最新高三教案-高考数学一轮复习难点突破：28求空间距离 精品

| AB|
＝ 24＋＋21＋＋84＝4.设点 C 到直线 AB 的距离为 d，则 d＝ |A→C|2－42＝ 1＋4＋16－16＝ 5.
故选 B.
解析 答案
高考一轮总复习•数学
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4．(2023·全国乙卷，理)已知△ABC 为等腰直角三角形，AB 为斜边，△ABD 为等边三
角形．若二面角 C-AB-D 为 150°，则直线 CD 与平面 ABC 所成角的正切值为( )
高考一轮总复习•数学
第6页
2．直线和平面所成角的求法 如图所示，设直线 l 的方向向量为 e，平面 α 的法向量为 n，直线 l 与平面 α 所成的角
|e·n| 为 φ，两向量 e 与 n 的夹角为 θ，则有 sin φ＝|cos θ|＝ |e||n| ，.
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2．点面距离的求法
如图，设 AB 为平面 α 的一条斜线段，n 为平面 α 的法向量，则点 B 到平面 α 的距离 d
→
|AB·n| ＝ |n| .
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常/用/结/论 最小角定理：如图，若 OA 为平面 α 的一条斜线，O 为斜足，OB 为 OA 在平面 α 内的 直线与平面所成的角是直线与平面内的直线所成一切角中最小的角． 射影，OC 为平面 α 内的一条直线，其中 θ 为 OA 与 OC 所成的角，θ1 为 OA 与 OB 所成的角， 即线面角，θ2 为 OB 与 OC 所成的角，那么 cos θ＝cos θ1cos θ2. 三余弦公式，由于 cosθ2＜1，所以有 cosθ＜cosθ1，由单调性得 θ＞θ1.
显然 CE∩DE＝E，CE，DE⊂平面 CDE，于是 AB⊥平面 CDE，又 AB⊂平面 ABC， 因此平面 CDE⊥平面 ABC，显然平面 CDE∩平面 ABC＝CE， 直线 CD⊂平面 CDE，则直线 CD 在平面 ABC 内的射影为直线 CE，

• 2、纵观近几年的高考，有关距离的概念 和计算仍然是高考重点内容之一，它常 以简单的多面体为载体，融线面关系于 立体几何图形之中，不仅考查了空间线 面平行和垂直关系，而且也考查了简单 几何体的概念和性质，既考查了知识， 也考查了学生分析解决问题的能力。
知识整合
• 1、距离的基本概念 • （1）点到面的距离：从平面外一点引一个平面的 垂线，这个点和垂足间的距离，叫做这个点到这 个平面的距离。 • （2）直线到它平行平面的距离：一条直线上的任 一点到与它平行的平面的距离，叫做这条直线到 平面的距离。 • （3）两个平行平面间的距离：两平行平面的公垂 线段的长度叫做两平行平面的距离。 • （4）两条异面直线间的距离是指两条异面直线的 公垂线夹在两异面直线间的公垂线段的长度。
例题精析
例题精析
例5：如图已知正方体ABCD－ A1B1C1D1的棱长为a，求异 面直线BD与B1C的距离。
例题精析
• 评析：异面直线距离转化为线面距离再转 化为点面间距离；或者异面直线距离转化 为两平行面间距离再转化点面距离。这是 大的思路，其中直接用定义求出要求的距 离除外。
• 1、两点间的距离求法：可以利用空间两点距离公式。 • 2、有关点到直线、点到平面的距离的求法。 （1）点到直线的距离，一般用三垂线定理作出垂线段。 （2）点到平面的距离是有关距离问题的重点，它主要由 三种方法求得：①用定义，直接能作出这段距离，经论 证再计算。②用二面角的平面角性质：平面角的一边上 任意一点到另一边的距离都垂直于第二边所在的平面， 先作“点”所在平面与另一“平面”组成的二面角的平 面角，过“点”向平面角另一边作垂线，这垂线段长即 为此“点”到“平面”的距离。③转化为锥体的高，用 三棱锥体积公式求点到平面的距离。 • 3、直线和平面的距离与两平行平面的距离可转化为点 到平面的距离来求。

(2)取 BC 的中点为坐标原点，OC，OH，OF 所在的直线分别为 x，y，z 轴建立空 间直角坐标系，利用坐标法求解．
解：(1)证明：如图，连接 AC 交 BD 于 H，连接 MH，
则 MH 为△ ACE 的中位线，所以 MH∥CE，又因为 MH⊄平面 CEF，CE⊂平面 CEF， 所以 MH∥平面 CEF．
因此，OM∥平面 ABD1E1；(2)易知点 D(0，2，0)，C( 3 ，1，0)，D1(0，2，4)，A(0，
－2，0)，A1(0，－2，4)，B( 3 ，－1，0)，设平面 AA1B1B 的法向量为 n＝(x2，y2，z2)，
→ AB
＝(
3
，1，0)，AA1＝(0，0，4)，由nn··AA→AB1＝＝43zx2＝2＋0y，2＝0，
在平行四边形 BDEF 中，DB∥EF，BD⊄平面 CEF，EF⊂平面 CEF， 所以 BD∥平面 CEF 又因为 MH∩DB＝H
∴平面 CEF∥平面 BDM．
(2)取 BC 的中点 O，连接 OF，OH，则 OF⊥平面 ABCD， OH⊥BC，
因为 BF＝ 13 ，BO＝2，所以 OF＝ BF2－BO2 ＝3． 以 O 为坐标原点，OC，OH，OF 所在的直线分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，
＝|－4＋0－1| 5
＝
5
．
答案： 5
4．过正方形ABCD的顶点A作线段PA⊥平面ABCD，若AB＝PA，则平面PAB与平面 PCD所成的角为________．
解析：如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x 轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系．设AB＝PA＝1，则A(0，0， 0)，D(0，1，0)，P(0，0，1)．
2．直线与平面所成的角

专题28 体积法求点面距离一、多选题1．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别为BC ，CC 1，BB 1的中点，则（ ）A ．D 1D ⊥AFB ．A 1G ⊥平面AEFC ．异面直线A 1G 与EFD ．点G 到平面AEF 的距离是点C 到平面AEF 的距离的2倍 【答案】BCD 【分析】利用正方体的性质，平移异面直线得到它们的平面角进而证D 1D 、AF 是否垂直及求直线A 1G 与EF 所成角的余弦值即可，利用等体积法可求G 到平面AEF 的距离与点C 到平面AEF 的距离的数量关系，利用线面平行的判定即可判断A 1G 、平面AEF 是否平行. 【详解】A 选项，由11//DD CC ，即1CC 与AF 并不垂直，所以D 1D ⊥AF 错误.B 选项，如下图，延长FE 、GB 交于G’连接AG’、GF ，有GF//BE 又E ，F ，G 分别为BC ，CC 1，BB 1的中点，所以11GG BB AA '==，而1//AA GG '，即1//AG AG '；又因为面11ABB A 面AEF =AG ，且1AG ⊄面AEF ，1AG ⊂面11ABB A ，所以A 1G ⊥平面AEF ，故正确.C 选项，取11B C 中点H ，连接GH ，由题意知GH 与EF 平行且相等，所以异面直线A 1G 与EF 所成角的平面角为1AGH ∠，若正方体棱长为2，则有11GH AG AH ==1AGH中有1cos AGH ∠=.D 选项，如下图若设G 到平面AEF 的距离、C 到平面AEF 的距离分别为1h 、2h ，则由11133A GEF GEF G AEF AEF V AB S V h S --=⋅⋅==⋅⋅且21133A CEF CEF C AEF AEF V AB S V h S --=⋅⋅==⋅⋅，知122GEFCEFS h h S ==，故正确.故选：BCD 【点睛】思路点睛：求异面直线所成角时平移线段，将它们置于同一个平面，而证明线面平行主要应用线面平行的判定、线面垂直的性质证明.1、平移：将异面直线置于同一平面且有一个公共点，结合其角度范围为(0,]2π. 2、线面平行判定：由直线平行该直线所在的一平面与对应平面的交线即可证线面平行. 3、由A GEF G AEF V V --=、A CEF C AEF V V --=即可求G 、C 到平面AEF 的距离比.2．在正方体1111ABCD A BC D -中，2AB =，E 、F 分别为1BB 、CD 中点，P 是1BC 上的动点，则下列说法正确的有（ ） A ．1A F AE ⊥B ．三棱锥1P AED -的体积与点P 位置有关系C ．平面1AED 截正方体1111ABCD A BC D -的截面面积为92D ．点1A 到平面1AED 【答案】AC 【分析】A 选项，取AB 中点为G ，根连接FG ，1AG ，记1AG 与AE 交点为O ，根据线面垂直的判定定理，可得AE ⊥平面1A FG ，进而可得1A F AE ⊥；B 选项，证明1//BC 平面1AED ，即可判定B 错；C 选项，补全截面，得到平面1AED 截正方体1111ABCD A BC D -所得的截面为等腰梯形，进而可根据题中条件，求出截面面积；D 选项，根据等体积法，由1111E AA D A AED V V --=求出点到面积的距离，即可判定； 【详解】A 选项，取AB 中点为G ，根连接FG ，1AG ，记1AG 与AE 交点为O ， 在正方体1111ABCD A BCD -中，1AA AB =，12A AG ABE π∠=∠=，因为E 、F 分别为1BB 、CD 中点，所以AG BE =，//FG AD ， 因此1Rt A AG Rt ABE ≅，所以1AAG BAE ∠=∠，1AGA AEB ∠=∠， 因此12OAG OGA BAE AGA π∠+∠=∠+∠=，因此2AOG π∠=，即1AE AG ⊥；又在正方体1111ABCD A BC D -中，AD ⊥平面11ABB A ，所以FG ⊥平面11ABB A ， 因AE ⊂平面11ABB A ，所以FG AE ⊥，又1AG FG G ⋂=，1AG ⊂平面1A FG ，FG ⊂平面1A FG ， 所以AE ⊥平面1A FG ，因为1A F ⊂平面1A FG ，所以1AF AE ⊥；故A 正确； B 选项，因为在正方体中11//AB C D ，且11AB C D =，所以四边形11ABC D 为平行四边形，因此11//BC AD ，又1BC ⊄平面1AED ，1AD ⊂平面1AED ，所以1//BC 平面1AED ， 因此棱1BC 上的所有点到平面1AED 的距离都相等，又P 是棱1BC 上的动点，所以三棱锥1P AED -的体积始终为定值；故B 错； C 选项，取11B C 的中点为M ，连接EM ，1MD ，则1//EM BC ，且112EM BC =，则1//EM AD ；又正方体中，2AB =，所以1MD AE ==11BC AD ==因此112EM BC == 所以平面1AED 截正方体1111ABCD A BC D -所得的截面为等腰梯形1EMD A ，因此该等腰梯形的高为h ==所以该截面的面积为()11922S AD EM h =⋅+⋅=；故C 正确； D 选项，设点1A 到平面1AED的距离为d ， 因为1//BB 平面11AA D D ，所以点E 到平面11AA D D 的距离为2AB =， 即点E 到平面11AA D 的距离为2， 所以1111211142223323E AA D AA D V S -=⋅⋅=⋅⋅⋅=，在1AED △中，1AD =AE =，13ED ==，所以1cos 10EAD ∠==，因此1sin EAD ∠=所以11111sin 322AED SAD AE EAD =⋅⋅∠=⋅=. 又111111433E AA D A AED AED V V S d --==⋅⋅=，所以43d =， 即点1A 到平面1AED的距离为43，故D 错；故选：AC. 【点睛】 方法点睛：求空间中点到面积的距离的常用方法：（1）等体积法：先设所求点到面的距离，再通过题中条件，求出该几何体的体积，利用同一几何体的体积相等，列出方程，即可求出结果；（2）向量法：利用空间向量的方法，先求出所求点与平面内任意一点连线的方向向量，以及平面的法向量，根据向量法求点到面距离的公式，即可求出结果.3．已知三棱锥P ABC -中，O 为AB 中点，PO ⊥平面ABC ，90APB ∠=︒，2PA PB ==，则下列说法中正确的是（ ）A ．若O 为ABC 的外心，则2PC =B ．若ABC 为等边三角形，则⊥AP BCC ．当90ACB ∠=︒时，PC 与平面PAB 所成角的范围为0,4π⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．当4PC =时，M 为平面PBC 内动点，若//OM 平面PAC ，则M 在三角形PBC 内的轨迹长度为2 【答案】ACD 【分析】由线面垂直的性质，结合勾股定理可判断A 正确；反证法由线面垂直的判断和性质可判断B 错误；由线面角的定义和转化为三棱锥的体积，求得C 到平面P AB 的距离的范围，可判断C 正确；由面面平行的性质定理可得线面平行，可得D 正确. 【详解】依题意，画图如下：若O 为ABC 的外心，则OA OB OC ===PO ⊥平面ABC ，可得PO OC ⊥，OP OA OB ==2PC ==，A 正确；ABC 若为等边三角形，⊥AP BC ，又AP PB ⊥，BC 与PB 相交于平面PBC 内，可得AP ⊥平面PBC ，即AP PC ⊥，由PO OC ⊥，OP OA OB ===可得OC AC ==，故PC AC ===，矛盾，B 错误;若90ACB ∠=︒，设PC 与平面PAB 所成角为θ，由A 正确，知2OC OA OB PC ====，设C 到平面PAB 的距离为d由C PAB P ABC V V --=可得1111223232d AC BC ⋅⋅⋅=⋅即有2242AC BC AC BC +⋅==，当且仅当2AC BC ==取等号.可得d 2sin 22d θ=，即θ的范围为0,4π⎛⎤ ⎥⎝⎦，C 正确；取BC 中点N ，PB 的中点K ，连接,,OK ON KN由中位线定理可得，//ON AC ，//MN PC ，则平面//OKN 平面PAC ， 由//OM 平面PAC ，可得M 在线段KN 上，即轨迹122KN PC ==，可得D 正确； 故选：ACD 【点睛】本题考查了立体几何中与点、线、面位置关系有关的命题的真假判断，属于中档题.处理立体几何中真假命题判定的问题，可以用已知的定理或性质来证明，也可以用反证法来说明命题的不成立.二、单选题4．如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，棱长为1，E F 、分别为11C D 与AB 的中点，1B 到平面1A FCE 的距离为（ ）A ．2B ．3C ．5D ．5【答案】B 【分析】设点1B 到平面1A FCE 的距离为h ，利用1111B ACFC A B F V V --=建立方程可求解. 【详解】设点1B 到平面1A FCE 的距离为h ． ⊥正方体棱长为1⊥⊥1122A F FC AC EF ====⊥⊥1111261131122422A CFA B FSS =⨯⨯==⨯⨯=， 又1111B ACF C A B F V V --=⊥⊥1111332=⨯⨯⊥解得h =即点1B 到平面1A FCE 故选：B⊥ 【点睛】方法点睛：在空间中求点到面的距离时可利用空间向量进行求解，即将距离问题转化为向量的运算问题处理．另外也可利用等积法求解，解题时可将所求的距离看作是一个三棱锥的高⊥求出其体积后；将此三棱锥的底面和对应的高改换，再次求出其体积⊥然后利用同一个三棱锥的体积相等建立关于所求高为未知数的等式，解方程求出未知数即可得到所求的高⊥5．如图，正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1，线段1AC 上有两个动点E F 、，且EF =，给出下列四个结论错误的选项是（ ）A ．CE BD ⊥B ．点C 到平面BEF C ．BEF 在底面ABCD 内的正投影是面积不是定值的三角形 D ．在平面ABCD 内存在无数条与平面1DEA 平行的直线 【答案】C 【分析】利用BD ⊥平面1ACC ，即可证明CE BD ⊥，即可判断选项A ；利用等体积即可求点C 到平面BEF 的距离，即可判断选项B ；利用正投影特点即可判断选项C ；利用线面平行的性质定理即可判断选项D. 【详解】对于选项A ：由BD AC ⊥且1BD CC ⊥，1AC CC C =，所以BD ⊥平面1ACC ，因为CE ⊂平面1ACC ，可得CE BD ⊥，故选项A 正确；对于选项B ：因为点C 到直线EF =，EF =，所以126CEFS==为定值，点B 到平面CEF 距离是122DB =，所以三棱B CEF -体积是1136218⨯=，因为三棱锥118C BEF B CEFV V --==，BEF CEF S S =△△为，所以点C 到平面BEF 的距离，故选项B 正确； 对于选项C ：线段EF 在底面ABCD 内的正投影是GH ，所以BEF 在底面ABCD 内的正投影是BGH ，因为线段EF 的长是定值，所以线段GH 的长也是定值，所以BGH 的面积是定值，故选项C 不正确； 多于选项D ：设平面ABCD 与平面1DEA 的交线为l ，则在平面ABCD 内与直线l 平行的直线有无数条，故选项D 正确， 故选：C【点睛】方法点睛：求点到平面的距离，通常采用三棱锥等体积，转化为棱锥的高，也可以采用空间向量的方法求出线面角以及斜线的的长度，也可求点到面的距离.6．正三棱柱111ABC A B C -的所有定点均在表面积为8π的球O的球面上，AB =则1B 到平面1A BC 的距离为（ ） A ．1 B ．65CD【答案】B 【分析】根据球的表面积求得球的半径，由此求得侧棱1AA 的长，利用等体积法求得1B 到平面1A BC 的距离. 【详解】设等边三角形ABC 的外接圆半径为R，由正弦定理得221sin sin 3a R R A ===⇒=. 由于球O 的表面积为8π，故半径r =12AA ===.在三角形1A BC中，11A B AC ===BC=，所以三角形1A BC 的面积为1122BC ⨯=设1B 到平面1A BC 的距离为h ，由1111C AB AC B B B V V --=得11311232232h ⨯⨯=⨯，解得65h =. 故选：B【点睛】本小题主要考查几何体外接球有关计算，考查等体积法求点面距离，属于基础题.7．如图，正四棱锥P ABCD -的高为2，且底面边长也为2，则点A 到平面PBC 的距离为（ ）A ．5B C D【答案】A结合正四棱锥的性质，利用A PBC P ABC V V --=，代入数据直接计算即可. 【详解】解：由正四棱锥的性质可知，其底面ABCD 为正方形，连接AC 、BD ，设交点为点O ，连接PO ，则PO ⊥平面ABCD ，且2PO =，底面对角线的长度为BD ==PB =PM ==1114·2223323P ABC ABC V S PO -==⨯⨯⨯⨯=，11222PBC S BC PM =⋅=⨯=设点A 到平面PBC 的距离为h ，由A PBC P ABC V V --=，即1433h =，解得5h =． 故选：A. 【点睛】本题考查求点到平面的距离，考查正四棱锥的性质与棱锥的体积．掌握正棱锥的计算是解题关键．8．已知在正四棱柱1111ABCD A BC D -中，2AB =，1CC =E 为1CC 的中点，则点1C 与平面BDE 的距离为（ ）A ．2BCD ．1【答案】D 【分析】先证直线1AC 与平面BED 平行，将线面距离转化为点面距离，结合三棱锥体积公式，由等积性求出点面距【详解】如图所示，连接AC 交BD 于O 点，E 为1CC 的中点， 1//OE AC ∴，又OE ⊂平面BED ，1AC ⊄平面BED1//AC ∴平面BED ，即直线1AC 与平面BED 的距离为点A 到平面BED 的距离，设为h .在三棱锥E ABD -中，11122332E ABD ABD V S EC -∆=⋅=⨯⨯⨯ 在三棱锥A EBD -中，12EBDBD BE DE S===∴=⨯所以1133A BDE EBD V S h h -∆=⋅=⨯=1h = 故选：D.【点睛】本题考查了线面距离，考查了转化思想，考查了三棱锥的体积应用，考查了数学运算能力.9．直三棱柱111ABC A B C -的侧棱13CC =，底面ABC 中，90ACB ∠=，AC BC ==1B 到平面1A BC 的距离为（ ）A B C D 【答案】D 【分析】利用1111B A BC A B BC V V --=即可求解. 【详解】因为三棱柱111ABC A B C -是直三棱锥，所以1CC ⊥平面111A B C ， 所以111CC AC ⊥，又因为90ACB ∠=，所以1111AC B C =， 因为1111CC B C C =，所以11AC ⊥平面1B BC ，所以1111111131332A B BC B BC V S AC -=⨯⨯=⨯=， 因为BC AC ⊥，1BC CC ⊥，1AC CC C =，所以BC ⊥平面11ACC A ，所以1BC AC ⊥，1A C ==1122A BCS==， 设点1B 到平面1A BC 的距离为h ，则1111B A BC A B BC V V --=，即111111332B A BC A BCV S h h -=⨯⨯=⨯=，所以11h =，所以点1B 到平面1A BC 的距离为11， 故选：D 【点睛】本题主要考查了利用三棱锥体积相等求点到面的距离，属于中档题.10．已知正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1，给出下列四个命题：⊥对角线1AC 被平面1A BD 和平面11B CD 、三等分；⊥正方体的内切球、与各条棱相切的球、正方体的外接球的表面积之比为1:2:3；⊥以正方体的顶点为顶点的四面体的体积都是16；⊥正方体与以A 为球心，1为半径的球的公共部分的体积是6π．其中正确的序号是（ ） A ．⊥⊥ B ．⊥⊥C ．⊥⊥⊥D ．⊥⊥⊥【答案】D 【分析】对⊥，画出图象，设对角线AC 与平面1A BD 相交于点M ，则AM ⊥平面1A BD ，用等体积的方法计算出AM ，从而证得1AC 被平面1A BD 和平面11B CD 三等分；对⊥，计算正方体的内切球、与各条棱相切的球、正方体的外接球的半径，再计算其表面积之比；对⊥，显然111112C A BD C B CD V V --=13=16≠；对⊥，正方体与以A 为球心，1为半径的球的公共部分是球的18. 【详解】⊥如图所示，假设对角线AC 与平面1A BD 相交于点M ，可得AM ⊥平面1A BD ，所以22111113432AM ⨯=⨯⨯⨯，解得1133AM AC ==，因此对角线AC 被平面1A BD 和平面11B CD 三等分，正确；⊥易得正方体的内切球、与各条棱相切的球、正方体的外接球的半径分别为12，2，因此表面积之比为2221444=1:2:32πππ⎛⎫ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭：：，正确； ⊥111112C A BD C B CD V V --=13=16≠，不正确； ⊥正方体与以A 为球心，1为半径的球的公共部分的体积3141836V ππ=⨯⨯=，正确， 故选：D ． 【点睛】本题考查了立体几何综合问题，正方体的内切球、与各条棱相切的球、正方体的外接球的半径与正方体边长的关系，考查了学生空间想象能力，分析推理能力，运算能力，属于中档题.11．如图，在正四棱柱1111ABCD A BC D -中，122AA AB ==，则点C 到平面1BDC 的距离为（ ）A B ．23C D ．2【答案】B 【分析】结合余弦定理、三角形面积公式、棱锥得体积公式，利用等体积法111133BDC BCDS d S CC ⋅⋅=⋅⋅，即可求出答案．【详解】解：设点C 到平面1BDC 的距离为d ， ⊥122AA AB ==， 由题意，BCD 的面积11111222BCDSBC CD =⋅⋅=⨯⨯=， 在1BDC中，易求得BD =，11BC DC == ⊥由余弦定理得14cos 5BC D ∠==，⊥13sin 5BC D ∠=， ⊥11111sin 2BDC SBC DC BC D =⋅⋅⋅∠133252==， 又11C BDC C BCD V V --=，即111133BDC BCD S d S CC ⋅⋅=⋅⋅，⊥111222332BCD BDC S CC d S ⨯⋅===， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查等体积法求点到平面的距离，考查转化与化归思想，属于中档题． 三、解答题12．已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAD ⊥平面ABCD .（1）求证：PA ⊥平面ABCD ；（2）若244PA AB AD ===，求点A 到平面PBD的距离. 【答案】（1）证明见解析；（2）21. 【分析】（1）由平面PAB ⊥平面ABCD ，AD AB ⊥，可得AD ⊥平面APB ，从而得PA AD ⊥，同理可得PA AB ⊥，再由线面垂直的判定定理可证得结论；（2）由（1）得PA AD ⊥，PA AB ⊥，进而可求出2cos 5PBD ∠=，sin PBD ∠=，从而可得1sin 2PBDSPB BD PBD =⋅∠=A 到平面PBD 的距离 【详解】（1）平面PAB ⊥平面ABCD ，AD AB ⊥， 所以AD ⊥平面APB ，故PA AD ⊥.同理，平面PAD ⊥平面ABCD ，AD AB ⊥， 所以AB ⊥平面PAD ，故PA AB ⊥. 故PA ⊥平面ABCD .（2）由（1）可知，PA AD ⊥，PA AB ⊥，由244PA AB AD ===可求得，BD =，PA =PB =PBD △，2222cos 25PB BD PD PBD PB BD +-∠==⋅，sin PBD ∠=1sin 2PBDSPB BD PBD =⋅∠= 三棱锥A PBD -的体积11143323A PBD D PAB PAB V V S AD PA AB AD --===⨯⋅⋅=△.设h 为点A 到平面PBD 的距离，则133A PBD PBD V S h h -==△，所以得433h =，故21h =.所以点A 到平面PBD 的距离为21. 【点睛】关键点点睛：此题考查线面垂直的判定，考查点到面的距离的求法，解题的关键是利用等体积法进行转化，从而可得结果，考查转化思想和计算能力，属于中档题13．在多面体ABCDE 中，1AD BE ==，2AB BC ==，//AD BC ，3DAB π∠=，2ABE π∠=，平面ABCD ⊥平面ABE ．（1）证明：BC DE ⊥；（2）求直线BC 与平面DCE 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2． 【分析】（1）连接DB ，通过AD DB ⊥和EB AD ⊥证明AD ⊥平面DBE ，即得AD DE ⊥，再由//AD BC 得BC DE ⊥；（2）过C 点作CG AB ⊥交AB 的延长线于G ，连接EG ，根据等体积法求出点B 到平面DCE 的距离，即可求出直线BC 与平面DCE 所成角的正弦值． 【详解】解：（1）连接DB ，在ABD △中，2222cos 3BD AD AB AD AB DAB =+-⋅∠=，则BD =， 所以，222AD BD AB +=，即2ADB π∠=，AD DB ⊥，又因为平面ABCD ⊥平面ABE ，平面ABCD 平面ABE AB =，且EB AB ⊥，所以EB ⊥平面ABCD ，因为AD ⊂平面ABCD ，所以EB AD ⊥， 由AD DB ⊥，EB AD ⊥，DB EB B =，且DB ，BE ⊂平面DBE ，所以有AD ⊥平面DBE ，因为DE ⊂平面DBE ，所以AD DE ⊥， 又因为//AD BC ，所以BC DE ⊥．（2）过C 点作CG AB ⊥交AB 的延长线于G ，连接EG ，⊥//AD BC ，π3DAB ∠=，⊥π3CBG ∠=， 由90CGB ∠=︒，可得：sin 602CG BC =⋅︒==1cos 60212BG BC =⋅︒=⨯=，⊥1BE =，90EBG ∠=︒，⊥EG =， ⊥平面ABCD ⊥平面ABE ，面ABCD 面ABE AB =，CG AB ⊥，⊥CG ⊥面ABE ，又⊥EG ⊂平面ABE ，⊥CG EG ⊥，⊥90CGE ∠=︒，⊥2225CE CG GE =+=，⊥CE = 由（1）可知，AD DE ⊥，⊥2224DE AE AD =-=，即2DE =，由（1）可知，AD ⊥平面DBE ，所以AD BD ⊥，⊥BD =，⊥//AD BC ，⊥BC BD ⊥，⊥2227CD BD BC =+=，即CD可知222cos2DC CE DE DCE DC CE +-∠===⋅，sinDCE ∠==11sin 22DCE S DC CE DCE =⨯⨯⨯∠==△，11213323E BCD BCD V S BE -=⋅⨯=⨯=△ 由等体积：E BCD B CDE V V --=，13CDE S h =⋅⨯△13h =，解得h =设直线BC 与平面DCE 所成角为θ，则sin h BC θ===． 【点睛】关键点睛：第一问考查线线垂直的证明，解题的关键是利用线面垂直的性质证明；第二问考查线面角的求法，解题的关键是通过等体积法求出点B 到平面DCE 的距离，再由sin hBCθ=求出. 14．如图，直二面角D AB E --中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，AE EB =，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE .（1）求证：AE ⊥平面BCE ； （2）求二面角B AC E --的大小； （3）求点D 到平面ACE 的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）arcsin （3 【分析】要证明AE ⊥平面BCE ，需要在平面BCE 内找两条相交直线都垂直于AE ，而易证BF ⊥AE ，CB ⊥AE ；(2)求二面角B AC E --的余弦值，需要先作角，连接BD 交AC 交于G ，连接FG ，可证得BGF ∠是二面B AC E --的平面角，在BFG 中求解即可；(3)求点D 到平面ACE 的距离，可以转化为求三棱锥D−ACE 的高用等体积法求出即可． 【详解】证明：⊥BF ⊥平面ACE ，平面ACE平面BCE CE =,⊥BF AE ⊥，⊥二面角D AB E --为直二面角，⊥平面ABCD ⊥平面ABE ， 又BC AB ⊥，⊥BC ⊥平面ABE ，⊥BC AE ⊥， 又BF ⊂平面BCE ，BF BC B ⋂=，⊥AE ⊥平面BCE ；(2)连结AC 、BD 交于G ，连结FG ，⊥ABCD 为正方形，⊥BD AC ⊥， ⊥BF ⊥平面ACE ，⊥FGAC ，FGB ∠为二面角B AC E --的平面角，由(1)可知，AE ⊥平面BCE ，⊥AE EB ⊥，又AE EB =，2AB =，AE BE ==在Rt BCE ∆中，CE ==BC BE BF CE ⋅===，在正方形中，BG =，在直角三角形BFG 中，sin BF FGB BG ∠===，⊥二面角B AC E --为； (3)由(2)可知，在正方形ABCD 中，BG DG =，D 到平面ACB 的距离等于B 到平面ACE 的距离，BF ⊥平面ACE ，线段BF 的长度就是点B 到平面ACE 的距离，即为D 到平面ACE 的距离，⊥D 到平面ACE=【点睛】思路点睛：：本题考查求证线面垂直，求二面角和体积，解答本题的关键是作出二面角B AC E --的平面角，用定义法求二面角的步骤,一作二证三求解: 作出二面角的平面角证明作出的角即为所求二面角的平面角. （2）将角归结到三角形中，利用余弦定理求解 （3）得出答案.15．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为正方形，平面PCD ⊥平面ABCD ，且PC PD ==2CD =.（1）证明：PC ⊥平面PAD ； （2）求点D 到平面PAB 的距离．【答案】（1）证明见解析；（2 【分析】（1）由面面垂直的性质可得AD ⊥平面PCD ，进而可得AD PC ⊥，结合平面几何的知识可得PC PD ⊥，由线面垂直的判定即可得证；（2）取CD 的中点O ，连接PO ，OA ，BD ，作PH AB ⊥于H ，结合锥体的体积公式利用等体积法即可得解. 【详解】（1）证明：⊥平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD平面ABCD CD =，AD CD ⊥，AD ⊂平面ABCD ，⊥AD ⊥平面PCD ，又⊥PC ⊂平面PCD ，⊥AD PC ⊥，在PCD 中，PC PD ==2CD =，222PC PD CD +=，⊥PC PD ⊥，⊥PD AD D ⋂=，PD ,AD ⊂平面PAD ， ⊥PC ⊥平面PAD ；（2）设点D 到平面PAB 的距离为h ，取CD 的中点O ，连接PO ，OA ，BD ，作PH AB ⊥于H ，如图，则PO CD ⊥．⊥平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD 平面ABCD CD =，⊥PO ⊥平面ABCD ， ⊥112PO CD ==，OA⊥在POA 中，PA PB =⊥PAB △是等腰三角形，PH = 由D PAB P ABD V V --=1133PABABDS h S PO =⋅⋅=⋅⋅，⊥AB PH h AB AD PO ⋅⋅=⋅⋅，即4h =，解得5h =⊥点D 到平面PAB ． 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是空间位置关系性质与判定的应用及等体积法解决点面距离.16．如图，圆柱的轴截面ABCD 是正方形，点E 是底面圆周上异于,A B 的一点，AF DE ⊥，F 是垂足.（1）证明：AF DB ⊥；（2）若2AB =，当三棱锥D ABE -体积最大时，求点C 到平面BDE 的距离.【答案】（1）详见解析；（2【分析】（1）要证明线线垂直，需证明线面垂直，根据题中所给的垂直关系，证明AF ⊥平面DEB ；（2）首先确定点E 的位置，再根据等体积转化求点到平面的距离. 【详解】（1）由圆柱性质可知，DA ⊥平面ABE ，EB ⊂平面AEB ，DA EB ∴⊥，AB 是圆柱底面的直径，点E 在圆周上，AE EB ∴⊥，又AE DA A ⋂=，BE ∴⊥平面DAE ， AF ⊂平面DAE ，EB AF ∴⊥，又AF DE ⊥，且EB DE E =，AF ∴⊥平面DEB ，DB ⊂平面DEB ，AF DB ∴⊥；（2）13D AEB AEBV S DA -=⨯⨯，3DA =，当D AEB V -最大时，即AEBS最大，即AEB△是等腰直角三角形时，2DA AB ==∵，BE ∴=，DE ==并且点E 到平面ABCD 的距离就是点E 到直线AB 的距离112AB =, 设点C 到平面EBD 的距离为h ，则11112213232C DBE E CBD V V h --==⨯=⨯⨯⨯⨯，解得：h =【点睛】方法点睛：本题重点考查垂直关系，不管证明面面垂直还是证明线面垂直，关键都需转化为证明线线垂直，一般证明线线垂直的方法包含1.矩形，直角三角形等，2.等腰三角形，底边中线，高重合，3.菱形对角线互相垂直，4.线面垂直，线线垂直.17．如图，在四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，AB BC ⊥，2CD AB =，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．（⊥）证明：//AE 平面PBC ；（⊥）若2PA CD ==，求点E 以平面PBC 的距离．【答案】（⊥）证明见解析；（⊥. 【分析】（⊥）取CD 的中点F ，连接EF ，AF ，根据面面平行的判定定理，先证平面//AEF 平面PBC ，进而可证线面平行；（⊥）根据题中条件，先求出三棱锥的体积，再设点D 到平面PBC 的距离为d ，根据体积公式，即可求出点到面的距离. 【详解】（⊥）取CD 的中点F ，连接EF ，AF ． 因为E 为PD 的中点，所以//EF PC ，又EF ⊄平面PBC ，PC ⊂平面PBC ，所以//EF 平面PBC ． 因为2CD AB =，所以AB CF =．又//AB CD ，所以四边形ABCF 是平行四边形，所以//BC AF ， 因为AF ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以//AF 平面PBC ； 因为EFAF F =，且EF ⊂平面AEF ，AF ⊂平面AEF ，所以平面//AEF 平面PBC ；因为AE ⊂平面AEF ，所以//AE 平面PBC ．（⊥）因为E 是PD 的中点，所以点E 到平面PBC 的距离是点D 到平面PBC 距离的12． 因为PA ⊥平面ABCD ，AB BC ⊥，PA AB A =，所以BC ⊥平面PAB ．所以BC PB ⊥． 所以1112223323BCD P BCD V S PA BC BC -=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=三棱锥△．在Rt PAB 中，1AB =，PB ==，所以122PCB S BC BC =⨯=△． 设点D 到平面PBC 的距离为d ，则1233d BC BC ⨯=，解得d =．所以点E 到平面PBC ． 【点睛】本题主要考查证明线面平行，考查等体积法求点到面的距离，属于常考题型.18．如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，060ABC ∠=，FA ⊥平面ABCD ，//,2 2.FA ED AB FA ED ===（1）求二面角F BC A --的大小的正切值； （2）求点E 到平面AFC 的距离；（3）求直线FC 与平面ABF 所成的角的正弦值.【答案】（1（2（3）4【分析】（1）过A 作AG BC ⊥于点G ，则AGF ∠为二面角F BC A --的平面角，求其正切值即可； （2）设点E 到平面AFC 的距离为h ，利用等体积法计算即得结果；（3）作CH AB ⊥于点H ，则CFH ∠为直线FC 与平面ABF 所成的角，求其正弦值即可. 【详解】解：（1）过A 作AG BC ⊥于点G ，连接FG ，四边形ABCD 是菱形，60,2ABC AB ∠=︒=，ABC ∴为等边三角形，1BG GC ==,AGFA ⊥平面ABCD ，BC 平面ABCD ，FA BC ∴⊥，又AG BC ⊥， AG FA A =，BC ∴⊥平面AFG ，BC FG ∴⊥-AGF ∴∠为二面角F BC A --的平面角，tanAF AGF AG ∠===； ()2连接AE ，设点E 到平面AFC 的距离为h ，则E ACF C AEF V V --=， 即11333ACFAEF s h S ⋅=⋅，也就是11113232AF AC h AF AD ⨯⋅⋅=⨯⋅解得：h =(3)作CH AB ⊥于点H ，连接FH ，ABC ∆为等边三角形，H ∴为AB 的中点，1,AH CH FH ====，FA ⊥平面ABCD ，CH ⊂平面ABCD ，FA CH ∴⊥，又,CH AB AB AF A ⊥⋂=，CH ∴⊥平面ABF ，CFH ∴∠为直线FC 与平面ABF 所成的角，sin CH CFH CF ∴∠===【点睛】求空间中二面角的常见方法为：（1）定义法：过一个平面上的一点作另一个平面的垂线，再往交线上作垂线，找到二面角的平面角，计算即可；（2）向量法：利用两个平面的法向量，计算其夹角的余弦值，再判断 求空间中直线与平面所成角的常见方法为： （1）定义法：直接作平面的垂线，找到线面成角；（2）等体积法：不作垂线，通过等体积法间接求点到面的距离，距离与斜线长的比值即线面成角的正弦值； （3）向量法：利用平面法向量与斜线方向向量所成的余弦值的绝对值，即是线面成角的正弦值. 19．如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，1PD DC BC ===，2AB =，//AB DC ，90BCD ∠=，求点A 到平面PBC 的距离.【分析】先求出三棱锥P ABC -的体积1133ABC V S PD ∆=⋅=，再根据A PBC P ABC V V --=求解. 【详解】连结AC ，设点A 到平面PBC 的距离为h ， ⊥//AB DC ，90BCD ∠=，⊥90ABC ∠=， 从而2AB =，1BC =，得ABC 的面积1ABC S ∆=， 由PD ⊥平面ABCD 及1PD =， 得三棱锥P ABC -的体积1133ABC V S PD ∆=⋅=， ⊥PD ⊥平面ABCD ，DC ⊂平面ABCD ，⊥PD DC ⊥，又1PD DC ==，⊥PC ==，由PC BC ⊥，1BC =，得PBC ∆的面积PBC S ∆=，由1133A PBC P ABC PBC V V S h --∆==⋅=得h =故点A 到平面PBC 【点睛】方法点睛：点到平面的距离常见求法：⊥几何法：作出点P 到平面的垂线后求出垂线段的长，常要把垂线段放到三角形中去解三角形；⊥等体积法：根据体积相等求出点到面的距离；如求点P 到平面ABC 的距离，如果已知点C 到平面PAB 的距离，则可以根据C P A ABC P B V V --=求出点C 到平面PAB 的距离；⊥向量法：已知AB 是平面α的 一条斜线，n 为平面α的法向量，则A 到平面α的距离为||||AB n d n ⋅=. 20．棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -中，E 、F 分别是棱1AA 、1BB 中点，求点1B 到平面1D EF 的距离.【分析】利用等体积法列方程，解方程求得点1B 到平面1D EF 的距离. 【详解】依题意12D E ==， ⊥11//A B EF ⇒11//A B 平面1D EF ，⊥点1B 到平面1D EF 的距离即为点1A 到平面1D EF 的距离， 根据正方体的性质可知1EF D E ⊥， 设点1B 到平面1D EF 的距离为h ，1111A D EF F A D E V V --=，即111111113232EF D E h A D A E EF ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯，即111111A D A E h D E ⨯⨯===即点1B 到平面1D EF.【点睛】要求点到平面的距离，可利用等体积法列方程，通过解方程来求得点面距. 21．在棱长为a 的正方体1111ABCD A BC D 中求出下列距离：（1）点A 到面11BB C C 的距离； （2）线段11B D 到面ABCD 的距离； （3）点A 到面11BB D D 的距离； （4）C 到平面1BDC 的距离.【答案】（1）a ；（2）a ；（3）2a ；（4）3a . 【分析】（1）利用正方体的性质，即可求得点A 到面11BB C C 的距离； （2）利用线面平行的性质，即可求得线段11B D 到面ABCD 的距离； （3）利用线面垂直的性质，即可求得点A 到面11BB D D 的距离；（4）利用等体积法，即可求得C 到平面1BDC 的距离. 【详解】（1）因为正方体1111ABCD A BC D -，则AB ⊥平面11BB C C ， 所以点A 到面11BB C C 的距离为边长ABa ；（2）因为11B D ∥平面ABCD ，且1B B ⊥平面ABCD ， 所以线段11B D 到面ABCD 的距离为1B B a =； （3）因为AC ⊥平面11BB D D ，所以点A 到面11BB D D 的距离为面对角线的AC 的12，即2a ； （4）设C 到平面1BDC 的距离为h ，三棱锥1C BDC -的体积为V ，在1BDC ∆中，11BD DC BC ==，则1BDC ∆22)=，利用等体积法可得：2111323V a a a h =⨯⨯⨯⨯=⨯，所以h =22．如图，四边形ABCD 是正方形，MA ⊥平面ABCD ，//MA PB ，且2PB AB ==．（1）求证：//DM 平面PBC ；（2）求点 C 到平面 APD 的距离．【答案】（1）证明见解析；（2【分析】（⊥）利用面面平行的判定定理证明平面//AMD 平面BPC ，再利用面面平行的性质定理即可证明//DM 平面PBC ；（2）先证明AD ⊥平面ABPM ，设点C 到平面APD 的距离为d ，利用等体积法得13P ACD C APD APD V V d S --==⋅△，通过计算即可得d .【详解】（⊥）因为四边形ABCD 是正方形，所以//BC AD ， 又BC ⊂平面PBC ，AD ⊄平面PBC ，//AD 平面PBC ， 因为//MA PB ，同理可证//MA 平面PBC ，,,AD MA A AD MA ⋂=⊂平面AMD ，所以平面//AMD 平面PBC ，又因为DM ⊂平面AMD ，所以//DM 平面PBC ；（2）因为AM ⊥平面ABCD ，⊥AM ⊥AD ，PB ⊥平面ABCD ，又⊥AD ⊥AB ，AM AB A =，⊥AD ⊥平面ABPM ， ⊥AD ⊥AP又AP =设点C 到平面APD 的距离为d⊥11142223323P ACD ACD V PB S -=⋅=⨯⨯⨯⨯=△ 又⊥13P ACD C APD APD V V d S --==⋅△122APD S =⨯⨯=△⊥1433⨯=;⊥d =即点C 到平面APD 【点睛】方法点睛：证明直线与平面平行可通过证明直线与直线平行或平面与平面平行来证明.23．如图，在平行六面体1111ABCD A BC D -中，以顶点A 为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60︒，M 为11AC 与11B D 的交点.若AB a =，AD b =，1AA c =，设平面ABC 的法向量n a yb zc =++（1）用,,a b c 表示BM ； （2）求n 及n 的长度；（3）求点M 到平面ABC 的距离 【答案】（1）1122BM a b c =-++；（2）3a b c n =+-；||n=（3）3. 【分析】（1）根据向量减法法则和平行四边形法则，即可求得BM ；（2）由n 是平面ABC 的法向量，得0n a n b ⋅=⎧⎨⋅=⎩，即可求出3a b c n =+-，再利用向量的模长公式可求n .（3）由1//A M 平面ABC ，所以点M 到平面ABC 的距离等于点1A 到平面ABC 的距离，即c n d n⋅=即可求出. 【详解】（1）连接1AB ,AC ，1AC ，如图：AB a =，AD b =，1AA c =在1A AB ，根据向量减法法则可得：11BA AA AB c a =-=- 底面ABCD 是平行四边形，∴AC AB AD a b=+=+11//AC AC 且11AC AC =，∴ 11AC AC a b==+又M 为线段11AC 中点，∴ ()1111122A M b A C a ==+ 在1AMB 中，()11111222BM BA A M c a a a b c b -+=+=+-++= （2）顶点A 为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60︒∴1cos 602a b a b ⋅=⋅︒=，s 2c 160o a a c c ⋅⋅==︒，s 2c 160o b b c c ⋅⋅==︒由n 是平面ABC 的法向量，得00n a n b ⋅=⎧⎨⋅=⎩，即11102211022y z y z ⎧++=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩，解得1,3y z ==-3b n a c ∴=+-a b c a b a c b c n ⋅--∴⋅+⋅==222+9+2666（3）因为1//A M 平面ABC ，所以点M 到平面ABC 的距离等于点1A 到平面ABC 的距离所以()21323c a c b cc a bc c nd n+⋅+⋅-⋅⋅=====+-【点睛】关键点睛：本题主要考查了向量的线性表示和求向量的模长，解题关键是掌握向量减法法则和平行四边形法则，及其向量的数量积公式，数形结合，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.24．如图，在四棱柱1111ABCD A BC D -中，1AA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 满足//AD BC 且12,AB AD AA BD DC =====（1）求证：AB ⊥平面11ADD A ；（2）求直线AB 与平面11B CD 所成角的正弦值； （3）求点1C 到平面11B CD 的距离. 【答案】（1）证明见解析；（2）6（3）3【分析】(1)证明1AA AB ⊥，根据222AB AD BD +=得到AB AD ⊥，得到证明.(2) 如图所示，分别以1,,AB AD AA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，平面11B CD 的法向量()1,1,2n =，()2,0,0AB =，计算向量夹角得到答案.(3)设点1C 到平面11B CD 的距离为h ，运用等体积法111111C B CD C B C D V V --=，可求得点1C 到平面11B CD 的距离. 【详解】(1) 1AA ⊥平面ABCD ，AB平面ABCD ，故1AA AB ⊥.2AB AD ==，BD =222AB AD BD +=，故AB AD ⊥.1AD AA A ⋂=，故AB ⊥平面11ADD A .(2)如图所示：分别以1,,AB AD AA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()2,0,0B ，()12,0,2B ，()2,4,0C ，()10,2,2D .设平面11B CD 的法向量(),,n x y z =，则1110n B C n B D ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即420220y z x y -=⎧⎨-+=⎩，。