常用傅立叶变换表
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常用傅立叶变换表
时域信号
弧频率表示的
傅里叶变换
注t)+b・h(t)
iGV) + b・H(f)
线性
2
g(f —q)
「如叮G(f)
时域平移
3
广勺(t)
W)
频域平移，变换2的频域对应
4
g(at)
如果hl值较大，则g(m)会收缩 到原点附近，而间丿会扩
散并变得扁平.当丨$丨趋向 无穷时，成为Delta函数。
2
由变换1和25得到，应用了：cos （at）=（尹 +e F）/2.
22
sin(at)
灯-刼-幻+知
21
由变换1和25得到
23
tn
（2；）网⑺
这里，n是一个.6®（3）是狄拉 克5函数分布的力阶微分。这个变换 是根据变换7和24得到的。将此变 换与1结合使用，我们可以变换所 有。
24
1
1
一沏•sgn(/)
Mrec,(0
变换10的频域对应。矩形函数是理 想的低通滤波器，是这类滤波器对冲 击的响应。
11
sine2(at)
右'trl(0
tri是
12
tri (at)
变换12的频域对应
13
e~°^
/7T(“2
低•…
exp(-a r)的傅里叶变换是他 本身.只有当Re(a)> 0时，这是 可积的。
14
cos(al2)
W)
15
sin (at2)
卜(卓)
16
e-a|t|
2a
3>0
a2H-47T2/2
17
1丽
1
丽
变换本身就是一个公式
18
弧频率表示的
傅里叶变换
注t)+b・h(t)
iGV) + b・H(f)
线性
2
g(f —q)
「如叮G(f)
时域平移
3
广勺(t)
W)
频域平移，变换2的频域对应
4
g(at)
如果hl值较大，则g(m)会收缩 到原点附近，而间丿会扩
散并变得扁平.当丨$丨趋向 无穷时，成为Delta函数。
2
由变换1和25得到，应用了：cos （at）=（尹 +e F）/2.
22
sin(at)
灯-刼-幻+知
21
由变换1和25得到
23
tn
（2；）网⑺
这里，n是一个.6®（3）是狄拉 克5函数分布的力阶微分。这个变换 是根据变换7和24得到的。将此变 换与1结合使用，我们可以变换所 有。
24
1
1
一沏•sgn(/)
Mrec,(0
变换10的频域对应。矩形函数是理 想的低通滤波器，是这类滤波器对冲 击的响应。
11
sine2(at)
右'trl(0
tri是
12
tri (at)
变换12的频域对应
13
e~°^
/7T(“2
低•…
exp(-a r)的傅里叶变换是他 本身.只有当Re(a)> 0时，这是 可积的。
14
cos(al2)
W)
15
sin (at2)
卜(卓)
16
e-a|t|
2a
3>0
a2H-47T2/2
17
1丽
1
丽
变换本身就是一个公式
18
常用傅立叶变换表完整版
常用傅立叶变换表
Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】
18
δ(ω) 代表分布. 这个变换展示了狄拉克δ函数的重要性：该函数是常函数的傅立叶变换
19 变换23的频域对应
20 由变换3和24得到.
21
由变换1和25得到，应用了:
时域信号
弧频率表示的 傅里叶变换
注释
1线性
2 时域平移
3 频域平移, 变换2的频域对应
4
如果
值较大，则
会收缩到
原点附近，而会扩散并变得扁平. 当 | a | 趋向无穷时，成为 Delta 函数。
5 傅里叶变换的二元性性质。
通过交换时域变量 和频域变量 得到. 6 傅里叶变换的微分性质 7 变换6的频域对应 8 表示 和 的卷积 — 这就是 9
和归一化的 10 变换10的频域对应。
矩形函数是理想的低通滤波器，是这类滤波器对冲击的响应。
11
tri 是 12 变换12的频域对应 13 exp( αt 2) 的傅里叶变换是他本身. 只有当 Re(α) > 0时，这是可积的。
14
15
16 a>0
17
变换本身就是一个公式。
常用傅里叶变换表
G ⑴ 1 2 3 g(M) 4 a a 5 6 7 2T T dt n 注释 5(0=| 盘・g ⑴+ b ・h(t\ 线性 QT 如吋G(f) 曲一。
） 时域平移 频域平移，变换2的频域对应 如果Ml 值较大，则ggt ）会收缩到原 会扩散并变得 b (-f) 阳刀切 傅里叶变换的微分性质 变换6的频域对应弧频率表示的 傅里叶变换 傅里叶变换的二元性性质。
通过交换 时域变量f 和频域变量 3得到. '用 G(f) 时域信号 「gg 叫才 J _8 点附近，而kl 扁平.当| a |趋向无穷时，成为 Delta 函数。
18 S ( 3 )代表狄拉克S函数分布• 这个变换展示了狄拉克S函数的重要性：该函数是常函数的傅立叶变换19 变换23的频域对应20 由变换3和24得到.21 cos(at)2223242526 sgn(t)27 u(f) 咐-卸+刃十知由变换1和25得到，应用了欧拉公式：cos( at) = ( e iat + e - iat) / 2.卩(于一薛)一d"十盏) 2i-仙*Sgll：/)一卅黑；'唧(f)"(刀由变换1和25得到这里,n是一个自然数.S (n)( 3 ) 是狄拉克S函数分布的n阶微分。
这个变换是根据变换7和24得到的。
将此变换与1结合使用，我们可以变换所有多项式。
此处sgn( 3)为符号函数；注意此变换与变换7和24是一致的.变换29的推广.变换29的频域对应.此处u(t)是单位阶跃函数；此变换根据变换1和31得到.。
常用信号的傅里叶变换
解法二: 调制) (
ω1 Sa (ω 1t ) 2 cos ω c t f 5 ( t ) = f ( t ) 2 cos ω c t = π
东南大学 信息科学与工程学院
若再有 6 (ω ) = (ω ωc )t1
f 6 (t ) = f 5 (t t1 )
则
若又有 7
=
2ω1
π
Sa [ω1 (t t1 )] cos[ ω c (t t1 )]
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8. 周期信号
An jnΩt 2π fT (t ) = ∑ e , Ω = T n=∞ 2
+∞
+∞ +∞
An FT ( jω) = ∑ 2πδ(ω nΩ) = π ∑ An δ(ω nΩ) 则 n=∞ 2 n=∞
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9. 周期性冲激序列
f (t ) = =
π 4ω = {δ(ω+ ωc ) + δ(ω ωc )}+ 2 2 2 j(ω ωc )
东南大学 信息科学与工程学院
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4. 尺度变换(比例)性质:
1 ω f ( at ) F( j ) |a | a , a ≠ 0
< Bτ = 常数 >
例:
f ( at t 0 ) ?
j
ω
a
t0
=
dF ( j ω ) j ω dF ( j ω ) j e = e dω dω
j (ω +
π
2
)
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8. 卷积定理 (1) 时域卷积定理: f1 (t ) * f 2 (t ) F1 ( jω) F2 ( jω)
ω1 Sa (ω 1t ) 2 cos ω c t f 5 ( t ) = f ( t ) 2 cos ω c t = π
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若再有 6 (ω ) = (ω ωc )t1
f 6 (t ) = f 5 (t t1 )
则
若又有 7
=
2ω1
π
Sa [ω1 (t t1 )] cos[ ω c (t t1 )]
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8. 周期信号
An jnΩt 2π fT (t ) = ∑ e , Ω = T n=∞ 2
+∞
+∞ +∞
An FT ( jω) = ∑ 2πδ(ω nΩ) = π ∑ An δ(ω nΩ) 则 n=∞ 2 n=∞
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9. 周期性冲激序列
f (t ) = =
π 4ω = {δ(ω+ ωc ) + δ(ω ωc )}+ 2 2 2 j(ω ωc )
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4. 尺度变换(比例)性质:
1 ω f ( at ) F( j ) |a | a , a ≠ 0
< Bτ = 常数 >
例:
f ( at t 0 ) ?
j
ω
a
t0
=
dF ( j ω ) j ω dF ( j ω ) j e = e dω dω
j (ω +
π
2
)
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8. 卷积定理 (1) 时域卷积定理: f1 (t ) * f 2 (t ) F1 ( jω) F2 ( jω)
常用傅里叶变换
常用傅里叶变换角频率表示的弧频率表示的时域信号注释傅里叶变换傅里叶变换1 线性2 时域平移3 频域平移，变换2的频域对应如果值较大，则会收缩4 到原点附近，而会扩散并变得扁平.当| a | 趋向无穷时，成为狄拉克δ函数。
傅里叶变换的二元性性质。
通过交5 换时域变量和频域变量得到. 6 傅里叶变换的微分性质7 变换6的频域对应表示和的卷积—这就是8卷积定理 9 变换8的频域对应。
[编辑]平方可积函数角频率表示的弧频率表示的时域信号注释傅里叶变换傅里叶变换矩形脉冲和归一化10 的sinc函数变换10的频域对应。
矩形函数是理想的低通滤波器，11 sinc函数是这类滤波器对反因果冲击的响应。
12 tri 是三角形函数13 变换12的频域对应高斯函数exp( ?2αt)的傅里叶变换14 是他本身.只有当Re(α) > 0时，这是可积的。
15 光学领域应用较多161718 a>0变换本身就是一个19 公式J(t) 是0阶第一020 类贝塞尔函数。
上一个变换的推广形式; T(t) 是第n21 一类切比雪夫多项式。
U (t)是第二类切n 22 比雪夫多项式。
[编辑]分布角频率表示的弧频率表示的时域信号注释傅里叶变换傅里叶变换δ(ω)代表狄拉克δ函数分布.这个变换展示了狄拉23 克δ函数的重要性:该函数是常函数的傅立叶变换 24 变换23的频域对应25 由变换3和24得到.由变换1和25得到，应用26 了欧拉公式: cos(at) = iat? iat (e + e ) / 2. 27 由变换1和25得到这里, n是一个自然(n)数.δ(ω)是狄拉克δ函数分布的n阶微分。
这个变28 换是根据变换7和24得到的。
将此变换与1结合使用，我们可以变换所有多項式。
此处sgn(ω)为符号函数;29 注意此变换与变换7和24 是一致的. 30 变换29的推广.31 变换29的频域对应.此处u(t)是单位阶跃函数;32 此变换根据变换1和31得到.u(t)是单位阶跃函数，且a > 33 0.狄拉克梳状函数——有助34 于解释或理解从连续到离散时间的转变.[编辑]二元函数角频率表示的弧频率表示的时域信号注释傅里傅里叶变换叶变换两个函数都是高斯函数，而且可能都没有单位体积.此圆有单位半径，如果把circ(t)认作阶梯函数u(1-t); Airy分布用J (1阶第一类贝塞尔1 函数)表达; f是频率矢量的量值{f,f}. rxy三元函数角频率表示的弧频率表示的时域信号注释傅里叶变傅里叶变换换此球有单位半径;f是频率矢量的量值r {f,f,f}. xyz。
常用傅里叶变换表
时域信号
弧频率表示的 傅里叶变换
注释
1
线性
2
时域平移
3
频域平移, 变换2的频 域对应
如果 值较大，则 会收缩到原点附
4
近，而
会扩
散并变得扁平. 当 |
a | 趋向无穷时，成
为 Delta函数。
傅里叶变换的二元性
5
性质。通过交换时域 变量 和频域变量
得到.
6
傅里叶变换的微分性 质
7
变换6的频域对应
表示 和 的卷
和31得到.
28
u(t)是单位阶跃函数， 且 a > 0.
狄拉克梳状函数——有
34
助于解释或理解从连续
到离散时间的转变.
8
积 — 这就是卷积定
理
9
矩形脉冲和归一化的 sinc函数
变换10的频域对应。矩
形函数是理想的低通滤
10
波器，sinc函数是这类
滤波器对反因果冲击的
响应。
11
tri 是三角形函数
12
变换12的频域对应
高斯函数 exp( −
αt2) 的傅里叶变换是
13
他本身. 只有当
Re(α) > 0时，这是可
积的。
这里, n 是一个自然
数. δ(n)(ω) 是狄拉
克δ函数分布的n阶微
23
分。这个变换是根据变
换7和24得到的。将此
变换与1结合使用，我
们可以变换所有多项
式。
此处sgn(ω)为符号函
24
数；注意此变换与变换
7和24是一致的.
25
变换29的推广.
26
变换29的频域对应.
弧频率表示的 傅里叶变换
注释
1
线性
2
时域平移
3
频域平移, 变换2的频 域对应
如果 值较大，则 会收缩到原点附
4
近，而
会扩
散并变得扁平. 当 |
a | 趋向无穷时，成
为 Delta函数。
傅里叶变换的二元性
5
性质。通过交换时域 变量 和频域变量
得到.
6
傅里叶变换的微分性 质
7
变换6的频域对应
表示 和 的卷
和31得到.
28
u(t)是单位阶跃函数， 且 a > 0.
狄拉克梳状函数——有
34
助于解释或理解从连续
到离散时间的转变.
8
积 — 这就是卷积定
理
9
矩形脉冲和归一化的 sinc函数
变换10的频域对应。矩
形函数是理想的低通滤
10
波器，sinc函数是这类
滤波器对反因果冲击的
响应。
11
tri 是三角形函数
12
变换12的频域对应
高斯函数 exp( −
αt2) 的傅里叶变换是
13
他本身. 只有当
Re(α) > 0时，这是可
积的。
这里, n 是一个自然
数. δ(n)(ω) 是狄拉
克δ函数分布的n阶微
23
分。这个变换是根据变
换7和24得到的。将此
变换与1结合使用，我
们可以变换所有多项
式。
此处sgn(ω)为符号函
24
数；注意此变换与变换
7和24是一致的.
25
变换29的推广.
26
变换29的频域对应.
常用傅里叶变换表
弧频率表示的时域信号注释傅里叶变换线性1时域平移2频域平移3, 变换2的频域对应会收缩值较大，则如果4会扩而到原点附近，a趋向 | | . 散并变得扁平当无穷时，成为函数。
Delta 通过傅里叶变换的二元性性质。
5交换时域变量和频域变量.得到6傅里叶变换的微分性质变换76的频域对应表示和的卷积—这8就卷积定9矩形脉冲和归一化的sinc函数变换10的频域对应。
矩形函数是理想的低通滤波器，sinc函数是这类10 滤波器对反因果冲击的响应。
tri是三角形函数 1112变换12的频域对应2t) ?α的傅里叶变 exp( 高斯函数换是他本身. 只有当 Re(α) 13> 0时，这是可积的。
1415a>0 1617变换本身就是一个公式δ(ω) 代表狄拉克δ函数分布.这个变换展示了狄拉克18δ函数的重要性：该函数是常函数的傅立叶变换19变换23的频域对应20由变换3和24得到.由变换1和25得到，应用了欧拉公21iat?iat eeat) / 2.式: cos() = ( +22由变换1和25得到n)(n(ω) . δ这里, 自然数是一个n阶微分。
函数分布的是狄拉克δ这个变换是根据变换237和24得到的。
将此变换与1结合使用，我们可以变换所有多项式。
此处sgn(ω)为符号函数；注意此变24换与变换7和24是一致的.25变换29的推广.26变换29的频域对应.ut)是单位阶跃函数此处(; 此变换27根据变换1和31得到.uta > 0.，且()是单位阶跃函数28狄拉克梳状函数——有助于解释或34 理解从连续到离散时间的转变.。
傅里叶变换的基本性质与常用函数的傅里叶变换
1FoFo
2
f (t)sinot
j FoFo
时域微分
df(t) dt
j F
dnf(t) dtn
n
j F
频域微分
jtf (t)
dF
d
n
jt f(t)
dnF
dn
时域积分
t
f( )d
1
—FF o
j
时域卷积
fi(t)f2(t)
F1F2
乘积与卷积
频域卷积
fl(t) f2(t)
—F1F2
2
t
2t
时域抽样
ftt nTo
精选文档
傅里叶变换的基本性质
性质
时域
频域
时频域对应关系
线性
n
aifi(t)
i1
n
aF()
i 1
线性叠加
对称性
F(t)
2 f()
对称
尺度变换
f(at)
1
口F（一） 囘a
压缩与扩展
f( t)
F()
反褶
时移
f (tto)
F( )ej to
时移与相移
频移
f (t)ej ot
F(o)
调制与频移
f (t)cosot
n
12 n
F
To nT)
抽样与重复
频域抽样
1上2 n
—f t——
0 n0
Fn0
n
相关
R12
R21
FiF2
FiF2
自相关
R
|F|2
常用信号的傅里叶变换表
信号名称
时间函数
频谱函数
单边指数脉冲
eatu t a 0
2
f (t)sinot
j FoFo
时域微分
df(t) dt
j F
dnf(t) dtn
n
j F
频域微分
jtf (t)
dF
d
n
jt f(t)
dnF
dn
时域积分
t
f( )d
1
—FF o
j
时域卷积
fi(t)f2(t)
F1F2
乘积与卷积
频域卷积
fl(t) f2(t)
—F1F2
2
t
2t
时域抽样
ftt nTo
精选文档
傅里叶变换的基本性质
性质
时域
频域
时频域对应关系
线性
n
aifi(t)
i1
n
aF()
i 1
线性叠加
对称性
F(t)
2 f()
对称
尺度变换
f(at)
1
口F（一） 囘a
压缩与扩展
f( t)
F()
反褶
时移
f (tto)
F( )ej to
时移与相移
频移
f (t)ej ot
F(o)
调制与频移
f (t)cosot
n
12 n
F
To nT)
抽样与重复
频域抽样
1上2 n
—f t——
0 n0
Fn0
n
相关
R12
R21
FiF2
FiF2
自相关
R
|F|2
常用信号的傅里叶变换表
信号名称
时间函数
频谱函数
单边指数脉冲
eatu t a 0
常用的傅里叶变换+定理+各种变换的规律(推荐)
a + jω (a + jω ) 2 + ω 02
e − at sin ω 0tu (t ), Re{a} > 0
te − at u (t ), Re{a} > 0 t k −1e − at u (t ), Re{a} > 0 (k − 1)!
ω0 (a + jω ) 2 + ω 02
1 ( a + jω ) 2 1 ( a + jω ) k 1 ,τ > 0 (τ − jt ) 2 2πωe −τω u (ω )
重 要
名称
连续傅里叶变换对 傅里叶变换 F (ω ) 连续时间函数 f (t )
W
√
⎧ ⎪ 1, t < τ f (t ) = ⎨ ⎪ ⎩0, t > τ ⎧ ⎪1 − t τ , t < τ f (t ) = ⎨ 0, t > τ ⎪ ⎩
τSa (
ωτ
2
)
π
Sa (Wt )
⎧ ⎪ 1, ω < W F (ω ) = ⎨ ⎪ ⎩0, ω > W ⎧ ⎪1 − ω W , ω < W F (ω ) = ⎨ 0, ω > W ⎪ ⎩
㵍㬒⫇䊻㰖⳦巛㠞䄧㬒⭥䊬㰄Ⳟⳉ
㠞䄧巛㰖⳦㉚㬨ⰵ䓵⢅㑠 [ 巛 P 㡑䔘䇤᱄ 㪉
[ f ( x)] F (P ) 䋓
x0 ½ a ® f [ ( x r )]¾ a ¿ ¯ b
ax r x0 [f( )] b
x0 b b exp(r j 2S P ) F ( P ) a a a
= sinc( u)
−1 / 2
∫ exp(− j 2πux )dx
a x ≤ 2 其它
常用傅里叶变换表
咼斯函数exp(-at2)的傅里叶 变换是他本身•只有当Re(a) > 0时，这是可积的。
14
cos(af2)
V2/27r\
、也-2丿
15
sill (tzf2ຫໍສະໝຸດ 162a~|a2+47T2/3
a>0
17
1
1 1
J/||
变换本身就是一个公式
S(3)代表狄拉克S函数分布•
这个变换展示了狄拉克S函数的重
要性：该函数是常函数的傅立叶变换
24
1
一加-sgn(H
此处sgn(3)为符号函数：注意此变
换与变换7和24是一致的.
时域信号
弧频率表示的
傅里叶变换
注释
1/oo .
——I血
©(£)^\/2^J_w
日(/)』＞ 忙叫1
1
a・5(i)+b•h(t.)
“GV) + b・H⑴
线性
2
g(£-a)
e一伽可GJ)
时域平移
3
宀(t)
F(V)
频域平移，变换2的频域对应
4
—
Iff(at)
|a|G(J
如也皿值较大，则畑会收缩
LLg?^]_
1忆
…sine
a
矩形脉冲和归一化的sine函数
10
sinc(at)
1
…rcct
(9
变换10的频域对应。矩形函数是理 想的低通滤波器，sine函数是这类 滤波器对反因果冲击的响应。
11
sine2(<zt)
1
「(
i]
tri是三角形函数
12
tri(at)
1
严(£
变换12的频域对应
14
cos(af2)
V2/27r\
、也-2丿
15
sill (tzf2ຫໍສະໝຸດ 162a~|a2+47T2/3
a>0
17
1
1 1
J/||
变换本身就是一个公式
S(3)代表狄拉克S函数分布•
这个变换展示了狄拉克S函数的重
要性：该函数是常函数的傅立叶变换
24
1
一加-sgn(H
此处sgn(3)为符号函数：注意此变
换与变换7和24是一致的.
时域信号
弧频率表示的
傅里叶变换
注释
1/oo .
——I血
©(£)^\/2^J_w
日(/)』＞ 忙叫1
1
a・5(i)+b•h(t.)
“GV) + b・H⑴
线性
2
g(£-a)
e一伽可GJ)
时域平移
3
宀(t)
F(V)
频域平移，变换2的频域对应
4
—
Iff(at)
|a|G(J
如也皿值较大，则畑会收缩
LLg?^]_
1忆
…sine
a
矩形脉冲和归一化的sine函数
10
sinc(at)
1
…rcct
(9
变换10的频域对应。矩形函数是理 想的低通滤波器，sine函数是这类 滤波器对反因果冲击的响应。
11
sine2(<zt)
1
「(
i]
tri是三角形函数
12
tri(at)
1
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变换12的频域对应
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常用傅立叶变换表 Prepared on 22 November 2020
18
δ(ω) 代表分布. 这个变换展示
了狄拉克δ函数的重要性：该函
数是常函数的傅立叶变换
时域信号
弧频率表示的
傅里叶变换
注释
1线性
2时域平移
3频域平移, 变换2的频域对应
4如果值较大，则会收缩
到原点附近，而会扩散并变得扁平. 当 | a | 趋向无穷时，成为 Delta函数。
5傅里叶变换的二元性性质。
通过交换时域变量和频域变量
得到.
6傅里叶变换的微分性质7变换6的频域对应
8
表示和的卷积—这就是
9和归一化的
10变换10的频域对应。
矩形函数是理想的低通滤波器，是这类滤波器对冲击的响应。
11tri是
12变换12的频域对应
13 exp( αt2) 的傅里叶变换是他本身. 只有当 Re(α) > 0时，这是可积的。
14
15
16a>0
17变换本身就是一个公式。