备战2017高考黄金100题解读与扩展系列之圆锥曲线：专题二 求曲线的标准方程 含解析

I．题源探究·黄金母题

【例1】求以椭圆15822yx的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点的双曲线的方程.

【解析】设双曲线的方程为)0,0(12222babyax，因为15822yx，8,35822ca，

所求双曲线的方程为18322yx

II．考场精彩·真题回放

【例1】（2016北京理19（1））已知椭圆2222:10xyCabab的离心率为32，,0Aa，0,Bb，

0,0O，OAB△的面积为1. 求椭圆C的方程；

【解析】 可先作出本题的图形：

（1）由题设，可得22232(0)112caabcabab

解得2,1ab.所以椭圆C的方程是

2214xy.

【例2】（2016山东理21（1））平面直角坐标系xOy中，椭圆C：22221xyab (0)ab的离心率 是32，抛物线E：22xy的焦点F是C的一个顶点.求椭圆C的方程；

xyAMPNBO

【例3】（2016天津理19（1））设椭圆13222yax3a的右焦点为F，右顶点为A，已知||3||1||1FAeOAOF，其中O为原点，e为椭圆的离心率. 求椭圆的方程；

【解析】 （1）由113cOFOAFA，即

113()ccaaac，可得2223acc.

又2223acb，所以21c，

因此24a，所以椭圆的方程为221.43xy

【例4】（2016天津理6）已知双曲线2224=10ybbx，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为（

）.

A. 22443=1yx B.22344=1yx

C.2244=1yx D.2224=11xy 【解析】 根据对称性，不妨设A在第一象限，,AAAxy，

联立2242xybyx，

得2244,244bAbb.

所以216422AAbbxyb，得212b.

故双曲线的方程为2224=11xy.故选D.

精彩解读

【试题来源】人教版A版必修四第119页复习参考题A组第13题．

【母题评析】求圆锥曲线方程问题是教材中例题和练习题都重点、高频出现的问题，也是高考常见题，大多利用待定系数法求解，本题主要借助圆锥曲线间的联系求解 ，主要考查对椭圆、双曲线的定义、性质的理解.

【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，难度较小，有时也出现在解答题的第一步，难度中偏低.

【难点中心】求曲线的标准方程，首先要正确设出曲线的方程，注意椭圆或双曲线的焦点的位置，根据题意确定是一解还是两解，然后利用待定系数法列方程组，解出待定系数.

III．理论基础·解题原理

1．辨明两个易误点

(1)椭圆的定义中易忽视2a＞|F1F2|这一条件，当2a＝|F1F2|时，其轨迹为线段F1F2，当2a＜|F1F2|时，不存在轨迹．

(2)求椭圆的标准方程时易忽视判断焦点的位置，而直接设方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)．

2．求椭圆标准方程的两种方法

(1)定义法：根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程．

(2)待定系数法：若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a、b；若焦点位置不明确，则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，A≠B)．

用待定系数法求椭圆标准方程的四个步骤：

(1)作判断：根据条件判断椭圆的焦点在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能．

(2)设方程：根据上述判断设出方程．

(3)找关系：根据已知条件，建立关于a，b，c的方程组．

(4)得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求．

3．辨明三个易误点

(1)双曲线的定义中易忽视2a＜|F1F2|这一条件．若2a＝|F1F2|，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线，若2a＞|F1F2|，则轨迹不存在．

(2)区分双曲线中a，b，c的关系与椭圆中a，b，c的关系，在椭圆中a2＝b2＋c2，而在双曲线中c2＝a2＋b2.

(3)双曲线的离心率e∈(1，＋∞)，而椭圆的离心率e∈(0，1)．

4．求双曲线标准方程的两种方法

(1)定义法

根据题目的条件，判断是否满足双曲线的定义，若满足，求出相应的a，b，c，即可求得方程．

(2)待定系数法

①与双曲线12222byax共渐近线的可设为）（02222byax；

②若渐近线方程为y＝±bax，则可设为）（02222byax；

③若过两个已知点，则可设为x2m＋y2n＝1(mn＜0)．

IV．题型攻略·深度挖掘

【考试方向】

这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度较小，有时也出现在解答题的第一步，难度中偏低.

【技能方法】

求圆锥曲线的方程问题通常有两类题型：（1）待定系数法，先根据题意列出关于cba,,的关系，通过解方程组的方法，求出ba,的值；（2）巧设圆锥曲线方程，例如椭圆可设为)0,0(122BAbyAx，再如以xaby为渐近线的双曲线可设为)0,0(2222babyax，,等轴双曲线可设为)0(22yx等；

V．举一反三·触类旁通

考点1.待定系数法求曲线的方程

【例1】(2015·洛阳市高三年级统考)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(15，0)，直线y＝x与椭圆的一个交点的横坐标为2，则椭圆方程为( )

A.x216＋y2＝1 B．x2＋y216＝1

C.x220＋y25＝1 D.x25＋y220＝1

【解析】(1)依题意，设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，则有22a2＋22b2＝1a2－b2＝15，由此解得a2＝20，b2＝5，因

此所求的椭圆方程是x220＋y25＝1.

考点2.求曲线方程与平面向量的交汇

【例2】(2014·高考安徽卷)设F1，F2分别是椭圆E：x2＋y2b2＝1(0

将B)3,135(22bb代入x2＋y2b2＝1，得b2＝23.

∴椭圆E的方程为x2＋32y2＝1.

考点3.根据定义求曲线的方程 【例3】(2014·高考大纲全国卷)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2，离心率为33，过F2的直线l交C于A、B两点．若△AF1B的周长为43，则C的方程为( )

A.x23＋y22＝1 B.x23＋y2＝1

C.x212＋y28＝1 D.x212＋y24＝1

【解析】由e＝33，得ca＝33①.又△AF1B的周长为43，由椭圆定义，得4a＝43，得a＝3，代入①得

c＝1，∴b2＝a2－c2＝2，故C的方程为x23＋y22＝1.

【例4】【东城区2014-2015学年第一学期期末教学统一检测高三数学（理科）】若抛物线22(0)ypxp的焦点到其准线的距离为1，则该抛物线的方程为 ．

【解析】由p的几何意义（p是焦点到准线的距离），得1p，即抛物线的方程为xy22.

【例5】【2014～2015学年度宝安中学 潮阳一中 桂城中学高三第二次联考理科数学】已知双曲线的中心在原点,一个焦点为15,0F,点P在双曲线上,且线段1PF的中点坐标为0,2,则此双曲线的方程是( )

A．2214yx B．2214xy C．22123xy D．22132xy

【例6】(2015·兰州市、张掖市高三联考)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，以|F1F2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3，4)，则此双曲线的方程为( )

A.x216－y29＝1 B.x23－y24＝1 C.x29－y216＝1 D.x24－y23＝1

【解析】选C.由题意知，圆的半径为5，又点(3，4)在经过第一、三象限的渐近线y＝bax上，因此有a2＋b2＝254＝3×ba，

解得a＝3b＝4，所以此双曲线的方程为x29－y216＝1.

考点4.利用圆锥曲线的性质求曲线的方程

【例7】与椭圆C：y216＋x212＝1共焦点且过点(1，3)的双曲线的标准方程为( )

A．x2－y23＝1 B．y2－x212＝1

C.y22－x22＝1 D.y23－x2＝1

考点5.利用直线与曲线的位置关系求曲线的方程

【例8】(2014·高考陕西卷第一步) 已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)经过点(0，3)，离心率为12，左，右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)．求椭圆的方程；

【解析】(1)由题设知b＝3，ca＝12，b2＝a2－c2，解得a＝2，b＝3，c＝1，

∴椭圆的方程为x24＋y23＝1.

考点6.利用两种曲线的关系求曲线的方程

【例9】【浙江省台州中学2015届高三上学期第三次统练试题数学（理科）】设抛物线2:2(0)Cypxp的焦点为F，点M在C上，5MF，若以MF为直径的圆过点)2,0(，则C的方程为（ ）

A．24yx或28yx B．22yx或28yx

C．22yx或216yx D．24yx或216yx

【解析】抛物线C方程为022ppxy，焦点F坐标0,2p，可得2pOF，

由于5MF，2162pAF，在直角三角形AMF中，

521616sin22pppMFAFAMF

化简得pp10162，解得2p或8p，抛物线方程xy42或xy162，故答案为C.