(完整版)大学数学教育概论知识点总结

乔治?波利亚是美籍匈牙利数学家。

他有著名的三本书：《怎样解题》（1944）、《数学的发现》（1954）、《数学与猜想》（1961）。

其中《怎样解题》一书被译成17种文字。

波利亚提供的“怎样解题”表(第48-49页)分四步：1.了解问题；2.拟订计划；3.实行计划；4.回顾。

弗赖登塔尔认识的数学教育有五个主要特征1.情境问题是教学的平台；2.数学化是数学教育的目标；3.学生通过自己努力得到的结论和创造是教育内容的一部分；4.“互动”是主要的学习方式；5.学科交织是数学教育内容的呈现方式。

这些特征可以用三个词来概括——现实、数学化、再创造。

数学化：人们在观察、认识和改造客观世界的过和中，运用数学的思想和方法来分析和研究客观世界的种种现象并加以整理和组织的过程。

再创造：强调学生学习数学是一个经验、理解和反思的过程，是以学生为主体的学习，其核心过程是数学过程再现。

高等师范院校面临新挑战答：高中的新课程标准让广大的高中数学教师有些望而生畏，他们感到许多选修课的内容他们并没有学过，许多课程他们没法开设。

比如，高中选修课系列3涉及高等数学，包括数学史选讲，信息安全与密码，球面上的几何，对称与群，欧拉公式与闭曲面分类，三等分角与数域扩充等。

由于新一轮的课程改革强调要让学生主动参与教学，要鼓励学生积极展开讨论，探索数学知识的来龙去脉和提出问题，因此学生提出的问题中，有许多使教师感到难堪，有的他们没法回答，有的他们回答不清楚。

基本活动经验的类型1.直接数学活动经验；3.间接数学活动经验；3.专门设计的数学活动经验；4.意境联结性数学活动经验。

基础教育部分一.“标准”有哪些改革目标？1.指导思想：以邓小平同志的“教育要面向现代化，面向世界，面向未来”和江泽民同志“三个代表”重要思想为指导。

2.教育目标方面：培养爱国精神和“四有新人”等。

3.课程内容：改变课程内容“难、繁、偏、旧”和过于注重书本知识的现状。

4.课程结构方面：改变过于强调学科本位、科目过多和缺乏整合的现状，设置综合课程。

大学高等数学知识点整理公式，用法合集极限与连续一. 数列函数: 1. 类型:(1)数列: *()n a f n =; *1()n n a f a += (2)初等函数:(3)分段函数: *0102()(),()x x f x F x x x f x ≤⎧=⎨>⎩; *0()(),x x f x F x x x a ≠⎧=⎨=⎩;* (4)复合(含f )函数: (),()y f u u x ϕ== (5)隐式(方程): (,)0F x y =(6)参式(数一,二): ()()x x t y y t =⎧⎨=⎩(7)变限积分函数: ()(,)xaF x f x t dt =⎰(8)级数和函数(数一,三): 0(),nn n S x a xx ∞==∈Ω∑2. 特征(几何):(1)单调性与有界性(判别); (()f x 单调000,()(()())x x x f x f x ⇒∀--定号) (2)奇偶性与周期性(应用).3. 反函数与直接函数: 11()()()y f x x f y y f x --=⇔=⇒=二. 极限性质:1. 类型: *lim n n a →∞; *lim ()x f x →∞(含x →±∞); *0lim ()x x f x →(含0x x ±→)2. 无穷小与无穷大(注: 无穷量):3. 未定型:000,,1,,0,0,0∞∞∞-∞⋅∞∞∞4. 性质: *有界性, *保号性, *归并性 三. 常用结论:11n n →, 1(0)1n a a >→, 1()max(,,)nnn na b c a b c ++→, ()00!na a n >→1(0)x x→→∞, 0lim 1xx x +→=, lim 0n x x x e →+∞=, ln lim 0n x x x →+∞=, 0lim ln 0nx x x +→=, 0,xx e x →-∞⎧→⎨+∞→+∞⎩ 四. 必备公式:1. 等价无穷小: 当()0u x →时, sin ()()u x u x ; tan ()()u x u x ; 211cos ()()2u x u x -; ()1()u x eu x -; ln(1())()u x u x +; (1())1()u x u x αα+-;arcsin ()()u x u x ; arctan ()()u x u x2. 泰勒公式:(1)2211()2!xe x x o x =+++; (2)221ln(1)()2x x x o x +=-+;(3)341sin ()3!x x x o x =-+;(4)24511cos 1()2!4!x x x o x =-++;(5)22(1)(1)1()2!x x x o x αααα-+=+++.五. 常规方法: 前提: (1)准确判断0,,1,0M α∞∞∞(其它如:00,0,0,∞-∞⋅∞∞); (2)变量代换(如:1t x=) 1. 抓大弃小()∞∞, 2. 无穷小与有界量乘积 (M α⋅) (注:1sin1,x x≤→∞) 3. 1∞处理(其它如:00,∞)4. 左右极限(包括x →±∞):(1)1(0)x x→; (2)()xe x →∞; 1(0)x e x →; (3)分段函数: x , []x , max ()f x5. 无穷小等价替换(因式中的无穷小)(注: 非零因子)6. 洛必达法则 (1)先”处理”,后法则(00最后方法); (注意对比: 1ln lim 1x x x x →-与0ln lim 1x x x x→-)(2)幂指型处理: ()()ln ()()v x v x u x u x e=(如: 1111111(1)x x x x xee e e-++-=-)(3)含变限积分;(4)不能用与不便用7. 泰勒公式(皮亚诺余项): 处理和式中的无穷小 8. 极限函数: ()lim (,)n f x F x n →∞=(⇒分段函数)六. 非常手段 1. 收敛准则:(1)()lim ()n x a f n f x →+∞=⇒(2)双边夹: *?n n n b a c ≤≤, *,?n n b c a →(3)单边挤: 1()n n a f a += *21?a a ≥ *?n a M ≤ *'()0?f x >2. 导数定义(洛必达?): 00lim'()x ff x x→=3. 积分和: 10112lim [()()()]()n nf f f f x dx n n n n→∞+++=⎰,4. 中值定理: lim[()()]lim '()x x f x a f x a f ξ→+∞→+∞+-=5. 级数和(数一三):(1)1n n a ∞=∑收敛lim 0n n a →∞⇒=, (如2!lim n n n n n →∞) (2)121lim()n n n n a a a a ∞→∞=+++=∑,(3){}n a 与11()nn n aa ∞-=-∑同敛散七. 常见应用:1. 无穷小比较(等价,阶): *(),(0)?n f x kx x →(1)(1)()(0)'(0)(0)0,(0)n n f f f f a -=====⇔()()!!nn na a f x x x x n n α=+ (2)()xxn f t dtkt dt ⎰⎰2. 渐近线(含斜):(1)()lim,lim[()]x x f x a b f x ax x→∞→∞==-()f x ax b α⇒++(2)()f x ax b α=++,(10x→)3. 连续性: (1)间断点判别(个数); (2)分段函数连续性(附:极限函数, '()f x 连续性) 八. [,]a b 上连续函数性质1. 连通性: ([,])[,]f a b m M = (注:01λ∀<<, “平均”值:0()(1)()()f a f b f x λλ+-=)2. 介值定理: (附: 达布定理)(1)零点存在定理: ()()0f a f b <0()0f x ⇒=(根的个数); (2)()0(())'0xaf x f x dx =⇒=⎰.第二讲:导数及应用(一元)(含中值定理)一. 基本概念:1. 差商与导数: '()f x =0()()limx f x x f x x→+-; 0'()f x =000()()lim x x f x f x x x →--(1)0()(0)'(0)limx f x f f x →-= (注:0()lim (x f x A f x→=连续)(0)0,'(0)f f A ⇒==)(2)左右导: ''00(),()f x f x -+;(3)可导与连续; (在0x =处, x 连续不可导; x x 可导) 2. 微分与导数:()()'()()'()f f x x f x f x x o x df f x dx =+-=+⇒=(1)可微⇔可导; (2)比较,f df ∆与"0"的大小比较(图示); 二. 求导准备:1. 基本初等函数求导公式; (注: (())'f x )2. 法则: (1)四则运算; (2)复合法则; (3)反函数1'dx dy y = 三. 各类求导(方法步骤):1. 定义导: (1)'()f a 与'()x a f x =; (2)分段函数左右导; (3)0()()limh f x h f x h h→+--(注: 0()(),x x F x f x x x a ≠⎧=⎨=⎩, 求:0'(),'()f x f x 及'()f x 的连续性) 2. 初等导(公式加法则):(1)[()]u f g x =, 求:0'()u x (图形题); (2)()()xaF x f t dt =⎰, 求:'()F x (注: ((,))',((,))',(())'x b baaaf x t dt f x t dt f t dt ⎰⎰⎰)(3)0102(),()x x f x y x x f x <⎧=⎨≥⎩,求''00(),()f x f x -+及0'()f x (待定系数)3. 隐式((,)0f x y =)导: 22,dy d y dx dx (1)存在定理;(2)微分法(一阶微分的形式不变性). (3)对数求导法.4. 参式导(数一,二): ()()x x t y y t =⎧⎨=⎩, 求:22,dy d ydx dx 5. 高阶导()()n f x 公式:()()ax n n axe a e =; ()11!()()n n n b n a bx a bx +=--; ()(sin )sin()2n n ax a ax n π=+⨯; ()(cos )cos()2n n ax a ax n π=+⨯()()1(1)2(2)()'"n n n n n n uv u v C uv C u v --=+++注: ()(0)n f与泰勒展式: 2012()nn f x a a x a x a x =+++++()(0)!n n f a n ⇒=四. 各类应用:1. 斜率与切线(法线); (区别: ()y f x =上点0M 和过点0M 的切线)2. 物理: (相对)变化率-速度;3. 曲率(数一二):ρ=曲率半径, 曲率中心, 曲率圆)4. 边际与弹性(数三): (附: 需求, 收益, 成本, 利润) 五. 单调性与极值(必求导) 1. 判别(驻点0'()0f x =): (1) '()0()f x f x ≥⇒; '()0()f x f x ≤⇒;(2)分段函数的单调性(3)'()0f x >⇒零点唯一; "()0f x >⇒驻点唯一(必为极值,最值). 2. 极值点:(1)表格('()f x 变号); (由0002'()'()''()lim0,lim 0,lim 00x x x x x x f x f x f x x x x x→→→≠≠≠⇒=的特点) (2)二阶导(0'()0f x =)注(1)f 与',"f f 的匹配('f 图形中包含的信息);(2)实例: 由'()()()()f x x f x g x λ+=确定点“0x x =”的特点. (3)闭域上最值(应用例: 与定积分几何应用相结合, 求最优) 3. 不等式证明(()0f x ≥)(1)区别: *单变量与双变量? *[,]x a b ∈与[,),(,)x a x ∈+∞∈-∞+∞? (2)类型: *'0,()0f f a ≥≥; *'0,()0f f b ≤≥*"0,(),()0f f a f b ≤≥; *00"()0,'()0,()0f x f x f x ≥=≥ (3)注意: 单调性⊕端点值⊕极值⊕凹凸性. (如: max ()()f x M f x M ≤⇔=) 4. 函数的零点个数: 单调⊕介值六. 凹凸与拐点(必求导!): 1. "y ⇒表格; (0"()0f x =)2. 应用: (1)泰勒估计; (2)'f 单调; (3)凹凸. 七. 罗尔定理与辅助函数: (注: 最值点必为驻点) 1. 结论: ()()'()()0F b F a F f ξξ=⇒== 2. 辅助函数构造实例: (1)()f ξ⇒()()xaF x f t dt =⎰(2)'()()()'()0()()()f g f g F x f x g x ξξξξ+=⇒= (3)()'()()()'()0()()f x fg f g F x g x ξξξξ-=⇒= (4)'()()()0f f ξλξξ+=⇒()()()x dxF x e f x λ⎰=;3. ()()0()n ff x ξ=⇔有1n +个零点(1)()n f x -⇔有2个零点4. 特例: 证明()()n fa ξ=的常规方法:令()()()n F x f x P x =-有1n +个零点(()n P x 待定)5. 注: 含12,ξξ时,分家!(柯西定理)6. 附(达布定理): ()f x 在[,]a b 可导,['(),'()]c f a f b ∀∈,[,]a b ξ∃∈,使:'()f c ξ= 八. 拉格朗日中值定理1. 结论: ()()'()()f b f a f b a ξ-=-; (()(),'()0a b ϕϕξϕξ<⇒∃∍>)2. 估计:'()f f x ξ=九. 泰勒公式(连接,',"f f f 之间的桥梁) 1. 结论: 2300000011()()'()()"()()"'()()2!3!f x f x f x x x f x x x f x x ξ=+-+-+-; 2. 应用: 在已知()f a 或()f b 值时进行积分估计十. 积分中值定理(附:广义): [注:有定积分(不含变限)条件时使用] 第三讲: 一元积分学一. 基本概念: 1. 原函数()F x :(1)'()()F x f x =; (2)()()f x dx dF x =; (3)()()f x dx F x c =+⎰注(1)()()xaF x f t dt =⎰(连续不一定可导);(2)()()()()xx aax t f t dt f t dt f x -⇒⇒⎰⎰ (()f x 连续)2. 不定积分性质:(1)(())'()f x dx f x =⎰; (())()d f x dx f x dx =⎰(2)'()()f x dx f x c =+⎰; ()()df x f x c =+⎰二. 不定积分常规方法1. 熟悉基本积分公式2. 基本方法: 拆(线性性)1212(()())()()k f x k g x dx k f x dx k g x dx +=+⎰⎰⎰3. 凑微法(基础): 要求巧,简,活(221sin cos x x =+)如: 211(),,ln ,2dx dx d ax b xdx dx d x a x =+==2=(1ln )(ln )x dx d x x =+=4. 变量代换:(1)常用(三角代换,根式代换,倒代换): 1sin ,,,x t t t t x====(2)作用与引伸(化简):x t =5. 分部积分(巧用):(1)含需求导的被积函数(如ln ,arctan ,()xax x f t dt ⎰);(2)“反对幂三指”: ,ln ,n ax nx e dx x xdx ⎰⎰(3)特别:()xf x dx ⎰ (*已知()f x 的原函数为()F x ; *已知'()()f x F x =)6. 特例: (1)11sin cos sin cos a x b x dx a x b x ++⎰; (2)(),()sin kx p x e dx p x axdx ⎰⎰快速法; (3)()()n v x dx u x ⎰ 三. 定积分:1. 概念性质:(1)积分和式(可积的必要条件:有界, 充分条件:连续) (2)几何意义(面积,对称性,周期性,积分中值)*2(0)8a a π>=⎰; *()02baa bx dx +-=⎰ (3)附:()()baf x dx M b a ≤-⎰,()()()bbaaf xg x dx M g x dx ≤⎰⎰)(4)定积分与变限积分, 反常积分的区别联系与侧重2: 变限积分()()xax f t dt Φ=⎰的处理(重点)(1)f 可积⇒Φ连续, f 连续⇒Φ可导 (2)(())'xaf t dt ⎰()f x =; (()())'()x xaax t f t dt f t dt -=⎰⎰;()()()xaf x dt x a f x =-⎰(3)由函数()()xaF x f t dt =⎰参与的求导, 极限, 极值, 积分(方程)问题3. N L -公式:()()()baf x dx F b F a =-⎰(()F x 在[,]a b 上必须连续!)注: (1)分段积分, 对称性(奇偶), 周期性 (2)有理式, 三角式, 根式 (3)含()baf t dt ⎰的方程.4. 变量代换: ()(())'()baf x dx f u t u t dt βα=⎰⎰(1)00()()()aa f x dx f a x dx x a t =-=-⎰⎰,(2)()()()[()()]aaaaaf x dx f x dx x t f x f x dx --=-=-=+-⎰⎰⎰ (如:4411sin dx x ππ-+⎰)(3)2201sin n n n n I xdx I nπ--==⎰,(4)2200(sin )(cos )f x dx f x dx ππ=⎰⎰;20(sin )2(sin )f x dx f x dx ππ=⎰⎰,(5)(sin )(sin )2xf x dx f x dx πππ=⎰⎰,5. 分部积分(1)准备时“凑常数” (2)已知'()f x 或()xaf x =⎰时, 求()baf x dx ⎰6. 附: 三角函数系的正交性: 22200sin cos sin cos 0nxdx nxdx nx mxdx πππ===⎰⎰⎰220sin sin cos cos ()0nx mxdx nx mxdx n m ππ=≠=⎰⎰22220sin cos nxdx nxdx πππ==⎰⎰四. 反常积分: 1. 类型: (1)(),(),()aa f x dx f x dx f x dx +∞+∞-∞-∞⎰⎰⎰(()f x 连续)(2)()baf x dx ⎰: (()f x 在,,()x a x b x c a c b ===<<处为无穷间断)2. 敛散;3. 计算: 积分法⊕N L -公式⊕极限(可换元与分部)4. 特例: (1)11p dx x +∞⎰; (2)101p dx x⎰ 五. 应用: (柱体侧面积除外)1. 面积, (1)[()()];baS f x g x dx =-⎰(2)1()dcS f y dy -=⎰;(3)21()2S r d βαθθ=⎰; (4)侧面积:2(b a S f x π=⎰ 2. 体积: (1)22[()()]bx aV f x g x dx π=-⎰; (2)12[()]2()d by caV f y dy xf x dx ππ-==⎰⎰(3)0x x V =与0y y V =3. 弧长: ds =(1)(),[,]y f x x a b =∈ as =⎰(2)12(),[,]()x x t t t t y y t =⎧∈⎨=⎩ 21t t s =⎰(3)(),[,]r r θθαβ=∈:s βαθ=⎰4. 物理(数一,二)功,引力,水压力,质心,5. 平均值(中值定理): (1)1[,]()baf a b f x dx b a =-⎰;(2)0()[0)limx x f t dt f x→+∞+∞=⎰, (f 以T 为周期:0()Tf t dt fT=⎰)第四讲: 微分方程一. 基本概念1. 常识: 通解, 初值问题与特解(注: 应用题中的隐含条件)2. 变换方程:(1)令()'""x x t y Dy =⇒=(如欧拉方程)(2)令(,)(,)'u u x y y y x u y =⇒=⇒(如伯努利方程) 3. 建立方程(应用题)的能力 二. 一阶方程:1. 形式: (1)'(,)y f x y =; (2)(,)(,)0M x y dx N x y dy +=; (3)()y a b =2. 变量分离型: '()()y f x g y =(1)解法:()()()()dyf x dx G y F x Cg y =⇒=+⎰⎰(2)“偏”微分方程:(,)zf x y x∂=∂; 3. 一阶线性(重点): '()()y p x y q x +=(1)解法(积分因子法): 00()01()[()()]()xx p x dxx x M x e y M x q x dx y M x ⎰=⇒=+⎰ (2)变化: '()()x p y x q y +=;(3)推广: 伯努利(数一) '()()y p x y q x y α+= 4. 齐次方程: '()y y x=Φ (1)解法: '(),()ydu dxu u xu u x u u x =⇒+=Φ=Φ-⎰⎰(2)特例:111222a xb yc dy dx a x b y c ++=++ 5. 全微分方程(数一): (,)(,)0M x y dx N x y dy +=且N Mx y∂∂=∂∂ dU Mdx Ndy U C =+⇒=6. 一阶差分方程(数三): 1*()()x x x x x n xx y ca y ay b p x y x Q x b+=⎧-=⇒⎨=⎩ 三. 二阶降阶方程1. "()y f x =: 12()y F x c x c =++2. "(,')y f x y =: 令'()"(,)dpy p x y f x p dx=⇒== 3. "(,')y f y y =: 令'()"(,)dpy p y y pf y p dy=⇒== 四. 高阶线性方程: ()"()'()()a x y b x y c x y f x ++= 1. 通解结构:(1)齐次解: 01122()()()y x c y x c y x =+(2)非齐次特解: 1122()()()*()y x c y x c y x y x =++ 2. 常系数方程: "'()ay by cy f x ++= (1)特征方程与特征根: 20a b c λλ++=(2)非齐次特解形式确定: 待定系数; (附: ()axf x ke =的算子法) (3)由已知解反求方程.3. 欧拉方程(数一): 2"'()ax y bxy cy f x ++=, 令2"(1),'tx e x y D D y xy Dy =⇒=-= 五. 应用(注意初始条件):1. 几何应用(斜率, 弧长, 曲率, 面积, 体积); 注: 切线和法线的截距2. 积分等式变方程(含变限积分); 可设()(),()0xaf x dx F x F a ==⎰3. 导数定义立方程: 含双变量条件()f x y +=的方程4. 变化率(速度)5. 22dv d x F ma dt dt === 6. 路径无关得方程(数一): Q Px y∂∂=∂∂ 7. 级数与方程:(1)幂级数求和; (2)方程的幂级数解法:201201,(0),'(0)y a a x a x a y a y =+++==8. 弹性问题(数三)第五讲: 多元微分与二重积分一. 二元微分学概念1. 极限, 连续, 单变量连续, 偏导, 全微分, 偏导连续(必要条件与充分条件), (1)000000(,),(,),(,)x y f f x x y y f f x x y f f x y y ∆=++∆=+∆=+ (2)lim ,lim,lim y x x y f ff f f x y∆∆∆==∆∆ (3)22,lim()()x y f df f x f ydf x y ∆-++ (判别可微性)注: (0,0)点处的偏导数与全微分的极限定义: 00(,0)(0,0)(0,)(0,0)(0,0)lim,(0,0)lim x y x y f x f f y f f f x y→→--==2. 特例:(1)22(0,0)(,)0,(0,0)xyx y fx y ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩: (0,0)点处可导不连续;(2)(0,0)(,)0,(0,0)f x y ≠==⎩: (0,0)点处连续可导不可微;二. 偏导数与全微分的计算:1. 显函数一,二阶偏导: (,)z f x y = 注: (1)yx 型; (2)00(,)xx y z ; (3)含变限积分2. 复合函数的一,二阶偏导(重点): [(,),(,)]z f u x y v x y =熟练掌握记号''"""12111222,,,,f f f f f 的准确使用3. 隐函数(由方程或方程组确定): (1)形式: *(,,)0F x y z =; *(,,)0(,,)0F x y zG x y z =⎧⎨=⎩ (存在定理)(2)微分法(熟练掌握一阶微分的形式不变性): 0x y z F dx F dy F dz ++= (要求: 二阶导) (3)注: 00(,)x y 与0z 的及时代入 (4)会变换方程. 三. 二元极值(定义?);1. 二元极值(显式或隐式): (1)必要条件(驻点); (2)充分条件(判别)2. 条件极值(拉格朗日乘数法) (注: 应用)(1)目标函数与约束条件: (,)(,)0z f x y x y ϕ=⊕=, (或: 多条件) (2)求解步骤: (,,)(,)(,)L x y f x y x y λλϕ=+, 求驻点即可. 3. 有界闭域上最值(重点).(1)(,){(,)(,)0}z f x y M D x y x y ϕ=⊕∈=≤ (2)实例: 距离问题四. 二重积分计算:1. 概念与性质(“积”前工作): (1)Dd σ⎰⎰,(2)对称性(熟练掌握): *D 域轴对称; *f 奇偶对称; *字母轮换对称; *重心坐标; (3)“分块”积分: *12D D D =; *(,)f x y 分片定义; *(,)f x y 奇偶2. 计算(化二次积分):(1)直角坐标与极坐标选择(转换): 以“D ”为主; (2)交换积分次序(熟练掌握). 3. 极坐标使用(转换): 22()f x y +附: 222:()()D x a y b R -+-≤; 2222:1x y D a b+≤;双纽线222222()()x y a x y +=- :1D x y +≤ 4. 特例:(1)单变量: ()f x 或()f y (2)利用重心求积分: 要求: 题型12()Dk x k y dxdy +⎰⎰, 且已知D 的面积DS与重心(,)x y5. 无界域上的反常二重积分(数三) 五: 一类积分的应用(():;;;;f M d D L σΩ⇒ΩΩΓ∑⎰):1. “尺寸”: (1)D Dd Sσ⇔⎰⎰;(2)曲面面积(除柱体侧面);2. 质量, 重心(形心), 转动惯量;3. 为三重积分, 格林公式, 曲面投影作准备.第六讲: 无穷级数(数一,三)一. 级数概念1. 定义: (1){}n a , (2)12n n S a a a =+++; (3)lim n n S →∞(如1(1)!n nn ∞=+∑)注: (1)lim n n a →∞; (2)n q ∑(或1n a∑); (3)“伸缩”级数:1()n n a a +-∑收敛{}n a ⇔收敛. 2. 性质: (1)收敛的必要条件: lim 0n n a →∞=;(2)加括号后发散, 则原级数必发散(交错级数的讨论); (3)221,0n n n n s s a s s s s +→→⇒→⇒→; 二. 正项级数1. 正项级数: (1)定义: 0n a ≥; (2)特征: nS ; (3)收敛n S M ⇔≤(有界)2. 标准级数: (1)1p n ∑, (2)ln k n n α∑, (3)1ln k n n∑3. 审敛方法: (注:222ab a b ≤+,ln ln ba ab =)(1)比较法(原理):np ka n(估计), 如10()n f x dx ⎰; ()()P n Q n ∑(2)比值与根值: *1limn n nu u +→∞*n (应用: 幂级数收敛半径计算)三. 交错级数(含一般项):1(1)n n a +-∑(0n a >)1. “审”前考察: (1)0?n a > (2)0?n a →; (3)绝对(条件)收敛?注: 若1lim1n n na a ρ+→∞=>,则n u ∑发散2. 标准级数: (1)11(1)n n +-∑; (2)11(1)n p n +-∑; (3)11(1)ln n p n+-∑ 3. 莱布尼兹审敛法(收敛?) (1)前提:na∑发散; (2)条件: ,0nn a a →; (3)结论:1(1)n n a +-∑条件收敛.4. 补充方法:(1)加括号后发散, 则原级数必发散; (2)221,0n n n n s s a s s s s +→→⇒→⇒→. 5. 注意事项: 对比 na∑;(1)n na-∑;na∑;2na∑之间的敛散关系四. 幂级数:1. 常见形式: (1)nna x∑, (2)()nna x x -∑, (3)20()nna x x -∑2. 阿贝尔定理:(1)结论: *x x =敛*0R x x ⇒≥-; *x x =散*0R x x ⇒≤- (2)注: 当*x x =条件收敛时*R x x ⇒=- 3. 收敛半径,区间,收敛域(求和前的准备) 注(1),n nn n a na x x n∑∑与n n a x ∑同收敛半径 (2)nna x∑与20()nna x x -∑之间的转换4. 幂级数展开法:(1)前提: 熟记公式(双向,标明敛域) 23111,2!3!xe x x x R =++++Ω= 24111()1,22!4!x x e e x x R -+=+++Ω= 35111(),23!5!x x e e x x x R --=+++Ω= 3511sin ,3!5!x x x x R =-+-Ω= 2411cos 1,2!4!x x x R =-++Ω=;211,(1,1)1x x x x =+++∈--; 211,(1,1)1x x x x=-+-∈-+ 2311ln(1),(1,1]23x x x x x +=-+-∈-2311ln(1),[1,1)23x x x x x -=----∈-3511arctan ,[1,1]35x x x x x =-+-∈-(2)分解: ()()()f x g x h x =+(注:中心移动) (特别: 021,x x ax bx c=++) (3)考察导函数: ()'()g x f x 0()()(0)xf xg x dx f ⇒=+⎰(4)考察原函数: 0()()xg x f x dx ⎰()'()f x g x ⇒=5. 幂级数求和法(注: *先求收敛域, *变量替换): (1)(),S x =+∑∑(2)'()S x =,(注意首项变化)(3)()()'S x =∑,(4)()"()"S x S x ⇒的微分方程 (5)应用:()(1)n nn n aa x S x a S ⇒=⇒=∑∑∑.6. 方程的幂级数解法7. 经济应用(数三):(1)复利: (1)nA p +; (2)现值: (1)nA p -+五. 傅里叶级数(数一): (2T π=)1. 傅氏级数(三角级数): 01()cos sin 2n n n a S x a nx b nx ∞==++∑ 2. Dirichlet 充分条件(收敛定理): (1)由()()f x S x ⇒(和函数) (2)1()[()()]2S x f x f x =-++ 3. 系数公式: 01()cos 1(),,1,2,3,1()sin n n a f x nxdx a f x dx n b f x nxdx πππππππππ---⎧=⎪⎪==⎨⎪=⎪⎩⎰⎰⎰4. 题型: (注: ()(),?f x S x x =∈) (1)2T π=且(),(,]f x x ππ=∈-(分段表示)(2)(,]x ππ∈-或[0,2]x π∈ (3)[0,]x π∈正弦或余弦 *(4)[0,]x π∈(T π=) *5. 2T l =6. 附产品: ()f x ⇒01()cos sin 2n n n a S x a nx b nx ∞==++∑ 00001()cos sin 2n n n a S x a nx b nx ∞=⇒=++∑001[()()]2f x f x =-++第七讲: 向量,偏导应用与方向导(数一)一. 向量基本运算1. 12k a k b +; (平行b a λ⇔=)2. a ; (单位向量(方向余弦) 01(cos ,cos ,cos )a a aαβγ=)3. a b ⋅; (投影:()a a b b a⋅=; 垂直:0a b a b ⊥⇔⋅=; 夹角:(,)a b a b a b⋅=)4. a b ⨯; (法向:,n a b a b =⨯⊥; 面积:S a b =⨯) 二. 平面与直线1.平面∏(1)特征(基本量): 0000(,,)(,,)M x y z n A B C ⊕=(2)方程(点法式): 000:()()()00A x x B y y C z z Ax By Cz D π-+-+-=⇒+++= (3)其它: *截距式1x y za b c++=; *三点式2.直线L(1)特征(基本量): 0000(,,)(,,)M x y z s m n p ⊕= (2)方程(点向式): 000:x x y y z z L m n p---== (3)一般方程(交面式): 111122220A xB yC zD A x B y C z D +++=⎧⎨+++=⎩(4)其它: *二点式; *参数式;(附: 线段AB 的参数表示:121121121()(),[0,1]()x a a a t y b b b t t z c c c t=+-⎧⎪=+-∈⎨⎪=+-⎩)3. 实用方法:(1)平面束方程: 11112222:()0A x B y C z D A x B y C z D πλ+++++++= (2)距离公式: 如点000(,)M x y到平面的距离d =(3)对称问题;(4)投影问题.三. 曲面与空间曲线(准备) 1. 曲面(1)形式∑: (,,)0F x y z = 或(,)z f x y =; (注: 柱面(,)0f x y =) (2)法向(,,)(cos ,cos ,cos )x y z n F F F αβγ=⇒ (或(,1)x y n z z =--)2. 曲线(1)形式():()()x x t y y t z z t =⎧⎪Γ=⎨⎪=⎩, 或(,,)0(,,)0F x y z G x y z =⎧⎨=⎩;(2)切向: {'(),'(),'()}s x t y t z t = (或12s n n =⨯)3. 应用(1)交线, 投影柱面与投影曲线;(2)旋转面计算: 参式曲线绕坐标轴旋转;(3)锥面计算.四. 常用二次曲面1. 圆柱面: 222x y R += 2. 球面: 2222x y z R ++=变形: 2222x y R z +=-,z =,2222x y z az ++=, 2222000()()()x x y y z z R -+-+-=3. 锥面: z =变形: 222x y z +=, z a = 4. 抛物面: 22z x y =+,变形: 22x y z +=, 22()z a x y =-+ 5. 双曲面: 2221x y z +=± 6. 马鞍面: 22z x y =-, 或z xy =五. 偏导几何应用 1. 曲面(1)法向: (,,)0(,,)x y z F x y z n F F F =⇒=, 注: (,)(,1)x y z f x y n f f =⇒=- (2)切平面与法线:2. 曲线(1)切向: (),(),()(',',')x x t y y t z z t s x y z ===⇒= (2)切线与法平面3. 综合: :Γ00F G =⎧⎨=⎩, 12s n n =⨯六. 方向导与梯度(重点) 1. 方向导(l 方向斜率):(1)定义(条件): (,,)(cos ,cos ,cos )l m n p αβγ=⇒ (2)计算(充分条件:可微):cos cos cos x y z uu u u lαβγ∂=++∂ 附: 0(,),{cos ,sin }z f x y l θθ==cos sin x y zf f lθθ∂⇒=+∂ (3)附: 2222cos 2sin cos sin xx xy yy f f f f lθθθθ∂=++∂2. 梯度(取得最大斜率值的方向) G :(1)计算:()(,)(,)x y a z f x y G gradz f f =⇒==; ()(,,)(,,)x y z b u f x y z G gradu u u u =⇒== (2)结论 ()a ul∂∂0G l =⋅; ()b 取l G =为最大变化率方向; ()c 0()G M 为最大方向导数值.第八讲: 三重积分与线面积分(数一)一. 三重积分(fdV Ω⎰⎰⎰)1. Ω域的特征(不涉及复杂空间域):(1)对称性(重点): 含: 关于坐标面; 关于变量; 关于重心 (2)投影法: 22212{(,)}(,)(,)xy D x y x y R z x y z z x y =+≤⊕≤≤ (3)截面法: 222(){(,)()}D z x y x y R z a z b =+≤⊕≤≤ (4)其它: 长方体, 四面体, 椭球 2. f 的特征:(1)单变量()f z , (2)22()f x y +, (3)222()f x y z ++, (4)f ax by cz d =+++ 3. 选择最适合方法: (1)“积”前: *dv Ω⎰⎰⎰; *利用对称性(重点)(2)截面法(旋转体): ()baD z I dz fdxdy =⎰⎰⎰(细腰或中空, ()f z , 22()f x y +)(3)投影法(直柱体): 21(,)(,)xyz x y z x y D I dxdy fdz =⎰⎰⎰(4)球坐标(球或锥体): 220sin ()RI d d f d παθϕϕρρ=⋅⋅⋅⎰⎰⎰,(5)重心法(f ax by cz d =+++): ()I ax by cz d V Ω=+++ 4. 应用问题:(1)同第一类积分: 质量, 质心, 转动惯量, 引力 (2)Gauss 公式二. 第一类线积分(Lfds ⎰)1. “积”前准备:(1)Lds L =⎰; (2)对称性; (3)代入“L ”表达式2. 计算公式:()[,]((),(()b aLx x t t a b fds f x t y t y y t =⎧∈⇒=⎨=⎩⎰⎰3. 补充说明: (1)重心法:()()Lax by c ds ax by c L ++=++⎰;(2)与第二类互换: LLA ds A dr τ⋅=⋅⎰⎰4. 应用范围(1)第一类积分 (2)柱体侧面积 (),Lz x y ds ⎰三. 第一类面积分(fdS ∑⎰⎰)1. “积”前工作(重点): (1)dS ∑=∑⎰⎰; (代入:(,,)0F x y z ∑=)(2)对称性(如: 字母轮换, 重心) (3)分片 2. 计算公式:(1)(,),(,)(,,(,xyxy D z z x y x y D I f x y z x y =∈⇒=⎰⎰(2)与第二类互换:A ndS A d S ∑∑⋅=⋅⎰⎰⎰⎰四: 第二类曲线积分(1):(,)(,)LP x y dx Q x y dy +⎰ (其中L 有向)1. 直接计算: ()()x x t y y t =⎧⎨=⎩,2112:['()'()]t t t t t I Px t Qy t dt →⇒=+⎰常见(1)水平线与垂直线; (2)221x y += 2. Green 公式: (1)()LDQ PPdx Qdy dxdy x y∂∂+=-∂∂⎰⎰⎰; (2)()L A B →⎰: *P Q y y ∂∂=⇒∂∂换路径; *P Q y y∂∂≠⇒∂∂围路径(3)L⎰(x y Q P =但D 内有奇点)*LL =⎰⎰(变形)3. 推广(路径无关性):P Q y y∂∂=∂∂ (1)Pdx Qdy du +=(微分方程)()BA L AB u →⇔=⎰(道路变形原理)(2)(,)(,)LP x y dx Q x y dy +⎰与路径无关(f 待定): 微分方程.4. 应用功(环流量):I F dr Γ=⋅⎰(Γ有向τ,(,,)F P Q R =,(,,)d r ds dx dy dz τ==)五. 第二类曲面积分: 1. 定义: Pdydz Qdzdx Rdxdy ∑++⎰⎰, 或(,,)R x y z dxdy ∑⎰⎰ (其中∑含侧)2. 计算:(1)定向投影(单项):(,,)R x y z dxdy ∑⎰⎰, 其中:(,)z z x y ∑=(特别:水平面);注: 垂直侧面, 双层分隔(2)合一投影(多项,单层): (,,1)x y n z z =-- [()()]xyPdydz Qdzdx Rdxdy P z Q z R dxdy ∑∑⇒++=-+-+⎰⎰⎰⎰(3)化第一类(∑不投影): (cos ,cos ,cos )n αβγ= (cos cos cos )Pdydz Qdzdx Rdxdy P Q R dS αβγ∑∑⇒++=++⎰⎰⎰⎰3. Gauss 公式及其应用: (1)散度计算: P Q R divA x y z∂∂∂=++∂∂∂ (2)Gauss 公式: ∑封闭外侧, Ω内无奇点Pdydz Qdzdx Rdxdy divAdv ∑Ω++=⎰⎰⎰⎰⎰(3)注: *补充“盖”平面:0∑∑+⎰⎰⎰⎰; *封闭曲面变形∑⎰⎰(含奇点)4. 通量与积分: A d S ∑Φ=⋅⎰⎰ (∑有向n ,(),,A P Q R =,(,,)d S ndS dydz dzdx dxdy ==)六: 第二类曲线积分(2):(,,)(,,)(,,)P x y z dx Q x y z dy R x y z dz Γ++⎰1. 参数式曲线Γ: 直接计算(代入)注(1)当0rot A =时, 可任选路径; (2)功(环流量):I F dr Γ=⋅⎰2. Stokes 公式: (要求: Γ为交面式(有向), 所张曲面∑含侧) (1)旋度计算: (,,)(,,)R A P Q R x y z∂∂∂=∇⨯=⨯∂∂∂ (2)交面式(一般含平面)封闭曲线: 0F G =⎧⇒⎨=⎩同侧法向{,,}x y z n F F F =或{,,}x y z G G G ;(3)Stokes 公式(选择): ()A dr A ndS Γ∑⋅=∇⨯⋅⎰⎰⎰(a )化为Pdydz Qdzdx Rdxdy ∑++⎰⎰; (b )化为(,,)R x y z dxdy ∑⎰⎰; (c )化为fdS ∑⎰⎰高数重点知识总结1、基本初等函数：反函数(y=arctanx)，对数函数(y=lnx)，幂函数(y=x)，指数函数(xa y =)，三角函数(y=sinx)，常数函数(y=c) 2、分段函数不是初等函数。

数学概论知识点总结数学是一门古老而又深奥的学科，它涵盖了很多方面，包括代数、几何、微积分、概率论、数论等多个分支。

数学的发展史可以追溯到古希腊和古埃及的文明，它在科学、工程、经济学等领域都有重要的应用。

本文将对数学概论的一些基本知识点进行总结，希望读者能够对数学有一个更全面的了解。

1.数学符号和公式数学符号是数学语言的基础，它用于表示数学对象、关系和运算。

常见的数学符号包括加减乘除、平方根、积分、求和、向量等。

这些符号具有明确的含义，可以简洁地表达数学概念和关系。

数学公式是由数学符号组成的表达式，用于描述数学问题和推导数学结论。

数学符号和公式是数学推理和证明的重要工具，也是应用数学的基础。

2.数学基本概念数学的基本概念包括数、集合、函数、等比数列、几何图形等。

数是数学的基本对象，包括自然数、整数、有理数和实数等。

集合是具有某种共同特征的对象的总体，函数是一个映射关系，即每个元素在定义域上对应一个元素在值域上。

等比数列是一种特殊的数列，它的每个元素与前一个元素的比值都相同。

几何图形是平面上的图形，包括点、线、面等。

这些基本概念是数学研究的基础，也是数学建模和解决实际问题的基础。

3.数学推理和证明数学推理是利用数学定律和规则对数学问题进行推导和分析的过程。

数学证明是通过一系列逻辑推理和推断，证明或反驳一个数学结论的过程。

数学推理和证明是数学研究和创新的核心部分，也是数学教学的重要内容。

它们能够帮助人们深刻理解数学问题的本质，提高数学解决问题的能力。

4.代数与几何代数是数学的一个重要分支，它研究数和数学对象之间的关系和运算规律。

代数包括代数方程、多项式、群论、环论、域论等多个分支。

几何是数学的另一个重要分支，它研究空间和图形的性质和关系。

几何包括平面几何和立体几何，它有着丰富的几何定理和几何推理方法。

代数和几何是数学的两大支柱，它们相互补充，共同构成了数学的重要内容。

5.微积分与数理统计微积分是数学的一个重要分支，它研究变化率和积分的概念和方法。

大学数学教育概论知识点总结大学数学教育概论知识点总结从小学到大学，可以说我一直都在接受教育，可是坦白说，要不是这学期学习了教育学，我根本就不会知道，除了儒家思想的因材施教这一古文化遗产涉及到教育之外，我所接受的十几年的教育竟然拥有如此广阔的研究领域，胡老师打破传统教学方式采用的理论+案例+我的授课方法更是让我对教育这门学科刮目相看，也改变了之前对教育学的幼稚的偏见。

记得第一次翻开《新编教育学》这本书时，我发现里面的内容特别枯燥乏味，几乎都是一些关于教育与社会呀，教育原则和方法啥的，好像与我们的生活经验、情感体验有很大的距离。

于是就想，学不学教育学用处不大，不学教育学以后照样能教好学。

后来上了胡老师的课之后，我才明白，我完全误解了教育学，更别谈其功能了，特别是自己亲自上讲台谈论《全身反应法在小学英语教学中的运用》后感触更深。

教育学是师范类学生的必修课，其目的是使学生通过教育学的学习掌握教育的基本原理，树立正确的教育思想，培养从事教育教学的工作能力等。

由此可见，教育学对培养未来合格人民教师的作用是确信无疑的。

如果大家都跟我一样继续持有这种偏见，教育的未来和学生的前程就很危险了。

经过一个学期的学习，我发现老师很精明，想必他料到了我们会对教育学产生偏见，并且可能会不喜欢上这门课，所以就采用理论+案例+我的创新教学方法，给我们耳目一新的感觉。

胡老师采用的这种创新教学方法，以理论与实际有机整合为宗旨，遵循教学目的的要求，以案例为基本素材，把整个学期合理整合为课前分组搜寻典型案例、课上学生共同探讨和最后老师分析总结案例三个阶段，将我们引入一个特定事件的真实情境中，培养了我们反思、创新的能力，使理论与实际得到紧密结合。

课前我们在老师的指导下，深入角度地上网搜索具有一定代表性的典型事件及其相关的内容、情节、过程和处理方法等，提高了我们的实际操作能力；课堂上我们以所搜集到的案例为基本素材，或单独站上讲台，或组织团体辩论，思想深刻的胡老师也积极与我们双向和多向互动，_等对话和研讨，培养了我们的批判反思意识及团体合作能力，并促使我们充分理解了课前课上研究现象的复杂性、变化性、多样性等属性，在思索过程中考虑如何将教学理论运用于实际。

数学教育概论总结数学教育概论（1）一、数学教学中合理地运用数学活动应当具备以下几个特点：1、数学活动应该是现实的、有趣的、富有挑战性的、与学生的生活经验相联系的；2、数学活动应该有助于培养学生实验、观察、猜想、思维的能力3、数学活动应该关注真实的活动；二、数学现实：学生的生活经验和已有的数学知识构成学生的数学现实，它是新知识的生长点。

三、数学教学设计：是为数学教学活动制定蓝图的过程。

完成设计教师需要考虑的方面：1、明确教学目标；2、形成设计意图；3、制定教学过程。

四、教师进行教学设计的目的：是为了达到教学活动的预期目的，减少教学过程中的盲目性和随意性，其最终目的是为了能够使学生更高效地学习，开发学生的学习潜能，塑造学生的健全人格，以促进学生的全面发展。

五、数学教学目标：是设计者希望通过数学教学活动达到的理想状态，是数学教学活动的结果，也是数学教学设计的起点。

1、远期目标：是某一课程内容学习结束里所要达到的目标，也可以是某一学习阶段结束后所要达到的目标。

2、近期目标：是某一课程内容学习过程中，或者某一学习环节结束时所要达到的目标。

3、过程性目标：知识与技能；过程与方法；情感与态度。

六、教学的重点：在学习中那些贯穿全民、带动全面、应用广泛、对学生认知结构起核心作用、在进一步学习中起基础作用和纽带作用的内容。

教学的难点：学生接受起来比较困难的知识点，往往是由于学生的认知能力、接受水平与新老知识之间的矛盾造成的，也可能是学习新知识时，所用到的旧知识不牢固造成的。

教学的关键：对掌握某一部分知识或解决葳个问题能起决定作用的知识内容，掌握了这部分内容。

七、几种教学过程：（一）、数学问题的教学设计：数学问题在数学教学设计中的作用不仅仅是创设出一个数学问题情境，使学生进入“愤”和“悱”的状况，更重要的是为学生的思维活动提供一个好的切入口，为学生的学习活动找到一个好的载体，从而给学生更多的思考、动手和交流的机会。

好的数学问题的特点：1、问题具有较强的探索性，要求人们具有某种程度的独立性、判断性、能动性和创造精神；2、问题具有现实意义或与学生的实际生活有着直接的联系，有趣味和魅力；3、问题具有开放性，有多种不同的解法或有多种可能的解答；4、问题能推广或扩充到各种情形。

大一数学知识点全归纳数学是一门基础学科，也是大多数学科的基石。

在大一的数学学习中，我们将接触到许多重要的数学知识点。

本文将对大一数学的重要知识点进行全面归纳和总结，帮助大家更好地理解和应用这些知识。

1.集合论1.1 集合的定义和表示法1.2 集合的运算：交集、并集、差集、补集1.3 集合的基本性质1.4 子集和真子集1.5 集合的扩展：幂集2.函数与映射2.1 函数的定义和性质2.2 函数的分类：一元函数、多元函数2.3 函数的图像与性质2.4 映射的定义与表示2.5 反函数与复合函数3.数列与级数3.1 数列的概念3.2 数列的分类：等差数列、等比数列、等差中项数列3.3 数列的通项公式3.4 数列的性质：有界性、单调性3.5 数列的极限概念3.6 数列极限的性质与计算方法4.极限与连续4.1 无穷小量的概念4.2 极限的定义与性质4.3 极限运算法则4.4 函数的连续性定义与性质4.5 利用极限与连续性解决实际问题5.导数与微分5.1 导数的定义与性质5.2 常见函数的导数5.3 高阶导数与导数的计算法则5.4 微分的概念与计算5.5 函数的单调性与极值问题6.积分与定积分6.1 原函数与不定积分6.2 定积分的概念与性质6.3 定积分的计算方法：牛顿-莱布尼茨公式、换元积分法6.4 定积分的几何意义与物理应用7.多项式与函数图像7.1 多项式的定义与性质7.2 多项式的基本运算：加法、减法、乘法、除法7.3 因式分解与根与系数的关系7.4 函数图像的性质与变换7.5 一些常见函数的特殊性质8.三角函数与解三角形8.1 三角函数的定义与性质8.2 基本三角函数的图像与性质8.3 三角函数的推广定义与性质8.4 三角方程的求解8.5 三角形的基本定理与性质9.空间几何与向量9.1 空间直角坐标与平面直角坐标系9.2 空间点与向量的表示与运算9.3 空间中的距离与角度9.4 平面与直线的方程与性质9.5 二维向量与三维向量的运算10.概率与统计10.1 随机试验与事件的概念10.2 频率与概率的关系10.3 古典概型与几何概型的概率计算10.4 条件概率与事件独立性10.5 一些常见的离散型和连续型概率分布函数通过对大一数学知识点的全面归纳和总结，我们可以更好地理解和掌握数学的基本概念和方法。

大一数学各章知识点一、微积分1. 极限和连续极限定义、极限的性质、无穷小量与无穷大量、函数连续的定义与性质。

2. 导数与微分导数的定义、导数的几何意义和物理意义、导数运算法则、高阶导数、隐函数及参数方程的导数、微分与线性近似、导数的应用。

二、数学分析与线性代数1. 函数与极限有界性与有界变函数的极限、函数极限的性质、无界函数极限、级数的敛散性。

2. 高等代数向量空间的基本概念与性质、线性相关性与线性无关性、向量的线性组合、基和坐标、线性子空间与商空间。

三、离散数学与概率论1. 逻辑与集合命题逻辑的基本概念、命题逻辑的基本运算、真值表、集合的基本概念与运算。

2. 概率论古典概型的概率、条件概率、独立性、离散型随机变量与分布列、连续型随机变量与密度函数。

四、数学建模与运筹学1. 数学建模建模的基本思路与方法、模型的评价与选择、模型的求解与分析、模型的应用。

2. 运筹学线性规划、整数规划、非线性规划、动态规划、图论。

五、常微分方程与偏微分方程1. 常微分方程基本概念与初值问题、解的存在唯一性、一阶常微分方程的解法、高阶线性常微分方程的解法，齐次线性方程、非齐次线性方程。

2. 偏微分方程偏导数与偏微分方程、二阶线性偏微分方程、波动方程、热传导方程、拉普拉斯方程。

六、数理统计与应用统计1. 数理统计随机变量、概率分布、数理期望和方差、分布函数、正态分布、大数定理与中心极限定理。

2. 应用统计抽样调查与抽样分布、参数估计与假设检验、方差分析、相关分析、回归分析。

七、离散数学与组合数学1. 图论图的基本概念与性质、图的遍历与连通性、最小生成树、最短路径、网络流、图的着色问题。

2. 组合数学排列组合、二项式定理、容斥原理、多重集合与划分、递归与递推关系、离散数学在计算机科学中的应用。

以上是大一数学各章知识点的简要概括，涵盖了微积分、数学分析与线性代数、离散数学与概率论、数学建模与运筹学、常微分方程与偏微分方程、数理统计与应用统计、离散数学与组合数学等主要内容。

1. 数学教育： 是一种社会文化现 生自主学习一个最有利，有力的注意： 1. 导入方法的选择要有针 学习动机，兴趣，信心等非智力 象，其社会性决定了数学教育要 “教学工具” 引导学生自主学习， 对性。

2. 导入方法的选择要具有 因素的培养。

6.教学基本功是否扎 与时俱进，不断创新．数学教育 规范学生学习行为，特别是学生 多样性。

3. 导入语言要有艺术性。

实。

如普通话语言是否规范、生中的教育目标、教育内容、教育 放任自流学习时，起最大的限制 [2] 讲解技能： 讲解技能中的一类 动形象；教态是否亲切、自然、 技术等一系列问题都会随着社会 和控制作用。

学生使命：自主学 教学行为，在行为方式上的特点大方；板书是否工整、美观、清 的进步而不断变革与发展．习，借助帮助，利用学习资料加是 “以语言讲述为主 ”的方式；在 楚，是否有较强的课堂掌控能力2. 课程的性质和地位： 是数学教 强学生之间相互协作与对话。

构教学功能上的特点是：传授知识 等。

7.教学效果如何。

教学效率， 育专业的专业基础必修课，是一 建自己完整的学习知识体系。

）5. 和方法、启发思维、表达思想感 学生受益情况等。

8.教学特色如何。

门实践性很强的学科，主要研究学习环境。

6.评价观 情”。

即教学的个人特点，教师的教学 的是数学教育数学理论，是数学 双基： 含义：（ 1 ）数学基本知识 目的： 传授数学知识和技能。

2. 风格。

论，课程论和学习论的综合。

（ 2）数学基本技能启发思维， 培养能力。

3.提高思想 16.课程的改革：3. 教学设计 是根据教学对象和教 8.教学模式： 在一定教学思想和 认识，培养数学学习情感因素。

《标准 1》的基本理念： 1.突出体学目标，确定合适的教学起点与 教育理论指导下形成的教学活动 原则： 1.科学性原则。

2.启发性原 现基础性、普及性和发展性。

2. 终点，将教学诸要素有序、优化 的基本框架结构。

1、克莱因对数学教育改革有哪些建议？答：1）数学教师应具备较高的数学观点，只有观点高了，事物才能显明了而简单；2）教育应该是发生性的，所以空间的直观，数学上的应用，函数的概念是非常必要的；3)应该用综合起来的一般概念和方法来解决问题，而不要去深钻那种特殊的解法；4)应该把算术、代数和几何学方面的内容，用几何的形式以函数为中心观念综合起来。

2、数学家和心理学家对数学教育的影响主要表现在哪些方面？答：数学家对数学教育的影响主要体现在教学内容的选取和安排上；心理学家的影响主要体现在研究方法指导上。

3、国际上数学教育研究热点的演变答：1972年，在第二届国际数学教育大会上，GeoffreyHowson称数学教育还只是处在形成期，就像一个孩子，一个青少年，但是，现在我们可以称数学教育为年轻人了，可以考虑和探讨数学教育的发展、特点和成就了。

4、数学发展史划分为哪四个阶段？答：1)以《几何原本》为代表的古希腊的公理化数学（公元前700-300）；2）以牛顿发明微积分为代表的无穷小算法数学（17-18世纪）；3）以希尔伯特为代表的现代公理化数学（19-20世纪中叶）；4）以现代计算机技术为代表的信息时代数学（20世纪中叶--今天）。

5、20世纪数学观有什么变化？答：20世纪布尔巴基学派的“结构主义”数学，更把形式主义数学推向新的高峰。

6、你如何认识数学的文化本质？答：我们应该从互动中认识数学的文化本质，并且在数学教学中揭示数学的文化意义，使学生受到深刻的文化感染。

1）数学是人类文明的火车头；2)数学打上了人类各个文化发展的烙印；3）数学应从社会文化中汲取营养；4）数学思维方式对人类文化的独特贡献；5）数学成为描述自然和社会的语言7、简述我国数学教学理念的发展答：1）由关心教师的“教”转向也关注学生的“学”；2）从“双基”与“三大能力”的观点的形成，发展到更宽广的能力关和素质观；3）从听课、阅读、演题，到提倡实验、讨论、探索的学习方式；4）从看重数学的抽象和严谨，到关注数学文化、数学探究和数学应用8、弗莱登塔尔的生平及数学教育方面的主要代表答：他是世界著名的数学家和数学教育家，曾经是荷兰皇家科学院的院士和数学教育研究所所长，专长为李群和拓扑学，1960年后，研究重心转向数学教育，在1967-1970期间任“国际数学教育委员会“主席；代表有《作为教育任务的数学》、《除草于播种》、《数学教育再探》。

第二章1.数学观的变化（1）公理化方法、形式演绎仍然是数学的特征之一，但是数学不等于形式。

数学正在走出形式主义的光环。

（2）在计算机技术的支持下，数学注重应用。

（3）数学不等于逻辑，要做“好”的数学。

2. 20世纪我国数学教育观的变化（1）由关心教师的“教”转向也关注学生的“学”；（2）从“双基”与“三力”观点的形成，发展到更宽广的能力观和素质观；（3）从听课、阅读、演题到提倡实验、讨论、探索的学习方式；（4）从看重数学的抽象和严谨到关注数学文化、数学探究和数学应用。

3. 我国影响较大的几次数学教改实验（P38）第三章4.弗赖登塔尔的数学教育理论倡导数学教育研究要像研究数学一样，以科学论文的形式交流研究心得，并有详细文献支持，因而使数学教育研究不再只停留在经验交流的水平上。

5. 数学教育有五个主要特征:（1）情境问题是教学的平台；（2）数学化是数学教育的目标；（3）学生通过自己努力得到的结论和创造是教育内容的一部分（4）“互动”是主要的学习方式；（5）学科交织是数学教育内容的呈现方式。

这些特征可以用三个词加以概括：现实、数学化、再创造（指通过教师精心设计、创造问题情境，学生自己动手实验研究、合作商讨、探索问题的结果并进行组织的学习方式，其核心是数学过程的再现。

）6.现实数学教育所说的数学化有两种形式：（1）实际问题转化为数学问题的数学化（2）从符号到概念的数学化7.波利亚的数学教育观中学数学教育的根本目的是“教会学生思考”。

主动学习。

数学老师必须具备数学内容知识和数学教学法的知识。

9.建构主义的数学教育理论10. 数学知识是什么建构主义学说认为，数学知识并非绝对真理，即不是现实世界的纯粹客观的反映。

数学只不过是人们对客观世界的一种解释、假设或假说，并将随着人们认识程度的深入而不断地变革、升华和改写，直至出现新的解释和假设。

11.儿童如何学习数学数学教学应该符合学生的年龄特征、知识基础以及个性特点，不能不顾教学对象盲目施教。

1.数学教育：是一种社会文化现象，其社会性决定了数学教育要识。

）4.师生观。

（教师使命：学生自主学习一个最有利，有力的原则。

3. 趣味性原则。

4.直观性原则。

5.适度性原则。

机会，是否注意知识形成的过程。

4.教学方法上，是否灵活多样，与时俱进，不断创新．数学教育“教学工具”引导学生自主学习，注意：1.导入方法的选择要有针符合实际，是否恰当地运用现代中的教育目标、教育内容、教育技术等一系列问题都会随着社会的进步而不断变革与发展．2. 课程的性质和地位：是数学教育专业的专业基础必修课，是一规范学生学习行为，特别是学生放任自流学习时，起最大的限制和控制作用。

学生使命：自主学习，借助帮助，利用学习资料加强学生之间相互协作与对话。

构对性。

2. 导入方法的选择要具有多样性。

3.导入语言要有艺术性。

[2]讲解技能：讲解技能中的一类教学行为，在行为方式上的特点教学手段等。

5.是否注意情感教育，即课堂气氛是否和谐，是否注重学生学习动机，兴趣，信心等非智力因素的培养。

6.教学基本功是否扎实。

如普通话语言是门实践性很强的学科，主要研究建自己完整的学习知识体系。

）5.学是“以语言讲述为主”的方式；在否规范、生动形象；教态是否亲的是数学教育数学理论，是数学论，课程论和学习论的综合。

3. 教学设计是根据教学对象和教学目标，确定合适的教学起点与终点，将教学诸要素有序、优化习环境。

6.评价观双基：含义：（1）数学基本知识（2）数学基本技能8.教学模式：在一定教学思想和教育理论指导下形成的教学活动教学功能上的特点是：传授知识和方法、启发思维、表达思想感情”。

目的：传授数学知识和技能。

2.启发思维，培养能力。

3.提高思切、自然、大方；板书是否工整、美观、清楚，是否有较强的课堂掌控能力等。

7.教学效果如何。

教学效率，学生受益情况等。

8.教学特色如何。

即教学的个人特地安排，形成教学方案的过程。

它是一门运用系统方法科学解决的基本框架结构。

大学数学知识点总结一、微积分1. 极限与连续性- 极限的定义与性质- 无穷小与无穷大- 连续函数的性质与分类2. 微分学- 导数的定义与计算- 高阶导数- 隐函数与参数方程的微分3. 积分学- 不定积分与定积分- 积分技巧（换元法、分部积分法等）- 积分的应用（面积、体积、弧长等）4. 微分方程- 常微分方程的基本概念- 可分离变量的微分方程- 一阶线性微分方程二、线性代数1. 向量与空间- 向量的运算与性质- 向量空间与子空间- 线性相关与线性无关2. 矩阵与变换- 矩阵的运算- 矩阵的逆与行列式- 线性变换与特征值问题3. 线性方程组- 线性方程组的解的结构- 高斯消元法- 克拉默法则三、概率论与数理统计1. 概率论基础- 随机事件与概率的定义- 条件概率与独立性- 随机变量与分布函数2. 描述性统计- 数据的集中趋势（均值、中位数、众数） - 数据的离散程度（方差、标准差、极差） - 数据的分布形状（偏度、峰度）3. 推断性统计- 抽样与抽样分布- 置信区间- 假设检验四、离散数学1. 集合论- 集合的基本概念与运算- 基数与序数- 有限集合与无限集合2. 图论- 图的基本概念（顶点、边、路径）- 图的遍历（深度优先搜索、广度优先搜索） - 欧拉图与哈密顿图3. 逻辑与布尔代数- 命题逻辑与谓词逻辑- 布尔代数的基本运算- 逻辑电路的设计五、数值分析1. 数值线性代数- 矩阵的数值分解（LU分解、QR分解等）- 线性方程组的数值解法- 特征值问题的数值方法2. 插值与逼近- 多项式插值- 样条插值- 最小二乘法3. 常微分方程的数值解- 欧拉方法与改进的欧拉方法- 龙格-库塔方法- 边界值问题的数值解法以上是大学数学课程中常见的几个主要领域的知识点概要。

每个领域都有其详细的理论基础和应用场景，需要通过系统的学习和大量的练习来掌握。

如果需要进一步的详细解释或示例，可以针对每个部分进行扩展。

大学数学总结知识点汇总一、集合论和逻辑1. 集合的概念和表示方法：集合是由若干个确定的、互不相同的成员所组成的整体。

2. 集合的运算：包括并集、交集、补集、差集等运算。

3. 集合的基本关系：包括包含关系、相等关系等。

4. 逻辑运算：包括与、或、非等逻辑运算。

5. 命题和条件语句：对于一个命题，可以进行否定或假设，也可以通过条件语句进行命题的推导。

二、数理统计和概率论1. 随机变量和概率：随机变量是指在一次随机试验中，可能取其值的变量。

2. 概率分布：指一个随机变量在各个取值上的概率。

3. 大数定律和中心极限定理：包括伯努利大数定律、切比雪夫不等式、中心极限定理等。

4. 统计量及其分布：包括均值、方差、卡方分布、t分布、F分布等统计量及其分布。

三、微积分1. 函数及其性质：包括函数的定义、性质、极限等。

2. 导数和微分：包括导数的定义、性质、求导法则等。

3. 积分和不定积分：包括积分的概念、性质、不定积分的计算方法等。

4. 定积分与定积分的应用：包括定积分的计算方法、定积分的应用于求解曲线下面积、体积、质心等。

四、线性代数1. 行列式：包括行列式的定义、性质、计算方法等。

2. 矩阵及其运算：包括矩阵的定义、性质、加法、数乘、乘法等。

3. 求解线性方程组：包括克拉默法则、高斯消元法、矩阵法等方法。

4. 特征值和特征向量：包括特征值和特征向量的概念、计算方法、应用等。

五、离散数学1. 图论：包括图的概念、性质、连通性、欧拉回路、哈密顿回路等。

2. 代数系统：包括群、环、域等代数系统的定义、性质、应用等。

3. 排列与组合：包括排列的计算方法、组合的计算方法、多重集合等。

六、数学分析1. 级数：包括级数的性质、收敛性、敛散性判别法等。

2. Fourier级数：包括Fourier级数的定义、性质、收敛性等。

3. 多元函数微分学：包括多元函数的定义、极限、偏导数、全微分等。

4. 曲线积分和曲面积分：包括一元曲线积分、二元曲线积分、曲面积分等。

大学数学的全部知识点总结数学作为一门科学，是研究数量、结构、变化和空间等概念的学科。

它在大学阶段的学习中起着重要的角色，涵盖了广泛的知识点。

以下是大学数学的一些重要知识点的总结。

1.微积分微积分是数学的一个重要分支，分为微分学和积分学。

微分学研究函数的变化率和斜率，积分学研究曲线下的面积和累积效应。

微积分在物理学、工程学和经济学等领域中都有广泛的应用。

2.线性代数线性代数是研究向量空间和线性变换的学科。

它涉及向量、矩阵、线性方程组和特征值等概念。

线性代数在计算机科学、物理学和统计学等领域中具有重要的应用。

3.概率论与数理统计概率论研究随机事件的发生概率，数理统计研究如何通过数据来进行推断和决策。

概率论和数理统计在风险管理、市场分析和医学研究等领域中起着至关重要的作用。

4.数学分析数学分析是对函数和序列的研究，涉及极限、连续性和可微性等概念。

它是微积分的基础，也是数学建模和理论研究的重要工具。

5.离散数学离散数学研究离散结构和离散对象，如图论、逻辑和组合数学等。

它在计算机科学和密码学等领域中有广泛的应用。

6.几何学几何学研究空间和形状的性质，包括平面几何、立体几何和非欧几何等。

几何学在建筑学、艺术和地理学等领域中具有重要的应用。

7.数论数论研究整数的性质和结构，包括质数、同余和数的分解等。

它在密码学和编码理论等领域中起着重要的作用。

8.线性规划线性规划是数学优化的一个分支，研究如何在一定的约束条件下最大化或最小化一个线性函数。

线性规划在经济学、管理学和工程学等领域中被广泛应用。

9.偏微分方程偏微分方程研究多变量函数的变化规律，包括热传导、电磁场和量子力学等领域。

它在物理学和工程学等领域中具有重要的应用。

10.数学建模数学建模是将数学方法应用于实际问题的过程，涉及问题的抽象、模型的建立和求解方法的选择等。

数学建模在工程设计、环境保护和金融分析等领域中发挥着重要的作用。

以上是大学数学的一些重要知识点的总结。

数学教育概论考点数学教育概论是培养学生数学素养的过程中的一门重要课程。

通过学习数学教育概论，可以帮助学生了解数学知识与数学学科的重要性、发展历史、特点和意义，并提供一种方法论，帮助学生构建数学知识的框架，培养他们的数学思维和解决问题的能力。

以下是数学教育概论的重要考点。

一、数学的定义、性质和发展历史。

数学是一门研究数量、结构、变化和空间等概念与现象的学科。

它具有抽象性、严谨性和普遍性等特点，是人类思维的一种重要方式。

了解数学的定义和性质，以及数学发展的历史，有助于学生理解数学的内涵和发展趋势。

二、数学教育的意义和目标。

数学教育是培养学生科学素养和创新能力的重要途径之一、了解数学教育的意义和目标，帮助学生理解数学教育的重要性和必要性。

三、数学教育的原则和方法。

数学教育的原则包括启发性原则、巩固性原则、系统性原则和亲和性原则等。

数学教育的方法包括讲授法、研究法、实验法和讨论法等。

理解数学教育的原则和方法，有助于学生改进学习方法，提高学习效果。

四、数学教育的评价和评价工具。

数学教育的评价应该是多元化、全面性和客观性的。

评价工具包括作业、考试、实验报告、小组讨论和口头报告等。

了解数学教育的评价和评价工具，有助于学生对自己的学习情况进行反思和改进。

五、数学教育的发展现状和问题。

了解国内外数学教育的发展现状和问题，有助于学生对数学教育的现实情况有更深入的了解，也有助于学生思考如何改进和创新数学教育的方法。

六、数学教育的结构和内容。

数学教育的结构包括初等数学教育、中等数学教育和高等数学教育等。

数学教育的内容包括数学的基本概念、运算规则、问题解决方法和数学应用等。

了解数学教育的结构和内容，有助于学生对数学知识有系统的了解和掌握。

七、数学教育的创新和发展趋势。

数学教育需要不断创新和发展，以适应社会进步和个体需求的变化。

了解数学教育的创新和发展趋势，有助于学生构建学习的长远发展规划。

总之，数学教育概论是数学教育的基础性课程，通过深入学习数学教育概论的相关知识，可以帮助学生全面了解数学教育的内涵和要求，提高数学学科的学习兴趣和学习效果，为未来深入学习和应用数学打下坚实的基础。

数学概论知识点总结数学是一门抽象而又广泛应用的学科，作为一种逻辑严密的语言，它在自然科学、工程技术、社会科学等领域中都有广泛的应用。

本文将对数学概论中的一些重要知识点进行总结和讨论。

1. 数学符号与运算数学中使用的符号和运算是数学概论中最基本的内容。

其中，数学符号是表示数值、变量或运算的特殊符号，如加号（+）、减号（-）、乘号（×）、除号（÷）等。

运算包括加法、减法、乘法和除法，以及它们的各种组合运算。

2. 数集和集合运算数学中的数可以组成数集，数集包括自然数集、整数集、有理数集和实数集等。

集合运算是指对集合进行交（∩）、并（∪）、差（－）等操作，以得到新的集合。

3. 方程与不等式方程是指包含一个或多个未知数的等式，解方程是求出使方程成立的未知数的值。

不同类型的方程有不同的解法，如一次方程、二次方程等。

不等式则是表示两个数之间的关系，如大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）、小于等于（≤）等。

4. 函数与图像函数是指一个数集到另一个数集的映射关系，通常用字母表示，如f(x)、g(x)等。

函数可以用图像来表示，图像可以帮助我们更直观地理解函数的性质和特点，如函数的增减性、奇偶性等。

5. 数列与级数数列是指按照一定规律排列的一系列数，如等差数列、等比数列等。

级数是指数列各项的和，如等差级数、等比级数等。

数列和级数在数学和其他学科中具有重要的应用。

6. 极限与连续极限是数学中的一个重要概念，它描述了一序列数在无穷项时的趋势。

极限有单侧极限和双侧极限之分，并且可以用来定义函数的连续性。

7. 导数与微分导数是数学中的一个重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。

导数可以用来求函数的极值、刻画曲线的弯曲程度等。

微分则是导数的一个应用，它可以帮助我们求出函数的近似值和误差。

8. 积分与定积分积分是数学中的一个基本概念，它是求解给定函数曲线下的面积或弧长的方法。

定积分是积分的一种形式，它表示曲线下的面积或弧长恰好等于某个常数。

大学数学知识点总结1. 线性代数1.1 向量和矩阵•向量的定义和运算：加法、数乘、点乘•矩阵的定义和运算：加法、数乘、乘法•向量空间的概念和性质•行列式的计算和性质1.2 线性方程组•线性方程组的解的存在唯一性判断•高斯消元法求解线性方程组•矩阵求逆的方法•矩阵的秩和最简行阶梯型1.3 特征值和特征向量•特征值和特征向量的定义和性质•特征值和特征向量的求解方法•对角化和相似矩阵的概念2. 微积分2.1 极限和连续•函数的极限和连续的定义•无穷小和无穷大的定义•极限的性质和运算法则•常用的极限计算方法2.2 导数和微分•导数的定义和几何意义•导数的基本运算法则•高阶导数和隐函数求导•微分的定义和几何意义2.3 积分•不定积分和定积分的定义•积分的性质和基本公式•分部积分和换元积分法•定积分的几何意义3. 概率统计3.1 概率•概率的基本概念和性质•条件概率和独立事件的概率•随机变量的概率分布•期望、方差和协方差的定义和性质3.2 统计•样本与总体的概念•抽样和抽样分布的基本知识•参数估计和假设检验的基本方法3.3 常用概率分布•正态分布和标准正态分布•二项分布和泊松分布•样本均值的分布和样本比例的分布4. 微分方程4.1 常微分方程•常微分方程的基本概念和分类•一阶常微分方程的解法•高阶线性常微分方程的解法•常微分方程的初值问题和边值问题4.2 偏微分方程•偏微分方程的基本概念和分类•热传导方程、波动方程和拉普拉斯方程的解法•边值问题和本征值问题的求解方法以上是大学数学中的一些重要知识点的总结。

掌握这些数学知识，对于其他学科如物理、工程等都有重要的应用价值。

在学习过程中，还需要通过练习题和实际应用问题的解析深入理解这些知识点。

希望这个总结能够帮助你在学习大学数学时有所指导和帮助。

大一数学知识点归纳笔记一、函数与极限1. 函数的定义与性质a) 函数的定义：函数是一种具有唯一对应关系的数学关系，用来描述自变量与因变量之间的关系。

b) 奇函数与偶函数：在定义域内，奇函数满足f(-x) = -f(x)，偶函数满足f(-x) = f(x)。

c) 基本初等函数：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。

2. 极限与连续函数a) 极限的定义：当自变量趋于某个值时，函数的极限表示函数值无限接近于某个确定的常数。

b) 无穷极限：函数值无限逼近正无穷或负无穷。

c) 连续函数：在定义域内函数无间断地延续，即无跳跃点或间断点。

二、微分学1. 导数与微分a) 导数的定义：函数在某一点的导数表示函数在该点的切线斜率。

b) 导数的求法：基本导数公式、导数的四则运算、复合函数的导数、隐函数的导数等。

c) 微分：微分是函数在某一点附近的线性近似，可以用来估计函数值的变化。

2. 高阶导数与应用a) 高阶导数：导数的导数，如二阶导数、三阶导数等。

b) 函数的凹凸与拐点：通过函数的二阶导数可以判断函数的凹凸性和拐点。

c) 应用：切线与法线、函数极值点、函数的最大值与最小值等。

三、积分学1. 不定积分与定积分a) 不定积分：函数的原函数的集合，不定积分表示函数在某个定义域上的所有原函数。

b) 定积分：函数在某个区间上的积分值，表示曲线与x轴之间的有向面积。

c) 积分的性质：线性性、保号性、区间可加性等。

2. 定积分的计算与应用a) 基本积分公式：幂函数的积分、三角函数的积分、反函数的积分等。

b) 曲线长度与曲面积：通过积分可以计算曲线长度和曲面积。

c) 牛顿-莱布尼兹公式：积分与导数之间的关系。

四、级数与数列1. 数列的概念与性质a) 数列的定义：有序数组成的集合。

b) 数列的极限：当n趋于无穷大时，数列的极限表示数列的趋势或趋近的值。

c) 数列的收敛与发散：数列存在极限时称为收敛，否则称为发散。

2. 级数的概念与性质a) 级数的定义：将数列的项相加所得到的无穷和。

大学生数学理论知识点总结1. 数学基本概念数学是一门研究数量、结构、变化以及空间关系等概念和现象的学科。

数学的基本概念包括数、代数、几何、分析等部分。

在数学中，最基本的概念是数，数是用来计数和量化事物的，包括自然数、整数、有理数、无理数、实数和复数等。

代数是研究数与数之间的运算关系的数学分支，包括代数式、方程、不等式、函数、数列等内容。

几何是研究空间形状和大小，以及空间中的位置关系和运动规律的数学分支，包括点、线、面、体等基本概念和相关定理。

分析是研究函数、极限、导数、积分等概念和方法的数学分支，是现代数学的重要组成部分。

2. 数学基本原理数学的基本原理包括数学基本概念的相关定理和公理、定理的证明方法等内容。

在数学中，公理是指不能从其他概念或原理中推导出来的基本命题，是数学理论的起点。

在公理的基础上，可以推导出很多定理，定理是在公理和已经得到证明的定理的基础上推导出来的结论。

证明是一种推理过程，用来证实某个命题的真实性，是数学研究中的重要工具，在证明中常常使用逻辑推理和数学方法。

3. 数学分支数学是一门涵盖广泛的学科，包括代数、几何、分析、概率统计、数论等多个分支。

代数是研究数与数之间的运算关系的数学分支，包括代数式、方程、不等式、函数、数列等内容。

几何是研究空间形状和大小，以及空间中的位置关系和运动规律的数学分支，包括点、线、面、体等基本概念和相关定理。

分析是研究函数、极限、导数、积分等概念和方法的数学分支，是现代数学的重要组成部分。

概率统计是研究随机现象的规律性和统计方法的数学分支，包括概率论和数理统计等内容。

数论是研究自然数和整数性质的数学分支，包括素数、同余、分解等内容。

4. 数学基本方法数学研究中常用的方法包括直接证明、间接证明、反证法、归纳法、反证法、对偶原则等。

直接证明是指通过逻辑推理来证明某个命题的真实性，是数学证明中最常用的方法之一。

间接证明是通过先假设反命题的否命题成立，然后推导出矛盾来证明某个命题的真实性。