第３７卷第３期 ２０１１年６月 兰州理工大学学报 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｌａｎｚｈｏｕ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ Ｖ０Ｌ ３７ Ｎ０．３ Ｊｕｎ．２０１１
文章编号：１６７３－５１９６（２０１１）０３－０１１９－０５
岩石统计损伤本构模型及对比分析
游 强 ，游 猛
（１．宜宾学院经济与管理学院，四川宜宾６４４０００；２．南华大学建筑工程与资源环境学院，湖南衡阳４２１００１）
摘要：损伤力学是研究岩石破坏过程中本构关系的一种有效手段．假定岩石微元强度分布服从Ｗｅｉｂｕｌ１分布和幂 函数分布的概率分布理论，将Ｄｒｕｃｋｅｒ－Ｐｒａｇｅｒ准则作为岩石统计分布变量，同时引入一个能够反映岩石微元破坏 部分承载力的修正系数，建立基于不同概率分布的岩石损伤统计本构模型，并用极值法求解模型参数．最后通过理 论结果和试验结果的对比分析发现：ｗｅｉｂｕｌ１分布比较适合于作为岩石微元强度的概率分布函数，而幂函数分布不 适合作为岩石微元强度的概率分布函数． 关键词：岩石；损伤；本构模型；Ｄｒｕｃｋｅｒ－Ｐｒａｇｅｒ准则；Ｗｌｅｉｂｕｌ１分布；幂函数分布 中图分类号：ＴＵ４５２ 文献标识码：Ａ
Ｓｔａｔｉｓｔｉｃａｌ ｄａｍａｇｅ ｃｏｎｓｔｉｔｕｔｉｖｅ ｍｏｄｅｌｓ ｏｆ ｒｏｃｋ ａｎｄ ｔｈｅｉｒ ｃｏｍｐａｒａｔｉｖｅ ａｎａｌｙｓｉｓ
ＹＯＵ Ｑｉａｎｇ ，ＹＯＵ Ｍｅｎｇ
（１．Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｅｃｏｎｏｍｉｃｓ ａｎｄ Ｍａｎａｇｅｍｅｎｔ，Ｙｉｂｉｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｙｉｎｂｉｎ ６４４０００，Ｃｈｉｎａ；２．Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆ Ｃｉｖｉｌ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ ａｎｄ Ｒｅｓｏｕｒｃｅ Ｅｎｖｉｍｎ— ｍｅｎｔ，Ｓｏｕｔｈ Ｃｈｉｎａ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｈｅｎｇｙａｎｇ ４２１００１ Ｈｕｎａｎ，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｄａｍａｇｅ ｍｅｃｈａｎｉｃｓ ｉｓ ａｎ ｅｆｆｅｃｔｉｖｅ ｍｅａｎｓ ｏｆ ｓｔｕｄｙｉｎｇ ｔｈｅ ｃｏｎｓｔｉｔｕｔｉｖｅ ｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐ ｉｎ ｔｈｅ ｐｒｏｃｅｓｓ
ｏｆ ｒｏｃｋ ｆａｉｌｕｒｅ．Ｂｙ ｐｒｅｓｕｍｉｎｇ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｏｆ ｒｏｃｋ ｅｌｅｍｅｎｔａｒｙ ｓｔｒｅｎｇｔｈ ｓｕｂｍｉｔｓ ｔｏ ｔｈｅ ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ
ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｔｈｅｏｒｙ ｏｆ Ｗｅｉｂｕｌ１ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ａｎｄ ｐｏｗｅｒ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ，ｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｌｙ，ａｎｄ ｔａｋｉｎｇ ｔｈｅ Ｄｒｕｃｋｅｒ－Ｐｒａｇｅｒ ｃｒｉｔｅｒｉｏｎ ａｓ ｔｈｅ ｓｔａｔｉｓｔｉｃａｌ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｖａｒｉａｂｌｅ ｏｆ ｔｈｅ ｒｏｃｋ，ａｎｄ ｍｅａｎｔｉｍｅ ｉｎｔｒｏｄｕｃｉｎｇ ａ
ｃｏｒｒｅｃｔｉｏｎ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ ｔｈａｔ ｃａｎ ｒｅｆｌｅｃｔ ｔｈｅ ｂｅａｒｉｎｇ ｃａｐａｃｉｔｙ ｏｆ ｔｈｅ ｐａｒｔｉａｌｌｙ ｄｅｓｔｒｕｃｔｅｄ ｅｌｅｍｅｎｔａｒｙ ｒｏｃｋ，ｔｈｅ ｓｔａｔｉｓｔｉｃａｌ ｃｏｎｓｔｉｔｕｔｉｖｅ ｍｏｄｅｌｓ ｏｆ ｒｏｃｋ ｄａｍａｇｅ ｗｅｒｅ ｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｄ ａｃｃｏｒｄｉｎｇ ｔｏ ｔｈｅ ｆｏｒｅｇｏｉｎｇ ｔｗｏ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ
ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎｓ ａｎｄ ｔｈｅ ｍｏｄｅＩ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ｗｅｒｅ ａｌｓｏ ｆｏｕｎｄ ｂｙ ｍｅａｎｓ ｏｆ ｅｘｔｒｅｍｕｍ ａｐｐｒｏａｃｈ．Ｆｉ—
ｎａｌｌｙ。ｉｔ ｗａｓ ｆｏｕｎｄ ｂｙ ｃｏｍｐａｒｉｎｇ ａｎｄ ａｎａｌｙｚｉｎｇ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌ ａｎｄ ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｌ ｒｅｓｕｌｔｓ ｔｈａｔ ｔｈｅ Ｗｅｉｂｕｌｌ
ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｗａｓ ｃｏｍｐａｒａｔｉｖｅｌｙ ｓｕｉｔａｂｌｅ ｆｏｒ ｔｈｅ ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ａｎｄ ｔｈｅ ｐｏｗｅｒ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｄｉｓ—— ｔｒｉｂｕｔｉｏｎ，ｈｏｗｅｖｅｒ，ｗａｓ ｎｏｔ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｒｏｃｋ；ｄａｍａｇｅ；ｃｏｎｓｔｉｔｕｔｉｖｅ ｍｏｄｅｌ；Ｄｒｕｃｋｅｒ－Ｐｒａｇｅｒ ｃｒｉｔｅｒｉｏｎ；Ｗｅｉｂｕｌｌ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ；ｐｏｗｅｒ
ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ
自１９５８年Ｋａｃｈａｎｏｖ提出损伤力学的概念以
来，损伤理论得到了快速发展，其应用范围也渗透到
了岩石力学领域．到目前为止，损伤理论特别是统计 损伤理论已经成为研究岩石材料本构关系的一种重
要手段．文献Ｅ１￣７］从岩石微裂隙等缺陷及随机分 布的特点出发，将连续损伤理论和概率理论有机结
合起来，假定岩石微元强度服从某种分布，建立连续
损伤统计本构模型，使得岩石本构关系研究取得了
极大的进展．该模型的核心在于如何选取反映损伤
收稿日期：２０１１—０３一１０ 作者简介：游强（１９７３一），男，重庆人，硕士，讲师 程度的岩石微元强度度量方法、岩石内部损伤随机 分布的形式以及模型参数的确定方法．基于此，本文
在前人研究基础上，假定岩石微元强度分别服从 Ｗｅｉｂｕｌ１分布和幂函数分布，建立岩石连续损伤统
计本构模型，对模型参数的确定方法进行研究，并对 两种不同的随机分布形式进行对比分析．
１损伤统计本构模型的建立
１．１损伤本构关系
假定岩石微元的破坏是随机的，根据连续介质 损伤力学，将损伤变量Ｄ定义为某一应力水平下已
经破坏的微元数目竹与初始状态下微元总数目』
ｖ ・１２０・ 兰州理工大学学报 第３７卷
的比值［引，即
Ｄ＝ｎ～ （１）
式中：Ｄ为损伤变量； 为某一应力水平下已经破坏 的微元数目；Ｎ为总微元数目．
根据等效应变假说，可建立如下岩石损伤本构 关系［２＿３］
一南一 （２） ：：＝ —— ＝＝： —— Ｌ么
式中：Ｃ为岩石材料弹性矩阵； 为有效应力矩阵； 仃为名义应力矩阵；￡为应变矩阵；Ｄ为岩石损伤变
量． 通常认为岩石微元在破坏后就失去了承载能
力，而事实上微元破坏后虽然承载能力有所降低，但 仍能承受一部分压应力和剪应力［４］．因此，在岩石本
构关系中引入一个能够反映岩石破坏部分仍然能够
承受一部分力的修正系数ａ（其取值为Ｏ～１），即假 定在某一应力水平下已经破坏的 个微元中真正失
去了承载能力的个数为ａ ，则需对损伤变量重新定 义，修正后的损伤变量表达式为
Ｄ ＝＝： （３）
将式（３）代人式（２），则有［ ］
仃 一 ｒ＿一 （） 仃一 一葡 ４
１．２基于Ｗｅｉｂｕｌ１分布的岩石损伤本构关系
假定岩石微元强度服从Ｗｅｉｂｕｌ１分布，其概率 密度函数为 。］
Ｐｃ 一 （ ）ｍ－１ｅｘｐ［＿－ ） ］ｃ５
式中：Ｐ（Ｆ）为岩石微元强度分布函数；Ｆ为微元强
度随机分布的分布变量；ｍ和Ｆ。为Ｗｅｉｂｕｌ１分布参 数．
当加载到某一应力水平Ｆ时，已破坏的微元数
目为
咒一 №ｃ 出一Ｎ｛ －ｅｘｐｌ＿ ） ］）
（６） 将式（６）代人式（１），则有
Ｄ＝Ｉ－ｅｘｐ （ ） ］ ∽
再将式（７）代入式（４）可得到基于Ｗｅｉｂｕｌ１分布
的岩石损伤统计本构关系 ：
－＝屡 ｛ｏ ｅｘｐ［－（￣ｏ） ］＋ 一 ）＋２ 。
（８） 式中 为轴向主应力；Ｅ为岩石弹性模量 为轴 向主应力； 为泊松比．
１．３基于幂函数分布的岩石损伤本构关系
假定岩石微元强度服从幂函数分布，其概率密 度函数为 ］
Ｐ（Ｆ，一 （ ）一 ㈣
式中：Ｐ（Ｆ）为岩石微元强度分布函数；Ｆ为微元强
度随机分布的分布变量； 和Ｆ。为分布参数．
由于微元破坏的随机性，当加载到某一应力水 平Ｆ时，已破坏的微元数目为
一 （ｘ）ｄｘ—Ｎｏ （ ｏ １／ 一Ｉ一（ ）（１０） Ｊ ＼』１
将式（１Ｏ）代人式（１），则有
Ｄ一 ） （１１）
再将式（１１）代人式（４）可得到基于幂函数分布 的岩石损伤统计本构关系
一匪 ｆ＿ 一ａ（ ） ］＋２峨
式中：Ｅ为岩石弹性模量；ｖ为泊松比 为轴向主应
力；￡１为轴向主应变； 为围压；ａ为修正系数．
１．４岩石微元统计分布变量
Ｄｒｕｃｋｅｒ－Ｐｒａｇｅｒ强度准则是在Ｍｏｈｒ－Ｃｏｕｌｏｍｂ 准则和Ｍｉｓｅｓ准则的基础上扩展和推广得到的，它
计人了中间主应力的影响，又考虑了静水压力的作
用，且具有形式简单、适用于岩土介质等特点．因此， 以Ｄｒｕｃｋｅ￣Ｐｒａｇｅｒ强度准则作为岩石微元统计分
布变量．其表达式为
Ｆ一口。Ｊ ＋ 一 ！ （１３） ￣／３＋ｓｉｎ
式中：ａ。一 Ｊ ３干ｓｉｎ ￣ｐ ｃ、 分别为粘聚力和内摩擦
角；Ｊ 为应力张量的第一不变量；Ｊｚ为应力偏量的第 二不变量．
在岩石三轴实验中能够测得名义应力 、 。、０＂３
和轴向应变￡ ，对应的有效应力分别为 、 和
．对于假三轴试验有０＂２＝ ｓ， 一０＂３ ．假定岩石微
元破坏前服从虎克定律，则有
ｅ】一 三 堕 （１４）
再根据式（４），即可得到ｄ 、ｏ 和ｄ 的表达 式，最终得到
± 堡 １—２ｖａｓ
一（ ！＝ 堡 （１５）
（ １—２ｖａ３）
第３期 游强等：岩石统计损伤本构模型及对比分析
因此，岩石微元强度分布变量的表达式为［５］
Ｆ一苎ｉ ．（ ！± ＋ ‘ｉｆ—９—－—ｋ－—３——ｓ—ｉｎ—２—ｑ￣０＂１—２ｖ０＂３ ‘
［业 （１６） √３（ １—２ｖａ３） 将式（１６）分别代人式（８）和式（１２）即可得到基
于两种不同分布的岩石损伤统计本构模型．
２模型参数的确定
在以往的研究中多采用将本构方程式（８）或式 （１２）进行变换后取对数进行线性化处理，利用试验 数据拟合的方法［ｚ－３］确定模型参数ｍ和Ｆｏ．这种方
法比较繁琐，且人为因素对求解结果的影响也比较
大．因此，利用岩石应力一应变曲线在峰值处斜率为 ０这一特点来确定模型参数［４］．
２．１基于Ｗｅｉｂｕｌ１分布的模型参数的确定 假定岩石应力一应变曲线的峰值点为ｃ，则峰值
应力及其对应的应变分别为ｃｒｃ和ｓ。．将式（１６）代人 式（１２）后求偏导数，并整理后有
一Ｅ｛ａｅＸｐ［＿＿（ ） ］＋ 一ａ）一
ｅ冲［－－㈤ ），｜
由于岩石应力－６变曲线在峰值点ｃ处斜率为
０，即 ｄＯ＇一ｌ－０，将该条件代人上式并整理后得
（ 一 （１８）
又由于在峰值点处应力值 和应变值￡。满足式 ｔ （１２），则有
一匪 ｛口ｅ ［＿＿（爱） ］＋１一口）帕如
（１９）
将式（１９）变形
ｅｘｐ［－－（ ） ］一
（２Ｏ） 将式（２０）代人式（１８），可得
（ ） ＝ １一 Ｅ ｅ ｏ （ａ－－ １ ）
（２１）
又由式（２Ｏ）得
（岳） ＝＿ｈ
（２２） 联立式（２１）和式（２２），可得模型参数ｍ的表 式，即
垦 二 ２ —１
一 １ ±丝￡ ＝ ２二兰 …
最后将式（２Ｏ）代人式（１８）得到模型参数Ｆ０的
表达式：
Ｆｏ一 ＝＝＝＝＝＝Ｚ；＂ｃ ＝＝＝＝（２４） ／ｉ 皇 ！ … ＋匪。 一１）一２Ｖ０＂３ ２．２基于幂函数分布的模型参数的确定 用同样的方法可以确定基于幂函数分布的本构
模型的模型参数，结果如式（２５，２６）所示．
— 鱼二 （２５） 雎ｃ—Ｏ＇ｃ十 ａｒ３
Ｆ０一 ＝＝＝１＂＝ｃ＝＝＝ （２６） ０一 ＝＝＝＝ ｚｂ √
至此可以得到基于Ｄｒｕｃｋｅｒ－Ｐｒａｇｅｒ准则和两 种不同分布形式的完整的岩石损伤统计本构模型．
由式（２３￣２６）可以看到，两种不同分布的本构模型
的模型参数Ｆ０均与修正系数有关，基于ＷｅｉｂｕＵ分
布的模型参数ｍ也与修正系数有关，而基于幂函数
分布的模型参数仇与修正系数无关．
３模型的验证和对比
引用文献［８］的三轴试验数据（围压３．４５ ＭＰａ 和６．９ ＭＰａ）对本文模型进行验证．岩石弹性模量Ｅ
＝９０ ＧＰａ，泊松比ｙ一０．１５，内摩擦角 ：３１．３。．当
修正系数分别取ａ＝ｌ、ａ＝Ｏ．９７、ａ－－Ｏ．９３和ａ＝Ｏ．９０ 时将各围压下的峰值应力及其对应的应变代人式
（２３～２６）即可得到不同围压下修正系数取不同值时
两种分布形式的模型参数，进而得到不同围压下修 正系数取不同值时两种分布形式的模型理论曲线．
不同分布时的理论曲线与文献［８］试验曲线的对比
图如图１、２所示．
由图１、２可以看到： １）基于两种不同分布的本构模型对于岩石应
力一应变曲线峰前阶段的拟合效果均比较好，而对于
峰后部分的拟合效果相对较差．
２）从总体拟合效果上看，相对于基于幂函数分
布的本构模型来说，基于ｗｅｉｂｕＵ分布的本构模型
能够更好地反映岩石变形破坏的全过程．
３）当假定岩石微元强度服从ｗｅｉｂｕＵ分布（图 １），对比不同修正系数的理论曲线可以看出，引入修
正系数对于峰前阶段拟合效果的影响不大，
而对于
