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第五章 大数定律及中心极限定理协方差与相关系数：E [(X −EX )(Y −EY )]称为 X 、Y 的协方差。
记为Cov(X ，Y)=E [(X −EX )(Y −EY )]若D (X )>0,D (Y )>0,称为X 、Y 的相关系数，记为 ρXY =Cov(X Y)√D ()√D ()计算协方差的简单公式：Cov(X ，Y)= E (XY )−E (X )E (Y )，推导如下：Cov(X ，Y)=E [(X −EX )(Y −EY )]= E [XY −XE (Y )−YE (X )+E (X )E (Y )] =E (XY )−E (X )E (Y )−E (Y )E (X )+E (X )E (Y ) = E (XY )−E (X )E (Y )例1．已知X ，Y 的联合分布为求Cov(X ，Y)，ρXY 解：E (X )=0.5,E (Y )=−0.5D (X )=0.75,D (Y )=0.75E (XY )=0}⇒Cov(X ，Y)=0.25,ρXY =13例2．设随机变量(X ，Y)具有概率密度f(x ，y)={18(x +y )，0≤x ≤2，0≤y ≤20， 其他求Cov(X ，Y)，ρXY .E (X )=∫dx ∫x ∙1220(x +y )dy =7E (Y )=∫dx ∫y ∙1220(x +y )dy =7Cov(X ，Y)= E (XY )−E (X )E (Y )=∫dx ∫xy ∙1220(x +y )dy −7∙7=−1D (X )=E (X 2)−[E (X )]2=∫dx ∫x 2∙18220(x +y )dy −(76)2=1136 D (Y )=1136ρXY =Cov(X ，Y)()()=−1361136=−111二维正态分布的数字特征：设(X,Y )~N (μ1,μ2;σ12,σ22;ρ)利用二维正态分布及协方差相关系数的计算公式可得X~N (μ1,σ12) Y~N (μ2,σ22)EX =μ1,EY =μ2,DX =σ12,DY =σ22,Cov(X ，Y)=σ1σ2ρ，ρXY =ρ协方差和相关系数的性质：（1）Cov(X ，Y)=Cov(Y ，X) （2）Cov(aX ，bY)=abCov(X ，Y) （3）Cov(X +Y ，Z)=Cov(X ，Z)+Cov(Y ，Z)（4）Cov(X ，X)=D (X ) （5）|ρXY |≤1 （6）D (X ±Y )= D (X )+D (Y )±2 Cov(X ，Y)（7）|ρXY |=1⟺存在常数a ，b (a0)，使P (Y =aX +b )=1即X 和Y 1线性相关显然，若X 与Y 独立，Cov(X ，Y)=0，ρXY =0。
习题5-17、设总体X 的分布函数为()F x ，密度函数为()f x ，12,,,n X X X 为来自总体X 的样本，记(1)1min()i i nX X ≤≤=，()1max()n i i nX X ≤≤=，求(1)(),n X X 各自的分布函数与密度函数。
解：记(1)X 的分布函数和密度函数分别为(1)(1)(),()F x f x ，()n X 的分布函数和密度函数分别为()()(),()n n F x f x ，则(1)12(){min()}1{min()}1{,,...}i i n F x P X x P X x P X x X x X x =≤=->=->>>1[1()]n F x =--，所以1(1)(1)()[()][1()]()n f x F x n F x f x -'==-。
()12(){max()}{,,...}[()]n n i n F x P X x P X x X x X x F x =≤=≤≤≤=，所以1()()()[()][()]()n n n f x F x n F x f x -'==。
8、设总体X 服从指数分布()E λ，12,X X 是容量为2的样本，求(1)X ，(2)X 的概率密度。
解：由于总体X 服从指数分布()E λ，故X 的概率密度函数与分布函数分别为,0()0,0x e x f x x λλ-⎧>=⎨≤⎩，1,0()0,0x e x F x x λ-⎧->=⎨≤⎩ 所以，(1)X 的概率密度为2121(1)2[1(1)],02,0()[1()]()0,00,0x x x n e e x e x f x n F x f x x x λλλλλ-----⎧⎧-->>=-==⎨⎨≤≤⎩⎩， (2)X 的概率密度为211(2)2(1),02(1),0()[()]()0,00,0x x x x n e e x e e x f x n F x f x x x λλλλλλ------⎧⎧->->===⎨⎨≤≤⎩⎩。
