常用傅里叶变换+定理+各种变换规律(推荐)

物理意义
= exp(−i 2πux0 )
δ ( x − x0 )
一个位于 x0 点的 光脉冲
F.T.
经傅氏变换
exp(−i 2πux0 ) 一束 空间频率为 u 的
单位振幅平面波
3
二、梳状函数的傅里叶变换
F [comb( x)] = comb(u)
普遍型
F
comb
x a
=
a comb(au)
二维情况
2
2
2
comb(P)
rect(x)
sinc(P)
tri(x) cir (r )
sinc2 (P)
1
J1 (U )
一、δ 函数的傅里叶变换：
设： [δ ( x)] = ∆(u) ， [g( x)] = G(u)
由卷积定理知： g( x) ∗ δ ( x) = g( x)
等号两边作 傅里叶变换：
F.T.
㵍㬒⫇䊻㰖⳦巛㠞䄧㬒⭥䊬㰄Ⳟⳉ 㠞䄧巛㰖⳦㉚㬨ⰵ䓵⢅㑠 [ 巛 P 㡑䔘䇤᱄
㪉 [ f (x)] F(P) 䋓
[ f (ax r x0 )] b
­ ®f[Fra biblioteka(x
r
x0
)]½¾

¯ b a¿
b exp(r j2S x0 P) F(b P)
a
a
a
᷊᷉㘇〞ⰵ䇇⹹㻖
㪉 [ f (x)] F(P) 䋓䇱
常用函数的傅里叶变换
f (x)
F(P)
G (x)
1
exp(Sx2 ) x exp(Sx2 )
exp(SP 2 ) jP exp(SP 2 )
cos(Sx)
sin(Sx)
comb( x)
GG (P) jGG (P)
1 [G (P 1) G (P 1)]
2
2
2
j [G (P 1) G (P 1)]
况
=F [rect( x)]•F [rect( x)]
= sinc(u) • sinc(u)
= sinc2 (u)
结论: 三角形函数的傅里叶变换是 sinc 函数的平方
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七、符号函数的傅里叶变换
F [sgn( x)] = 1
jπu
二维 F [sgn( x)sgn( y)] = 1 • 1
jπu jπv
³ ³ f
f (x)dx
F(0) f F(P)dP
f (0)
f
f
᷊᷉ I᷉[᷊㤛㼀㻣㘇〞⭩䇻 F(0) ᷍㒄㠖⭩䇻凵
Gaus（x） F.T. Gaus（u）
7
五、余弦函数的傅里叶变换
F [cos（2πu0x） ] 其中 u0 = 1 / Τ Τ 为周期 ∞
= ∫ [cos2πu0 x ]• exp[− j2πux]dx
−∞
∫ =
∞ −∞
1 2
[exp(
j
2πu0
x)
+
exp(-
j
2πu0
x
)
]
F (u)
• exp[− j2πux]dx
F.T.
F.T.
G(u) • ∆(u) = G(u)
∆(u) = 1
（1-55）
即： F [δ ( x)] = 1
F [1] =δ ( x)（1-56）
物理意义 一个 光脉冲 的傅氏变换
是一束 空间频率为 0 的 单位振幅平面波
反之亦然 2
普遍型
F [δ ( x − x0 )] = ?
由位移定理：F [δ ( x − x0 )] =F [δ ( x)]• exp(−i 2πux0 )
˄˅⴨լᙗᇊ⨶˖ྲ᷌ F^g x ` G fx
˄㕙઼᭮৽╄ᇊ⨶˅
ࡉᴹ
F^g ax ` 1 G¨§ f x ¸·
a ©a¹
˄অ㕍㹽ሴˈ㕍ゴ㹽ሴਈᇭ˅
˄˅ս〫ᇊ⨶˖ྲ᷌ F^g x ` G fx
ࡉᴹ F^g x a ` G fx exp j2Sfxa
࠭ᮠ൘オฏѝⲴᒣ〫ˈᑖᶕ仁ฏѝⲴ⴨〫
= a sinc(au)
证明：根据相似性定理
6
四、高斯函数的傅里叶变换
Gaus(x) = exp[- πx2]
推导一维情况
F [Gaus(x) ]= F { exp[- πx2]}
∞
= ∫ exp[-πx2 ]• exp[− j2πux]dx −∞
= exp[- πu2]
= Gaus(u)
结论：
a
ρ
半径
请自行证明
11
七、step函数的傅里叶变换
F [step( x)] = 1 + 1 δ (u)
j2πu 2
请自行证明 提示：
利用关系式
2step( x) - 1 = sgn( x)
以及傅里叶变换的定理进行推导
12
ࡳ஝ሀؐওު஛
˄˅㓯ᙗᇊ⨶˖ྲ᷌ F^g x ` G fx , F^h x ` H fx ˄⌒Ⲵਐ࣐৏⨶˅ ࡉᴹ F^Dg x Eh x ` DG fx EH fx
F
comb
x comb a
y b
= ab comb(au)comb(bv)
结论
comb 函数的
傅里叶变换 仍是
comb 函数
证明请查阅有关参考书
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三、矩形函数的傅里叶变换 F [rect( x)] = ?
根据定义
∞
F [rect( x)] = ∫ rect( x) • exp(− j2πux)dx
਼ᰦ F^g x exp j2Sfax ` G fx fa ࠭ᮠ൘オฏѝⲴ⴨〫ˈᑖᶕ仁ฏѝⲴᒣ〫
㪉 [ f (x)] F(P) ᷍ x0 㬨⤜㸋㒄⭥㬖⧄㭞᷍䋓䇱
[ f (x r x0 )] exp(r j2SPx0 ) F(P) ᷉㠞䄧㾵䐫᷊
[exp(r j2SP0x) f (x)] F(P P0 ) ᷉㼁䄧㾵䐫᷊
留待推算
八、exp[ jπx] 函数的傅里叶变换 F {exp[ jπx]} = δ (u − 1 )
2
请自行证明
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七、圆域函数的傅里叶变换
F [circ( x2 + y2 )] = J1(2πρ ) ρ
一阶第一类贝塞尔函数
普遍型：
F [circ( x 2 + y2 )] = J1(2πaρ )
1/2
=
1 2
[δ (u − u0 ) + δ (u +
u0 )]
-u0 0 u0 u
结论:余弦函数的傅里叶变换是 δ 函数组合
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六、三角形函数的傅里叶变换
推导
F [Λ( x)] = ?
一 已知 Λ( x) = rect( x) ∗ rect( x)
维
情
F [Λ( x)] =F [rect( x) ∗ rect( x)]
−∞ 1/ 2
= ∫ exp(− j2πux)dx
rect
x a
=
1, 0,
−1/ 2
=1
1/2
exp(− j2πux)
− j2πu
-1/2
= sin(πu) πu
结论：
x ≤a 2
其它
= sinc(u) rect（x） F.T. sinc（u）
5
普遍型
F
rect
x a
= a sin(πau) πau