离散数学第三章练习题

第二部分集合、矩阵、关系和函数集合论是处理集合，函数和关系的数学理论。

集合包括最基本的数学概念，例如集合，元素和成员关系。

在大多数现代数学公式中，集合论提供了一种描述数学对象的语言。

集合可用来表示数及其运算，还可表示和处理非数值计算，如数据间关系的描述等。

集合论，逻辑和一阶逻辑构成了数学公理化的基础。

同时，函数和关系是基于集合的映射，它们是满足某些属性的特殊集合。

接下来，我们将在两个单独的章节中介绍它们。

集和矩阵将在第3章中介绍，而关系和函数将在第4章中介绍。

第三章集合和矩阵3.1 集合3.1.1 集合概念集合没有确定的概念。

一般地，我们把研究的对象统称为元素；把一些元素组成的总体叫做集合，也简称集。

通常用大写英文字母表示集合。

例如，N代表是自然数集合，Z代表是整数集合，R代表是实数集合。

用小写英文字母表示集合内元素。

若元素a是集合A的一个元素，则表示为a A∈，读作元素a属于集合A；若元素a不是集合A的一个元素，则表示为a A∉，读作a不属于集合A。

集合分为有限集合和无限集合两种，下面给出定义。

表示集合方法有列举法和描述法两种方式，下面分别介绍。

1. 列举法当集合是有限集合时，可以列出集合的所有元素，用逗号隔开各元素，并用花括号把所有元素括起来。

这种表述方式为列举法。

例如：S1={a, b, c, d, e, f}，S2={a, b, b, c, d, e, f}，S3={ d, e, a, b, c, f}上述三个集合S1、S2和S3是相同集合，尽管有重复元素。

且集合元素之间没有次序关系。

一个集合可以作为另个集合的元素。

例如，S1={a, b,{ c, d, e, f }}集合S1包含元素a, b和{ c, d, e, f }。

因为{ c, d, e, f }是集合S1中的元素，故可记为：{}∈。

,,,c d e f A以上给出的集合实例都是有限集合。

当集合是无限集合时，无法列出集合的所有元素，可先列出一部分元素，若剩余元素与已给出元素存在一定规律，那剩余元素的一般形式很明显可用省略号表示。

a t a t i m e an dA l lt h i ng si nt h ei r be i ng ar eg oo df o r so me t hi n 3-5.1 列出所有从X={a,b,c}到Y={s}的关系。

解：Z 1={<a,s>}Z 2={<b,s>} Z 3={<c,s>}Z 4={<a,s>,<b,s>} Z 5={<a,s>,<c,s>} Z 6={<b,s>,<c,s>}Z 7={<a,s>,<b,s>,<c,s>}3-5.2 在一个有n 个元素的集合上，可以有多少种不同的关系。

解 因为在X 中的任何二元关系都是X ×X 的子集，而X ×X=X 2中共有n 2个元素，取0个到n 2个元素，共可组成22n 个子集，即22|)(|n X X =⨯℘。

3-5.3 设A ＝{6：00，6：30,7：30，…, 9：30,10：30}表示在晚上每隔半小时的九个时刻的集合，设B={3,12,15,17}表示本地四个电视频道的集合,设R 1和R 2是从A 到B 的两个二元关系，对于二无关系R 1，R 2，R 1∪R 2，R 1∩R 2，R 1⊕R 2和R 1-R 2可分别得出怎样的解释。

解：A ×B 表示在晚上九个时刻和四个电视频道所组成的电视节目表。

R 1和R 2分别是A ×B 的两个子集，例如R 1表示音乐节目播出的时间表，R 2是戏曲节日的播出时间表，则R 1∪R 2表示音乐或戏曲节目的播出时间表，R 1∩R 2表示音乐和戏曲一起播出的时间表，R 1⊕R 2表示音乐节目表以及戏曲节目表，但不是音乐和戏曲一起的节日表，R 1-R 2表示不是戏曲时间的音乐节目时间麦。

3-5.4 设L 表示关系“小于或等于”，D 表示‘整除”关系,L 和D 刀均定义于解：L={<1,2>,<1,3>,<1,6>,<2,3>,<2,6>, <3,6>,<1,1>,<2,2>,<3,3>,<6,6>}D={<1,2>,<1,3>,<1,6>,<2,6>,<3,6>,<1,1>,<2,2>,<3,3>,<6,6>} L ∩D={<1,2>,<1,3>,<1,6>,<2,6>,<3,6>,<1,1>,<2,2>,<3,3>,<6,6>}3-5.5对下列每一式，给出A 上的二元关系，试给出关系图：a){<x,y>|0≤x ∧y ≤3}，这里A={1,2,3,4}；b){<x,y>|2≤x,y ≤7且x 除尽y ,这里A ＝{n|n ∈N ∧n ≤10}c) {<x,y>|0≤x-y<3}，这里A={0,1,2,3,4}；d){<x,y>|x,y 是互质的}，这里A={2,3,4,5,6}解：a) R={<0,0>,<0,1>,<0,2>,<0,3>, <1,0>,<1,1>,<1,2>,<1,3>, <2,0>,<2,1>,<2,2>,<2,3>, <3,0>,<3,1>,<3,2>,<3,3>,} 其关系图b) R={<2,0>,<2,2>,<2,4>,<2,6>,<3,0>,<3,3>,<3,6>, <4,0>,<4,4>, <5,0>,<5,5>,i m e an dA l lt h in gs in th ei r be i ng ar eg oo df o rsa）若R1和R2是自反的，则R1○R2也是自反的；b）若R1和R2是反自反的，则R1○R2也是反自反的；c）若R1和R2是对称的，则R1○R2也是对称的；d）若R1和R2是传递的，则R1○R2也是传递的。

习题3.11.(1) {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}(2) {aa , ab , ba , bb }(3) {-1,1}(4) {11,13,17,19,23,29}(5) {1,2,3, (79)(6) {2}2. 用描述法表示下列集合:(1) 不超过200的自然数的集合;{|N 200}x x x ∈∧≤(2) 被5除余1的正整数的集合;+{|I (N 51)}x x y y x y ∈∧∃∈∧=+(3) 函数y =sin x 的值域;{|R 11}y y y ∈∧-≤≤(4) 72的质因子的集合;{|N |72(N 2|)}x x x y y y x y x ∈∧∧∀∈∧≤<→/(5) 不等式031>-x 的解集; {|R 3}x x x ∈∧>(6) 函数2312+-=x x y 的定义域集. {|R 12}x x x x ∈∧≠∧≠3. 用归纳定义法描述下列集合:(1) 允许有前0的十进制无符号整数的集合;① {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}A ⊆② 如果x A ∈，则{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x A ⊆(2) 不允许有前0的十进制无符号整数的集合;① {1,2,3,4,5,6,7,8,9}A ⊆② 如果x A ∈，则{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}x x x x x x x x x x A ⊆(3) 不允许有前0的二进制无符号偶数的集合;① 1A ∈② 如果x A ∈，则{0,1}x x A ⊆(4) 5的正整数倍的集合.① 5A ∈② 如果x A ∈，则5x A +∈4. 判断下列命题中,哪些是真的,哪些是假的(A 是任意集合):(1) ;A ∈∅(2) ;A ⊆∅ (3) };{A A ∈ (4) ;A A ⊆ (5) ;A A ∈ (6) };{A A = (7) }.{∅=∅答：(2),(3),(4)为真，(1),(5),(6),(7)为假。

第三章习题一解答一、求下列集合的幂集1、{杨,李,石}解：P({杨,李,石}) ={Φ, {石},{李,石},{杨},{杨,石},{杨,李},{杨,李,石}}2、{{1,2},{2,1,1},{2,1,1,2}}解：原集合={{1,2},{2,1},{2,1}}={{1,2}}，只含一个元素，故其幂集只有2 个元素： P={Φ,{1,2}}二、利用包含排斥原理，求解以下各题。

1、对60 人调查，25 读《每周新闻》，26 读《时代》，26 人读《财富》，9 人读《每周新闻》和《财富》，11 读《每周新闻》和《时代》，8 人读《时代》与《财富》，还有 8 人什么都不读，请计算：(1) 阅读全部三种杂志的人数。

(2) 分别求只阅读每周新闻、时代、财富杂志的人数。

解：记A={《每周新闻》的读者}，B={《时代》的读者}，C={《财富》的读者}。

由于8 人什么都不读，故只有 52 人读杂志，即 |A ∪B ∪C|=52。

已知|A|=25，|B|=26，|C|=26|A ∩C|=9，|A ∩B|=11，|B ∩C|=8（1）由包含排斥原理可知|A ∪B ∪C|=|A|+|B|+|C|-|A ∩C|-|A ∩B|-|B ∩C|+| A ∩B ∩C|，故 52=25+26+26-9-11-8+| A ∩B ∩C|，即有| A ∩B ∩C|=3，所以同时读三种杂志的人为3 人。

（2）注意到 |S ∩T| = |S|-|S ∩T|，故只读《每周新闻》的人数为：|)()(||||)(||||)(|||C A B A A C B A A C B A C B A ⋂⋃⋂-=⋃⋂-=⋃⋂=⋂⋂ =|A|-|A ∩B|-|A ∩C|+| A ∩B ∩C|=25-9-11+3=8；只读《时代》人数为：=⋂⋂||C A B |B|-|B ∩A|-|B ∩C|+| A ∩B ∩C|=26-11-8+3=10 ； 只读《财富》的人为：=⋂⋂||B A C |C|-|C ∩A|-|C ∩B|+| A ∩B ∩C|=26-9-8+3=12。

《离散数学》第三部分----代数结构一、选择或填空1、设A={2,4,6}，A上的二元运算*定义为：a*b=max{a,b}，则在独异点<A,*>中，单位元是( )，零元是( )。

答：2，62、设A={3,6,9}，A上的二元运算*定义为：a*b=min{a,b}，则在独异点<A,*>中，单位元是( )，零元是( )；答：9，33、设〈G,*〉是一个群，则(1) 若a,b,x∈G，a*x=b，则x=( )；(2) 若a,b,x∈G，a*x=a*b，则x=( )。

答：（1）a*-1 b （2）b4、设a是12阶群的生成元，则a2是( )阶元素，a3是( )阶元素。

答：6,45、代数系统<G,*>是一个群，则G的等幂元是( )。

答：单位元6、设a是10阶群的生成元，则a4是( )阶元素，a3是( )阶元素。

答：5，107、群<G,*>的等幂元是( )，有( )个。

答：单位元，18、素数阶群一定是( )群, 它的生成元是( )。

答：循环群，任一非单位元9、设〈G,*〉是一个群，a,b,c∈G，则(1) 若c*a=b，则c=( )；(2) 若c*a=b*a，则c=( )。

答：（1）b1-*a(2) b10、<H,,*>是<G,,*>的子群的充分必要条件是( )。

答：<H,,*>是群或∀ a，b ∈G，a*b∈H，a-1∈H 或∀ a,b ∈G，a*b-1∈H 11、群＜A,*＞的等幂元有( )个，是( )，零元有( )个。

答：1，单位元，012、在一个群〈G,*〉中，若G中的元素a的阶是k，则a-1的阶是( )。

答：k13、在自然数集N上，下列哪种运算是可结合的？（）(1) a*b=a-b (2) a*b=max{a,b} (3) a*b=a+2b (4) a*b=|a-b| 答：(2)14、任意一个具有2个或以上元的半群，它（）。

第三章习题一解答一、求下列集合的幂集1、{杨,李,石}解：P({杨,李,石}) ={Φ, {石},{李,石},{杨},{杨,石},{杨,李},{杨,李,石}}2、{{1,2},{2,1,1},{2,1,1,2}}解：原集合={{1,2},{2,1},{2,1}}={{1,2}}，只含一个元素，故其幂集只有2 个元素： P={Φ,{1,2}}二、利用包含排斥原理，求解以下各题。

1、对60 人调查，25 读《每周新闻》，26 读《时代》，26 人读《财富》，9 人读《每周新闻》和《财富》，11 读《每周新闻》和《时代》，8 人读《时代》与《财富》，还有 8 人什么都不读，请计算：(1) 阅读全部三种杂志的人数。

(2) 分别求只阅读每周新闻、时代、财富杂志的人数。

解：记A={《每周新闻》的读者}，B={《时代》的读者}，C={《财富》的读者}。

由于8 人什么都不读，故只有 52 人读杂志，即 |A ∪B ∪C|=52。

已知|A|=25，|B|=26，|C|=26|A ∩C|=9，|A ∩B|=11，|B ∩C|=8（1）由包含排斥原理可知|A ∪B ∪C|=|A|+|B|+|C|-|A ∩C|-|A ∩B|-|B ∩C|+| A ∩B ∩C|，故 52=25+26+26-9-11-8+| A ∩B ∩C|，即有| A ∩B ∩C|=3，所以同时读三种杂志的人为3 人。

（2）注意到 |S ∩T| = |S|-|S ∩T|，故只读《每周新闻》的人数为：|)()(||||)(||||)(|||C A B A A C B A A C B A C B A ⋂⋃⋂-=⋃⋂-=⋃⋂=⋂⋂ =|A|-|A ∩B|-|A ∩C|+| A ∩B ∩C|=25-9-11+3=8；只读《时代》人数为：=⋂⋂||C A B |B|-|B ∩A|-|B ∩C|+| A ∩B ∩C|=26-11-8+3=10 ； 只读《财富》的人为：=⋂⋂||B A C |C|-|C ∩A|-|C ∩B|+| A ∩B ∩C|=26-9-8+3=12。

离散数学第三章习题详细答案3.9解：符号化：p：a是奇数.q：a是偶数.r：a能被2整除前提：(p→¬r),(q→r)结论：(q→¬p)证明：方法2（等值演算法）(p→¬r)∧(q→r)→(q→¬p)⇔(¬p∨¬r)∧(¬q∨r)→(¬q∨¬p)⇔(p∧r)∨(q∧¬r)∨¬q∨¬p⇔((p∧r)∨¬p)∨((q∧¬r)∨¬q)⇔(r∨¬p)∨(¬r∨¬q)⇔¬p∨(r∨¬r)∨¬q⇔1即为成佛该式为重言式，则原结论恰当。

方法3（主析取范式法）(p→¬r)∧(q→r)→(q→¬p)⇔(¬p∨¬r)∧(¬q∨r)→(¬q∨¬p)⇔(p∧r)∨(q∧¬r)∨¬q∨¬p⇔m0+m1+m2+m3+m4+m5+m6+m7所述该式为重言式，则结论推理小说恰当。

3.10.解：符号化：p：a就是负数.q：b就是负数.r：a、b之四维负前提：r→(p∧¬q)∨(¬p∧q)结论：¬r→(¬p∧¬q)方法1（真值法）证明：方法2（主析取范式法）证明：(r→(p∧¬q)∨(¬p∧q))→(¬r→(¬p∧¬q))⇔¬(¬r∨(p∧¬q)∨(¬p∧q))∨(r∨(¬p∧¬q))⇔r∨(¬p∧¬q)⇔m0+m2+m4+m6+m7只不含5个极小项，课件完整不是重言式，因此推理小说不恰当3.11.填充下面推理证明中没有写出的推理规则。

解：③：①②谓词三段论⑤：③④谓词三段论⑦：⑤⑥假言推理小说3.12.填充下面推理证明中没有写出的推理规则。