第三章量子力学中的力学量剖析

U = −M ⋅ B = −MB cosθ
θ 为外磁场与原子磁矩之间的夹角。按错误！未找到引用源。式，原子在 z 方向所受的力是
Fz
= − ∂U ∂z
=
M
∂B cosθ ∂z
实验证明，这时分裂出来的两条谱线分别对应于 cosθ =+1 和-1 两个值。
为了解释旋特恩一格拉赫实验，乌伦贝克(Uhlenbeck)和哥德斯密脱(Goudsmit)提出了电
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电子具有自旋，这个新的自由度具有下述特色: (a) 它是个内禀的物理量，不能用坐标、动量、时间等变量表示。 (b) 它完全是一种量子效应，没有经典的对应量。也可以说，当 → 0 时，自旋效应消失 这可以从错误！未找到引用源。式看出。 (c) 它是角动量，满足角动量算符的最一般的对易关系.而且电子自旋在空间中任何方向 的投影只取± / 2 两个值。 （1）、自旋算符 自旋既然是个物理量，在量子力学中，它应该用线性厄米算符表示。自旋既然是角动量， 自旋算符必须满足
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χ (1) = χ1/ 2 (s1z )χ1/ 2 (s2z ) χ (2) = χ−1/ 2 (s1z )χ−1/ 2 (s2z ) χ (3) = χ1/ 2 (s1z )χ−1/ 2 (s2z ) χ (4) = χ−1/ 2 (s1z )χ1/ 2 (s2z ) 3、耦合表象（ S 2, Sz ）的基矢 （ S 2 , Sz ）的本征态可以由（ S1z ，S2z ）的本征态 χ1/ 2 (s1z ) ，χ−1/ 2 (s1z ) ，χ1/ 2 (s2z ) ，χ−1/ 2 (s2z ) 组合得到 χ11 = χ1/ 2 (s1z )χ1/ 2 (s2z ) χ1,−1 = χ−1/ 2 (s1z )χ−1/ 2 (s2z )

1、 力学量算符本征函数组成完全系（完备系） 2、 力学量的可能值和相应几率 3、 力学量有确定值的条件
二、力学量的平均值 三、例题
一、力学量的可能值
1、力学量算符本征函数组成完全系（完备系） (1) 函数的（完全性）完备性 有一组函数φn(x) (n=1,2,...),如果任意函数ψ(x)可以按这组函 数展开: ψ ( x) = c φ ( x)
n
n
即
c n = ∫ φ ( x )ψ ( x )dx
∗ n
证明：当 ψ (x)已归一时，cn 也是归一的。
证： 1 = ∫ ψ ( x)ψ ( x)dx = ∫ ∑ cnφn ∑ cmφm dx n m * = ∑ ∑ cn * cm ∫ φnφmdx = cn * cmδ nm
∑
n
n n
则称这组函数φn(x) 是完全（完备）的。 例如：动量本征函数组成完备系
r r r r Ψ ( r , t ) = ∫ c( p, t )ψ p ( r )d 3 p r r r r 或 ψ ( r ) = ∫ c( p )ψ p ( r )d 3 p
(2) 力学量算符的本征函数组成完备系 I、 数学中已经证明某些满足一定条件的厄密算符其本征函数组成 完备系（参看：梁昆淼，《数学物理方法》P324），即若： ˆ Fφ = λ φ
ˆ 2、角动量算符 Lz 本征函数
φm (ϕ ) =
1 imϕ e m=0, ± 1, ± 2... 2π
组成正交归一系
∫
π
2π
0
* φm (ϕ )φm′ (ϕ )dϕ = δ mm′
ˆ 3、角动量算符 L2 本征函数
Ylm (θ , ϕ ) = N lm Pl m (cos θ )eimϕ

ˆ O ˆ iO ˆ O 1 ˆ ˆ ˆ 1 ˆ ˆ ˆ 令 O (O O ), O (O O ) 2 2i
即
则O+和O-均是厄米算符。
定理： 在体系的任何状态下，厄米算符的平均值必为实数。 证明：
ˆ ( , A ˆ ) ( A ˆ , ) ( , A ˆ ) A ˆ A
ˆ A ˆ A
(41)
Note: 所有力学量的算符均是厄米算符 性质： (1) 两个厄米算符之和仍是厄米算符 (2)两个厄米算符之积不一定是厄米算符 (3)无论厄米算符A,B是否对易，算符
1 ˆ ˆ ˆˆ 1 ˆ ˆ ˆˆ ( AB BA), ( AB BA) 均是厄米算符 2 2i
（4）任何算符总可分解为两个厄米算符的线性组合
球坐标系下的角动量算符 r x 2 y 2 z 2 x r sin θ cosφ 2 2 y r sin θ sin φ , θ arctan( x y / z ) z r cosθ φ arctan(y / x ) ˆ l x i sin φ θ cotθ cosφ φ ˆ l y i cosφ θ cotθ sin φ φ ˆ l z i φ 2 1 1 ˆ2 2 l sin θ θ sin θ θ sin 2 θ φ 2
如 算符A 则
ˆ ˆ p (i) i p
的厄米共轭算符A+定义为

ˆ φ ) ( A ˆ ψ ,φ ) (ψ , A

(41)
~ ˆ φ ) (A ˆ ψ , φ ) (φ , A ˆ ψ ) (φ , A ˆ ψ ) (ψ , A ˆ φ) (ψ , A

量子力学中的量子力学力学量的测量误差量子力学作为一门探讨微观世界的科学，已经发展成为现代物理学的基石之一。

在量子力学中，力学量的测量是其中重要的内容之一。

然而，由于测量过程的本质以及量子系统的特殊性质，导致在实际测量中存在一定的误差。

本文将探讨量子力学中的量子力学力学量的测量误差，并分析误差产生的原因以及可能的解决方案。

1. 量子力学力学量的测量原理量子力学中的力学量可以用算符来描述，对于一个可观测量A，它对应的自旋算符可以表示为ĤA。

根据量子力学的原理，力学量的测量结果只能是它本征值的其中一个。

当我们进行测量时，系统将塌缩到某个本征态上，测量结果即为该本征值。

2. 量子力学力学量测量的不确定性原理根据量子力学力学量的不确定性原理，即海森堡不确定性原理，对于任意两个不对易力学量A和B，它们的不确定度满足下式：ΔAΔB ≥ 1/2 |⟨[ĤA, ĤB]⟩|其中，ΔA和ΔB分别为力学量A和B的不确定度，[ĤA, ĤB]为两个力学量对应的对易子。

这一原理意味着我们无法同时准确测量一个量子态的多个力学量，而只能在测量某个力学量时，必然会引入一定的误差。

这种不确定性是由于量子系统的本质决定的，与测量设备的精度无关。

3. 量子力学力学量测量误差的产生原因在量子力学力学量的测量中，误差的产生主要有以下几个原因：a. 测量设备的不完美性：测量设备本身存在一定的精度限制，在测量中会引入一定的误差。

这种误差通常被称为仪器误差。

b. 量子态受外界环境的影响：量子态容易受到外界环境的扰动，例如热噪声、电磁辐射等，这些扰动同样会导致测量误差的产生。

c. 量子态的叠加性质：根据量子力学的叠加原理，一个量子态可以同时处于多个本征态的叠加态中。

在测量时，系统将塌缩到某个本征态上，而具体塌缩到哪个本征态是随机的，因此引入了一定的统计性误差。

4. 降低量子力学力学量测量误差的方法尽管存在测量误差，但我们可以采取一些方法来降低误差，提高测量的精度和准确性：a. 提高测量设备的精度：通过改进测量设备的技术，提高其精度和稳定性，从而减小仪器误差对测量结果的影响。