正比例函数(1)

19.2.1正比例函数(第1课时)一、内容和内容解析1．内容正比例函数的概念．2．内容解析一次函数是最简单的函数模型之一．正比例函数是特殊的一次函数，其特殊性表现在，函数值是自变量的值与一个常数的积．小学中，学生学习过正比例关系，正比例函数是用函数观点研究成正比例关系的两个变量而得到的简单函数模型．正比例函数是根据函数解析式进行定义的，符合y＝k x(k是常数，k≠0)的函数叫正比例函数．概括函数解析式的共同特征，得到正比例函数的概念；通过图象研究其性质，并用这种函数模型描述和研究现实中的运动变化过程．这种研究具体函数模型的方法，在今后的函数学习中还会经常用到．基于以上分析，确定本课的教学重点：正比例函数的概念．二、目标和目标解析1．目标(1)理解正比例函数的概念．(2)经历用函数解析式表示函数关系的过程，进一步发展符号意识；经历从一类具体函数中抽象出正比例函数概念的过程，发展数学抽象概括能力．2．目标解析目标(1)要求知道正比例函数的解析式特征，知道正比例函数与正比例的关系，会判断一个函数是否为正比例函数．目标(2)要求能独立地写出运动变化过程中的函数解析式，通过归纳一类函数解析式的共同特征，得到正比例函数的概念．三、教学问题诊断分析1．正比例函数是在学习了函数的概念与函数的图象之后的第一种具体函数模型，对于学生知识水平来说，他们能够判断两个变量是否存在函数关系．在得出正比例函数概念时，需要观察函数解析式，归纳其共同特点，得到正比例函数的概念．学生在进行这种归纳推理时会遇到一定的困难．2．学生在小学学习过成正比例的两个量，通过列表探索过成正比例关系的两个量之间的关系，知道两个量成正比例的条件是它们的比始终是一个固定不变的量(常量)，而且也通过方格纸画过成正比例关系的两个量之间关系的图象．初中阶段，在学习了函数概念后，用函数的观点研究正比例关系，把成正比例的两个量纳入到函数概念体系，写出其函数解析式，画出图象，研究其性质，并应用于实际．这样系统、深入地研究成正比例的两个量，对学生来说有一定的难度．同时，正比例函数的研究步骤和方法，适用于一次函数、二次函数和反比例函数等后继学习的函数模型．从本内容学习中获得学习具体一类函数的经验，对学生来说有较大困难，需要教师的概括性指导，并在今后学习中一以贯之．基于以上分析，确定本课的教学难点：理解正比例函数概念，体会具体函数模型研究的一般方法．四、教学过程设计1．创设情境，引出课题问题1 2 011年开始运营的京沪高速铁路全长1 318 km．设列车的平均速度为300 km/h．考虑以下问题：(1)乘京沪高铁列车，从始发站北京南站到终点站上海虹桥站，约需多少小时(结果保留小数点后一位)？(2)如果从小学学习过的比例观点看，列车在运行过程中，行程y(单位：km)和运行时间t(单位：h)是什么关系？(3)如果用函数的观点看，京沪高铁列车的行程y(单位：km)是运行时间t(单位：h)的函数吗？能写出这个函数的解析式，并写出自变量的取值范围吗？(4)乘京沪高铁列车从北京南站出发2.5 h后，是否已经过了距始发站1 100 km的南京南站？师生活动：学生个别回答，教师在黑板上板演．学生可能在第(3)问中忽视自变量的取值范围，教师应加以引导．设计意图：从现实背景问题中发现正比例关系，引导学生用函数观点看一对成正比例关系的量．追问：这个问题中得到的函数解析式有什么特点？函数值与对应的自变量的值的比有什么特点？问题2 下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，请写出函数解析式．(1)圆的周长l随半径r的变化而变化．(2)铁的密度为7.8 g/cm 3，铁块的质量m (单位：g)随它的体积V (单位：cm 3)的变化而变化．(3)每个练习本的厚度为0.5 cm ，练习本摞在一起的总厚度h (单位：cm )随练习本的本数n 变化而变化．(4)冷冻一个0℃的物体，使它每分下降2℃，物体的温度T (单位：℃)随冷冻时间t (单位：min )的变化而变化．师生活动：学生独立写出函数解析式，教师课堂巡视，并进行个别指导．设计意图：为抽象正比例函数概念提供典型样例．2．观察概括，形成概念问题3 认真观察以上出现的四个函数解析式，说说这些函数有什么共同点．师生活动：学生先思考，与小组内同学交流意见；教师通过学生回答不断引导，直至得出“这些函数都是常数与自变量的积的形式”为止．教师给出正比例函数的概念：一般地，形如y ＝k x (k 是常数，k ≠0)的函数，叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数．追问：所有这些正比例函数，函数值与相应的自变量值的比有什么特点？设计意图：概括概念．3．辨别概念问题4 下列式子中，哪些表示y 是x 的正比例函数？(1)2y x ＝；(2)3x y ＝－； (3)2y x ＝； (4)2 1.5y x ＝； (5)y x ＝；(6)71y x ＝＋()． 追问：如果y 是x 的正比例函数，请你说出其中的比例系数．师生活动：判断两个变量是否是正比例函数关系，要回归到定义．这种学习方法是学生学习数学所必需掌握的．设计意图：及时的练习有利于学生巩固概念，反馈学习效果．4．学以致用问题5 列式表示下列问题中的y 与x 的函数关系，并指出哪些是正比例函数．(1)正方形的边长为x cm ，周长为y cm ；(2)某人一年内的月平均收入为x 元，他这一年(12个月)的总收入为y 元；(3)一个长方体的长为2 cm ，宽为1.5 cm ，高为x cm ，体积为y cm 3．师生活动：学生独立完成后，小组内交流成果．追问：在(2)中，此人若每月收入6 000元，则一年收入是多少？若一年收入是84 000元，则每月收入又是多少？设计意图：帮助学生进一步理解正比例函数解析式的特点，体会正比例函数解析式的特征与对应关系．5．回顾总结教师引导学生带着下列问题回顾总结课堂学习收获：(1)本节课我们学习了哪一种函数？这种函数的解析式有什么特点？(2)正比例函数的函数值与相应的自变量的比值有什么特点？正比例函数与正比例关系有什么相同点和不同点？(3)怎样判断一个函数是否是正比例函数？请举一个生活中正比例函数的实例．设计意图：通过学生小结，梳理本节课所学内容，促进形成结构化、简约化的记忆． 布置作业：教科书第87页练习第1题．五、目标检测设计1．下列式子中，哪些表示y 是x 的正比例函数？如果y 是x 的正比例函数，请指出比例系数．(1)0.1y x ＝－；(2)2x y ＝； (3)22y x ＝； (4)24y x ＝； (5)π1y x ＝－()．设计意图：考查正比例函数的概念．2．写出下列各题中两变量之间的函数关系式，并判断是否为正比例函数？(1)直角三角形中一个锐角的度数为α，另一个锐角的度数β随α的变化而变化；(2)某种报纸的单价为1元，x 表示购买这种报纸的份数，那么购买报纸的总价y (单位：元)随x 的变化而变化；(3)某打字店打印文稿的标准为每页4元，打印费y (单位：元)随文稿页数x (单位：页)的变化而变化；(4)地面气温是28℃，如果每升高1 km ，气温下降6℃，则气温y (单位：℃)随高度x (单位：km )的变化而变化；(5)圆的面积y (单位：cm 2)与半径x (单位：cm )的关系．设计意图：考查学生先求函数解析式，再判断是否正比例函数的能力．3．已知△ABC的底边BC＝8，移动顶点A，改变BC边上的高线的大小，△ABC的面积也随之变化．(1)写出△ABC的面积y与高x之间的函数解析式，并指明它是什么函数；(2)当x＝7时，求出y的值．设计意图：考查应用正比例函数解析式描述运动变化过程．4．已知y与x成正比例，当x＝2时，y＝8．(1)写出y与x之间的函数关系式；(2)当x＝－2时，求函数值y；(3)当y＝12，求自变量x的值．设计意图：考查正比例函数的解析式特点和用待定系数法求正比例函数解析式．参考答案：1．(1)(2)(5)是正比例函数，(1)的比例系数为－0.1，(2)12，(5)的比例系数为y＝(π－1)．2．(1)β＝90－α，不是正比例函数；(2)y＝x，是正比例函数；(3)y＝4x，是正比例函数；(4)y＝28－6x，不是正比例函数；(5)y＝πx2，不是正比例函数．3．(1)y＝4x，(2)当x＝7时，y＝28．4．(1)y＝4x，(2)y＝－8x，(3)x＝3．。

正比例函数学习目标1. 理解正比例函数的概念，能正确画出正比例函数的图象；2. 能依据图象说出正比例函数的主要性质，解决简单的实际问题．要点梳理知识点一、正比例函数的定义1、正比例函数的定义一般的，形如（为常数，且≠0）的函数，叫做正比例函数.其中叫做比例系数.2、正比例函数的等价形式（1）、是的正比例函数；（2）、（为常数且≠0）；（3）、若与成正比例；（4）、（为常数且≠0）.知识点二、正比例函数的图象与性质正比例函数（是常数，≠0）的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线.当＞0时，直线经过第一、三象限，从左向右上升，即随着的增大也增大；当＜0时，直线经过第二、四象限，从左向右下降，即随着的增大反而减小.知识点三、待定系数法求正比例函数的解析式由于正比例函数（为常数，≠0 ）中只有一个待定系数，故只要有一对，的值或一个非原点的点，就可以求得值.典型例题类型一、正比例函数的定义1、已知，当为何值时，是的正比例函数？举一反三B组正比例函数的定义1、若函数是关于的正比例函数，求、的值.2、设有三个变量、、，其中是的正比例函数，是的正比例函数（1）求证：是的正比例函数；（2）如果＝1，＝4时，求出关于的函数关系式.举一反三类型二、正比函数的图象和性质2、已知正比例函数的函数值随着的增大而减小，则大致图象为（）A. B. C. D.答案与解析3、若正比例函数中，随的增大而增大，则的值为________. 举一反三4、如图所示，在同一直角坐标系中，一次函数、、、的图象分别为、、、，则下列关系中正确的是（）A．＜＜＜B．＜＜＜C．＜＜＜D．＜＜＜答案与解析【变式】已知正比例函数的图象上一点（，），且＜0，＋＞0，那么的取值范围是（）A. ＜ B．＞ C．＜或＞ D．不确定类型三、正比函数应用5、如图所示，射线、分别表示甲、乙两名运动员在自行车比赛中所走路程与时间的函数关系，则他们行进的速度关系是（）．A．甲比乙快 B．乙比甲快 C．甲、乙同速 D．不一定答案与解析举一反三B组正比函数应用4、已知正比例函数的图像上有一点P(,)和一点A(6，0)，O为坐标原点，且△PAO的面积等于12，你能求出P点坐标吗？【答案与解析】解：依题意：∵O（0，0），A（6，0）∴OA＝6∴；【总结升华】求点的坐标需要求点到坐标轴的垂线段的长，利用面积即可求出垂线段的长.巩固练习一.选择题1. 直线过点（0，0）和点（）A.（－1，－3）B.（1，3）C.（1，－3）D.（3，－1）2. 下列函数中，是正比例函数的是（）A． B． C． D．3．正比例函数的图象经过（）．A．第二、三象限 B．第一、三象限 C．第一、四象限 D．第二、四象限4. 如图所示，直线的函数解析式是（）．A． B． C． D．5. 结合函数的图象回答，当＜－1时，的取值范围（）A．＜2 B．＞2 C. ≥ D. ≤6．点A（–5，）和B（–2，）都在直线上，则与的关系是（）A. ≤B. ＝C. ＜D. ＞二.填空题7．若直线经过点A（－4，3），则＝______．如果这条直线上点A的横坐标＝4，那么它的纵坐标＝______．8. 已知三角形底边长为4，高为，三角形的面积为，则与的函数关系式为_______________.9. －2与＋1成正比例，比例系数为－2，将表示成的函数为：___________.10. 正比例函数，当 _______时，随的增大而增大.11. 若函数是正比例函数，那么＝______,图象经过第_______象限.12. 已知与成正比例，且当＝1时，＝2，那么当＝3时，＝_______.三.解答题13. 蜡烛点燃后缩短长度（）与燃烧时间（分钟）之间的关系为，已知长为21的蜡烛燃烧6分钟后，蜡烛缩短了3.6，求：（1）与之间的函数解析式；（2）此蜡烛几分钟燃烧完.14. 已知＋2与－1成正比例，且＝3时＝4.（1）求与之间的函数关系式；（2）当＝1时，求的值。

活动一：情境创设
（2）京沪高铁列车的行程y（单位：km）与运行时间t（单 位：h）之间有何数量关系？ • y=300t（0≤t≤4.4）
活动一：情境创设
（3）京沪高铁列车从北京南站出发2.5 h后，是否已经过 了距始发站1 100 km的南京站？ • y=300×2.5=750（km）, 这是列车尚未 到 达 距 始 发 站 1 100km的南京站.
作业
• 7.若y=(k+3)x|k|-2是y关于x的正比例函数，试求k的值，并 指出正比例系数. • 8.若y关于x-2成正比例函数，当x=３时，y=-4.试求出y与x
的函数关系式.
活动五：判定正误
• 下列说法正确的打“√”，错误的打“×”
（1）若y=kx，则y是x的正比例函数（ × ） （2）若y=2x2，则y是x的正比例函数（ ×） （3）若y=2(x-1)+2，则y是x的正比例函数（ √ ） （4）若y=2(x-1) ，则y是x-1的正比例函数（ √ ） 在特定条件下自变量可能不单独就是x了， 要注意自变量的变化
l 2 πr
（2）铁的密度为7.8g/cm3,铁块的质量 m（单位：g）随它的体积V（单位： cm3）的变化而变化．
m 7.8V
活动二：问题再现
（3）每个练习本的厚度为0.5cm， 一些练习本摞在一起的总厚度h （单位：cm）随练习本的本数n的 变化而变化．
h 0 .5 n
（4）冷冻一个0°C的物体，使它每 分钟下降2°C，物体问题T（单位：°C） 随冷冻时间t（单位：min）的变化而变 化．
作业
•
x3 3.关于y= 说法正确的是（ ） 2
1 B.是y关于x的正比例函数，正比例系数为 2

19.2.1正比例函数教材分析：本节课内容是在学习了平面直角坐标系的基础上，初次接触函数，在对函数初步讨论后，再来学习具体的函数——正比例函数的概念学情分析：学生已经学习了函数的概念、图象和表示方法，再来学习具体的函数——正比例函数，经历从一般到特殊的学习过程，符合学生的认知水平，从抽象到具体，学生掌握起来会得心应手。

教学目标：知识目标：1、掌握正比例函数的概念2、能够判断两个变量是否能够构成正比例函数关系能力目标：能应用正比例函数相关知识解决简单题目情感目标：形成合作交流意识及独立思考习惯．教学重点：正比例函数的概念教学难点：判断两个变量是否能够构成正比例函数关系教学方法：启发式教学，合作探究教学准备：多媒体课件，直尺、三角尺【学习流程】创设情境：函数和人的概念一样，比较宽泛，人按照年龄有儿童、青少年、青年、中年、老年之分，同样函数也可以分类，今天我们来学习最简单的一类特殊函数-----正比例函数。

预知正比例函数概念，请往下看。

问题1：京沪高速铁路全长1318千米．设列车平均速度300千米/时；考虑以下问题（1）乘京沪高铁列车，从始发站北京南站到终点站上海虹桥站约需多少小时？（结果保留小数点后一位）（2）京沪高铁的行程y（单位：km)运行时间t（单位：h）之间有和数量关系？问题二、细读课本86内容，完成课本“思考”，试着写出函数解析式：⑴；⑵；⑶；⑷。

一、正比例函数的概念观察“思考”中所得的四个函数；（1）观察这些函数关系式，这些函数都是常数与自变量的形式，（2）一般地，形如（）函数，叫做正比例函数，其中k叫做。

思考：为什么强调K是常数，K≠0 ？对正比例函数概念的理解：（1）两个变量x与y的指数都是（2）函数都是常数（）与自变量的，在式子中只有乘号，没有“+”或“-”（3）比例系数≠二、课堂练习（1）、下列函数哪些是正比例函数？① y=x3② y=3x③ y=2x④y=x2+1 ⑤y = x-2 ⑥y=2 x（2）列式表示下列问题中的y与x的函数关系，并指出哪些是正比例函数，比例系数①正方形的边长为xcm，周长为ycm②某人一年内的月平均收入为x元，他这年（12个月）的总收入为y元③一个长方体的长为2cm，宽为1.5cm，高为xcm,体积为ycm3长方体的体积公式=(3)、若y=5x3m-2是正比例函数，则m=___________.(4)、若y=（3m-2）x是正比例函数，则m≠___(5)、若y=(m-2)x m-3是正比例函数，则m=____________.（6）已知一个正比例函数的比例系数是-5，则它的解析式（7）请任意写出一个正比例函数解析式（8）已知y与x成正比例，且x＝2时，y＝6，则函数关系式为_________，当x＝4时y＝____．三、总结：本节课我们学到了什么？四、布置作业：课本87页——练习题教学反思。