧AB)
例 在一个住着一些人家的僻静孤岛上 , 岛上只有一 个理发师a, a给且只给岛上所有不能自己理发的人 理发。问谁给a理发？ 解: 设 S = {x | x 是不能自己理发的人}。 (1) 若aS, 则a给自己a理发。又由题意知, a只给不 能自己理发的人理发, 所以a是不能自己理发的人, 即aS, 矛盾。 (2) 若aS, 则a是不能自己理发的人。又由题意知, a只给集合S中的人理发, 所以a要给a理发, 即aS , 矛盾。 无论如何, 都有aS和aS同时成立。 这是著名的罗素悖论paradox。
由此可见，P(c)为真当且仅当cS。从而有 xSxP(x)
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例如， A={a,e,i,o,u} 可表为 A={x|x是英文字母表中元音字母}
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应该指出的是：集合的元素可以是具体事物， 可以是抽象概念，也可以是集体，不是集合的元 素称为本元。如，一本书，一支笔，集合{1,2,3} 可以组成集合B={一本书，一支笔，{1,2,3}} 。特
成员后才形成集合, 所以一个正在形成中的集合
便不能作为一个实体充当本集合的成员。否则在 概念上将产生循环, 从而导致悖论。 正则公理也消除了悖论。
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3.1 集合论基础
1. 集合与元素 所谓集合，是指某些可辨别的不同对象的 全体，将用大写字母 A ， B ， X ， Y ， … 表示之。 组成集合的对象称为集合的元素或成员，将用 小写字母a，b，x ，y ，…表示之。 a是A的元 素或 a 属于 A ，记作 aA ； a 不属于 A 或 a 不是 A 的元素，记作aA，或者┐(aA)。
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集合的特性

集合论依赖于三大基本原理, 它们从根本上规定 了集合概念的意义。 集合的元素一旦给定, 这一集合便完全确定, 这一 事实被形式地叙述为外延性公理。

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1. 外延 (extension) 公理--两个集合A和B相 等的充分必要条件是它们有相同的元素。 外延公理刻划了集合的下列特性: A. 互异性: 一个集合的各元素是可以互相 区分开的, 即每一元素只出现一次。 B. 无序性: 集合中元素排列次序无关紧要, 即集合表示形式的不唯一性。
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2. 概括 (comprehension) 公理 -- 构成一个集 合应符合两个要求: I. 纯粹性: 凡该集合中的元素都具有某种性质 II. 完备性: 凡具有某种性质的元素都在该集合 中 概括公理规定了集合描述法的理论依据和集合 元素的确定性。
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C. 确定性: 任一事物是否属于一个集合, 回 答是确定的。

对于界限不分明的情况, 在经典集合论中绝
对不容许存在。

不确定的事物构成的集合属于模糊(fuzzy)
集合的研究范畴。

例 ：“好书”的全体不构成集合, 因为难以
对每一本书的好坏作出确定的判断。
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3. 正则 (regularity) 公理: 不存在集合A, B, C, …, 使得 …CBA。(即任何一个非空集合都有一 个极小元)
为真。由定义易知，对任意集合A，都有AU。
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集合的元素一旦给定，这一集合便完全确立。
这一事实被形式地叙述为外延公理。
外延公理：两集合A和B相等，当且仅当它们 有相同的元素。
若A与B相等，记为A=B；否则，记为AB。
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外延公理可形式表为： A=B(x)(xA↔xB) 或者 A=B(x)(xA→xB)∧(x)(xB→xA) 顺便指出，在应用外延公理证明集合A与B相等时， 只需考察： 对于任意元素x，应有下式 xA↔xB 成立即可。 这就是说，证明两集合相等时可按此法行事。