离散数学第三章

(AB)，(AB)，(AB)，(AB)为公式；
(5) 若A是合式公式，x是A中出现的任何个体变元，则 xA(x)，xA(x)为合式公式。 (6)只有有限次使用(1)、(2)、(3)、(4)、(5)所得到的式 子才是合式公式。
自由出现和约束出现
定义2：设为任何一个谓词演算公式，并设
xA(x)，xA(x)为公式的子公式，
代入规则
(1) 代入必须处处进行，即代入时必须对公 式中出现的所有同名的自由变元进行。 (2) 代入后不能改变原式和代入式的约束关 系。 (3) 代入也可以对谓词填式而言，但也要遵 循上面两条规则； (4) 命题变元也可以实施代入。
例 x(A(x，y)y(B(x，y)C(z)))
试把公式中的自由变元y 代以式子x2+2。 解：先对原式改名，x改为u，y改为v， 改名后得： u(A(u，y)v(B(u，v)C(z))) 最后代入得： u(A(u，x2+2)v(B(u，v)C(z))) 验证公式可知，没有改变变元的约束关系， 所以这种代入符合代入规则。
第三章 谓词演算基础
3.1 谓词与个体 3.2 函数与量词 3.3 自由变元和约束变元 3.3.1 自由出现和约束出现 3.3.2 改名和代入 3.4 永真性和可满足性 3.5 唯一性量词与摹状词
复习: 项
例 考察谓词 WRITE(x,y)表示x 写了y 的谓词填式：
实体
WRITE(Shakespeare，Hamlet) WRITE(Shakespeare，y) WRITE(son(Shakespeare)，Hamlet)
例 对下面公式实施改名
(1) x(A(x，y)y(B(x，y)C(z))) (2) xF(x，y)∧xG(x，y) 解：(1) 可把公式改名为： x(A(x，y)u(B(x，u)C(z))) (2) x是约束变元,y是自由变元。而x的两次 出现尽管均是约束的,但分别在不同的辖 域。含义是互相无关的。可以将一处换 名,但不能与y同名。可以改名为： xF(x，y)∧uG(u，y)

函数与量词 3.3 自由变元和约束变元 3.4 永真性和可满足性 3.5 唯一性量词与摹状词 3.5.1 唯一性量词 3.5.2 摹状词
唯一性量词 ！
！X 表示“只有一个X”、“恰好有一个X” 。 ！x(x)表示恰好有一个x使得(x)为真。 等价公式： ！x(x)=x((x)y(xy(y)))
谓词P(x)是指个体x所具有的性质， 摹状词是指具有性质P的那个个体x。
摹状词 (指导变元、作用域)
x(x)——使得(x)成立的那个惟一的个体， 其中称为摹状词， x称为摹状词的指导变元， (x)称为摹状词的作用域。 注意 摹状词的作用域与唯一性量词的作用域 均为谓词演算公式，但摹状词的值为个 体，而唯一性量词的值为真或假，且要 使用摹状词必须满足存在唯一性。
这里, 是一个谓词.
例(p37) 并非读书最多的人最有知识
解：设 A(e)表示“e为人”； B(e1，e2)表示e1比e2读书多； C(e1，e2)表示e1比e2有知识。 则“读书最多的人”译为： xy(A(x)y((A(y)yx)B(x，y))) 把它记为u，故原句译为： t((A(t)tu)C(u，t))
第三章 谓词演算基础
3.1 谓词与个体 3.2 函数与量词 3.3 自由变元和约束变元 3.4 永真性和可满足性 3.5 唯一性量词与摹状词 3.5.1 唯一性量词 3.5.2 摹状词 第四章 谓词演算的推理理论
第三章 谓词演算基础
3.1 谓词与个体 3.2 函数与量词 3.3 自由变元和约束变元 3.4 永真性和可满足性 3.5 唯一性量词与摹状词 3.5.1 唯一性量词 3.5.2 摹状词
摹状词
摹状词——描述特定个体的短语（利用个体的 特征性质来描述特定的个体）， 比如： ◇ “纸的发明者”， ◇ “上帝的创造者”等。

推理定律——重言蕴涵式
1. A (AB)
附加律
2. (AB) A
化简律
3. (AB)A B
假言推理
4. (AB)B A
拒取式
5. (AB)B A
析取三段论
6. (AB)(BC) (AC)
假言三段论
7. (AB)(BC) (AC)
等价三段论
8. (AB)(CD)(AC) (BD)
构造性二难
熟练掌握判断推理是否正确的不同方法（如真值表法、等 值演算法、主析取范式法等）
牢记 P 系统中各条推理规则 熟练掌握构造证明的直接证明法、附加前提证明法和归谬
法 会解决实际中的简单推理问题
练习1：判断推理是否正确
1. 判断下面推理是否正确: (1) 前提：pq, q 结论：p
解 推理的形式结构: (pq)qp 方法一：等值演算法
练习2解答
(3) 证明： ① p(qr) ②p ③ qr ④ sq ⑤s ⑥ q ⑦r ⑧ rt
前提引入 前提引入 ①②假言推理 前提引入 前提引入 ④⑤假言推理 ③⑥析取三段论 ⑦附加
谢谢大家！
定理3.1 由命题公式A1, A2, …, Ak 推B的推理正确当且仅当 A1A2…AkB为重言式
注意: 推理正确不能保证结论一定正确
推理的形式结构
由{A1, A2, …, Ak}推B的推理有以下的形式结构： 1. {A1, A2, …, Ak} B
若推理正确, 记为{A1,A2,,An} B 2. A1A2…AkB
练习2：构造证明
2. 在系统P中构造下面推理的证明： 如果今天是周六，我们就到颐和园或圆明园玩. 如果颐和 园游人太多，就不去颐和园. 今天是周六，并且颐和园游 人太多. 所以, 我们去圆明园或动物园玩.

命题演算证明法的书写规范 (以下的X和Y代表集合公式) (1) 证XY
任取x， xX … xY (2) 证X=Y
方法一 分别证明 XY 和 YX 方法二 任取x，xX … xY
注意：在使用方法二的格式时，必须保证每步推理都是充分 必要的
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第三章 集合
命题演算法
例3-3.2 证明A(AB) = A （吸收律）
元素a属于A，记作aA； 或者a不属于A，记作aA，也可以记作┓(aA)。
（4）任意性：集合的元素也可以是集合。 例：A={1，{2}，2，{3，4}，{6}} A=5，2A，{2}A，6A,{6}A
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第三章 集合 例如：A={{a,b}，d，{{b}}}。可以用一种树形图来表示这种
隶属关系，该图分层构成，每一层上的结点都表示一个集 合，它的儿子就是它的元素。 集合的树型层次结构
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第三章 集合
§3-3-3 笛卡儿积
定义3-3.2 两个元素a，b组成二元组，若它们有次序 之别，称为二元有序组，或称为有序对或序偶，记为<a， b>，称a为第一分量，b为第二分量；若它们无次序区分， 称为二元无序组，或称为无序对，记为（a，b）。
有序对具有如下性质。 （1）有序性：当x≠y时<x，y>≠<y，x>。 （2）<x，y>与<u，v>相等的充分必要条件是
A
B
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第三章 集合
§3-2 集合之间的关系
§3-2-1 集合之间的关系 （1）相等关系： • 两集合A和B相等，当且仅当它们有相同的元素。 • 若A与B相等，记为A=B；否则，记为A≠B。 • 可形式化为：A=B(x)(xAxB)。
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第三章 集合

思考： 思考： ≠ 和 ⊄ 的定义 注意 ∈ 和 ⊆ 是不同层次的问题
空集与全集
空集 ∅ 不含任何元素的集合 实例 {x | x2+1=0∧x∈R} 就是空集 ∧ ∈ 定理 空集是任何集合的子集 ∅⊆A ∈∅→x∈ ∅⊆ ⇔ ∀x (x∈∅→ ∈A) ⇔T ∈∅→ 空集是惟一的. 推论 空集是惟一的. 假设存在∅ 证 假设存在∅1和∅2，则∅1⊆∅2 且∅1⊆∅2， 因此∅ ∅ 因此∅1=∅2 全集 E 相对性 在给定问题中，全集包含任何集合， 在给定问题中，全集包含任何集合，即∀A (A⊆E ) ⊆
1、集合基本运算的定义 、 ∪ ∩ − ∼ ⊕ 2、文氏图（John Venn） 、文氏图（ ） 3、例题 、 4、集合运算的算律 、 5、集合 A∪B = { x | x∈A ∨ x∈B } ∪ ∈ ∈ A∩B = { x | x∈A ∧ x∈B } ∩ ∈ ∈ A−B = { x | x∈A ∧ x∉B } − ∈ ∉ A⊕B = (A−B)∪(B−A) ⊕ − ∪ − = (A∪B)−(A∩B) ∪ − ∩ 绝对补 ∼A = E−A −
i =1 m 1≤i < j ≤ m
∑
| Ai ∩ Aj | −
1≤i < j < k ≤ m
∑
| Ai ∩ Aj ∩ Ak | +...
+(−1)m | A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ Am |
应用
之间（ 在内） 例1 求1到1000之间（包含 和1000在内）既不能 到 之间 包含1和 在内 整除， 整除的数有多少个？ 被 5 和6 整除，也不能被 8 整除的数有多少个？ 解：S ={ x | x∈Z, 1≤ x ≤1000 }, ∈ ≤ 如下定义 S 的 3 个子集 A, B, C： ： A={ x | x∈S, 5 | x }， ∈ ， B={ x | x∈S, 6 | x }， ∈ ， C={ x | x∈S, 8 | x } ∈

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3.1.1.2 斯柯林(Skolem)标准范式
定义 3.1.2 从前束范式中消去全部存在量词所得到的公式即为 Skolem 标准范式。 例如，如果用 Skolem 函数 f(x)代替前束形范式 x (y)(z)( P( x) F ( y, z) Q( y, z)) 中 的 y 即得到 Skolem 标准范式： ( x) ( z)(P(x)∧F(f(x), z)∧Q(f(x), z)) Skolem 标准型的一般形式是
(x1 )(x2 )...(xn )M ( x1, x2 ,...,xn )
其中，M(x1,x2,…,xn)是一个合取范式，称为 Skolem 标准型的母式。
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将谓词公式 G 化为 Skolem 标准型的步骤如下： （1）消去谓词公式 G 中的蕴涵（→）和双条件符号（） ，以A∨B 代替 A→B，以(A∧ B)∨(A∧B)替换 AB。 （2）减少否定符号（）的辖域，使否定符号“”最多只作用到一个谓词上。 （3）重新命名变元名，使所有的变元的名字均不同，并且自由变元及约束变元亦不同。 （4）消去存在量词。这里分两种情况，一种情况是存在量词不出现在全称量词的辖域内，此 时，只要用一个新的个体常量替换该存在量词约束的变元，就可以消去存在量词；另一种情况 是，存在量词位于一个或多个全称量词的辖域内，这时需要用一个 Skolem 函数替换存在量词 而将其消去。
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例 3.2.1 求子句集 S＝{T(x)∨Q(z),R(f(y))}的 H 域。 解 此例中没有个体常量，任意指定一个常量 a 作为个体常量；只有一个函数 f(y)，有： H0={a} H1={a,f(a)} H2={a,(a),f(f(a))} …… H∞={a,f(a),f(f(a)),f(f(f(a))),…}

在自然语言处理中的应用
总结词
消解原理在自然语言处理中用于解决语义歧义和信息抽取。
详细描述
在自然语言处理中，消解原理主要用于解决语义歧义和信息抽取问题。通过消解语义歧 义，可以确定句子中词语的准确含义，提高自然语言处理的准确率。此外，消解原理还 可以用于信息抽取，从大量的文本数据中抽取关键信息，为后续的数据分析和知识挖掘
提供支持。
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总结与展望
消解原理的总结
消解原理是离散数学中的一种重要理论，主要用于解决逻辑推理和决策问题。它通过将问题分解为更 小的子问题，并利用已知信息来逐步解决这些子问题，最终达到解决原始问题的目的。
消解原理的应用范围广泛，包括人工智能、自然语言处理、计算机科学等领域。它为许多问题提供了有 效的解决方案，如逻辑推理、规划、约束满足问题等。
02
例如，在约束满足问题中，可以 通过改进消解原理来减少搜索空 间的大小，从而更快地找到满足 约束条件的解。
混合消解原理
混合消解原理是指将不同的消解原理结合起来，形成一个新的消解原理，以处理特定的问题或领域。
例如，在电路验证中，可以将约束满足问题和逻辑推理中的消解原理结合起来，形成一个混合消解原 理，以更有效地处理电路验证问题。
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消解原理的应用案例
在逻辑电路设计中的应用
总结词
详细描述
消解原理在逻辑电路设计中发挥了重要作用， 通过消解矛盾的逻辑表达式，可以优化电路 设计，减少冗余和冲突。
在逻辑电路设计中，消解原理主要用于解决 逻辑表达式的矛盾。通过将矛盾的逻辑表达 式进行消解，可以找到最简化的解决方案， 优化电路设计。消解原理的应用可以减少冗 余的逻辑门，降低电路的复杂度，提高电路 的性能和可靠性。
02

离散数学第三章1. 函数：A 中任意一个元素在B 中有唯一确定的元素与之对应。

2. 空函数（A 为空，B 不为空）常函数。

3. 对于函数 f ，常将 R f 记作 f (A )，即f (A ) = R f = {b | b ∈ B 且存在 a ∈ A 使 f (a ) = b }。

4. 记由集合 A 到 B 的所有函数的集合为，B A = { f | f : A → B }，（读着“B 上 A ”），则 #(B A ) = (#B )#A 。

5. 设有函数 f : A → B 和 g : C → B ，如果 C ⊆ A ，C ≠ Φ 且对于所有的 a ∈ C ，有 f (a ) = g (a )，则称函数 g 是 f 在 C 上的限制，并称函数 f 是 g 在 A 上的扩充.6. g = f ⋂ (C ⨯ B ); f 是 g 在 A 上的扩充 ⇔ g ⊆ f 。

(证明见ppt)7. 内射或单射（一对一）；满射或映上的函数（B 中的任意元素都有原像）；既是内射也是满射叫双射（一一对应8. 例题：9. 上例是满射不是内射；10. 函数的复合满足结合律：h ⋅ (g ⋅ f ) = (h ⋅ g ) ⋅ f11. 若函数 f : A → A 满足 f 2 = f ，则称 f 是幂等函数，对任意正整数 n ，f n = f12. 设有函数 f : A → B ，g : B → C ，(1) 如果 f 和 g 都是内射，则 g ⋅ f 也是内射;(2) 如果 f 和 g 都是满射，则 g ⋅ f 也是满射;(3) 如果 f 和 g 都是双射，由 g ⋅ f 也是双射。

13. 设有函数 f : A → B 和 g : B → C ，(1) 如果 g ⋅ f 是内射，则 f 是内射；(2) 如果 g ⋅ f 是满射，则 g 是满射；(3) 如果 g ⋅ f 是双射，则 f 是内射而 g 是满射。

（证明用反证法）14.双射才可逆。

第三章 集合的基数
本章讨论集合论中较为困难的问题—集 合的基数问题；但只限于对基数作一简 单介绍；如学时较少可不讲本章或对本 章作恰当的删减.
本章主要概念为:集合的等势、有限集与 无限集、可数集与不可数集及较为常见 的集合的基数.
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第一节 无穷集的概念
本节主要内容: 1.两个集合等势的定义； 2.基数的概念:基数是集合的一种性质，一
3.设A是任意集合,P(A)为A的幂集,则P(A)的基 数大于A的基数.
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本章小结
本章的主要内容有：集合的等势、有限 集与无限集、可数集与不可数集、较为 常见的集合的基数等.集合的基数反映了 集合的元素的多少，它是集合的一种性 质，一种与该集合等势的集合构成的集 合族的共同性质.
种与该集合等势的集合所构成的集合族 的共同性质，即任何两个集合，如果它 们等势，它们便有相同的基数 （Von.Neumann的观点）； 3.利用等势的概念来定义有限集与无限集.
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第二节 可数集与不可数集
可数集是无限集中最简单的一种，本节把无 限集区分为可数集与不可数集，主要结论有:
1.任意可数集都有一个与其等势的真子集; 2.任意一个无限集都包含一个可数子集； 3.可数集的任意无限子集是可数集； 4.可数集与有限集的并集是可数集； 5.两个（因而有限个）可数集的并集仍是可数
集； 6.可数个可数集的并集是可数集； 7.两个（因而有限个）可数集合的笛卡尔积仍
然是可数集.
Hale Waihona Puke 返回本章首页返回本章首页
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一般来说, 只要不是非常明显的不可兼就使用.


例 p: 今天晚上我在寝室上自习, q :今天晚上我去电影 院看电影. 今天晚上我在寝室上自习或去电影院看电影。 p q.
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5. 蕴涵(条件)联结词 : p q p: 我有时间, q : 我去看望我的父母. p q : 如果我有时间, 那么我去看望我的父母 . “”相当于“如果…那么…”, “若…则…”,等. p q 可读作“(若)p则q”. p称为前件, q称为后件.
p 1 1 0 0 q 1 0 1 0 pq 1 1 1 0
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4. 异或联结词 : p q “不可兼或”, 它表示两者不能同时为真


例 p: 明天去深圳的飞机是上午八点起飞, q :明天去深圳 的飞机是上午八点半起飞. p q: 明天去深圳的飞机是上午八点或上午八点半起飞 . p 1 1 0 q 1 0 1 pq 0 1 1 p q pq 1 1 1


2

例







判断下列语句是否是命题. 2 + 3 = 5. √ 大熊猫产在我国东北. √ x > 3. 立正！ 这朵花真漂亮！ 你喜欢网络游戏吗? 1+1=10. √ 火星上有生物. √ 我说的都是假话. 小王和小李是同学. √ 你只有刻苦学习,才能取得好成绩. √
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2. 命题的真值 命题的真值就是命题的逻辑取值. 经典逻辑值只有两个: 1和0 在数理逻辑中, 更多时候逻辑真是用 T(True) 或 t, 逻辑假用 F(False) 或 f 表示的.

离散数学第三章第一篇：离散数学第三章第三章部分课后习题参考答案14.在自然推理系统P中构造下面推理的证明：(2)前提：p→q,⌝(q∧r),r 结论：⌝p(4)前提：q→p,q↔s,s↔t,t∧r 结论：p∧q 证明：（2）①⌝(q∧r)前提引入②⌝q∨⌝r ①置换③q→⌝r ②蕴含等值式④r 前提引入⑤⌝q ③④拒取式⑥p→q 前提引入⑦￢p ⑤⑥拒取式证明（4）：①t∧r 前提引入②t ①化简律③q↔s 前提引入④s↔t 前提引入⑤q↔t ③④等价三段论⑥（q→t）∧(t→q)⑤ 置换⑦（q→t）⑥化简⑧q ②⑥ 假言推理⑨q→p 前提引入⑩p ⑧⑨假言推理(11)p∧q ⑧⑩合取15在自然推理系统P中用附加前提法证明下面各推理：(1)前提：p→(q→r),s→p,q 结论：s→r 证明①s 附加前提引入②s→p 前提引入③p ①②假言推理④p→(q→r)前提引入⑤q→r ③④假言推理⑥q 前提引入⑦r ⑤⑥假言推理16在自然推理系统P中用归谬法证明下面各推理：(1)前提：p→⌝q,⌝r∨q,r∧⌝s 结论：⌝p 证明：①p 结论的否定引入②p→﹁q 前提引入③﹁q ①②假言推理④￢r∨q 前提引入⑤￢r ④化简律⑥r∧￢s 前提引入⑦r ⑥化简律⑧r∧﹁r ⑤⑦ 合取由于最后一步r∧﹁r 是矛盾式,所以推理正确.第二篇：离散数学离散数学课件作业第一部分集合论第一章集合的基本概念和运算1-1 设集合 A ={1，{2}，a，4，3}，下面命题为真是[ B ]A．2 ∈A；B．1 ∈ A；C．5 ∈A；D．{2} ⊆ A。

1-2 A,B,C 为任意集合，则他们的共同子集是[ D ]A．C；B．A；C．B；D．Ø。

1-3 设 S = {N，Z，Q，R}，判断下列命题是否成立？（1）N ⊆ Q，Q ∈S，则 N ⊆ S［不成立］（2）-1 ∈Z，Z ∈S，则-1 ∈S［不成立］1-4 设集合 A ={3，4}，B = {4，3} ∩ Ø，C = {4，3} ∩{ Ø }，D ={ 3，4，Ø }，2E = {x│x ∈R 并且 x-7x + 12 = 0}，F = { 4，Ø，3，3}，试问哪两个集合之间可用等号表示？答：A = E；B = C；D = F1-5 用列元法表示下列集合（1）A = { x│x ∈N 且x2 ≤ 9 }（2）A = { x│x ∈N 且 3－x 〈 3 }答：（1）A = { 0，1，2，3 }；（2）A = { 1，2，3，4，……} = Z+；第二章二元关系2-1 给定 X =（3, 2，1），R 是 X 上的二元关系，其表达式如下：R = {〈x，y〉x，y ∈X 且x≤ y }求：(1)domR =?;(2)ranR =?;(3)R 的性质。

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推理实例
例1 判断下面推理是否正确 (1) 若今天是 号，则明天是 号. 今天是 号. 所以 明天是 号. 若今天是1号 则明天是5号 今天是1号 所以, 明天是5号 (2) 若今天是 号，则明天是 号. 明天是 号. 所以 今天是 号. 若今天是1号 则明天是5号 明天是5号 所以, 今天是1号 解 设 p：今天是 号，q：明天是 号. ：今天是1号 ：明天是5号 → ∧ → (1) 推理的形式结构 (p→q)∧p→q 推理的形式结构: 用等值演算法 (p→q)∧p→q → ∧ → ⇔ ¬((¬p∨q)∧p)∨q ¬ ∨ ∧ ∨ ∨¬q∨ ⇔ ¬p∨¬ ∨q ⇔ 1 ∨¬ 由定理3.1可知推理正确 由定理 可知推理正确
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练习1： 练习 ：判断推理是否正确
1. 判断下面推理是否正确 判断下面推理是否正确: (1) 前提：¬p→q, ¬q 前提： → 结论： 结论：¬p ∧¬q→¬ 推理的形式结构: ¬ → ∧¬ →¬p 解 推理的形式结构 (¬p→q)∧¬ →¬ 方法一：等值演算法 方法一： (¬p→q)∧¬ →¬ ∧¬q→¬ ¬ → ∧¬ →¬p ∧¬q)∨¬ ⇔ ¬((p∨q)∧¬ ∨¬ ∨ ∧¬ ∨¬p ∧¬q)∨ ∨¬ ∨¬p ⇔ (¬p∧¬ ∨q∨¬ ¬ ∧¬ ∨¬p ⇔ ((¬p∨q)∧(¬q∨q))∨¬ ¬ ∨ ∧ ¬ ∨ ∨¬ ⇔ ¬p∨q ∨ 易知10是成假赋值，不是重言式，所以推理不正确 易知 是成假赋值，不是重言式，所以推理不正确. 是成假赋值
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例4 前提：¬(p∧q)∨r, r→s, ¬s, p 前提： ∧ ∨ → 结论： 结论：¬q 证明 用归缪法 ①q 结论否定引入 ② r→s → 前提引入 ③ ¬s 前提引入 ②③拒取式 ④ ¬r ②③拒取式 ⑤ ¬(p∧q)∨r ∧ ∨ 前提引入 ④⑤析取三段论 ⑥ ¬(p∧q) ∧ ④⑤析取三段论 ∨¬q ⑦ ¬p∨¬ ∨¬ ⑥置换 ①⑦析取三段论 ⑧ ¬p ①⑦析取三段论 ⑨p 前提引入 ⑧⑨合取 ¬p∧p ∧ ⑧⑨合取

第三章集合与关系
3.等价类性质 R是A上等价关系，任意a,b,c∈A
⑴同一个等价类中的元素，彼此有等价关系R。 即任意x,y∈[a]R，必有<x,y>∈R
证明：任取x,y∈[a]R，由等价类定义得，<a,x>∈R, <a,y>∈R ,由R对称得，<x,a>∈R，又由R传递得
<x,y>∈R。 ⑵ [a]R∩[b]R=Φ， 当且仅当 <a,b>R。 证明:(充分性)设<a,b>R，假设[a]R∩[b]R≠Φ,则存在
所以商集A/R是A的一个划分。
定理2： 设R1和R2是非空集合A上的等价关系，则 R1=R2当且仅当A/R1=A/R2 。
(这个定理显然成立。)
第三章集合与关系
证明:(必要性) 因为A/R1={[a]R1 |a∈A}； A/R2={[a]R2 |a∈A}，由于R1=R2，对任意的 a∈A有 [a]R1={x|x ∈A,<a,x>∈R1} ={x|x ∈A,<a,x>∈R2}= [a]R2 即A/R1=A/R2 。 (充分性)对任意的<a,b>∈R1 a ∈[a]R1∧ b∈[a]R1
A/R={[a]R |a∈A} 例如A={1,2,3,4,5,6,7} , R上模3同余关系，则
A/R= {[1]R,[2]R,[3]R} ={{1,4,7},{2,5},{3,6}}
练习 X={1,2,3},X上关系R1、R2 、R3，如上图所示。
X/R1={[1]R1,[2]R1,[3]R1}={{1},{2},{3}}
3-12 序关系
第三章集合与关系
次序关系也是常遇到的重要关系，例如： 数值的≤、＜、≥、＞关系； 集合的、关系； 图书馆的图书按书名的字母次序排序； 词典中的字(词)的排序； 计算机中文件按文件名排序； 程序按语句次序执行；…….

第3章 集合的基本概念和运算
3.1 集合的基本概念
3.2 集合的基本运算
3.3 集合中元素的计数
3.1 集合的基本概念
1.子集:若 B⊆A⇔∀x(x∈B→x∈A),则称B为A的子集. 2.真子集:若 B⊆A ∧ B≠A,则称B为A的真子集. 3.集合相等: B⊆A ∧ A⊆B⇔A=B,称集合A与B相等. 4.空集:不含任何元素的集合称为空集.记作φ. 空集是一切集合的子集;空集是唯一的. 5.n元集:含有n个元素的集合称为n元集. 6.全集:如果所涉及的集合都是某个集合的子集,则称这个集 合为全集(E). 7.幂集:设A为集合,把A的全体子集构成的集合,称为A的幂集 记作P(A),P(A)={x|x⊆A}. 若A是n元集,则P(A)有2n个元集(n元集有2n个子集).
二.集合运算的算律 幂等律：A∪A=A, A∩A=A;
结合律: (A∪B)∪C=A∪(B∪C), (A∩B)∩C=A∩(B∩C); 交换律: A∪B=B∪A , A∩B=B∩A; 分配律: A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C), A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C); 同一律: A∪φ=A, 排中律: A∪～A=E; A∩E=A; 零律: A∪E=E, A∩φ=φ;
| Ai I A j I Ak | +... + ( −1) m | A1 I A2 I ...I Am | ∑
推论： 推论：在S中至少具有一条性质的元素数是
| A1 U A 2 U ... U A m |= +
1≤ i < j < k ≤ m
∑|A
i =1
m
i
|−
1≤ i < j ≤ m
∑|AI
i
二.包含排斥原理 包含排斥原理

射函数。
第三章 函数
二、反函数
1、定义1：设f：AB是双射，则逆关系 f -1：BA
是从B到A的函数，称为 f 的反函数。
记 f -1 ：BA。 由定义可知：当函数 f：AB的反函数存在，若 f (x) = y，则f -1 (y) = x 且
f f 1 I A , f 1 f I B
f 0 ( x) x n 1 n f ( x ) f ( f ( x ))
第三章 函数
(2) 定理2： 设f: A→B,则 f。IB=IA。f=f
(3) 定理3：设有函数f：AB，g：BC
① 若f ，g是单射，则f g也是单射。
② 若f ，g是满射，则f g也是满射。
所以 f。g={(x, 4x 2+4x+2)}， g。f={(x, 2x 2+3)}
f。f={(x, 4x+3)}， g。g={(x, x 4+2x 2+2)}
第三章 函数
2、性质：
⑴ 定理1：设有函数f：AB，g：BC，h：
CD，则f ( g h) 和( f g ) h都是函数，且
③ 若f ，g是双射，则f g也是双射。
注：定理3的逆不成立。
第三章 函数
例3：设A={ 1, 2, 3 }, B={ a, b, c, d }, C={ x, y, z }
令 f = {(1, a), (2, b), (3, c)},
g = {(a , x), (b, y), (c, z), ( d, z)}
f ( g h) = ( f g ) h = f g h 证明： f。(g。h)(x) =(g。h) (f (x))=h (g (f (x)) =h((f。g) (x))=(f。g)。h (x)

P ( A) = {φ , A}
第二节 集合的运算 内容： 内容：集合的运算，文氏图，运算律。 重点： 重点：(1) 掌握集合的运算
A ∪ B, A ∩ B, A − B, ~ A, A ⊕ B
(2) 用文氏图表示集合间的相互 关系和运算， (3) 掌握基本运算律的内容及运用。
一、集合的运算。 集合的运算。 集合 A, B 的并集 A ∪ B， 交集 A ∩ B，相对补集
三 包含排斥定理 设A和 B是两个有限集合，则 A ∪ B = A + B − A ∩ B ，
B 其中 A, B 分别表示 A、的元数．
把包含排斥定理推广到n个集合的情况可用如下定 理表述： 设A1 , A2 ,⋯ A为有限集合，其元数分别为 A , A ,⋯, A ，则 n
1 2 n
A1 ∪ A2 ∪ ⋯ ∪ An
A= B ⇔ A⊆ B∧B⊆ A
5、特殊的集合。 空集 φ 全集 E (或 U )
φ ⊆ A ⊆ E ( A 为任一集合)
例1、选择适当的谓词表示下列集合。 、 (1) 小于5的非负整数集 (2) 奇整数集合
{x | x ∈ N ∧ x < 5} {x | x = 2n + 1 ∧ n ∈ Z }
{ } (8) {a, b} ∈ {a, b, {{a, b}}}
(7) {a, b} ⊆ a, b, {{a, b}}
例3、A, B, C 为集合，若 A ∈ B 且B ∈ C ， 、 有可能 A ∈ C 吗，有可能 A ∉ C 吗？ 解：两种情形都有可能。 设 A = {a}, B = {{a}} , C = {{a}, {{a}}} ， 则 A ∈ B, B ∈ C ，有 A ∈ C 。 又设 A = {a}, B = {{a}} , C = {{{a}}}， 则 A ∈ B, B ∈ C ，但 A ∉ C 。