2015年高考数学真题分类汇编：专题(15)几何证明选讲(文科)及

2015年普通高等学校招生全国统一考试一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合A={x|x=3n+2,n∈N},B={6,8,12,14},则集合A⋂B中元素的个数为（A）5 （B）4 （C）3 （D）2（2）已知点A（0,1），B（3,2），向量AC=（-4，-3），则向量BC=（A）（-7，-4）（B）（7,4）（C）（-1,4）（D）（1，4）（3）已知复数z满足（z-1）i=i+1，则z=（A）-2-I （B）-2+I （C）2-I （D）2+i（4）如果3个整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则3个数构成一组勾股数的概率为（A）103（B）15（C）110（D）120（5）已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为12，E的右焦点与抛物线C：y²=8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个焦点，则|AB|=（A）3 （B）6 （C）9 （D）12（6）《九章算术》是我国古代容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣角，下周八尺，高五尺。

问:积与为米几何?”其意思为:“在屋墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛（7）已知是公差为1的等差数列，则=4，=（A）（B）（C）10 （D）12（8）函数f(x)=的部分图像如图所示，则f(x)的单调递减区间为（A）（k, k）,k（B）（2k,2k）,k（C）（k, k）,k（D）（2k,2k）,k（9）执行右面的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=（A）5 （B）6 （C）7 （D）8（10）已知函数，且f（a）=-3，则f（6-a）=（A）-74（B）-54（C）-34（D）-14（11）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为16+20π，则r=（A）1(B) 2 (C) 4(D) 8（12）设函数y=f（x）的图像关于直线y=-x对称，且f（-2）+f（-4）=1，则a=（A）-1 （B）1 （C）2 （D）4二.填空题：本大题共4小题，每小题5分（13）在数列{a n}中，a1=2,a n+1=2a n, S n为{a n}的前n项和。

2015高考试题分类汇编--立体几何【2015高考浙江，文4】设α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，且l α⊂，m β⊂（ ）A ．若l β⊥，则αβ⊥B ．若αβ⊥，则l m ⊥C ．若//l β，则//αβD ．若//αβ，则//l m【2015高考广东，文6】若直线1l 和2l 是异面直线，1l 在平面α内，2l 在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（ ）A ．l 至少与1l ，2l 中的一条相交B ．l 与1l ，2l 都相交C ．l 至多与1l ，2l 中的一条相交D ．l 与1l ，2l 都不相交 【2015高考湖北，文5】12,l l 表示空间中的两条直线，若p ：12,l l 是异面直线；q ：12,l l 不相交，则（ ）A ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件B ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件C ．p 是q 的充分必要条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件【2015高考新课标1，文6】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米有（ ）A ．14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛【2015高考浙江，文2】某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是（ ）A ．83cmB ．123cm C ．3233cmD ．4033cm【2015高考浙江，文7】如图，斜线段AB 与平面α所成的角为60，B 为斜足，平面α上的动点P 满足30∠PAB =，则点P 的轨迹是（ ）A ．直线B ．抛物线C ．椭圆D ．双曲线的一支【2015高考新课标1，文11】圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为1620π+，则r =( )（A ）1 （B ）2（C ）4 （D ）8【2015高考陕西，文5】一个几何体的三视图如图所示，则该 几何体的表面积为（ ）A ．3πB ．4πC ．24π+D ．34π+【2015高考福建，文9】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（ ）A．8+ B．11+ C．14+ D ．15【2015高考湖南，文10】某工作的三视图如图3所示，现将该工作通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工作的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=新工件的体积/原工件的体积）（ ）A 、89πB 、827π C、21)π D、21)π【2015高考天津，文10】一个几何体的三视图如图所示（单位:m ）,则该几何体的体积为3m.1112【2015高考四川，文14】在三棱住ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，设点M ，N ，P 分别是AB ，BC ，B 1C 1的中点，则三棱锥P －A 1MN 的体积是______.【2015高考山东，文9】已知等腰直角三角形的直角边的长为,将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )（A （B （）（）【2015高考山东，文18】 如图，三棱台DEF ABC -中，2AB DE G H =，，分别为AC BC ，的中点.（I ）求证：//BD 平面FGH ；（II ）若CF BC AB BC ⊥⊥，，求证：平面BCD ⊥平面EGH .2015高考浙江，文18】如图，在三棱锥111ABC A B C -中，11ABC 90AB AC 2,AA 4,A ∠====，在底面ABC 的射影为BC 的中点，D 为11B C 的中点.（1）证明：11D A BC A ⊥平面； （2）求直线1A B 和平面11B C B C 所成的角的正弦值.【2015高考湖南，文18】（本小题满分12分）如图4，直三棱柱111ABC A B C -的底面是边长为2的正三角形，,E F 分别是1,BC CC 的中点。

2015 年全国高考数学卷文科卷 1一、选择题1．已知集合 A { x x 3n 2,n N}, B {6,8,10,12,14} ，则集合 A B 中的元素个数为( )（A）5 （B）4 （C）3 （D）2（A）14 斛（B）22 斛（C）36 斛（D）66 斛2．已知点A(0,1), B(3,2) ，向量AC ( 4, 3)，则向量BC ( ) 7．已知{ a n} 是公差为1 的等差数列，S n 为{a n} 的前n项和，若S8 4S4 ，则a10（）（）（）（） A ( 7, 4) (7, 4)( 1,4) (1,4)B C D3．已知复数z 满足( z 1)i 1 i ，则z （）（A）172（B）192（C）10 （D）128．函数 f (x) cos( x )的部分图像如图所示，则 f (x) 的单调递减区间为（A） 2 i （B） 2 i （C）2 i （D）2 i4．如果 3 个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这 3 个数为一组（）勾股数，从1,2,3,4,5 中任取 3 个不同的数，则这 3 个数构成一组勾股数的概率为（）（A）310（B）15（C）110（D）1205．已知椭圆E的中心为坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线 2C : y 8x的焦点重合，A, B 是C的准线与 E 的两个交点，则AB ( ) （A）1 3(k ,k), k Z4 4（A） 3 （B）6 （C）9 （D）126．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有（B）1 3(2k ,2k ), k Z4 4委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8 尺，（C）1 3(k ,k), k Z4 4米堆的高为 5 尺，米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知 1 斛米的体积约为1.62 立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米有（）（D）1 3(2k ,2k ),k Z4 4试卷第 1 页，总 4 页9．执行右面的程序框图，如果输入的t 0.01 ，则输出的n （）二、填空题13．数列a中a1 2,a n 1 2a n,S n 为a n 的前n 项和，若S n 126，则nn .（）（）（）（） AB CD 12 56 1010．已知函数f (x)7543414（A）（x 1 x2 2, 1log (x1), x 12 ，且f (a)3 ，则f (6)a（）3114．已知函数f x axx1,f 12,7的图像在点的处的切线过点，则a.15．若x,y 满足约束条件x y 2 0x 2y 1 02x y 2 0****B）411．圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何, 则z=3x+y 的最大值为．体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为16 20 ，则r ( ) 16．已知F 是双曲线2y2C : x 1的右焦点，P 是C左支上一点， A 0,66 ，8当APF 周长最小时，该三角形的面积为．三、解答题17．（本小题满分12 分）已知a,b,c 分别是ABC 内角A, B,C 的对边，2sin B 2sin A sin C .（Ⅰ）若 a b ，求cos B;（A）1 （B）2 （C）4 （D）8x a12 ．设函数y f (x) 的图像与y 2 的图像关于直线y x 对称，且（Ⅱ）若 B 90 ，且a 2, 求ABC 的面积.f ( 2) f ( 4) ，1 则a ( )（A） 1 （B）1 （C）2 （D） 4试卷第 2 页，总 4 页18．（本小题满分12 分）如图四边形ABCD为菱形，G 为AC 与BD 交点，BE 平面ABCD ，x y w 8 2(x i x)882(w i w) ( x i x)( y i y)(w i w)( y i i 1 i 1 i 1 i 1 1.6356.3 6.8 289.8 1.6 1469 108.8表中w =ix ，w =i818i1wi（Ⅰ）根据散点图判断，y a bx 与y c d x ，哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x 的回归方程；（Ⅰ）证明：平面AEC 平面BED ；（III ）已知这种产品的年利润z 与x，y 的关系为z 0.2 y x ，根据（Ⅱ）的（Ⅱ）若ABC 120 ，AE EC, 三棱锥 E ACD 的体积为棱锥的侧面积.63，求该三（Ⅰ）当年宣传费x90 时，年销售量及年利润（Ⅱ）当年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？结果回答下列问题：附：对于一组数据(u ,v ) , (u2,v2 ) ，⋯⋯，(u n ,v n) , 其回归线v u 的斜1 119．（本小题满分12 分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了率和截距的最小二乘估计分别为：解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t ）和年利润z（单位：千元）n的影响，对近8年的宣传费x和年销售量y i i 1,2, ,8 数据作了初步处理，i得到下面的散点图及一些统计量的值. = i 1(u u)(v v)i in2(u u)ii 1，=v u3页，总4页试卷第20．（本小题满分12 分）已知过点 A 1,0 且斜率为k 的直线l 与圆C：23．（本小题满分10 分）选修4-4 ：坐标系与参数方程2 2x 2 y 3 1交于M，N两点. 2 2在直角坐标系xOy 中，直线C1 : x 2，圆C2 : x 1 y 2 1，以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（Ⅰ）求k 的取值范围；（Ⅰ）求C1,C2 的极坐标方程.（Ⅱ）OM ON 12，其中O为坐标原点，求MN .（Ⅱ）若直线 C 的极坐标方程为3 π4R ，设C2,C3 的交点为M , N ，求C MN 的面积.221．（本小题满分12 分）设函数2x lnf x e a x .（Ⅰ）讨论 f x 的导函数 f x 的零点的个数；（Ⅱ）证明：当 a 0 时f x 2a aln 2a.24．（本小题满分10 分）选修4-5 ：不等式选讲22．（本小题满分10 分）选修4-1 ：几何证明选讲如图AB是直径，AC是切线，BC交与点 E.已知函数 f x x 1 2 x a ,a0 . （Ⅰ）当 a 1 时求不等式 f x 1的解集；（Ⅱ）若f x 图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围.（Ⅰ）若D为AC中点，求证：DE是切线；（Ⅱ）若OA 3CE ，求ACB 的大小.试卷第 4 页，总 4 页****【解析】参考答案∴椭圆E的焦点在x轴上，设方程为22x y221(0)a ba b1．D，c=2，试题分析：由条件知，当n=2时，3n+2=8，当n=4时，3n+2=14，故A∩B={8,14},故选D.考点：集合运算∵eca12，∴a4，∴22212b a c，∴椭圆E方程为22x y16121，2．A将x2代入椭圆E的方程解得A（-2,3），B（-2，-3），∴|AB|=6，故选B.【解析】考点：抛物线性质；椭圆标准方程与性质试题分析：∵AB OB OA=（3,1），∴BC AC AB=(-7,-4)，故选A.6．B 【解析】考点：向量运算3．C1试题分析：设圆锥底面半径为r，则423r8，所以16r，所以米堆的3【解析】试题分析：∴(z1)i1i，∴z=12i(12i)(i)2i i2i，故选C.11163292体积为3()5=433考点：圆锥的性质与圆锥的体积公式，故堆放的米约为3209÷1.62≈22，故选B.考点：复数运算7．B 4．C【解析】****【解析】试题分析：从1,2,3,4,51,2,3,4,5中任取3个不同的数共有10种不同的取法，其中的勾股数只有3,4,5，故3个数构成一组勾股数的取法只有1种，故所求11试题分析：∵公差d1，1解得a=1，∴2S84S4，∴8a1874(4a143)，22119a a9d9，故选B.10122概率为110，故选C.考点：等差数列通项公式及前n项和公式8．D考点：古典概型【解析】5．B【解析】2试题分析：∵抛物线C:y8xx2的焦点为（2,0），准线方程为，∴椭圆E的右焦点为（2,0），试题分析：由五点作图知，1+4253+42，解得=，=4，所以答案第1页，总8页****f (x) cos( x ) ，令2k x 2k , k Z ，解得4 41k ＜x42试题分析：∵ f (a) 3，∴当a 1时， a 1f (a) 2 2 3 ，则a 12 1，32k ，k Z ，故单调减区间为（＜4考点：三角函数图像与性质12k ，432k ），k Z ，故选 D.4此等式显然不成立，当 a 1时，l og (a 1) 3，解得 a 7 ，29．C 【解析】∴f (6 a) f ( 1) = 1 172 24，故选 A.试题分析：执行第 1 次，考点：分段函数求值；指数函数与对数函数图像与性质t=0.01,S=1,n=0,m= 12=0.5,S=S-m=0.5,mm =0.25,n=1,S=0.5 ＞t=0.01,211．B【解析】是，循环，试题分析：由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱执行第 2 次，S=S-m =0.25, 执行第 3 次，S=S-m=0.125,mm =0.125,n=2,S=0.25 ＞t=0.01, 是，循环，2mm =0.0625,n=3,S=0.125 ＞t=0.01, 是，循环，2的半径与球的半径都为r ，圆柱的高为2r ，其表面积为122 24 r r 2r r 2r 2r =2 25 r 4r =16 + 20 ，解得r=2 ，故选B.执行第 4 次，S=S-m=0.0625,mm =0.03125,n=4,S=0.0625 ＞t=0.01, 是，循2考点：简单几何体的三视图；球的表面积公式；圆柱的测面积公式12．C环，【解析】执行第 5 次，S=S-m=0.03125,mm =0.015625,n=5,S=0.03125 ＞t=0.01, 是，2试题分析：设(x, y)是函数y f (x) 的图像上任意一点，它关于直线y x 对循环，执行第 6 次，S=S-m=0.015625, 是，循环，mm =0.0078125,n=6,S=0.015625 ＞t=0.01,2x a y a称为（y, x ），由已知知（y, x ）在函数y 2 的图像上，∴x 2 ，解得y l o g x ( ，a ) 即 f (x) log2 ( x) a ，∴2执行第7 次，S=S-m=0.0078125,mm =0.00390625,n=7,S=0.0078125 ＞2f ( 2) f ( 4) log 2 a log 4 a 1，解得a 2，故选 C.2 2t=0.01, 否，输出n=7，故选 C.考点：函数对称；对数的定义与运算考点：程序框图13．610．A【解析】【解析】试题分析：∵a1 2,a n 1 2a n ，∴数列a n 是首项为2，公比为 2 的等比数答案第 2 页，总8 页列，【解析】∴n2(12)nS126，∴264 n12考点：等比数列定义与前n项和公式14．1【解析】试题分析：∵2f(x)3ax1，∴f(1)3a1，即切线斜率k3a1，f(1)a2a212,7又∵，∴切点为（，），∵切线过（），∴解得a 1.考点：利用导数的几何意义求函数的切线；常见函数的导数；a27123a1，F共线，1x y∵A0,66，F1（－3,0），∴直线AF1的方程为136615．4【解析】266960y y，解得y26或试题分析：作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线l：3x y0，平移直线l，当直线l:z=3x+y过点A时，z取最大值，由0x y2=0x2y1=0解得A（1,1），y86(舍)，所以P点的纵坐标为26，∴S S S=APF AFF PFF111166662622=126.∴z=3x+y的最大值为 4.考点：双曲线的定义；直线与双曲线的位置关系；最值问题考点：简单线性规划解法16．12617．（Ⅰ）【解析】14（Ⅱ）1答案第3页，总8页试题分析：（Ⅰ）先由正弦定理将2sin B2sin A s in C化为变得关系，结合试题解析：（Ⅰ）因为四边形ABCD为菱形，所以AC^ BD，因为BE^平面ABCD，所以AC^BE，故AC^平面BED.条件a b，用其中一边把另外两边表示出来，再用余弦定理即可求出角B的又ACì平面AEC，所以平面AEC^平面BED余弦值；（Ⅱ）由（Ⅰ）知的面积.22b=ac，根据勾股定理和即可求出c，从而求出ABC3（Ⅱ）设AB=x，在菱形ABCD中，由D ABC=120°，可得AG=GC=2xx,GB=GD=2.试题解析：（Ⅰ）由题设及正弦定理可得又a=b，可得b=2c,a=2c,22b=ac.因为AE^EC，所以在RtD AEC中，可得EG=32x.由余弦定理可得cos B2221a+c-b==.2ac4由BE^平面ABCD，知D EBG为直角三角形，可得BE=22x.22（Ⅱ）由(1)知b=ac.因为B=90°，由勾股定理得222a+c=b.由已知得，三棱锥E-ACD的体积故x=211663V AC GD BE x-=醋?=.E ACD32243故222a+c=ac，得c=a=2.从而可得AE=EC=ED=6.所以D ABC的面积为 1.考点：正弦定理；余弦定理；运算求解能力所以D EAC的面积为3，D EAD的面积与D ECD的面积均为5.18．（Ⅰ）见解析（Ⅱ）3+25故三棱锥E-ACD的侧面积为3+25.【解析】考点：线面垂直的判定与性质；面面垂直的判定；三棱锥的体积与表面积的计试题分析：（Ⅰ）由四边形ABCD为菱形知AC^BD，由BE^平面ABCD知AC^BE，算；逻辑推理能力；运算求解能力由线面垂直判定定理知AC^平面BED，由面面垂直的判定定理知平面AEC 平面BED；（Ⅱ）设AB=x，通过解直角三角形将AG、GC、GB、GD用x表示19．（Ⅰ）y c d x适合作为年销售y关于年宣传费用x的回归方程类型出来，在Rt D AEC中，用x表示EG，在RtD EBG中，用x表示EB，根据条件三（Ⅱ）y100.668x（Ⅲ）46.24棱锥E ACD的体积为63求出x，即可求出三棱锥E ACD的侧面积.【解析】试题分析：（Ⅰ）由散点图及所给函数图像即可选出适合作为拟合的函数；（Ⅱ）答案第4页，总8页令w x ，先求出建立y 关于w的线性回归方程，即可y 关于x的回归方程；∴当x =1.642=6.8 ，即x 46.24 时，z取得最大值.（Ⅲ）( ⅰ) 利用y 关于x的回归方程先求出年销售量y 的预报值，再根据年利故宣传费用为46.24 千元时，年利润的预报值最大. ⋯⋯12 分率z 与x、y 的关系为z=0.2y-x 即可年利润z 的预报值；（ⅱ）根据（Ⅱ）的考点：非线性拟合；线性回归方程求法；利用回归方程进行预报预测；应用意结果知，年利润z 的预报值，列出关于x的方程，利用二次函数求最值的方法识即可求出年利润取最大值时的年宣传费用.试题解析：（Ⅰ）由散点图可以判断，y c d x适合作为年销售y关于年20．（Ⅰ）骣- +4 7 4 7琪,琪3 3桫（Ⅱ）2宣传费用x的回归方程类型.【解析】（Ⅱ）令w x ，先建立y 关于w 的线性回归方程，由于试题分析：（Ⅰ）设出直线l 的方程，利用圆心到直线的距离小于半径列出关于k 的不等式，即可求出k 的取值范围；（Ⅱ）设M (x1, y1), N (x2, y2) ，将直8d i 1 (w w )y( y )i i108.816=82(w w)ii 1=68 ，线l 方程代入圆的方程化为关于x的一元二次方程，利用韦达定理将x1x2, y1 y2用k 表示出来，利用平面向量数量积的坐标公式及O M ON 12列出关于k方程，解出k，即可求出|MN|.∴c y dw =563-68 ×6.8=100.6.试题解析：（Ⅰ）由题设，可知直线l 的方程为y = kx +1 . ∴y 关于w的线性回归方程为y 100.6 68w，∴y 关于x的回归方程为y 100.6 68 x . 因为l 与C交于两点，所以|2k - 3 +1|21+ k< 1.（Ⅲ）( ⅰ)由（Ⅱ）知，当x=49 时，年销售量y 的预报值y 100.6 68 49 =576.6 ，解得4 - 7 4 + 7< k < .3 3z 576.6 0.2 49 66.32.（ⅱ）根据（Ⅱ）的结果知，年利润z 的预报值骣-+4 7 4 7琪所以k 的取值范围是,琪3 3桫.z 0.2(100.6 68 x) x x 13.6 x 20.12，（Ⅱ）设M (x , y ), N(x , y ) .1 12 2答案第 5 页，总8页22将y=kx+1代入方程()()x-2+y-3=1,整理得当a>0时，因为2xe单调递增，a-单调递增，所以f￠(x)在(0，+￥)单调递x22(1+k)x-4(k+1)x+7=0,增.又f￠(a)>0,当b满足0a<b<且41b<时，f￠(b)<0,故当a>0时，44(k+1)7x+x=,x x=.所以1221221+k1+kf￠(x)存在唯一零点.4k(1+k)2OM?ON x x+y y=1+k x x+k x+x+1=+8 1212121221+k ,（Ⅱ）由（Ⅰ），可设f￠(x)在(0，+￥)的唯一零点为x，当()x?0，x时，00由题设可得4k(1+k)21+k+8=12，解得k=1，所以l的方程为y=x+1.f￠(x)<0;故圆心在直线l上，所以|MN|=2.当x违(x0，+)时，f￠(x)>0.考点：直线与圆的位置关系；设而不求思想；运算求解能力21．（Ⅰ）当a￡0时，f￠(x)没有零点；当a>0时，f￠(x)存在唯一零点.故f(x)在(0，x)单调递减，在()x0，+￥单调递增，所以当x=x0时，f(x)故f(x)在(0，x)单调递减，在()（Ⅱ）见解析取得最小值，最小值为f(x).【解析】试题分析：（Ⅰ）先求出导函数，分a￡0与a>0考虑f x的单调性及性质，2x a a22由于02e-=0，所以f(x0)=+2ax0+aln?2a a ln.x2x a a00即可判断出零点个数；（Ⅱ）由（Ⅰ）可设f￠(x)在(0，+￥)的唯一零点为x，故当a>0时，2f(x)?2a aln.a根据f x的正负，即可判定函数的图像与性质，求出函数的最小值，即可证考点：常见函数导数及导数运算法则；函数的零点；利用导数研究函数图像与性质；利用导数证明不等式；运算求解能力.明其最小值不小于22a+a ln，即证明了所证不等式.a22．（Ⅰ）见解析（Ⅱ）60°【解析】2x a试题解析：（Ⅰ）f(x)的定义域为(0，+￥)，()f￠(x)=2e-x>0.x 试题分析：（Ⅰ）由圆的切线性质及圆周角定理知，AE⊥BC，AC⊥AB，由直角三角形中线性质知DE=DC，OE=OB，利用等量代换可证∠DEC+∠OEB=9°0，即当a￡0时,f￠(x)>0，f￠(x)没有零点；∠OED=9°0，所以DE是圆O的切线；（Ⅱ）设CE=1,由OA3CE得，AB=23，设AE=x，由勾股定理得2BE12x，由直角三角形射影定理可得答案第6页，总8页2AE CE BE ，列出关于x的方程，解出x，即可求出∠ACB的大小. 试题解析：（Ⅰ）因为x cos , y sin ，试题解析：（Ⅰ）连结AE，由已知得，AE⊥BC，AC⊥AB，在Rt△AEC中，由已知得DE=DC，∴∠DEC=∠DCE，∴ C 的极坐标方程为cos 2 ，C2 的极坐标方程为1连结O E，∠OBE=∠OEB，∵∠ACB+∠ABC=90°，∴∠DEC+∠OEB=9°0，2 2 cos 4 sin 4 0 . ⋯⋯ 5 分∴∠OED=9°0，∴DE是圆O的切线.（Ⅱ）设C E=1，AE=x, 由已知得AB=2 3， 2BE 12 x ，（Ⅱ）将=解得2 2 cos 4 sin 4，得代入41 =2 2 ， 2 = 2 ，|MN|= 1 － 2 = 2 ，2由射影定理可得，∴AE CE BE ，2 12 2x x ，解得x= 3，∴∠ACB=60°.1o因为C 的半径为1，则C2 MN 的面积2 1 sin 4522考点: 直角坐标方程与极坐标互化；直线与圆的位置关系=12.24．（Ⅰ）【解析】2{ x | x 2} （Ⅱ）（2，+∞）3试题分析：（Ⅰ）利用零点分析法将不等式f(x)>1 化为一元一次不等式组来解；（Ⅱ）将 f ( x) 化为分段函数，求出 f (x) 与x轴围成三角形的顶点坐标，即可求出三角形的面积，根据题意列出关于a的不等式，即可解出a的取值范考点: 圆的切线判定与性质；圆周角定理；直角三角形射影定理围.23．（Ⅰ）cos 2 , 2 2 cos 4 sin 4 0 （Ⅱ）12试题解析：（Ⅰ）当a=1 时，不等式f(x)>1 化为|x+1|-2|x-1| ＞1，【解析】试题分析：（Ⅰ）用直角坐标方程与极坐标互化公式即可求得 C ，C2 的极坐1 等价于x 1或x 1 2x 2 11 x 1x 1 2x 2 1或x 1x 1 2x 2 1，解得标方程；（Ⅱ）将将=4 代入 2 2 cos 4 sin 4 0 即可求出|MN| ，23x 2 ，利用三角形面积公式即可求出C MN 的面积.2答案第7 页，总8页所以不等式f(x)>1 的解集为2{ x | x 2} .3x 1 2a, x 1（Ⅱ）由题设可得， f (x) 3x 1 2a, 1 x a，x 1 2a, x a所以函数 f (x) 的图像与x轴围成的三角形的三个顶点分别为2a 1A( ,0) ，3B(2 a 1,0) ，C(a, a+1) ，所以△ABC的面积为232 (a 1) .由题设得232(a1) ＞6，解得 a 2 .所以a的取值范围为（2，+∞）.考点：含绝对值不等式解法；分段函数；一元二次不等式解法答案第8 页，总8 页。

数 学 G 单元立体几何G1空间几何体的结构19．G1 如图1­8，长方体ABCD ­ A 1B 1C 1D 1中，AB ＝16，BC ＝10，AA 1＝8，点E ，F 分别在A 1B 1，D 1C 1上，A 1E ＝D 1F ＝4.过点E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)； (2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．图1­819．解：(1)交线围成的正方形EHGF 如图．(2)作EM ⊥AB ，垂足为M ，则AM ＝A 1E ＝4，EB 1＝12，EM ＝AA 1＝8. 因为EHGF 为正方形，所以EH ＝EF ＝BC ＝10. 于是MH ＝EH 2－EM 2＝6，AH ＝10，HB ＝6.因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱，所以其体积的比值为9779也正确．18．G1，G4，G5 如图1­5，在三棱锥V ­ABC 中，平面VAB ⊥平面ABC ，△VAB 为等边三角形，AC ⊥BC 且AC ＝BC ＝2，O ，M 分别为AB ，VA 的中点．(1)求证：VB ∥平面MOC ； (2)求证：平面MOC ⊥平面VAB ； (3)求三棱锥V ­ABC 的体积．图1­518．解：(1)证明：因为O，M分别为AB，VA的中点，所以OM∥VB.又因为VB⊄平面MOC，OM⊂平面MOC，所以VB∥平面MOC.(2)证明：因为AC＝BC，O为AB的中点，所以OC⊥AB.又因为平面VAB⊥平面ABC，平面VAB∩平面ABC＝AB，且OC⊂平面ABC，所以OC⊥平面VAB.又因为OC⊂平面MOC，所以平面MOC⊥平面VAB.(3)在等腰直角三角形ACB中，AC＝BC＝2，所以AB＝2，OC＝1.所以等边三角形VAB的面积S△VAB＝ 3.又因为OC⊥平面VAB，所以三棱锥C­VAB的体积等于1 3OC·S△VAB＝33.又因为三棱锥V­ABC的体积与三棱锥C­VAB的体积相等，所以三棱锥V­ABC的体积为3 3.18．G1、G5如图1­4，直三棱柱ABC­ A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E，F分别是BC，CC1的中点．(1)证明：平面AEF⊥平面B1BCC1；(2)若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°，求三棱锥F­ AEC的体积．图1­418．解：(1)证明：如图，因为三棱柱ABC­ A1B1C1是直三棱柱，所以AE⊥BB1.又E是正三角形ABC的边BC的中点，所以AE⊥BC.因此AE⊥平面B1BCC1.而AE⊂平面AEF，所以平面AEF ⊥平面B 1BCC 1.(2)设AB 的中点为D ，连接A 1D ，CD . 因为△ABC 是正三角形，所以CD ⊥AB .又三棱柱ABC ­ A 1B 1C 1是直三棱柱，所以CD ⊥AA 1.因此CD ⊥平面A 1ABB 1，于是∠CA 1D 为直线A 1C 与平面A 1ABB 1所成的角． 由题设，∠CA 1D ＝45°，所以A 1D ＝CD ＝32AB ＝ 3. 在Rt △AA 1D 中，AA 1＝A 1D 2－AD 2＝3－1＝2，所以FC ＝12AA 1＝22.故三棱锥F ­ AEC 的体积V ＝13S △AEC ·FC ＝13×32×22＝612. 9．G1 已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )A.22π3 B.42π3C ．22πD ．42π9．B 由条件知该直角三角形的斜边长为22，斜边上的高为2，故围成的几何体的体积为2×13×π×(2)2×2＝42π3.18．G1，G4，G5 一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图1­2所示． (1)请将字母F ，G ，H 标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)； (2)判断平面BEG 与平面ACH 的位置关系，并证明你的结论； (3)证明：直线DF ⊥平面BEG .图1­218．解：(1)点F，G，H的位置如图所示．(2)平面BEG∥平面ACH.证明如下：因为ABCD­EFGH为正方体，所以BC∥FG，BC＝FG，又FG∥EH，FG＝EH，所以BC∥EH，BC＝EH，于是BCHE为平行四边形，所以BE∥CH.又CH⊂平面ACH，BE⊄平面ACH，所以BE∥平面ACH.同理BG∥平面ACH.又BE∩BG＝B，所以平面BEG∥平面ACH.(3)证明：连接FH.因为ABCD­EFGH为正方体，所以DH⊥平面EFGH.因为EG⊂平面EFGH，所以DH⊥EG，又EG⊥FH，EG∩FH＝O，所以EG⊥平面BFHD.又DF⊂平面BFHD，所以DF⊥EG.同理DF⊥BG.又EG∩BG＝G，所以DF⊥平面BEG.10．G1、G2一个几何体的三视图如图1­3所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.图1­310.83π根据三视图可知，该几何体是圆柱与两个圆锥的组合体，其体积V＝π×12×2＋2×13×π×12×1＝83π(m3)．G2空间几何体的三视图和直观图9．G2一个四面体的三视图如图1­2所示，则该四面体的表面积是( )图1­2A．1＋ 3 B．1＋2 2C．2＋ 3 D．2 29．C 四面体的直观图如图所示，设O是AC的中点，则OP＝OB＝1，因此PB＝2，于是S△PAB＝S△PBC＝34×(2)2＝32，S△PAC＝S△ABC＝12×2×1＝1，故四面体的表面积S＝2×1＋2×32＝2＋ 3.11．G2圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图1­4所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r ＝( )图1­4A ．1B ．2C ．4D ．811．B 由三视图可知，此组合体的前半部分是一个底面半径为r ，高为2r 的半圆柱(水平放置)，后半部分是一个半径为r 的半球，其中半圆柱的一个底面与半球的半个圆面重合，所以此几何体的表面积为2r ·2r ＋12πr 2＋12πr 2＋πr ·2r ＋2πr 2＝4r 2＋5πr 2＝16＋20π，解得r ＝2.6．G2 一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图1­2，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )图1­2A.18B.17 C.16 D.156．D 由剩余部分的三视图可知，正方体被截去一个三棱锥，剩余部分如图所示，设正方体的棱长为a ，则被截去的三棱锥的体积为13×12a 2×a ＝16a 3，而正方体的体积为a 3，所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为15.7．G2 某四棱锥的三视图如图1­2所示，该四棱锥最长棱的棱长为( )图1­2A ．1 B. 2 C. 3 D ．27．C 根据三视图可得，此四棱锥是底面是正方形，有一条侧棱和底面垂直的四棱锥，如图所示，所以最长棱的棱长为PC ＝12＋12＋12＝3，故选C.9．G2 某几何体的三视图如图1­3所示，则该几何体的表面积等于( )图1­3A ．8＋2 2B ．11＋2 2C ．14＋2 2D ．159．B 由三视图可知，该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱，其表面积S ＝(1＋1＋2＋2)×2＋12×(1＋2)×1×2＝11＋2 2.10．G2、G7、K3 某工件的三视图如图1­3所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为(材料利用率＝新工件的体积原工件的体积)( )图1­3A.89πB.827πC.24（2－1）3πD.8（2－1）3π10．A 由三视图知，原工件是底面半径为1，母线长为3的圆锥．设新正方体工件的棱长为x，借助轴截面，由三角形相似可得，x32－12＝1－22x1，得x＝223，故V正＝x3＝16227，又V圆锥＝13π×12×32－12＝22π3，故利用率为16227223π＝89π，选A.5．G2一个几何体的三视图如图1­2所示，则该几何体的表面积为()图1­2A．3π B．4πC．2π＋4 D．3π＋45．D 该几何体是底面半径为1、高为2的圆柱被其轴截面截开的半个圆柱，其表面积为12×2π×1×2＋2×12×π×12＋2×2＝3π＋4.14．G2，G7 在三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边的长为1的等腰直角三角形，设点M ，N ，P 分别是棱AB ，BC ，B 1C 1的中点，则三棱锥P ­A 1MN 的体积是________．14.124 由题意知，三棱柱的底面是直角边长为1的等腰直角三角形，棱柱的高为1且该棱柱为直三棱柱，其底面积为12，三棱锥A 1­PMN 的底面积是12×12×1，高为12，故三棱锥P ­A 1MN 的体积为13×12×14＝124.10．G1、G2 一个几何体的三视图如图1­3所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m 3.图1­310.83π 根据三视图可知，该几何体是圆柱与两个圆锥的组合体，其体积V ＝π×12×2＋2×13×π×12×1＝83π(m 3)．2．G2 某几何体的三视图如图1­1所示(单位：cm)，则该几何体的体积是( )图1­1A ．8 cm 3B ．12 cm 3C.323 cm 3 D.403cm 3 2．C 该几何体为一个正方体和一个四棱锥的组合体，故所求体积为23＋13×2×2×2＝323.G3平面的基本性质、空间两条直线6．G3 若直线l 1和l 2是异面直线，l 1在平面α内，l 2在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是( )A ．l 与l 1，l 2都不相交B ．l 与l 1，l 2都相交C ．l 至多与l 1，l 2中的一条相交D ．l 至少与l 1，l 2中的一条相交6．D 若直线l 1和l 2是异面直线，l 1在平面α内，l 2在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则l 至少与l 1，l 2中的一条相交，故选D.5．A2、G3l 1，l 2表示空间中的两条直线，若p ：l 1，l 2是异面直线；q ：l 1，l 2不相交，则( )A ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件B ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件C ．p 是q 的充分必要条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件5．A 由l 1，l 2是异面直线，可得l 1，l 2不相交，所以p ⇒q ；由l 1，l 2不相交，可得l 1，l 2是异面直线或l 1∥l 2，所以q ⇒/ p ．所以p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件．故选A.G4空间中的平行关系18．G4，G5，G11 如图1­3，三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直，PD ＝PC ＝4，AB ＝6，BC ＝3.(1)证明：BC ∥平面PDA ； (2)证明：BC ⊥PD ；(3)求点C 到平面PDA 的距离．图1­318．G1，G4，G5如图1­5，在三棱锥V­ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC＝BC＝2，O，M分别为AB，VA的中点．(1)求证：VB∥平面MOC；(2)求证：平面MOC⊥平面VAB；(3)求三棱锥V­ABC的体积．图1­518．解：(1)证明：因为O，M分别为AB，VA的中点，所以OM∥VB.又因为VB⊄平面MOC，OM⊂平面MOC，所以VB∥平面MOC.(2)证明：因为AC＝BC，O为AB的中点，所以OC⊥AB.又因为平面VAB⊥平面ABC，平面VAB∩平面ABC＝AB，且OC⊂平面ABC，所以OC⊥平面VAB.又因为OC⊂平面MOC，所以平面MOC⊥平面VAB.(3)在等腰直角三角形ACB中，AC＝BC＝2，所以AB＝2，OC＝1.所以等边三角形VAB的面积S△VAB＝ 3.又因为OC⊥平面VAB，所以三棱锥C­VAB的体积等于1 3OC·S△VAB＝33.又因为三棱锥V­ABC的体积与三棱锥C­VAB的体积相等，所以三棱锥V­ABC的体积为3 3.18．G4、G5如图1­3，三棱台DEF­ ABC中，AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点．(1)求证：BD∥平面FGH；(2)若CF⊥BC，AB⊥BC，求证：平面BCD⊥平面EGH.18．证明：(1)证法一：如图，连接DG，CD，设CD∩GF＝M，连接MH.在三棱台DEF­ ABC中，AB＝2DE，G为AC的中点，可得DF∥GC，DF＝GC，所以四边形DFCG为平行四边形，则M为CD的中点．又H为BC的中点，所以HM∥BD.又HM⊂平面FGH，BD⊄平面FGH，所以BD∥平面FGH.证法二：在三棱台DEF­ ABC中，由BC＝2EF，H为BC的中点，可得BH∥EF，BH＝EF，所以四边形HBEF为平行四边形，可得BE∥HF.在△ABC中，G为AC的中点，H为BC的中点，所以GH∥AB.又GH∩HF＝H，AB∩BE＝B，所以平面FGH∥平面ABED.因为BD⊂平面ABED，所以BD∥平面FGH.(2)如图，连接HE，GE.因为G，H分别为AC，BC的中点，所以GH∥AB.由AB⊥BC，得GH⊥BC，又H为BC的中点，所以EF∥HC，EF＝HC，因此四边形EFCH是平行四边形，所以CF∥HE.又CF⊥BC，所以HE⊥BC.又HE，GH⊂平面EGH，HE∩GH＝H，所以BC⊥平面EGH.又BC⊂平面BCD，所以平面BCD⊥平面EGH.18．G1，G4，G5一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图1­2所示．(1)请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系，并证明你的结论；(3)证明：直线DF⊥平面BEG.图1­218．解：(1)点F，G，H的位置如图所示．(2)平面BEG∥平面ACH.证明如下：因为ABCD­EFGH为正方体，所以BC∥FG，BC＝FG，又FG∥EH，FG＝EH，所以BC∥EH，BC＝EH，于是BCHE为平行四边形，所以BE∥CH.又CH⊂平面ACH，BE⊄平面ACH，所以BE∥平面ACH.同理BG∥平面ACH.又BE∩BG＝B，所以平面BEG∥平面ACH.(3)证明：连接FH.因为ABCD­EFGH为正方体，所以DH⊥平面EFGH.因为EG⊂平面EFGH，所以DH⊥EG，又EG⊥FH，EG∩FH＝O，所以EG⊥平面BFHD.又DF⊂平面BFHD，所以DF⊥EG.同理DF⊥BG.又EG∩BG＝G，所以DF⊥平面BEG.17．G4、G5、G11如图1­4，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB＝AC＝3，BC＝25，AA1＝7，BB1＝27，点E和F分别为BC和A1C中点．(1)求证：EF∥平面A1B1BA；(2)求证：平面AEA1⊥平面BCB1；(3)求直线A1B1与平面BCB1所成角的大小．图1­417．解：(1)证明：如图所示，连接A1B.在△A1BC中，因为E和F分别是BC和A1C的中点，所以EF∥BA1.又因为EF⊄平面A1B1BA，所以EF∥平面A1B1BA.(2)证明：因为AB ＝AC ，E 为BC 的中点，所以AE ⊥BC .因为AA 1⊥平面ABC ，BB 1∥AA 1，所以BB 1⊥平面ABC ，从而BB 1⊥AE .又因为BC ∩BB 1＝B ，所以AE ⊥平面BCB 1.又因为AE ⊂平面AEA 1，所以平面AEA 1⊥平面BCB 1.(3)取BB 1的中点M 和B 1C 的中点N ，连接A 1M ，A 1N ，NE .因为N 和E 分别为B 1C 和BC 的中点，所以NE ∥B 1B ，NE ＝12B 1B ，故NE ∥A 1A ，且NE ＝A 1A ，所以A 1N ∥AE ，且A 1N ＝AE .又因为AE ⊥平面BCB 1，所以A 1N ⊥平面BCB 1，从而∠A 1B 1N 为直线A 1B 1与平面BCB 1所成的角．在△ABC 中，可得AE ＝2，所以A 1N ＝AE ＝2.因为BM ∥AA 1，BM ＝AA 1，所以A 1M ∥AB ，A 1M ＝AB, 又由AB ⊥BB 1，得A 1M ⊥BB 1. 在Rt △A 1MB 1中，可得A 1B 1＝B 1M 2＋A 1M 2＝4. 在Rt △A 1NB 1中，sin ∠A 1B 1N ＝A 1N A 1B 1＝12，因此∠A 1B 1N ＝30°， 所以直线A 1B 1与平面BCB 1所成的角为30°.4．G4，G5 设α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，且l ⊂α，m ⊂β( ) A ．若l ⊥β，则α⊥β B ．若α⊥β，则l ⊥m C ．若l ∥β，则α∥β D ．若α∥β，则l ∥m4．A 由两平面垂直的判定定理知，A 正确；对于B ，直线l ，m 相交、平行、异面都有可能，故不正确；对于C ，要求α内两条相交直线都平行于β，才能推出α∥β，故不正确；对于D ，l ，m 平行和异面都有可能，故不正确．16．G4、G5 如图1­2，在直三棱柱ABC ­ A 1B 1C 1中，已知AC ⊥BC ，BC ＝CC 1，设AB 1的中点为D ，B 1C ∩BC 1＝E .求证：(1)DE ∥平面AA 1C 1C ； (2)BC 1⊥AB 1.图1­216．证明：(1)由题意知，E为B1C的中点，又D为AB1的中点，因此DE∥AC.又因为DE⊄平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，所以DE∥平面AA1C1C.(2)因为三棱柱ABC­ A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC.因为AC⊂平面ABC，所以AC⊥CC1.又因为AC⊥BC，CC1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1，BC∩CC1＝C，所以AC⊥平面BCC1B1.又因为BC1⊂平面BCC1B1，所以BC1⊥AC.因为BC＝CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，因此BC1⊥B1C.因为AC，B1C⊂平面B1AC，AC∩B1C＝C，所以BC1⊥平面B1AC.又因为AB1⊂平面B1AC，所以BC1⊥AB1.G5 空间中的垂直关系18．G4，G5，G11如图1­3，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD＝PC＝4，AB＝6，BC＝3.(1)证明：BC∥平面PDA；(2)证明：BC⊥PD；(3)求点C到平面PDA的距离．图1­320．G5、G12 《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．在如图1­4所示的阳马P ­ ABCD 中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且PD ＝CD ，点E 是PC 的中点，连接DE ，BD ，BE .(1)证明：DE ⊥平面PBC .试判断四面体EBCD 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角(只需写出结论)；若不是，请说明理由．(2)记阳马P ­ ABCD 的体积为V 1，四面体EBCD 的体积为V 2，求V 1V 2的值．图1­420．解：(1)证明：因为PD ⊥底面ABCD ，所以PD ⊥BC . 由底面ABCD 为长方形，有BC ⊥CD ，而PD ∩CD ＝D ， 所以BC ⊥平面PCD .又DE ⊂平面PCD ，所以BC ⊥DE . 又因为PD ＝CD ，点E 是PC 的中点，所以DE ⊥PC . 而PC ∩BC ＝C ，所以DE ⊥平面PBC .由BC ⊥平面PCD ，DE ⊥平面PBC ，可知四面体EBCD 的四个面都是直角三角形， 即四面体EBCD 是一个鳖臑，其四个面的直角分别是∠BCD ，∠BCE ，∠DEC ，∠DEB . (2)由已知，PD 是阳马P ­ ABCD 的高，所以V 1＝13S 长方形ABCD ·PD ＝13BC ·CD ·PD ；由(1)知，DE 是鳖臑D ­ BCE 的高，BC ⊥CE ， 所以V 2＝13S △BCE ·DE ＝16BC ·CE ·DE .在Rt △PDC 中，因为PD ＝CD ，点E 是PC 的中点，所以DE ＝CE ＝22CD . 于是V 1V 2＝13BC ·CD ·PD 16BC ·CE ·DE ＝2CD ·PD CE ·DE＝4.18．G5 如图1­5，四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 的交点，BE ⊥平面ABCD . (1)证明：平面AEC ⊥平面BED ；(2)若∠ABC ＝120°，AE ⊥EC, 三棱锥E ­ ACD 的体积为63，求该三棱锥的侧面积．图1­518．解：(1)证明：因为四边形ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD . 因为BE ⊥平面ABCD ，所以AC ⊥BE ，故AC ⊥平面BED . 又AC ⊂平面AEC ，所以平面AEC ⊥平面BED .(2)设AB ＝x ，在菱形ABCD 中，由∠ABC ＝120°，可得AG ＝GC ＝32x ，GB ＝GD ＝x 2. 因为AE ⊥EC ，所以在Rt △AEC 中，可得EG ＝32x . 由BE ⊥平面ABCD ，知△EBG 为直角三角形，可得BE ＝22x . 由已知得，三棱锥E ­ ACD 的体积V E ­ACD ＝13×12AC ·GD ·BE ＝624x 3＝63，故x ＝2.从而可得AE ＝EC ＝ED ＝6，所以△EAC 的面积为3，△EAD 的面积与△ECD 的面积均为 5. 故三棱锥E ­ ACD 的侧面积为3＋2 5.18．G1，G4，G5 如图1­5，在三棱锥V ­ABC 中，平面VAB ⊥平面ABC ，△VAB 为等边三角形，AC ⊥BC 且AC ＝BC ＝2，O ，M 分别为AB ，VA 的中点．(1)求证：VB ∥平面MOC ； (2)求证：平面MOC ⊥平面VAB ； (3)求三棱锥V ­ABC 的体积．图1­518．解：(1)证明：因为O，M分别为AB，VA的中点，所以OM∥VB.又因为VB⊄平面MOC，OM⊂平面MOC，所以VB∥平面MOC.(2)证明：因为AC＝BC，O为AB的中点，所以OC⊥AB.又因为平面VAB⊥平面ABC，平面VAB∩平面ABC＝AB，且OC⊂平面ABC，所以OC⊥平面VAB.又因为OC⊂平面MOC，所以平面MOC⊥平面VAB.(3)在等腰直角三角形ACB中，AC＝BC＝2，所以AB＝2，OC＝1.所以等边三角形VAB的面积S△VAB＝ 3.又因为OC⊥平面VAB，所以三棱锥C­VAB的体积等于1 3OC·S△VAB＝33.又因为三棱锥V­ABC的体积与三棱锥C­VAB的体积相等，所以三棱锥V­ABC的体积为3 3.20．G5、G12如图1­5，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，PO垂直于圆O所在的平面，且PO＝OB＝1.(1)若D为线段AC的中点，求证：AC⊥平面PDO；(2)求三棱锥P­ABC体积的最大值；(3)若BC＝2，点E在线段PB上，求CE＋OE的最小值．图1­520．解：方法一：(1)证明：在△AOC 中，因为OA ＝OC ，D 为AC 的中点， 所以AC ⊥DO .又PO 垂直于圆O 所在的平面， 所以PO ⊥AC .因为DO ∩PO ＝O ，DO ⊂平面PDO ，PO ⊂平面PDO ， 所以AC ⊥平面PDO . (2)因为点C 在圆O 上，所以当CO ⊥AB 时，C 到AB 的距离最大，且最大值为1. 又AB ＝2，所以△ABC 面积的最大值为 12×2×1＝1. 又因为三棱锥P ­ABC 的高PO ＝1，故三棱锥P ­ABC 体积的最大值为13×1×1＝13.(3)在△POB 中，PO ＝OB ＝1，∠POB ＝90°， 所以PB ＝12＋12＝ 2. 同理PC ＝2，所以PB ＝PC ＝BC .在三棱锥P ­ABC 中，将侧面BCP 绕PB 旋转至平面BC ′P, 使之与平面ABP 共面，如图所示．当O ，E ，C ′共线时，CE ＋OE 取得最小值． 又因为OP ＝OB ，C ′P ＝C ′B ， 所以OC ′垂直平分PB ， 即E 为PB 中点．从而OC′＝OE＋EC′＝22＋62＝2＋62，亦即CE＋OE的最小值为2＋62.方法二：(1)(2)同方法一．(3)在△POB中，PO＝OB＝1，∠POB＝90°，所以∠OPB＝45°，PB＝12＋12＝ 2.同理PC＝ 2.所以PB＝PC＝BC，所以∠CPB＝60°.在三棱锥P­ABC中，将侧面BCP绕PB旋转至平面BC′P，使之与平面ABP共面，如图所示．当O，E，C′共线时，CE＋OE取得最小值．所以在△OC′P中，由余弦定理得，OC′2＝1＋2－2×1×2×cos(45°＋60°)＝1＋2－2 2×22×12－22×32＝2＋3.从而OC′＝2＋3＝2＋62.所以CE＋OE的最小值为22＋62.18．G1、G5如图1­4，直三棱柱ABC­ A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E，F分别是BC，CC1的中点．(1)证明：平面AEF⊥平面B1BCC1；(2)若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°，求三棱锥F­ AEC的体积．图1­418．解：(1)证明：如图，因为三棱柱ABC­ A1B1C1是直三棱柱，所以AE⊥BB1.又E是正三角形ABC的边BC的中点，所以AE⊥BC.因此AE ⊥平面B 1BCC 1.而AE ⊂平面AEF ， 所以平面AEF ⊥平面B 1BCC 1.(2)设AB 的中点为D ，连接A 1D ，CD . 因为△ABC 是正三角形，所以CD ⊥AB .又三棱柱ABC ­ A 1B 1C 1是直三棱柱，所以CD ⊥AA 1.因此CD ⊥平面A 1ABB 1，于是∠CA 1D 为直线A 1C 与平面A 1ABB 1所成的角． 由题设，∠CA 1D ＝45°，所以A 1D ＝CD ＝32AB ＝ 3. 在Rt △AA 1D 中，AA 1＝A 1D 2－AD 2＝3－1＝2，所以FC ＝12AA 1＝22.故三棱锥F ­ AEC 的体积V ＝13S △AEC ·FC ＝13×32×22＝612. 18．G4、G5 如图1­3，三棱台DEF ­ ABC 中，AB ＝2DE ，G ，H 分别为AC ，BC 的中点． (1)求证：BD ∥平面FGH ；(2)若CF ⊥BC ，AB ⊥BC ，求证：平面BCD ⊥平面EGH .18．证明：(1)证法一：如图，连接DG ，CD ，设CD ∩GF ＝M ，连接MH . 在三棱台DEF ­ ABC 中，AB ＝2DE ，G 为AC 的中点，可得DF ∥GC ，DF ＝GC ，所以四边形DFCG 为平行四边形， 则M 为CD 的中点．又H 为BC 的中点， 所以HM ∥BD .又HM ⊂平面FGH ，BD ⊄平面FGH ， 所以BD ∥平面FGH .证法二：在三棱台DEF ­ ABC 中， 由BC ＝2EF ，H 为BC 的中点， 可得BH ∥EF ，BH ＝EF ，所以四边形HBEF 为平行四边形， 可得BE ∥HF .在△ABC 中，G 为AC 的中点，H 为BC 的中点， 所以GH ∥AB .又GH ∩HF ＝H ，AB ∩BE ＝B ， 所以平面FGH ∥平面ABED . 因为BD ⊂平面ABED ， 所以BD ∥平面FGH .(2)如图，连接HE ，GE .因为G ，H 分别为AC ，BC 的中点， 所以GH ∥AB .由AB ⊥BC ，得GH ⊥BC ， 又H 为BC 的中点， 所以EF ∥HC ，EF ＝HC ，因此四边形EFCH 是平行四边形， 所以CF ∥HE .又CF ⊥BC ，所以HE ⊥BC .又HE ，GH ⊂平面EGH ，HE ∩GH ＝H ， 所以BC ⊥平面EGH . 又BC ⊂平面BCD ， 所以平面BCD ⊥平面EGH .18．G5 如图1­5(1)，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD ＝π2，AB ＝BC ＝12AD ＝a ，E是AD 的中点，O 是AC 与BE 的交点．将△ABE 沿BE 折起到图(2)中△A 1BE 的位置，得到四棱锥A 1­BCDE .(1)证明：CD ⊥平面A 1OC ；(2)当平面A 1BE ⊥平面BCDE 时，四棱锥A 1­BCDE 的体积为362，求a 的值．图1­518．解：(1)证明：在图(1)中， 因为AB ＝BC ＝12AD ＝a ，E 是AD 的中点，∠BAD ＝π2，所以BE ⊥AC ，即在图(2)中，BE ⊥A 1O ，BE ⊥OC ， 从而BE ⊥平面A 1OC . 又CD ∥BE ， 所以CD ⊥平面A 1OC .(2)由已知，平面A 1BE ⊥平面BCDE ， 且平面A 1BE ∩平面BCDE ＝BE ， 又由(1)知，A 1O ⊥BE ， 所以A 1O ⊥平面BCDE ， 即A 1O 是四棱锥A 1­BCDE 的高． 由图(1)知，A 1O ＝22AB ＝22a ，平行四边形BCDE 的面积S ＝BC ·AB ＝a 2. 从而四棱锥A 1­BCDE 的体积V ＝13×S ×A 1O ＝13×a 2×22a ＝26a 3. 由26a 3＝362，得a ＝6. 18．G1，G4，G5 一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图1­2所示． (1)请将字母F ，G ，H 标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)； (2)判断平面BEG 与平面ACH 的位置关系，并证明你的结论； (3)证明：直线DF ⊥平面BEG .图1­218．解：(1)点F，G，H的位置如图所示．(2)平面BEG∥平面ACH.证明如下：因为ABCD­EFGH为正方体，所以BC∥FG，BC＝FG，又FG∥EH，FG＝EH，所以BC∥EH，BC＝EH，于是BCHE为平行四边形，所以BE∥CH.又CH⊂平面ACH，BE⊄平面ACH，所以BE∥平面ACH.同理BG∥平面ACH.又BE∩BG＝B，所以平面BEG∥平面ACH.(3)证明：连接FH.因为ABCD­EFGH为正方体，所以DH⊥平面EFGH.因为EG⊂平面EFGH，所以DH⊥EG，又EG⊥FH，EG∩FH＝O，所以EG⊥平面BFHD.又DF⊂平面BFHD，所以DF⊥EG.同理DF⊥BG.又EG∩BG＝G，所以DF⊥平面BEG.17．G4、G5、G11如图1­4，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB＝AC＝3，BC＝25，AA1＝7，BB 1＝27，点E 和F 分别为BC 和A 1C 中点．(1)求证：EF ∥平面A 1B 1BA ； (2)求证：平面AEA 1⊥平面BCB 1；(3)求直线A 1B 1与平面BCB 1所成角的大小．图1­417．解：(1)证明：如图所示，连接A 1B .在△A 1BC 中，因为E 和F 分别是BC 和A 1C 的中点，所以EF ∥BA 1.又因为EF ⊄平面A 1B 1BA ，所以EF ∥平面A 1B 1BA .(2)证明：因为AB ＝AC ，E 为BC 的中点，所以AE ⊥BC .因为AA 1⊥平面ABC ，BB 1∥AA 1，所以BB 1⊥平面ABC ，从而BB 1⊥AE .又因为BC ∩BB 1＝B ，所以AE ⊥平面BCB 1.又因为AE ⊂平面AEA 1，所以平面AEA 1⊥平面BCB 1.(3)取BB 1的中点M 和B 1C 的中点N ，连接A 1M ，A 1N ，NE .因为N 和E 分别为B 1C 和BC 的中点，所以NE ∥B 1B ，NE ＝12B 1B ，故NE ∥A 1A ，且NE ＝A 1A ，所以A 1N ∥AE ，且A 1N ＝AE .又因为AE ⊥平面BCB 1，所以A 1N ⊥平面BCB 1，从而∠A 1B 1N 为直线A 1B 1与平面BCB 1所成的角．在△ABC 中，可得AE ＝2，所以A 1N ＝AE ＝2.因为BM ∥AA 1，BM ＝AA 1，所以A 1M ∥AB ，A 1M ＝AB, 又由AB ⊥BB 1，得A 1M ⊥BB 1. 在Rt △A 1MB 1中，可得A 1B 1＝B 1M 2＋A 1M 2＝4. 在Rt △A 1NB 1中，sin ∠A 1B 1N ＝A 1N A 1B 1＝12，因此∠A 1B 1N ＝30°， 所以直线A 1B 1与平面BCB 1所成的角为30°.4．G4，G5 设α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，且l ⊂α，m ⊂β( )A．若l⊥β，则α⊥βB．若α⊥β，则l⊥mC．若l∥β，则α∥βD．若α∥β，则l∥m4．A 由两平面垂直的判定定理知，A正确；对于B，直线l，m相交、平行、异面都有可能，故不正确；对于C，要求α内两条相交直线都平行于β，才能推出α∥β，故不正确；对于D，l，m平行和异面都有可能，故不正确．18．G5，G11如图1­4，在三棱柱ABC­A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，A1A＝4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．(1)证明：A1D⊥平面A1BC；(2)求直线A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值．图1­418．解：(1)证明：设E为BC的中点，连接DE.由题意得A1E⊥平面ABC，所以A1E⊥AE.因为AB＝AC，所以AE⊥BC.故AE⊥平面A1BC.由D，E分别为B1C1，BC的中点，得DE∥B1B且DE＝B1B，从而DE∥A1A且DE＝A1A，所以四边形AA1DE为平行四边形．于是A1D∥AE.又因为AE⊥平面A1BC，所以A1D⊥平面A1BC.(2)作A 1F ⊥DE ，垂足为F ，连接BF . 因为A 1E ⊥平面ABC ，所以BC ⊥A 1E . 因为BC ⊥AE ，所以BC ⊥平面AA 1DE . 所以BC ⊥A 1F ，所以A 1F ⊥平面BB 1C 1C .所以∠A 1BF 为直线A 1B 和平面BB 1C 1C 所成的角． 由AB ＝AC ＝2，∠CAB ＝90°，得EA ＝EB ＝ 2. 由A 1E ⊥平面ABC ，得A 1A ＝A 1B ＝4，A 1E ＝14. 由DE ＝BB 1＝4，DA 1＝EA ＝2，∠DA 1E ＝90°，得A 1F ＝72. 所以sin ∠A 1BF ＝A 1F A 1B ＝78. 20．G5、G7 如图1­4，三棱锥P ­ ABC 中，平面PAC ⊥平面ABC ，∠ABC ＝π2，点D ，E在线段AC 上，且AD ＝DE ＝EC ＝2，PD ＝PC ＝4，点F 在线段AB 上，且EF ∥BC .(1)证明：AB ⊥平面PFE ；(2)若四棱锥P ­ DFBC 的体积为7，求线段BC 的长．图1­420．解：(1)证明：由DE ＝EC ，PD ＝PC 知，E 为等腰三角形PDC 中DC 边的中点，故PE ⊥AC . 又平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC ∩平面ABC ＝AC ，PE ⊂平面PAC ，PE ⊥AC ，所以PE ⊥平面ABC ，从而PE ⊥AB .因为∠ABC ＝π2，EF ∥BC ，故AB ⊥EF .从而AB 与平面PFE 内两条相交直线PE ，EF 都垂直，所以AB ⊥平面PFE . (2)设BC ＝x ，则在直角三角形ABC 中，AB ＝AC 2－BC 2＝36－x 2，从而S △ABC ＝12AB ·BC ＝12x 36－x 2.由EF ∥BC 知，AF AB ＝AE AC ＝23，△AFE ∽△ABC ，故S △AFE S △ABC ＝232＝49，即S △AFE ＝49S △ABC .由AD ＝12AE ，得S △AFD ＝12S △AFE ＝12×49S △ABC ＝29S △ABC ＝19x 36－x 2，从而四边形DFBC 的面积为S四边形DFBC＝S △ABC －S △AFD ＝12x 36－x 2－19x 36－x 2＝718x 36－x 2.由(1)知，PE ⊥平面ABC ，所以PE 为四棱锥P ­DFBC 的高． 在直角三角形PEC 中，PE ＝PC 2－EC 2＝42－22＝2 3. 所以V 四棱锥P ­DFBC ＝13·S 四边形DFBC ·PE ＝13×718x 36－x 2·23＝7，故得x 4－36x 2＋243＝0，解得x 2＝9或x 2＝27，由于x >0，可得x ＝3或x ＝3 3. 所以BC ＝3或BC ＝3 3.G6 多面体与球 G7 棱柱与棱锥10．G2、G7、K3 某工件的三视图如图1­3所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为(材料利用率＝新工件的体积原工件的体积)( )图1­3A.89π B.827πC.24（2－1）3π D.8（2－1）3π10．A 由三视图知，原工件是底面半径为1，母线长为3的圆锥．设新正方体工件的棱长为x ，借助轴截面，由三角形相似可得，x32－12＝1－22x1，得x ＝223，故V 正＝x 3＝16227，又V 圆锥＝13π×12×32－12＝22π3，故利用率为16227223π＝89π，选A.14．G2，G7 在三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边的长为1的等腰直角三角形，设点M ，N ，P 分别是棱AB ，BC ，B 1C 1的中点，则三棱锥P ­A 1MN 的体积是________．14.124 由题意知，三棱柱的底面是直角边长为1的等腰直角三角形，棱柱的高为1且该棱柱为直三棱柱，其底面积为12，三棱锥A 1­PMN 的底面积是12×12×1，高为12，故三棱锥P ­A 1MN 的体积为13×12×14＝124.5．G2、G7、G8 某几何体的三视图如图1­2所示，则该几何体的体积为()图1­2A.13＋2πB.13π6C.7π3 D.5π25．B 由三视图知，该几何体为一个圆柱与一个半圆锥的组合体，其中圆柱的底面半径为1、高为2，半圆锥的底面半径为1、高为1，所以该几何体的体积V ＝13×12×π×12×1＋π×12×2＝13π6.20．G5、G7 如图1­4，三棱锥P ­ ABC 中，平面PAC ⊥平面ABC ，∠ABC ＝π2，点D ，E在线段AC 上，且AD ＝DE ＝EC ＝2，PD ＝PC ＝4，点F 在线段AB 上，且EF ∥BC .(1)证明：AB ⊥平面PFE ；(2)若四棱锥P ­ DFBC 的体积为7，求线段BC 的长．图1­420．解：(1)证明：由DE ＝EC ，PD ＝PC 知，E 为等腰三角形PDC 中DC 边的中点，故PE ⊥AC . 又平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC ∩平面ABC ＝AC ，PE ⊂平面PAC ，PE ⊥AC ，所以PE ⊥平面ABC ，从而PE ⊥AB .因为∠ABC ＝π2，EF ∥BC ，故AB ⊥EF .从而AB 与平面PFE 内两条相交直线PE ，EF 都垂直，所以AB ⊥平面PFE . (2)设BC ＝x ，则在直角三角形ABC 中，AB ＝AC 2－BC 2＝36－x 2，从而S △ABC ＝12AB ·BC ＝12x 36－x 2.由EF ∥BC 知，AF AB ＝AE AC ＝23，△AFE ∽△ABC ，故S △AFE S △ABC ＝232＝49，即S △AFE ＝49S △ABC .由AD ＝12AE ，得S △AFD ＝12S △AFE ＝12×49S △ABC ＝29S △ABC ＝19x 36－x 2，从而四边形DFBC 的面积为S四边形DFBC＝S △ABC －S △AFD ＝12x 36－x 2－19x 36－x 2＝718x 36－x 2.由(1)知，PE ⊥平面ABC ，所以PE 为四棱锥P ­DFBC 的高． 在直角三角形PEC 中，PE ＝PC 2－EC 2＝42－22＝2 3. 所以V 四棱锥P ­DFBC ＝13·S 四边形DFBC ·PE ＝13×718x 36－x 2·23＝7，故得x 4－36x 2＋243＝0，解得x 2＝9或x 2＝27，由于x >0，可得x ＝3或x ＝3 3. 所以BC ＝3或BC ＝3 3.9．G7 现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个．若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________．9.7 设新的底面半径为r ，则13π×52×4＋π×22×8＝13πr 2×4＋πr 2×8 ，即283πr 2＝1003π＋32π，解得r ＝7.G8 多面体与球5．G2、G7、G8 某几何体的三视图如图1­2所示，则该几何体的体积为( )图1­2A.13＋2πB.13π6C.7π3 D.5π25．B 由三视图知，该几何体为一个圆柱与一个半圆锥的组合体，其中圆柱的底面半径为1、高为2，半圆锥的底面半径为1、高为1，所以该几何体的体积V ＝13×12×π×12×1＋π×12×2＝13π6.10．G8 已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB ＝90°，C 为该球面上的动点．若三棱锥O ­ ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为( )A ．36πB ．64πC ．144πD ．256π10．C 因为V 三棱锥O ­ ABC ＝V 三棱锥C ­ OAB ，所以三棱锥O ­ ABC 体积的最大值即三棱锥C ­OAB 体积的最大值，所以当C 到平面OAB 的距离最大时，即CO ⊥平面OAB 时，体积最大，设球的半径为r ，则V 三棱锥O ­ ABC＝V三棱锥C ­ OAB＝16r 3＝36，所以r ＝6，则球O 的表面积S ＝4πr 2＝144π.图1­2A.13＋2πB.13π6C.7π3 D.5π2G9 空间向量及运算G10空间向量解决线面位置关系G11空间角与距离的求法17．G4、G5、G11 如图1­4，已知AA 1⊥平面ABC ，BB 1∥AA 1，AB ＝AC ＝3，BC ＝25，AA 1＝7，BB 1＝27，点E 和F 分别为BC 和A 1C 中点．(1)求证：EF ∥平面A 1B 1BA ； (2)求证：平面AEA 1⊥平面BCB 1；(3)求直线A 1B 1与平面BCB 1所成角的大小．图1­417．解：(1)证明：如图所示，连接A 1B .在△A 1BC 中，因为E 和F 分别是BC 和A 1C 的中点，所以EF ∥BA 1.又因为EF ⊄平面A 1B 1BA ，所以EF ∥平面A 1B 1BA .(2)证明：因为AB ＝AC ，E 为BC 的中点，所以AE ⊥BC .因为AA 1⊥平面ABC ，BB 1∥AA 1，所以BB 1⊥平面ABC ，从而BB 1⊥AE .又因为BC ∩BB 1＝B ，所以AE ⊥平面BCB 1.又因为AE ⊂平面AEA 1，所以平面AEA 1⊥平面BCB 1.(3)取BB 1的中点M 和B 1C 的中点N ，连接A 1M ，A 1N ，NE .因为N 和E 分别为B 1C 和BC 的中点，所以NE ∥B 1B ，NE ＝12B 1B ，故NE ∥A 1A ，且NE ＝A 1A ，所以A 1N ∥AE ，且A 1N ＝AE .又因为AE ⊥平面BCB 1，所以A 1N ⊥平面BCB 1，从而∠A 1B 1N 为直线A 1B 1与平面BCB 1所成的角．在△ABC 中，可得AE ＝2，所以A 1N ＝AE ＝2.因为BM ∥AA 1，BM ＝AA 1，所以A 1M ∥AB ，A 1M ＝AB, 又由AB ⊥BB 1，得A 1M ⊥BB 1. 在Rt △A 1MB 1中，可得A 1B 1＝B 1M 2＋A 1M 2＝4. 在Rt △A 1NB 1中，sin ∠A 1B 1N ＝A 1N A 1B 1＝12，因此∠A 1B 1N ＝30°，所以直线A1B1与平面BCB1所成的角为30°.18．G5，G11如图1­4，在三棱柱ABC­A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，A1A＝4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．(1)证明：A1D⊥平面A1BC；(2)求直线A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值．图1­418．解：(1)证明：设E为BC的中点，连接DE.由题意得A1E⊥平面ABC，所以A1E⊥AE.因为AB＝AC，所以AE⊥BC.故AE⊥平面A1BC.由D，E分别为B1C1，BC的中点，得DE∥B1B且DE＝B1B，从而DE∥A1A且DE＝A1A，所以四边形AA1DE为平行四边形．于是A1D∥AE.又因为AE⊥平面A1BC，所以A1D⊥平面A1BC.(2)作A1F⊥DE，垂足为F，连接BF.因为A1E⊥平面ABC，所以BC⊥A1E.因为BC⊥AE，所以BC⊥平面AA1DE.所以BC⊥A1F，所以A1F⊥平面BB1C1C.所以∠A1BF为直线A1B和平面BB1C1C所成的角．由AB＝AC＝2，∠CAB＝90°，得EA＝EB＝ 2.由A 1E ⊥平面ABC ，得A 1A ＝A 1B ＝4，A 1E ＝14. 由DE ＝BB 1＝4，DA 1＝EA ＝2，∠DA 1E ＝90°，得A 1F ＝72. 所以sin ∠A 1BF ＝A 1F A 1B ＝78. 18．G4，G5，G11 如图1­3，三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直，PD ＝PC ＝4，AB ＝6，BC ＝3.(1)证明：BC ∥平面PDA ； (2)证明：BC ⊥PD ；(3)求点C 到平面PDA 的距离．图1­3 图1­422．G11、G12 如图1­6，在四棱锥P ­ ABCD 中，已知PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为直角梯形，∠ABC ＝∠BAD ＝π2，PA ＝AD ＝2，AB ＝BC ＝1.(1)求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值；(2)点Q 是线段BP 上的动点，当直线CQ 与DP 所成的角最小时，求线段BQ 的长．图1­622．解：以{AB →，AD →，AP →}为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系A ­ xyz ，则各点的坐标为B (1，0，0)，C (1，1，0)，D (0，2，0)，P (0，0，2)．(1)因为AD ⊥平面PAB ，所以AD →是平面PAB 的一个法向量，AD →＝(0，2，0)． 因为PC →＝(1，1，－2)，PD →＝(0，2，－2)， 设平面PCD 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z )， 所以m ·PC →＝0，m ·PD →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2z ＝0，2y －2z ＝0.令y ＝1，解得z ＝1，x ＝1， 所以m ＝(1，1，1)是平面PCD 的一个法向量． 从而cos 〈AD →，m 〉＝AD →·m |AD →||m |＝33，所以平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值为33. (2)由BP →＝(－1，0，2)，可设BQ →＝λBP →＝(－λ，0，2λ)(0≤λ≤1)，又CB →＝(0，－1，0)，所以CQ →＝CB →＋BQ →＝(－λ，－1，2λ)，又DP →＝(0，－2，2)， 从而cos 〈CQ →，DP →〉＝CQ →·DP →|CQ →||DP →|＝1＋2λ10λ2＋2 . 设1＋2λ＝t ，t ∈，则cos 2〈CQ →，DP →〉＝2t 25t 2－10t ＋9＝29⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －592＋209≤910，当且仅当t ＝95，即λ＝25时，|cos 〈CQ →，DP →〉|取得最大值为31010.因为y ＝cos x 在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上是减函数，所以此时直线CQ 与DP 所成角取得最小值．又因为BP ＝12＋22＝5，所以BQ ＝25BP ＝255.G12 单元综合6．G12 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图1­1，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有( )图1­1A ．14斛B ．22斛C ．36斛D ．66斛6．B 米堆的体积即为四分之一的圆锥的体积，设圆锥底面半径为r ，则14×2πr ＝8，得r ＝16π，所以米堆的体积为13×14πr 2×5≈3209(立方尺)，3209÷1.62≈22(斛)．22．G11、G12 如图1­6，在四棱锥P ­ ABCD 中，已知PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为直角梯形，∠ABC ＝∠BAD ＝π2，PA ＝AD ＝2，AB ＝BC ＝1.(1)求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值；(2)点Q 是线段BP 上的动点，当直线CQ 与DP 所成的角最小时，求线段BQ 的长．图1­622．解：以{AB →，AD →，AP →}为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系A ­ xyz ，则各点的坐标为B (1，0，0)，C (1，1，0)，D (0，2，0)，P (0，0，2)．。