2021高三统考数学学案第11章第3讲几何概型含解析

e＝2.718 28…)内随机选取两个数，则这两个数之积小于 e 的概率为
()
2 A.e
1 B.e
C.1－2e
D.1－1e
解：设随机选取的两个数为 x，y，由题意得00＜＜xy＜＜ee，，如图， 该不等式组在坐标系中对应的区域面积为 e2，
0＜x＜e， 又不等式组0＜y＜e，在坐标系中对应的区域如图阴影部分，
A.P1>P2
B.P1＝P2
C.P1<P2
D.P1 与 P2 的大小不确定
解：若 f(x)的值域为 R，则 Δ1＝a2－4≥0，得 a≤－2 或 a≥2. 故 P1＝－4－2－（（－－3）3）＋4－4（－－23）＝37. 若 f(x)的定义域为 R，则 Δ2＝a2－4<0，得－2<a<2.
故 P2＝42－－（（－－32））＝47.所以 P1<P2.故选 C.
所以正方形 OEFG 的面积为45，则阴影部分的面积为45－π16，
所以所求的概率为45－41π6＝1－56π4 .故填 1－56π4 .
5
(2)甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼
夜内到达该码头的时刻是等可能的.如果甲船停泊时间为 1 h，乙船停
泊时间为 2 h，则它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率
自查自纠
1．均等的 2．长度 面积 体积 几何概率模型 几何概型 3.试验构的成全事部件结A果的构区成域的的区长域度长（度面（积面或积体或积体）积）
1.(贵州省贵阳市 2020 届高三 8 月月考)某学校星期一至星期五每
天上午共安排五节课，每节课的时间为 40 分钟，第一节课上课的时间
为 7：50～8：30，课间休息 10 分钟.某同学请假后返校，若他在

专题11.2 古典概型与几何概型【考情分析】1.理解古典概型及其概率计算公式；2.会计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率.3.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率；4.了解几何概型的意义. 【重点知识梳理】 知识点一 基本事件的特点 (1)任何两个基本事件是互斥的.(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和. 知识点二 古典概型具有以下两个特征的概率模型称为古典的概率模型，简称古典概型. (1)试验的所有可能结果只有有限个，每次试验只出现其中的一个结果. (2)每一个试验结果出现的可能性相同.【特别提醒】如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是1n ；如果某个事件A 包括的结果有m 个，那么事件A 的概率P (A )＝mn.知识点三 古典概型的概率公式 P (A )＝事件A 包含的可能结果数试验的所有可能结果数.知识点四 几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型.知识点五 几何概型的两个基本特点(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个； (2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性. 知识点六 几何概型的概率公式P (A )＝构成事件A 的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）.【典型题分析】高频考点一 古典概型的概率计算【例1】【2020·浙江卷】盒中有4个球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球．从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止．设此过程中取到黄球的个数为ξ，则(0)P ξ==_______，()E ξ=_______． 【变式探究】(2019·天津卷)2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除．某单位老、中、青员工分别有72，108，120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况．(1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人？(2)抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A ，B ，C ，D ，E ，F .享受情况如下表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受．现从这6人中随机抽取2人接受采访．(ⅰ)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；(ⅰ)设M 为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M 发生的概率．【方法规律】有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型，已成为高考考查的热点，概率与统计的结合题，无论是直接描述还是利用概率分布表、频率分布直方图、茎叶图等给出信息，准确从题中提炼信息是解题的关键【变式探究】(1)(2019·全国卷ⅰ)生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标．若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为( )A.23B.35C.25D.15(2)(2019·全国卷ⅰ)两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是( ) A.16 B.14 C.13D.12【变式探究】(2019·江苏卷)从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是 ．【举一反三】(2018·天津卷)已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160. 现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动．(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？(2)设抽出的7名同学分别用A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．ⅰ试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；ⅰ设M 为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M 发生的概率． 高频考点二 综合考查古典概型与其他知识【例2】（2020·河南省焦作模拟）从集合{1,2,3,4}中随机抽取一个数a ，从集合{1,2,3}中随机抽取一个数b ，则向量m ＝(a ，b )与向量n ＝(2,1)共线的概率为( )A.16B.13C.14D.12【变式探究】（2020·黑龙江省大庆模拟）将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a ，b ，则直线ax ＋by ＝0与圆(x －2)2＋y 2＝2有公共点的概率为 ．【举一反三】（2020·江苏省宿迁模拟）已知a ＝log 0.55，b ＝log 32，c ＝20.3，d ＝⎝⎛⎭⎫122，从这四个数中任取一个数m ，使函数f (x )＝13x 3＋mx 2＋x ＋2有极值点的概率为( )A.14B.12C.34D ．1高频考点三 与长度、角度有关的几何概型【例3】（2020·浙江省舟山模拟）在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C ，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形的面积大于20 cm 2的概率为 ( )A.16 B.13 C.23D.45【方法技巧】长度、角度等测度的区分方法(1)如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则把题中所表示的几何模型转化为长度，然后求解．解题的关键是构建事件的区域(长度)．(2)当涉及射线的转动、扇形中有关落点区域问题时，应以角度的大小作为区域度量来计算概率，且不可用线段的长度代替，这是两种不同的度量手段．【变式探究】（2020·安徽省芜湖模拟）如图，四边形ABCD 为矩形，AB ＝3，BC ＝1，以A 为圆心，1为半径作四分之一个圆弧DE ，在ⅰDAB 内任作射线AP ，则射线AP 与线段BC 有公共点的概率为 ．高频考点四 与体积有关的几何概型【例4】（2020·江西省南昌模拟）在一个球内有一棱长为1的内接正方体，一动点在球内运动，则此点落在正方体内部的概率为( )A.6πB.32πC.3πD.233π 【方法技巧】与体积有关的几何概型问题如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用空间几何体的体积表示，则其概率的计算公式为： P (A )＝构成事件A 的区域体积试验的全部结果所构成的区域体积，求解的关键是计算事件的总体积以及事件A 的体积．【变式探究】（2020·广东省江门模拟）在棱长为2的正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为 ．高频考点五 与面积有关的几何概型【例5】（2020·山东省淄博模拟）七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的，如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率是( )A.14B.18C.38D.316【变式探究】（2020·山东省滨州模拟）已知关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，2x ＋y －4≤0，x ≥0表示的平面区域为M ，在区域M 内随机取一点N (x 0，y 0)，则3x 0－y 0－2≤0的概率为( )A.56B.34C.35D.13【举一反三】（2020·陕西省宝鸡模拟）在区间(0,2)内随机取一个实数a ，则满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≥0，y ≥0，x －a ≤0的点(x ，y )构成区域的面积大于1的概率是( )A.18B.14C.12D.34专题11.2 古典概型与几何概型【考情分析】1.理解古典概型及其概率计算公式；2.会计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率.3.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率；4.了解几何概型的意义. 【重点知识梳理】 知识点一 基本事件的特点 (1)任何两个基本事件是互斥的.(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和. 知识点二 古典概型具有以下两个特征的概率模型称为古典的概率模型，简称古典概型. (1)试验的所有可能结果只有有限个，每次试验只出现其中的一个结果. (2)每一个试验结果出现的可能性相同.【特别提醒】如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是1n ；如果某个事件A 包括的结果有m 个，那么事件A 的概率P (A )＝m n.知识点三 古典概型的概率公式 P (A )＝事件A 包含的可能结果数试验的所有可能结果数.知识点四 几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型.知识点五 几何概型的两个基本特点(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个； (2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性. 知识点六 几何概型的概率公式P (A )＝构成事件A 的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）.【典型题分析】高频考点一 古典概型的概率计算【例1】【2020·浙江卷】盒中有4个球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球．从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止．设此过程中取到黄球的个数为ξ，则(0)P ξ==_______，()E ξ=_______． 【答案】13，1 【解析】因为0ξ=对应事件为第一次拿红球或第一次拿绿球，第二次拿红球，所以1111(0)4433P ξ==+⨯=，随机变量0,1,2ξ=，212111211(1)434324323P ξ==⨯+⨯⨯+⨯⨯=， 111(2)1333P ξ==--=，所以111()0121333E ξ=⨯+⨯+⨯=.【变式探究】(2019·天津卷)2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除．某单位老、中、青员工分别有72，108，120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况．(1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人？(2)抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A ，B ，C ，D ，E ，F .享受情况如下表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受．现从这6人中随机抽取2人接受采访．(ⅰ)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；(ⅰ)设M 为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M 发生的概率． 【解析】(1)由已知，老、中、青员工人数之比为6ⅰ9ⅰ10，由于采用分层抽样的方法从中抽取25位员工，因此应从老、中、青员工中分别抽取6人，9人，10人． (2)(ⅰ)从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为{A ，B }，{A ，C }，{A ，D }，{A ，E }，{A ，F }，{B ，C }，{B ，D }，{B ，E }，{B ，F }，{C ，D }，{C ，E }，{C ，F }，{D ，E }，{D ，F }，{E ，F }，共15种．(ⅰ)由表格知，符合题意的所有可能结果为{A ，B }，{A ，D }，{A ，E }，{A ，F }，{B ，D }，{B ，E }，{B ，F }，{C ，E }，{C ，F }，{D ，F }，{E ，F }，共11种．所以，事件M 发生的概率P (M )＝1115.【方法规律】有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型，已成为高考考查的热点，概率与统计的结合题，无论是直接描述还是利用概率分布表、频率分布直方图、茎叶图等给出信息，准确从题中提炼信息是解题的关键【变式探究】(1)(2019·全国卷ⅰ)生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标．若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为( )A.23B.35C.25D.15(2)(2019·全国卷ⅰ)两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是( ) A.16 B.14 C.13 D.12【答案】(1)B (2)D【解析】(1)设5只兔子中测量过某项指标的3只为a 1，a 2，a 3，未测量过这项指标的2只为b 1，b 2，则从5只兔子中随机取出3只的所有可能情况为(a 1，a 2，a 3)，(a 1，a 2，b 1)，(a 1，a 2，b 2)，(a 1，a 3，b 1)，(a 1，a 3，b 2)，(a 1，b 1，b 2)，(a 2，a 3，b 1)，(a 2，a 3，b 2)，(a 2，b 1，b 2)，(a 3，b 1，b 2)，共10种可能．其中恰有2只测量过该指标的情况为(a 1，a 2，b 1)，(a 1，a 2，b 2)，(a 1，a 3，b 1)，(a 1，a 3，b 2)，(a 2，a 3，b 1)，(a 2，a 3，b 2)，共6种可能．故恰有2只测量过该指标的概率为610＝35.故选B.(2)设两位男同学分别为A ，B ，两位女同学分别为a ，b ，则用“树形图”表示四位同学排成一列所有可能的结果如图所示．由图知，共有24种等可能的结果，其中两位女同学相邻的结果(画“√”的情况)共有12种，故所求概率为1224＝12.故选D 。

3．3几何概型内容标准学科素养1.理解几何概型的定义及特点.2.掌握几何概型的计算方法和求解步骤，准确地把实际问题转化为几何概型问题.3.与长度、角度有关的几何概型问题. 提升数学运算发展数学抽象应用数学运算[基础认识]知识点几何概型预习教材P135－136，思考并完成以下问题每逢节假日，各大型商场竞相出招，吸引顾客，其中某商场设立了一个可以自由转动的转盘，规定顾客消费100元以上，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准①，②或③区域，顾客就可以分别获得100元、50元、20元的购物券(转盘被等分成20个扇形)，一位顾客消费了120元．(1)这位顾客获得100元购物券的概率与什么因素有关？提示：与标注①的小扇形个数多少(面积大小)有关．(2)在该实例试验中，试验结果有多少个？其发生的概率相等吗？提示：试验结果有无穷多个，但每个试验结果发生的概率相等．(3)如何计算该顾客获得100元购物券的概率？提示：用标注①的扇形面积除以圆的面积．知识梳理 1.几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．2．几何概型的特点：(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个．(2)每个基本事件出现的可能性相等．3．几何概型的概率公式：P(A)＝构成事件A的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）.4．当X为区间[a，b]上的任意实数，并且是等可能的，我们称X服从[a，b]上的均匀分布，X为[a，b]上的均匀随机数．[自我检测]1．如图所示，有四个游戏盘，将它们水平放稳后，向上面扔一颗小玻璃球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是()解析：A中奖概率为38，B中奖概率为14，C中奖概率为13，D中奖概率为13，故选A.答案：A2．X服从[3，40]上的均匀分布，则X的值不能等于()A ．15B ．25C ．35D ．45解析：由于X ∈[3，40]，则3≤X ≤40，则X ≠45.故选D.答案：D3．在区间[－1，2]上随机取一个数x ，则|x |≤1的概率为__________．解析：∵区间[－1，2]的长度为3，由|x |≤1得x ∈[－1，1]，而区间[－1，1]的长度为2，x 取每个值为随机的，∴在[－1，2]上取一个数x ，|x |≤1的概率P ＝23.答案：23授课提示：对应学生用书第61页探究一 与长度、角度有关的几何概型[阅读教材P 136例1]某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待的时间不多于10分钟的概率．方法步骤：第一步，表示出事件；第二步，分析是否满足几何概型的条件；第三步，计算．[例1] 在等腰直角三角形ABC 中，在斜边AB 上任取一点M ，求AM 大于AC 的概率．[解析] 如图，点M 随机地落在线段AB 上，故线段AB 的长度为试验的全部结果所构成的区域长度，在AB 上截取AC ′＝AC ，当点M 位于线段C ′B 上时，AM >AC ， 故线段C ′B 即为构成事件的区域长度．∴P (AM >AC )＝P (AM >AC ′)＝C ′B AB ＝1－22.方法技巧 在求解与长度有关的几何概型时，首先找到试验的全部结果构成的区域D ，这时区域D 可能是一条线段或几条线段或曲线段，然后找到事件A 发生对应的区域d ，在找d 的过程中，确定边界点是问题的关键，但边界点是否取到却不影响事件A 的概率．延伸探究 本例条件不变．若求AM 不大于AC 的概率，结果有无变化？解析：结果不变．几何概型中，一点在线段上的长度视为0，包含与不包含一点，不改变概率的结果．探究二 与面积有关的几何概型[例2] 某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30～7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为__________．(用数字作答)[解析] 设小王到校时间为x ，小张到校时间为y ，则小张比小王至少早到5分钟时满足x －y ≥5.如图，原点O 表示7：30，在平面直角坐标系中画出小王和小张到校的时间构成的平面区域(图中正方形区域)，该正方形区域的面积为400，小张比小王至少早到5分钟对应的图形(图中阴影部分)的面积为12×15×15＝2252，故所求概率为P＝2252400＝932.[答案]9 32方法技巧与面积有关的几何概型问题的解法：(1)如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用面积表示，则其概率的计算公式为：P(A)＝构成事件A的区域面积试验的全部结果所构成的区域面积.(2)求几何概型的概率的关键是：确定试验的全部结果所构成的图形及事件A对应的图形，并求出它们的面积．跟踪探究 1.一海豚在水池中自由游弋，水池为长30 m，宽20 m的长方形，求海豚嘴尖离岸边不超过2 m的概率．解析：如图所示，区域Ω是长30 m、宽20 m的长方形，图中阴影部分表示事件A：“海豚嘴尖离岸边不超过2 m”，问题可以理解为求海豚嘴尖出现在图中阴影部分的概率．由于区域Ω的面积为30×20＝600(m2)，阴影部分的面积为30×20－26×16＝184(m2)．所以P(A)＝184600＝2375.即海豚嘴尖离岸边不超过2 m的概率为2375.探究三与体积有关的几何概型[例3]有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，求点P到点O的距离大于1的概率．[解析]圆柱的体积V圆柱＝π×12×2＝2π，以O为球心，1为半径且在圆柱内部的半球的体积V半球＝12×4π3×13＝2π3；则点P到点O的距离小于或等于1的概率为2π32π＝1 3.故点P到点O的距离大于1的概率为1－13＝2 3.方法技巧与体积有关的几何概型问题的解决：(1)如果试验的全部结果所构成的区域可用体积来度量，则其概率的计算公式为：P(A)＝构成事件A的体积试验的全部结果构成的体积.(2)解决此类问题一定要注意几何概型的条件，并且要特别注意所求的概率是与体积有关还是与长度有关，不要将二者混淆．跟踪探究 2.已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，在正方体ABCD－A1B1C1D1内随机取点M ，求使四棱锥M －ABCD 的体积小于16的概率．解析：如图是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，设四棱锥M －ABCD 的高为h ，由13×S ABCD ×h ＜16，又S ABCD ＝1，∴h ＜12，即点M 在正方体的下半部分．∴所求概率P ＝12V 正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1V 正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1＝12. 授课提示：对应学生用书第63页[课后小结]1．几何概型适用于试验结果是无穷多且事件是等可能发生的概率模型．2．几何概型主要用于解决与长度、面积、体积有关的题目．3．注意理解几何概型与古典概型的区别．4．理解如何将实际问题转化为几何概型的问题，利用几何概型公式求解，概率公式为P (A )＝构成事件A 的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）. [素养培优]几何度量(长度、角度、面积或体积)的选择错误如图所示，在等腰直角三角形ABC 中，过直角顶点C 在∠ACB 内部作一条射线CM ，与线段AB 交于点M .求AM <AC 的概率．易错分析 错误的原因在于选择的观察角度有问题，题目中的条件是过C 作射线CM ，错解中先在AB 上取点，将问题转化为长度之比，从而导致错误． 自我纠正 在AB 上取AC ′＝AC ，则∠ACC ′＝180°－45°2＝67.5°. 设事件A ＝{在∠ACB 内部作一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，AM <AC }， 则所有可能结果的区域角度为90°，事件A 的区域角度为67.5°，所以P (A )＝67.5°90°＝34.。

2021年高考数学一轮复习 11.3几何概型课时达标训练 文 湘教版一、选择题1．在面积为S 的△ABC 的边AB 上任取一点P ，则△PBC 的面积大于S4的概率为( )A.14B.12C.34D.23【解析】 如图，当BM ＝14BA 时，△MBC 的面积为S4，而当P 在M 、A 之间运动时，△PBC 的面积大于S 4，而MA ＝34AB ，则△PBC 的面积大于S 4的概率P ＝34AB AB ＝34，故选C.【答案】 C2．已知一只蚂蚁在边长分别为5，12，13的三角形的边上随机爬行，则其恰在离三个顶点的距离都大于1的地方的概率为( )A.45B.35C.π60D.π3【解析】 由题意可知，三角形的边长的和为5＋12＋13＝30，而蚂蚁要在离三个顶点的距离都大于1的地方爬行，则它爬行的区域长度为3＋10＋11＝24，根据几何概型的概率计算公式可得所求概率为2430＝45.故选A.【答案】 A3．(xx·北京海淀区三模)如图所示，在边长为a 的正方形内有不规则图形Ω.向正方形内随机撒豆子，豆子在图形Ω内和正方形内的豆子数分别为m ，n ，则图形Ω面积的估计值为( )A.ma nB.na mC.ma 2nD.na 2m【解析】 由题知S ΩS 正方形≈mn，所以S Ω≈m n ·S 正方形＝ma 2n ，即图形Ω面积的估计值为ma 2n.故选C.【答案】 C4．如图所示，在△ABC 中，∠B ＝60°，∠C ＝45°，高AD ＝3，在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ，则BM <1的概率为( )A.15B.25C.35D.45【解析】 ∵∠B ＝60°，∠C ＝45°， ∴∠BAC ＝75°.在Rt △ADB 中，AD ＝3，∠B ＝60°， ∴BD ＝ADtan 60°＝1，∠BAD ＝30°.记事件N 为“在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ， 则BM <1”，则可得∠BAM <∠BAD 时事件N 发生． 由几何概型的概率公式得P (N )＝30°75°＝25，故选B. 【答案】 B5．如图，A 是圆上固定的一点，在圆上其他位置任取一点A ′，连接AA ′，它是一条弦，它的长度小于或等于半径长度的概率为( )A.12B.32C.13D.14【解析】 当AA ′的长度等于半径长度时，∠AOA ′＝π3，由圆的对称性及几何概型得P＝2π32π＝13.【答案】 C6．(xx·广东调研)已知Ω＝{(x，y)|x＋y≤6，x≥0，y≥0}，A＝{(x，y)|x≤4，y≥0，x－2y≥0}，若向区域Ω内随机投一点P，则点P落在区域A内的概率为( ) A.13B.23C.19D.29【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧x－2y＝0，x＋y＝6得D(4，2)，区域Ω为△OAB，区域A为△OCD，所求概率P ＝S△OCDS△OAB＝12×4×212×6×6＝29.【答案】 D二、填空题7．(xx·厦门模拟)向边长为2 m的正方形木框ABCD内随机投掷一粒绿豆，记绿豆落在P点，则P点到A点的距离大于1 m，同时∠DPC∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2的概率为________．【解析】由题意知P点在以DC为直径的圆外，且在以A为圆心1为半径的圆外，即P 点在如图所示的阴影部分内，则概率为P＝2×2－34π×122×2＝1－3π16.【答案】1－3π168．在平行四边形ABCD中，O是AC与BD的交点，P，Q，M，N分别是线段OA，OB，OC，OD的中点．在A，P，M，C中任取一点记为E，在B，Q，N，D中任取一点记为F.设G为满足向量OG＝OE＋OF的点，则在上述的点G组成的集合中的点，落在平行四边形ABCD外(不含边界)的概率为__________．【解析】基本事件的总数是4×4＝16，在OG＝OE＋OF中，当OG ＝OP ＋OQ ，OG ＝OP ＋ON ，OG ＝ON ＋OM ，OG ＝OM ＋OQ 时，点G 分别为该平行四边形的各边的中点，此时点G 在平行四边形的边界上，而其余情况中的点G 都在平行四边形外，故所求的概率是1－416＝34.【答案】 349．如图，已知正三棱锥SABC 的底面边长为a ，高为h ，在正三棱锥内取一点M ，则点M 到底面的距离小于h2的概率P ＝________.【解析】 在SA ，SB ，SC 上取点A 1，B 1，C 1，使A 1，B 1，C 1分别为SA ，SB ，SC 的中点，则当点M 位于面ABC 和面A 1B 1C 1之间时，点M 到底面的距离小于h2.由题意，三棱锥SABC 的体积为13Sh ，三棱台A 1B 1C 1ABC 的体积为 13Sh －13·S 4·h 2＝13Sh ·78， 故P ＝78.【答案】 7810．两个CB 对讲机(CB 即CitizenBand 民用波段的英文缩写)持有者，莉莉和霍伊都为卡尔货运公司工作，他们的对讲机的接收范围为20 km ，在下午3：00时莉莉正在基地正东距基地30 km 以内的某处向基地行驶，而霍伊在下午3：00时正在基地正北距基地40 km 以内的某地向基地行驶，则在下午3：00时他们能够通过对讲机交谈的概率为________．【解析】 设x 和y 分别代表莉莉和霍伊距基地的距离，于是0≤x ≤30，0≤y ≤40. 他们所有可能的距离的数据构成有序点对(x ，y )，这里x ，y 都在它们各自的限制范围内，则所有这样的有序数对构成的集合即为基本事件组对应的几何区域，每一个几何区域中的点都代表莉莉和霍伊的一个特定的位置， 他们可以通过对讲机交谈的事件仅当他们之间的距离不超过20 km 时发生(如图)，因此构成该事件的点由满足不等式x 2＋y 2≤20的数对组成，此不等式等价于x 2＋y 2≤400，右图中的方形区域代表基本事件组，阴影部分代表所求事件，方形区域的面积为1 200 km 2，而事件的面积为⎝ ⎛⎭⎪⎫14×π×(20)2＝100π，于是有P ＝100π1 200＝π12.【答案】π12三、解答题11．已知等腰Rt △ABC 中，∠C ＝90°.(1)在线段BC 上任取一点M ，求使∠CAM <30°的概率； (2)在∠CAB 内任作射线AM ，求使∠CAM <30°的概率． 【解析】 (1)设CM ＝x ，则0<x <a .(不妨设BC ＝a )．若∠CAM <30°，则0＜x ＜33a ， 故∠CAM <30°的概率为 P ＝区间⎝⎛⎭⎪⎫0，33a 的长度区间（0，a ）的长度＝33.(2)设∠CAM ＝θ，则0°<θ<45°， 若∠CAM <30°，则0°<θ<30°， 故∠CAM <30°的概率为P ＝（0°，30°）的长度（0°，45°）的长度＝23.12．(1)已知向量a ＝(2，1)，b ＝(x ，y )，若x ∈[－1，2]，y ∈[－1，1]，求向量a ，b 的夹角是钝角的概率；(2)设关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2＝0.若a 是从区间[0，3]上任取的一个数，b 是从区间[0，2]上任取的一个数，求上述方程有实根的概率．【解析】 (1)设“a ，b 的夹角是钝角”为事件B ，由a ，b 的夹角是钝角，可得a·b <0， 即2x ＋y <0，且x ≠2y .基本事件空间为Ω＝ ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫（x ，y ）⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤2，－1≤y ≤1 ， B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫（x ，y ）⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤2，－1≤y ≤1，2x ＋y <0，x ≠2y ，则由图可知，P (B )＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32×23×2＝13，即向量a ，b 的夹角是钝角的概率是13.(2)设事件A 为“方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根”．当a ≥0，b ≥0时，方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根的充要条件为a ≥b . 试验的全部结果所构成的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3，0≤b ≤2}，即如图矩形OBCD 及内部，构成事件A 的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3，0≤b ≤2，a ≥b }，即如图矩形内阴影部分，所以所求的概率为P (A )＝3×2－12×223×2＝23.13．已知关于x 的一次函数y ＝mx ＋n .(1)设集合P ＝{－2，－1，1，2，3}和Q ＝{－2，3}，分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为m 和n ，求函数y ＝mx ＋n 是增函数的概率；(2)实数m ，n 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n －1≤0，－1≤m ≤1，－1≤n ≤1，求函数y ＝mx ＋n 的图象经过第一、二、三象限的概率．【解析】 (1)抽取的全部结果所构成的基本事件为：Ω＝{(－2，－2)，(－2，3)，(－1，－2)，(－1，3)，(1，－2)，(1，3)，(2，－2)，(2，3)，(3，－2)，(3，3)}共10个基本事件．设使函数为增函数的事件为A ，则A ＝{(1，－2)，(1，3)，(2，－2)，(2，3)，(3，－2)，(3，3)}共6个基本条件．所以P (A )＝610＝35.(2)m 、n 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n －1≤0，－1≤m ≤1，－1≤n ≤1的区域如图所示，使函数图象过第一、二、三象限的(m 、n )的区域为第一象限的阴影部分即m ＞0，n ＞0.所以所求事件的概率为P ＝1272＝17.T20879 518F 冏24005 5DC5 巅4I21688 54B8 咸35529 8AC9 諉24898 6142 慂23920 5D70 嵰40272 9D50 鵐39825 9B91 鮑< 6。