数学知识的两种形态与数学教学_徐献卿

第11卷第2期 数 学 教 育 学 报 Vol.11, No.2 2002年5月 JOURNAL OF MATHEMATICS EDUCATION May., 2002

收稿日期：2002–03–06 作者简介：徐献卿（1957—），男，河南省范县人，濮阳职业技术学院高级讲师，主要从事数学方法论与数学教育及初等数学研究． 数学知识的两种形态与数学教学

徐献卿1，杨世明2

（1．濮阳职业技术学院 数学系，河南 濮阳 457000，2．天津宝坻教研室，天津 宝坻 301800）

摘要：教学实践表明，数学知识有学术形态和教育形态2种，它们之间的差异表现在：过程的有无不同，表述的顺序

不同，语言的详略不同，确定性与非确定性的不同等．在数学教学中，教师必须吃透教材，深知2种形态的差异，并把数学

知识的学术形态向教育形态转化，这一转化大致要经过教学设计和课堂教学实施2个阶段．

关键词：数学知识；学术形态；教育形态；转化

中图分类号：G421 文献标识码：A 文章编号：1004–9894（2002）02–0071–03

1 对一些现象的思考

在数学教学中往往会有这样的现象：照本宣科

地教学，总不成功；对教学内容要深入研究，进行

教法加工，才有好的效果．许多自学数学的人，总

感到书中有很多“拦路虎”，难读难懂．甚至于本

科生，虽然读懂课本，但面对大学《学报》上的数

学论文，仍像面对“天书”，无法可想．

高师本科毕业的中学教师，翻中学数学课本，

往往感到“这有什么”．中学生预习课本，有时感

到似懂非懂，有时又感到“明白了，记下了”，可

遇到题目却难下手，听了讲解，才恍然大悟．许多

重要东西，不在字面，若干“显然”，“不难看出”，

“类似地”一类联结词，甚至省略号中，往往凝结

着精彩的东西．

同样的数学内容，写在“论文”中就很难懂；

编进课本就好一些了，但初学者仍“难解其中

味”．如有幸遇到一位高水平的教师，通过他的讲

解，可能会知道教材的背景，以及贯穿教学内容的

一些思想方法等等．进而，如果教师通过精心设计

（分宏观、微观、情境3个层次）[1]、安排，让学生

自己动手、动口、动脑，互相讨论，则不仅可以亲

历数学知识的发生、发展的过程，体会探索、创造

的曲折、甘苦，学到数学的知识、方法、思想，而

且能切实提高相关品质和修养．

通过这样的分析、思考，我们不难知道，论文

中、课本中和课堂上的数学是3种不同的表述形式，

有着很大的区别．将论文中的数学经消化加工，编

入讲义或课本时，已有了很大变化：更加系统，更

加可读．但离“课堂中的数学”仍有距离，仍有较大区别．从学习者的角度看，课本中与论文中的数

学仍属于一类，可谓之“数学知识的教育形态”．有

人把“课本中的数学”看作“学术”与“教育”2

种形态的中间形态，也未尝不可．

2 数学知识的两种形态

我们知道，文章也好，书也好，写作出版总是

要给别人读的．目的无非是记录整理、交流传播、

继承、发展和应用，那么何以又有不同的形态呢？ 2.1 关于数学知识的学术形态

这里有一个故事：托勒密是古希腊的几何学

家、天文学家．为了制造“弦表”，他证明了一个

命题：圆内接四边形2组对边分别相乘之和，等于

2条对角线之积（后人称为“托勒密”定理）．他遵

循古希腊的传统，只展示定理和证明，却没有写出

发现的过程，人们对此有些不满意．笛卡儿半是诙

谐、半是辩解地说：“并不是古希腊哲学家看轻发

现过程，而是太重视了，以致不愿公诸于世．”阿

贝尔对此却十分不满，他拿高斯当出气筒，说：“他

像一只狡猾的狐狸，在沙地上一面走，一面用尾巴

抹掉走过的足迹．”

但若仔细分析一下，或者说我们自己有撰写论

文的经历，就能意识到，阿贝尔实在是错怪了高

斯．因为，当一个人集中精力攻克一个难题时，往

往全神贯注地盯住事情本身的进展，而无暇他

顾．再说，不少难关的突破，关键的发现，往往是

“一闪念”的结果，很难说清“是怎样发现的”，至

于把关键突破以后，还要把推证过程用简练、保险

（演绎）的方式，尽快记录和整理，哪还有精力去

“反思发现过程”呢？ 第2期 徐献卿等：数学知识的两种形态与数学教学 73

形态是为了满足不同的需要，因而，从教育的观点

上看，也有着巨大的差别．归纳起来大致有：过程

的有无不同，表述的顺序不同，语言的详略不同，

确定性与非确定性的不同等等．归根到底，是死与

活的不同：学术形态是完成了的、逆着人的思维顺

序的、按确定性模式的、无过程的，大多是不熟悉

的符号的组合，令人感到抽象、干巴、死气沉沉，

难于接近，这已成为数学继续生存发展（为大众认

可）的严重障碍．教育形态的数学，则如行云流水，

用简化理想的形式，把自己生长（发生发展）的曲

折生动的过程展现在学习者的面前，它是活生生

的、丰富有趣的，充满生活气息和人情味的，因而

是可亲可敬的数学，是数学知识、思想、方法以及

技能技巧和相关品质被学习者汲取、构建的合适的

形式．同时，数学的教育形态又是对数学的可视性、

不确定性、归纳的一面即拟经验性和可证伪性理念

的一种强调． 3.2 数学教师必须具备的条件

数学教师存在的理由（之一）是在数学教学中，

必须把数学知识的学术形态向教育形态转化．那

么，教师就必须具备如下一些条件：

（1）能够“吃透教材”，即善于对课本上的数

学，从各个侧面加以深入地理解：不仅懂当面，而

且知背后；不仅理解其数学内容，而且能抓住方法

论因素；不仅能清楚地理解结论和证明，而且能追

求知识的生长过程，做返璞归真的工作，进而了解

它承载有哪些能进行素质教育的材料．总而言之，就要知其然，又知其所以然，更知其“何由以知其

所以然”（即知其所以然的方法、途径）．

（2）深知2种形态的差异，善于做转化工作． 3.3 学术形态向教育形态的转化

数学知识学术形态向教育形态的转化，大致要

经过教学设计和课堂教学实施2个阶段，笔者在文

[1]中已有详尽的讨论，这里略述梗概．

教学设计分宏观、微观和情境3个层次：宏观

设计是对教学的总体考虑，也就是数学知识在课堂

上呈现的总体方案（内容的性质，呈现的方式、步

骤等等）；微观设计是具体内容（概念、法则、命

题、公式、例题等）呈现步骤的安排；情境设计则

是对呈现知识的背景和环境的创设．

课堂教学实施是在教学设计的安排下，由师生

共同展示课本的内容，具体呈现教育形态的数学的

过程．通过这样的呈现，学生将从中获取信息，在

与老师和同学的讨论、交流中，加工信息，改进、

优化认知结构，并不断增进科学文化素养．

可能有人认为，数学知识的教育形态是“教师

讲授的数学”或“教案上的数学”，这是不正确的，

学生是学习的主体，那种以“讲—听”模式呈现的

数学，还远不是真正的教育形态．

参考文献：

[1] 杨世明，王新兵．数学课堂教学设计初探[J]．数学教

育学报，1996，5（2）：29．

Two Forms of Mathematical Knowledge and Mathematics Teaching

XU Xian-qing1, YANG Shi-ming2

(1. Department of Mathematics, Puyang Polytechnic College, Henan Puyang 457000, China;

2. Baodi Teaching institute, Tianjin Baodi 301800, China)

Abstract: The fact of teaching showed that mathematical knowledge had two forms: academic form and educational form. The

difference between them lied in follow aspects: the course, the order of expression and so on. During the mathematics teaching,

the teacher should master the textbook and familiar the difference of the two forms. The most important thing was the teacher must

transform the knowledge from academic form to educational form. The course of transforming contained two steps: teaching

design and class teaching.

Key words: mathematical knowledge; academic form; educational form; transform

[责任编校：陈汉君]