概率论与数理统计 第三章课件

解 PX 1,Y 3 f (x, y)dxdy
D
1
dx
3 1 (6 x y)dy
0 28
11 08
(6 y
xy
1 2
y2)
3 2
dx
3 8
4 2
12
续解 ……….
PX Y 3 f (x, y)dxdy
D
1
dx
3x 1 (6 x y)dy
0 28
1 1 (6 y 08
xy
pij
...
... 。。。 ... 。。。 ... 。。。 ... 。。。 ... 。。。
。。。
...
性质
0 pij 1
pij 1
i1 j1
例 一个口袋中有三个球， 依次标有数字1， 2， 2， 从中任
取一个， 不放回袋中， 再任取一个， 设每次取球时， 各球被 取到的可能性相等.以Ｘ、Ｙ分别记第一次和第二次取到的球
上标有的数字， 求(X ,Y ) 的联合分布列.
解 ( X ,Y ) 的可能取值为(1， 2)， (2， 1)， (2， 2).
Ｐ{Ｘ＝１，Ｙ＝２}＝(1/3) × (2/2)＝1/3， Ｐ{Ｘ＝２，Ｙ＝１}＝(2/3) ×(1/2)＝1/3， Ｐ{Ｘ＝２，Ｙ＝２}= (2/3) ×(1/2)＝1/3，
1 2
y2)
3 x 2
dx
5 24
x+y=3
思考 已知二维随机变量（X，Y）的分布密度为
f
(x,
y)
1 8
(6
x
y),
0 x 2, 2 y 4
0,
其他
求概率 PX Y 4 X 1
解答 PX Y 4 X 1

例一. 在一个装有7只正品, 3只次品的盒子里, 分别进行两次非放回的产品抽样, 令
X
1, 0,
第一次抽样得正品 第一次抽样得次品Y
1, 0,
第二次抽样得正品 第二次抽样得次品
试求随机向量(X,Y)的联合分布列和边际分布列.
解 :P(X1,Y1)767 109 15
类 似 ,P (X 的 1 ,Y 有 0)737 10 9 30
P(X0,Y1) 7, 30
P(X0,Y0) 1 15
所以(X,Y)的联合分布列为:
XY 0
1
0
1/15 7/30
1
7/30 7/15
根据联合分布列, 对同一行或同一列相加, 就可 得到(X,Y)对X和Y的边缘分布列:
XY 0 1
P(Y=yj)
0 1/15 7/30 3/10
1
P(X=xi)
7/30 3/10
并(考2x 虑X3,Yy是)否相互独立.
对于多维随机变量, 各分量的取值有时会相互影响, 例如一个人的身高X和体0重Y就会相互影响, 两个变量的取值有同方向协同变化的趋
p(x) p(x,y)dy 0, 其它 势.
X
2e2x, x0,
0,
其它Y的边际密度函数为来自pY(y)p(x,
y)dx
1/15 7/10
7/10
• 当(X,Y)是连续型随机向量时
设随机(X 向 ,Y)量 的联合密度p(函 x,y)数 ,则为
x
F X (x ) F (x , ) [ p (x ,y )d]d yx
所 以 ,根 据 密 度 函 数 ,X的 的密 定度 义函 有数 为
pX(x)
p(x,y)dy
例如, 一个人的身高X与收入Z就没有明显的相互影响.

随机变量的分布包含两个部分： 取哪些值？ 取这些值相应的概率是多少？
3.1.2 离散随机变量及其概率分布
离散随机变量 如果一个随机变量只取有限多个或者可数无穷多个 (可列个) 可能值，这种随机变量就称为离散随机变量。
离散随机变量所有可能的取值以及相应的概率
称为它的概率分布（律），简称分布律。一般表示成：
X
x1 x2 x3 … xn …
pk
p1 p2 p3 … pn …
根据概率的定义，离散随机变量分布律
必须满足下面两个条件：
(1) pi ≥ 0 , i = 1, 2, 3, …
(2) ∑ pi = 1
看例题
3.2 重要的离散型随机变量
3.2.1 独立重复实验序列
1. 随机试验的独立性
对于一些随机试验来说，如果它们的结果互相 不影响，即每个随机试验的各种结果出现的概率不依 赖于其它随机试验出现的结果，就称这些随机试验是 相互独立的。
第3章 离散随机变量
3.1.1随机变量的概念 在涉及随机试验的实际问题中，经常遇到这样的
情况，很大一部分问题与数值发生联系，从而可以 将随机试验量化。
例1. 电话的次数 ，可能是0，1，2，… 例2 某射手对一活动靶进行射击，到击中目标为止， 所进行的射击次数，可能是1，2，…
例3 某一时间段内，车站到来的乘客数， 或在某一个区域里，野生动物的数量 ·····； 它所有可能的取值是一切非负整数。
看例9
例 (金融保险) 根据生命表知道，在某个年龄段的投保人中一年内 每个人死亡的概率是 0.005 ，现在有 10,000 人参加 保险，问未来一年中死亡人数不超过 60 人的概率。
解。 分析： 以 X 记这 10,000 人中死亡的人数，则显然有 X ~ B (104，0.005 ) ，需要计算P { X ≤ 60 } 。 P { X ≤ 60 } = ∑k6=00 [C10000k 0.005k 0.99510000 – k ] ≈ 0.9222 。

E3: 将一枚硬币抛三次，观察出现正面的情况. E4: 电话交换台一分钟内接到的呼唤次数. E5: 在一批灯泡中任取一只, 测试它的寿命.
3
随机试验:
(1) 可在相同的条件下重复试验; (2) 每次试验的结果不止一个,且能事先明确所有可能的结 果; (3) 一次试验前不能确定会出现哪个结果.
4
§2. 样本空间与随机事件
(一) 样本空间:
定义 随机试验E的所有可能结果组成的集合称为 E的样 本空间, 记为S. 样本空间的元素称为样本点，用表示.
样本空间的分类:
1.离散样本空间:样本点为有限个或可列个. 例 E1,E2等. 2.无穷样本空间:样本点在区间或区域内取值. 例 灯泡的寿命{t|t≥0}.
5
(二) 随机事件
定义 样本空间S的子集称为随机事件, 简称事件. 在一 次试验中, 当且仅当这一子集中的一个样本点出现时, 称 这一事件发生.
基本事件: 由一个样本点组成的单点集. 如:{H},{T}.
复合事件: 由两个或两个以上的基本事件复合而成的事件 为复合事件. 如:E3中{出现正面次数为奇数}.
必然事件: 样本空间S是自身的子集，在每次试验中总是 发生的，称为必然事件。
为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率2.9
2. 性质: 条件概率符合概率定义中的三个条件, 即 10 对于每一 B有 个 , 1 事 P(件 |B A)0.
20 P (|SA) 1.
30 设B1,B2,两两互不,则 相容
P ( Bi |A)P(Bi |A.)
i1
i1
此外, 条件概率具有无条件概率类似性质.例如：
P(A 1)P(A 2)P(A n).(有限)可
性3质 . 若 AB,则有 P(BA)P(B)P(A);