周期问题

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- 1 - 西童会教育学科教师辅导讲义

年 级： 五年级 辅导科目：数学 课时数：3

课 题 周期问题

教学目的 1.理解周期问题的意义。

2.掌握正确寻找周期数的方法。

3.掌握周期问题的解决公式。

教学内容

一、 复习知识

盈亏问题的基本关系式：

(盈亏)两次分得之差人数或单位数

(盈盈)两次分得之差人数或单位数

(亏亏)两次分得之差人数或单位数

注意1.条件转换 2.关系互换

鸡兔问题公式】

（1）已知总头数和总脚数，求鸡、兔各多少：

（总脚数-每只鸡的脚数×总头数）÷（每只兔的脚数-每只鸡的脚数）=兔数； 总头数-兔数=鸡数。

或者是（每只兔脚数×总头数-总脚数）÷（每只兔脚数-每只鸡脚数）=鸡数； 总头数-鸡数=兔数。

（2）已知总头数和鸡兔脚数的差数，当鸡的总脚数比兔的总脚数多时，可用公式

（每只鸡脚数×总头数-脚数之差）÷（每只鸡的脚数+每只兔的脚数）=兔数； 总头数-兔数=鸡数

或（每只兔脚数×总头数+鸡兔脚数之差）÷（每只鸡的脚数+每只免的脚数）=鸡数； 总头数-鸡数=兔数。

（3）已知总数与鸡兔脚数的差数，当兔的总脚数比鸡的总脚数多时，可用公式。

（每只鸡的脚数×总头数+鸡兔脚数之差）÷（每只鸡的脚数+每只兔的脚数）=兔数； 总头数-兔数=鸡数。

或（每只兔的脚数×总头数-鸡兔脚数之差）÷（每只鸡的脚数+每只兔的脚数）=鸡数； 总头数-鸡数=兔数。

（4）得失问题（鸡兔问题的推广题）的解法，可以用下面的公式：

（1只合格品得分数×产品总数-实得总分数）÷（每只合格品得分数+每只不合格品扣分数）=不合格品数。或者是总产品数-（每只不合格品扣分数×总产品数+实得总分数）÷（每只合格品得分数+每只不合格品扣分数）=不合格品数。

（5）鸡兔互换问题（已知总脚数及鸡兔互换后总脚数，求鸡兔各多少的问题），可用下面的公式：

〔（两次总脚数之和）÷（每只鸡兔脚数和）+（两次总脚数之差）÷（每只鸡兔脚数之差）〕÷2=鸡数；

〔（两次总脚数之和）÷（每只鸡兔脚数之和）-（两次总脚数之差）÷（每只鸡兔脚数之差）〕÷2=兔数。

二、知识梳理 西童会教育 中国领先的个性化教育品牌

- 2 - 1、按照一定规律不断重复出现的问题是周期问题。

2、总数÷周期数＝组数 整除时，为周期中的最后一个。

总数÷周期数＝组数„„余数 有余数时，余几就在周期数中数几。

三、精讲精练

例1：2001年10月1日是星期一，问10月25日是星期几？

解析：我们知道，每个星期有7天，也就是说以7天为一个周期不断地重复。那么从10月1日到10月25日经过了25—1=24（天）。因此用除法算式解答。

(注：在计算日期的过程中，日期一般“算头不算尾”数星期的时候也要从当天的后面数起。本题中的当天是星期一，应该从星期二数起。)

【巩固1】2001年5月3日是星期四，问5月20日是星期几？

解析：天数比较少，容易计算，而且出现在同一个月内。

【巩固2】公历2000年1月1日是星期六，公历2008年1月1日是星期几？

解析：先求出从公历2000年1月1日到公历2008年1月1日一共经过的天数，其中平年有6年，闰年有2年，最后还有2008年1月1日这一天。

例2：100个3相乘，积的个位数字是几？

解析：我们只需考虑积的个位数的排列规律就可以了。

【巩固1】23个3相乘，积的个位数字是几？

【巩固2】100个2相乘，积的个位数字是几？

例3：

A B C A B C A B „„

万 事 如 意 万 事 如 意 „„

上表是中，每一列两个符号组成一组，如第一组“A万”，第二组“B事”，„„问第20个组是什么？

解析：观察上表，发现有两个独立的排列规律。上面一组是以“A、B、C”三个字母为一个周期重复出现的，下一组是以“万、事、如、意”四个字为一个周期重复出现的。要求出第20个组是什么，就要分别求出上下两行各是什么才行。

【巩固】

表中每一列两个符号为一组，如：第一组为“A1”，第二组为“B2”，„„问第25 组是什么？

例4：有一列数按“432791864327918643279186„„”排列. 那么前54个数字之和是多少？ A B C D A B C D „„

1 2 3 1 2 3 1 2 „„ 西童会教育 中国领先的个性化教育品牌

- 3 - 解析：观察发现，重复出现的部分是“43279186”，周期数是8. 要求出这列数字的和，就要求出这一列数里共有多少组“43279186”，再求出这组的和.

【巩固】有一列数按“294736294736294„„”排列. 那么前40个数字之和是多少？

解析：一个周期的数字是：294736，周期数是6.

例5：小红买了一本童话书，每两页文字之间有3页插图，也就是说3页插图前后各有1页文字，如果这本书有128页，而第1页是文字，这本书共有插图多少页？

解析：已知这本书3页插图前后各有1页文字，也就是说这本书是按“1页文字3页插图”的规律重复排列的，把“1页文字3页插图”看做一周期。

例题6、 流水线上生产小木球涂色的次序是：先5个红，再4个黄，再3个绿，再2个黑，再1个白，然后又依次5红、4黄、3绿、2黑、1白„„如此涂下去，到2001个小球该涂什么颜色？

【思路导航】根据题意可知，小木球涂色的次序是5红、4黄、3绿、2黑、1白，即5＋4＋3＋2＋1=15个球为一个周期，不断循环。因为2001÷15=133„„6，也就是经过133个周期还余6个，每个周期中第6个是黄的，所以第2001个球涂黄色。

巩固1.跑道上的彩旗按“三面红、两面绿、一面黄”的规律插下去，第50面该插什么颜色？

2.有一串珠子，按4个红的，3个白的，2个黑的顺序重复排列，第160个是什么颜色？

【例题7】 有47盏灯，按二盏红灯、四盏蓝灯、三盏黄灯的顺序排列着。最后一盏灯是什么颜色的？三种颜色的灯各占总数的几分之几？

【思路导航】（1）我们把二盏红灯、四盏蓝灯、三盏黄灯这9盏灯看作一组，47÷9=5（组）„„2（盏），余下的两盏是第6组的前两盏灯，是红灯，所以最后一盏灯是红灯；

（2）由于47÷9=5（组）„„2（盏），所以红灯共有2×5＋2=12（盏），占总数的12/47；蓝灯共有4×5=20（盏），占总数的20/47；黄灯共有3×5=15（盏），占总数的15/47。

练习 1.有68面彩旗，按二面红的、一面绿的、三面黄的排列着，这些彩旗中，红旗占黄旗的几分之几？

2.黑珠和白珠共2000颗，按规律排列着：○●○○○●○○○●○○„„，第2000颗珠子是什么颜色的？其中，黑珠共有多少颗？

【例题8】 2001年10月1日是星期一，那么，2002年1月1日是星期几？ 西童会教育 中国领先的个性化教育品牌

- 4 - 【思路导航】一个星期是7天，因此7天为一个周期。10月1日是星期一，是第一个周期的第一天，再过7天即10月8日也是星期一。计算天数时为了方便，我们采用“算尾不算头”的方法，例如10月8日就用（8－1）÷7=1.没有余数说明8号仍是星期一。题中说从2001年10月1日到2002年1月1日，要经过92天，92÷7=13„„1.余1天就是从星期一往后数一天，即星期二。

练习1.2002年1月1日是星期二，2002年的六月一日是星期几？

2.如果今天是星期五，再过80天是星期几？

3. 下表中，将每列上下两个字组成一组，如第一组为（小热），第二组为（学爱）。求第460组是什么？

【例题9】 888„„8[100个8]÷7，当商是整数时，余数是几？

【思路导航】

从竖式中可以看出，被除数除以7，每次除得的余数以1、4、6、5、2、0不断重复出现。我们可以用100除以6，观察余数就知道所求问题了。100÷6=16„„4

余数是4说明当商是整数时，余数是1、4、6、5、2、0中的第4个数，即5。

练习：1.444„„4[100个4]÷3当商是整数时，余数是几？

2.444„„4[100个4]÷6当商是整数时，余数是几？

课后练习

1、2008年8月1日是星期三，问8月28日是星期几？

2、50个7相乘，积的个位数字是几？

3、有同样大小的红、白、黑球共120个，按先3个红的，后2个白的，再1个黑的排

列，问（1）、白球一共有多少个？（2）、第68个球是什么颜色球？

4、有一列数按“9453672945367294„„”排列。那么前50个数字之和是多少？ 西童会教育 中国领先的个性化教育品牌

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6、甲、乙、丙、丁四兄弟各收藏了一些宝石．每天早上他们都要聚在一起，重新分配宝石．分配的规则就是：宝石最多的人分给其他3人每人1颗．如果第1天早上分配完之后，甲、乙、丙、丁四人各有10、7、5、4颗宝石，那么第100天早上分完宝石后，四个人手中各有几颗宝石？

解析：先试着算一下开始几天四人的宝石数量，可以用下面这个表格来表示，

试着再往下填几行：

7、将奇数如下图排列，各列分别用A、B、C、D、E作为代表，则2007所在的列以哪个字母作为代笔？

1 10 7 5 4

2 7 8 6 5

3

4

5

A B C D E

1 3 5 7

15 13 11 9