2018届高考数学复习——立体几何：(二)空间直线、平面关系的判断与证明——1.线面关系的判断(解析版)

2018届数学高考一轮复习

立体几何：(二)空间中直线、平面间的关系及其证明

知识梳理·题型剖析

1 【考点1:空间中点、线、面的基本关系】

1.平面的基本性质

公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上的所有点在这个平面内(即直线在平面内).

公理2：经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面(即可以确定一个平面).

公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.

2.公理4

平行于同一条直线的两条直线互相平行.

3.定理

空间中,如果两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.

4.直线与直线的位置关系

(1)位置关系的分类

 共面直线 平行相交异面直线：不同在任何一个平面内

(2)异面直线所成的角

①定义：设a,b是两条异面直线,经过空间任一点O作直线a′∥a,b′∥b,把a′与b′所成的锐角(或直角)叫作异面直线a,b所成的角(或夹角).

②范围：0，π2.

5.直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况.

6.平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况.

题型1：平面基本性质及其应用

【典型例题】

[例1](1)在下列命题中,不是公理的是( )

A.平行于同一个平面的两个平面相互平行

B.过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面

C.如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内

D.如果两个不重合的平面有一个公共点, 那么他们有且只有一条过该点的公共直线

解析：选A 选项A是面面平行的性质定理,是由公理推证出来的,而公理是不需要证明的.

(2)下列命题正确的是 .

①经过三点确定一个平面；

②梯形可以确定一个平面；

③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；

④如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合.

解析 经过不共线的三点可以确定一个平面,∴①不正确；

两条平行线可以确定一个平面,∴②正确；

两两相交的三条直线可以确定一个或三个平面,∴③正确；

命题④中没有说清三个点是否共线,∴④不正确.

(3)以下四个命题中正确的是 .

①不共面的四点中,其中任意三点不共线；

②若点A、B、C、D共面,点A、B、C、E共面,则点A、B、C、D、E共面；

③若直线a、b共面,直线a、c共面,则直线b、c共面；

④依次首尾相接的四条线段必共面.

解析 ①假设其中有三点共线,则该直线和直线外的另一点确定一个平面.这与四点不共面矛盾,故其中任意三点不共线,所以①正确.

②从条件看出两平面有三个公共点A、B、C,但是若A、B、C共线,则结论不正确；

③不正确；

④不正确,因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上,如空间四边形. 2018届数学高考一轮复习 立体几何：(二)空间中直线、平面间的关系及其证明 知识梳理·题型剖析

2 [例2]如图所示,正方体ABCD—A1B1C1D1中,E、F分别是AB和AA1的中点.求证：

(1)E、C、D1、F四点共面；

(2)CE、D1F、DA三线共点.

证明 (1)连接EF,CD1,A1B.

∵E、F分别是AB、AA1的中点,

∴EF∥BA1.

又A1B∥D1C,∴EF∥CD1,

∴E、C、D1、F四点共面.

(2)∵EF∥CD1,EF

∴CE与D1F必相交,设交点为P,

则由P∈CE,CE平面ABCD,得P∈平面ABCD.

同理P∈平面ADD1A1.

又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA,

∴P∈直线DA.

∴CE、D1F、DA三线共点.

【变式训练】

1.如图,α∩β＝l,A、B∈α,C∈β,且C∉l,直线AB∩l＝M,过A,B,C三点的平面记作γ,则γ与β的交线必通过( )

A.点A B.点B C.点C但不过点M D.点C和点M

答案 D

解析 ∵ABγ,M∈AB,∴M∈γ.

又α∩β＝l,M∈l,∴M∈β.

根据公理3可知,M在γ与β的交线上.

同理可知,点C也在γ与β的交线上.

2.平面α、β相交,在α、β内各取两点,这四点都不在交线上,这四点能确定________个平面.

答案 1或4

解析 若过四点中任意两点的连线与另外两点的连线相交或平行,则确定一个平面；否则确定四个平面.

3.如图,空间四边形ABCD中,E、F、G分别在AB、BC、CD上,且满足AE∶EB＝CF∶FB＝2∶1,CG∶GD＝3∶1,过E、F、G的平面交AD

于点H.

(1)求AH∶HD； (2)求证：EH、FG、BD三线共点.

(1)解 ∵AEEB＝CFFB＝2,∴EF∥AC,

∴EF∥平面ACD,而EF平面EFGH,

平面EFGH∩平面ACD＝GH,

∴EF∥GH,∴AC∥GH.

∴AHHD＝CGGD＝3.

∴AH∶HD＝3∶1. 2018届数学高考一轮复习 立体几何：(二)空间中直线、平面间的关系及其证明 知识梳理·题型剖析

3 (2)证明 ∵EF∥GH,且EFAC＝13,GHAC＝14,

∴EF≠GH,∴EFGH为梯形.

令EH∩FG＝P,则P∈EH,而EH平面ABD,

又P∈FG,FG平面BCD,

平面ABD∩平面BCD＝BD,

∴P∈BD.

∴EH、FG、BD三线共点.

题型2：空间中直线关系的判断

【典型例题】

[例1](1)(教材习题改编)给出命题:

①若两条直线和第三条直线所成的角相等,则这两条直线互相平行.

②若两条直线都与第三条直线垂直,则这两条直线互相平行.

③若两条直线都与第三条直线平行,则这两条直线互相平行.

其中不正确的命题的个数为________.

答案：2

(2)(2015·福建六校联考)设a,b,c是空间中的三条直线,下面给出四个命题：

①若a∥b,b∥c,则a∥c；

②若a⊥b,b⊥c,则a∥c；

③若a与b相交,b与c相交,则a与c相交；

④若a⊂平面α,b⊂平面β,则a,b一定是异面直线.

上述命题中正确的命题是________(只填序号).

解析：由公理4知①正确；当a⊥b,b⊥c时,a与c可以相交、平行或异面,故②错；当a与b相交,b与c相交时,a与c可以相交、平行,也可以异面,故③错；a⊂α,b⊂β,并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”,故④错.

答案：①

(3)(2014·广东)若空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4,满足l1⊥l2,l2⊥l3,l3⊥l4,则下列结论一定正确的是( )

A.l1⊥l4 B.l1∥l4

C.l1与l4既不垂直也不平行

D.l1与l4的位置关系不确定

解析：选D 构造如图所示的正方体ABCD-A1B1C1D1,取l1为AD,l2为AA1,l3为A1B1,当取l4为B1C1时,l1∥l4,当取l4为BB1时,l1⊥l4,故排除A,B,C,选D.

[例2](1)如图,在正方体ABCD－A1B1C1D1中,M,N分别是BC1,CD1的中点,则下列判断错误的是 ( )

A.MN与CC1垂直 B.MN与AC垂直

C.MN与BD平行 D.MN与A1B1平行

答案 D

解析 连接B1C,B1D1,则点M是B1C的中点,MN是△B1CD1的中位线,∴MN∥B1D1,

∵CC1⊥B1D1,AC⊥B1D1,BD∥B1D1,

∴MN⊥CC1,MN⊥AC,MN∥BD.

又∵A1B1与B1D1相交,∴MN与A1B1不平行,故选D.

(2)如图所示,正方体ABCD—A1B1C1D1中,M、N分别是A1B1、B1C1的中点.问：

①AM和CN是否是异面直线？说明理由；

②D1B和CC1是否是异面直线？说明理由. 2018届数学高考一轮复习 立体几何：(二)空间中直线、平面间的关系及其证明 知识梳理·题型剖析

4 解 (1)不是异面直线.理由如下：

连接MN、A1C1、AC.

∵M、N分别是A1B1、B1C1的中点,

∴MN∥A1C1.

又∵A1A綊C1C,

∴A1ACC1为平行四边形,

∴A1C1∥AC,∴MN∥AC,

∴A、M、N、C在同一平面内,故AM和CN不是异面直线.

(2)是异面直线.证明如下：

∵ABCD—A1B1C1D1是正方体,∴B、C、C1、D1不共面.

假设D1B与CC1不是异面直线,

则存在平面α,使D1B平面α,CC1平面α,

∴D1、B、C、C1∈α,与ABCD—A1B1C1D1是正方体矛盾.

∴假设不成立,即D1B与CC1是异面直线.

【变式训练】

1.已知a,b是异面直线,直线c平行于直线a,那么c与b( )

A.一定是异面直线 B.一定是相交直线

C.不可能是平行直线 D.不可能是相交直线

答案 C

解析 由已知得直线c与b可能为异面直线也可能为相交直线,但不可能为平行直线,若b∥c,则a∥b,与已知a、b为异面直线相矛盾.

2.若空间三条直线a,b,c满足a⊥b,b⊥c,则直线a与c( )

A.一定平行 B.一定相交

C.一定是异面直线

D.平行、相交、异面直线都有可能

答案 D

解析 当a,b,c共面时,a∥c；当a,b,c不共面时,a与c可能异面也可能相交.

3.设P表示一个点,a,b表示两条直线,α,β表示两个平面,给出下列四个命题,其中正确的命题是________.

①P∈a,P∈α⇒a⊂α；②a∩b＝P,b⊂β⇒a⊂β；③a∥b,a⊂α,P∈b,P∈α⇒b⊂α；④α∩β＝b,P∈α,P∈β⇒P∈b

答案：③④

4.已知 l1,l2,l3是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是( )

A.l1⊥l2,l2⊥l3⇒l1∥l3

B.l1⊥l2,l2∥l3⇒l1⊥l3

C.l1∥l2∥l3⇒l1,l2,l3共面

D.l1,l2,l3共点⇒l1,l2,l3共面

答案 B

解析 当l1⊥l2,l2⊥l3时,l1与l3也可能相交或异面,故A不正确；l1⊥l2,l2∥l3⇒l1⊥l3,故B正确；当l1∥l2∥l3时,l1,l2,l3未必共面,如三棱柱的三条侧棱,故C不正确；l1,l2,l3共点时,l1,l2,l3未必共面,如正方体中从同一顶点出发的三条棱,故D不正确.