第章集合与常用逻辑用语第一节集合[考纲传真] 1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中，了解全集与空集的含义.3.(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．(3)能使用Venn图表达集合间的基本关系及集合的基本运算．1．元素与集合(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系：属于或不属于，分别记为∈和∉.(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、Venn图法．(4)常见数集的记法2.A B或B A1．若有限集A中有n个元素，则集合A的子集个数为2n，真子集的个数为2n－1.2．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.3．A∩∁U A＝∅；A∪∁U A＝U；∁U(∁U A)＝A.[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任何集合都至少有两个子集．()(2)已知集合A＝{x|y＝x2}，B＝{y|y＝x2}，C＝{(x，y)|y＝x2}，则A＝B＝C.()(3)若{x2，x}＝{－1,1}，则x＝－1. ()(4)若A∩B＝A∩C，则B＝C. ()[解析](1)错误．空集只有一个子集，就是它本身，故该说法是错误的．(2)错误．集合A是函数y＝x2的定义域，即A＝(－∞，＋∞)；集合B是函数y＝x2的值域，即B＝[0，＋∞)；集合C是抛物线y＝x2上的点集．因此A，B，C不相等．(3)正确．(4)错误．当A＝∅时，B，C可为任意集合．[答案](1)×(2)×(3)√(4)×2．(教材改编)若集合A＝{x∈N|x≤10}，a＝22，则下列结论正确的是()A．{a}⊆A B．a⊆AC．{a}∈A D．a∉AD[由题意知A＝{0,1,2,3}，由a＝22知，a∉A.]3．设集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，则A∪B＝()A．{1,2,3,4} B．{1,2,3}C．{2,3,4} D．{1,3,4}A[A∪B＝{1,2,3,4}．]4．设集合A＝{0,2,4,6,8,10}，B＝{4,8}，则∁A B＝()A．{4,8} B．{0,2,6}C．{0,2,6,10} D．{0,2,4,6,8,10}C[∁A B＝{0,2,6,10}．]5．若集合A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|x＜－1或x＞3}，则A∩B＝() A．{x|－2＜x＜－1} B．{x|－2＜x＜3}C．{x|－1＜x＜1} D．{x|1＜x＜3}A[∵A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|x＜－1或x＞3}，∴A∩B＝{x|－2＜x＜－1}．]1M中的元素个数为()A．3B．4C．5D．6B[因为集合M中的元素x＝a＋b，a∈A，b∈B，所以当b＝4，a＝1,2,3时，x＝5,6,7.当b＝5，a＝1,2,3时，x＝6,7,8.由集合元素的互异性，可知x＝5,6,7,8.即M＝{5,6,7,8}，共有4个元素．]2．若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝( )A.92B.98 C ．0 D ．0或98D [若集合A 中只有一个元素，则方程ax 2－3x ＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根．当a ＝0时，x ＝23，符合题意；当a ≠0时，由Δ＝(－3)2－8a ＝0得a ＝98，所以a 的取值为0或98.]3．已知a ，b ∈R ，若⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a ，1＝{a 2，a ＋b,0}，则a 2 019＋b 2 019为( )A ．1B ．0C ．－1D ．±1C [由已知得a ≠0，则b a ＝0， 所以b ＝0，于是a 2＝1，即a ＝1或a ＝－1，又根据集合中元素的互异性可知a ＝1应舍去，因此a ＝－1，故a 2 019＋b 2 019＝(－1)2 019＋02 019＝－1.]4．设集合A ＝{－1,1,3}，B ＝{a ＋2，a 2＋4}，A ∩B ＝{3}，则实数a ＝________. 1 [由A ∩B ＝{3}知a ＋2＝3或a 2＋4＝3.解得a ＝1.]【例1】 (1)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0＜x ＜5，x ∈N }，则( )A ．B ⊆AB ．A ＝BC ．A BD ．B A(2)(2019·大庆模拟)集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈Z ⎪⎪⎪x ＋1x －3≤0，B ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈A }，则集合B 的子集个数为( )A ．5B ．8C ．3D ．2 (3)已知集合A ＝{x ∈R |x 2＋x －6＝0}，B ＝{x ∈R |ax －1＝0}，若B ⊆A ，则实数a 的取值集合为________．(1)C (2)B(3)⎩⎨⎧⎭⎬⎫－13，12，0 [(1)A ＝{1,2}，B ＝{1,2,3,4}，则A B ，故选C.(2)由x ＋1x －3≤0得－1≤x ＜3，则A ＝{－1,0,1,2}，B ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈A }＝{1,2,5}，其子集的个数为23＝8个．(3)A ＝{－3,2}，若a ＝0，则B ＝∅，满足B ⊆A ，若a ≠0，则B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a ，由B ⊆A 知，1a ＝－3或1a ＝2，故a ＝－13或a ＝12，因此a 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－13，12，0.]B ，则符合条件的集合C 的个数为( )A ．1B ．2C ．4D ．8(2)已知集合A ＝{x |x 2－2x ≤0}，B ＝{x |x ≤a }，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是________．(1)C(2)[2，＋∞)[(1)由A⊆C⊆B得C＝{0}或{0，－1}或{0,1}或{0，－1,1}，故选C.(2)A＝{x|0≤x≤2}，要使A⊆B，则a≥2.]►【例2】(1)(2018·全国卷Ⅲ)已知集合A＝{x|x－1≥0}，B＝{0,1,2}，则A∩B ＝()A．{0}B．{1}C．{1,2} D．{0,1,2}(2)(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－x－2＞0}，则∁R A＝()A．{x|－1＜x＜2} B．{x|－1≤x≤2}C．{x|x＜－1}∪{x|x＞2} D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}(3)(2019·桂林模拟)已知集合M＝{x|－1＜x＜3}，N＝{－1,1}，则下列关系正确的是()A．M∪N＝{－1,1,3} B．M∪N＝{x|－1≤x＜3}C．M∩N＝{－1} D．M∩N＝{x|－1＜x＜1}(1)C(2)B(3)B[(1)由题意知，A＝{x|x≥1}，则A∩B＝{1,2}．(2)法一：A＝{x|(x－2)(x＋1)＞0}＝{x|x＜－1或x＞2}，所以∁R A＝{x|－1≤x≤2}，故选B.法二：因为A＝{x|x2－x－2＞0}，所以∁R A＝{x|x2－x－2≤0}＝{x|－1≤x≤2}，故选B.(3)M∪N＝{x|－1≤x＜3}，M∩N＝{1}，故选B.]►考法2利用集合的运算求参数【例3】(1)设集合A＝{x|－1≤x＜2}，B＝{x|x＜a}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是()A．－1＜a≤2 B．a＞2C．a≥－1 D．a＞－1(2)集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为()A．0B．1 C．2D．4(3)(2019·厦门模拟)已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|x2－3x＋2＜0}，若A∩B ＝B，则实数a的取值范围是()A．a≤1 B．a＜1C．a≥2 D．a＞2(1)D(2)D(3)C[(1)由A∩B≠∅知，集合A，B有公共元素，作出数轴，如图所示：易知a＞－1，故选D.(2)由题意可知{a，a2}＝{4,16}，所以a＝4，故选D.(3)B＝{x|1＜x＜2}，由A∩B＝B知B⊆A，则a≥2，故选C.]＜0}，则A∪B＝()A．(－1,0) B．(0,1)C．(－1,3) D．(1,3)(2)(2019·西安模拟)设集合A＝{x|x2－3x＋2≥0}，B＝{x|x≤2，x∈Z}，则(∁A)∩B＝()RA．{1}B．{2} C．{1,2}D．∅(3)(2017·全国卷Ⅱ)设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B＝()A．{1，－3} B．{1,0}C．{1,3} D．{1,5}(4)(2019·长沙模拟)已知集合A＝{1,3,9,27}，B＝{y|y＝log3x，x∈A}，则A∩B ＝()A．{1,3} B．{1,3,9}C．{3,9,27} D．{1,3,9,27}(1)C(2)D(3)C(4)A[(1)A＝{x|－1＜x＜1}，B＝{x|0＜x＜3}，所以A∪B＝{x|－1＜x＜3}，故选C.(2)A＝{x|x≤1或x≥2}，则∁R A＝{x|1＜x＜2}．又集合B＝{x|x≤2，x∈Z}，所以(∁R A)∩B＝∅，故选D.(3)∵A∩B＝{1}，∴1∈B.∴1－4＋m＝0，即m＝3.∴B＝{x|x2－4x＋3＝0}＝{1,3}．故选C.(4)因为A＝{1,3,9,27}，B＝{y|y＝log3x，x∈A}＝{0,1,2,3}，所以A∩B＝{1,3}．]1．(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{0,2}，B＝{－2，－1,0,1,2}，则A∩B＝() A．{0,2}B．{1,2}C．{0} D．{－2，－1,0,1,2}A[由题意知A∩B＝{0,2}．]2．(2018·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为()A．9B．8C．5D．4A[由x2＋y2≤3知，－3≤x≤3，－3≤y≤ 3.又x∈Z，y∈Z，所以x∈{－1,0,1}，y∈{－1,0,1}，所以A中元素的个数为9，故选A.] 3．(2017·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x<2}，B＝{x|3－2x>0}，则()A ．A ∩B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＜32B ．A ∩B ＝∅C ．A ∪B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＜32D ．A ∪B ＝RA [因为B ＝{x |3－2x ＞0}＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＜32，A ＝{x |x ＜2}，所以A ∩B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＜32，A ∪B ＝{x |x ＜2}．故选A.]4．(2015·全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{x |x ＝3n ＋2，n ∈N }，B ＝{6,8,10,12,14}，则集合A ∩B 中元素的个数为( )A ．5B ．4C ．3D ．2D [分析集合A 中元素的特点，然后找出集合B 中满足集合A 中条件的元素个数即可．集合A 中元素满足x ＝3n ＋2，n ∈N ，即被3除余2，而集合B 中满足这一要求的元素只有8和14.故选D.]第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件[考纲传真] 1.理解命题的概念；了解“若p ，则q ”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.2.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．1．命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．3．充分条件、必要条件与充要条件的概念1．充分条件、必要条件的两个结论(1)若p是q的充分不必要条件，q是r的充分不必要条件，则p是r的充分不必要条件；(2)若p是q的充分不必要条件，则q是p的充分不必要条件．2．充分条件、必要条件与集合的关系AB1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“x2＋2x－3<0”是命题． ()(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则q”．()(3)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．()(4)“若p不成立，则q不成立”等价于“若q成立，则p成立”．() [解析](1)错误．该语句不能判断真假，故该说法是错误的．(2)错误．否命题既否定条件，又否定结论．(3)正确．q是p的必要条件说明p⇒q，所以p是q的充分条件．(4)正确．原命题与逆否命题是等价命题．[答案](1)×(2)×(3)√(4)√2．(教材改编)命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是()A．若α≠π4，则tan α≠1B．若α＝π4，则tan α≠1C．若tan α≠1，则α≠π4D．若tan α≠1，则α＝π4C[“若p，则q”的逆否命题是“若q，则p”，显然q：tan α≠1，p：α≠π4，所以该命题的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠π4”．]3．已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A[a＝3时，A＝{1,3}，显然A⊆B.但A⊆B时，a＝2或3.∴“a＝3”是“A⊆B”的充分不必要条件．]4．设p：x＜3，q：－1＜x＜3，则p是q成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件B[x＜⇒/－1＜x＜3，但－1＜x＜3⇒x＜3，因此p是q的必要不充分条件，故选B.]5．命题“若a＞－3，则a＞－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为()A．1B．2 C．3D．4B[原命题正确，从而其逆否命题也正确；其逆命题为“若a＞－6，则a ＞－3”是假命题，从而其否命题也是假命题．因此4个命题中有2个假命题．]1．命题“若a2＋b2＝0，则a＝b＝0”的逆否命题是()A．若a2＋b2≠0，则a≠0且b≠0B．若a2＋b2≠0，则a≠0或b≠0C．若a＝0且b＝0，则a2＋b2≠0D．若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0D[“若a2＋b2＝0，则a＝b＝0”的逆否命题是“若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0”，故选D.]2．(2019·开封模拟)下列命题中为真命题的是()A．命题“若x＞1，则x2＞1”的否命题B．命题“若x＞y，则x＞|y|”的逆命题C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题D．命题“若1x＞1，则x＞1”的逆否命题B[对于A，命题“若x＞1，则x2＞1”的否命题为“若x≤1，则x2≤1”，易知当x＝－2时，x2＝4＞1，故为假命题；对于B，命题“若x＞y，则x＞|y|”的逆命题为“若x＞|y|，则x＞y”，分析可知为真命题；对于C，命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题为“若x≠1，则x2＋x－2≠0”，易知当x＝－2时，x2＋x－2＝0，故为假命题；对于D，命题“若1x＞1，则x＞1”是假命题，则其逆否命题为假命题，故选B.]3．某食品的广告词为“幸福的人们都拥有”，这句话的等价命题是() A．不拥有的人们会幸福B．幸福的人们不都拥有C．拥有的人们不幸福D．不拥有的人们不幸福D[命题的等价命题就是其逆否命题，故选D.]4．“若m＜n，则ms2＜ns2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是________．2[原命题：“若m＜n，则ms2＜ns2”，这是假命题，因为若s＝0时，由m＜n，得到ms2＝ns2＝0，不能推出ms2＜ns2.逆命题：“若ms2＜ns2，则m＜n”，这是真命题，因为由ms2＜ns2得到s2＞0，所以两边同除以s2，得m＜n，因为原命题和逆否命题的真假相同，逆命题和否命题的真假相同，所以真命题的个数是2.]“a，b，c，d成等比数列”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件(2)设集合M＝{x|0＜x≤3}，N＝{x|0＜x≤2}，那么“m∉M”是“m∉N”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(1)B(2)A[(1)a，b，c，d是非零实数，若ad＝bc，则ba＝dc，此时a，b，c，d不一定成等比数列；反之，若a，b，c，d成等比数列，则ab＝cd，所以ad＝bc，所以“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的必要而不充分条件，故选B.(2)条件与结论都是否定形式，可转化为判断“m∈N”是“m∈M”的什么条件．由N M知，“m∈N”是“m∈M”的充分不必要条件，从而“m∉M”是“m∉N”的充分不必要条件，故选A.]A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(2)已知条件p：x＞1或x＜－3，条件q：5x－6＞x2，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(1)A(2)A[(1)由x3＞8可得x＞2，从而|x|＞2成立，由|x|＞2可得x＞2或x＜－2，从而x3＞8不一定成立．因此“x3＞8”是“|x|＞2”的充分而不必要条件，故选A.(2)由5x－6＞x2得2＜x＜3，即q：2＜x＜3.所以q ⇒p ，p q ，从而q 是p 的充分不必要条件．即p 是q 的充分不必要条件，故选A.]【例2】 (1)设命题p ：(4x －3)2≤1，命题q ：x 2－(2m ＋1)x ＋m (m ＋1)≤0，若p 是q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 C ．(－∞，0]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞D ．(－∞，0)∪(0，＋∞)(2)“直线x －y －k ＝0与圆(x －1)2＋y 2＝2有两个不同的交点”的一个充分不必要条件可以是( )A ．－1≤k ＜3B ．－1≤k ≤3C ．0＜k ＜3D ．k ＜－1或k ＞3(1)A (2)C [(1)由(4x －3)2≤1得12≤x ≤1，即p ：12≤x ≤1， 由x 2－(2m ＋1)x ＋m (m ＋1)≤0得m ≤x ≤m ＋1，即q ：m ≤x ≤m ＋1. 由p 是q 的必要不充分条件知，p 是q 的充分不必要条件，从而⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12≤x ≤1{x |m ≤x ≤m ＋1}．∴⎩⎪⎨⎪⎧m ≤12m ＋1≥1，解得0≤m ≤12，故选A.(2)“直线x －y －k ＝0与圆(x －1)2＋y 2＝2有两个不同的交点”的充要条件是|1－k |2＜2，即－1＜k ＜3. 故所求应是集合{k |－1＜k ＜3}的一个子集，故选C.]数m的取值范围是()A．[－1,1] B．[－1,0]C．[1,2] D．[－1,2](2)设n∈N*，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________.(1)A(2)3或4[(1)由题意知(－1,4)(2m2－3，＋∞)，∴2m2－3≤－1，解得－1≤m≤1，故选A.(2)当Δ＝16－4n≥0，即n≤4时，方程x2－4x＋n＝0的两根为x＝4±16－4n2＝2±4－n.又n∈N*，且n≤4，则当n＝3,4时，方程有整数根．]第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词[考纲传真] 1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义.2.理解全称量词与存在量词的意义.3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．1．简单的逻辑联结词(1)命题中的“或”“且”“非”叫做逻辑联结词．(2)命题p∧q，p∨q，p的真假判断p2.3.p p1．含有逻辑联结词的命题真假的判断规律：(1)p∨q：有真则真．(2)p∧q：有假则假．(3)p与p：真假相反．2．含一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”．3．命题p∧q的否定是“p∨q”；命题p∨q的否定是“p∧q”．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)命题“5＞6或5＞2”是假命题．()(2)命题(p∧q)是假命题，则命题p，q中至少有一个是假命题．()(3)“长方形的对角线相等”是特称命题．()(4)命题“对顶角相等”的否定是“对顶角不相等”．()[解析](1)错误．命题p∨q中，p，q有一真则真．(2)错误．p∧q是真命题，则p，q都是真命题．(3)错误．命题“长方形的对角线相等”可叙述为“所有长方形的对角线相等”，是全称命题．(4)错误．“对顶角相等”是全称命题，其否定为“有些对顶角不相等”．[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×2．(教材改编)已知p ：2是偶数，q ：2是质数，则命题p ，q ，p ∨q ，p ∧q中真命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 B [p 和q 显然都是真命题，所以p ，q 都是假命题，p ∨q ，p ∧q 都是真命题．]3．下列命题中的假命题是( ) A ．∀x ∈R,2x －1＞0 B ．∀x ∈N *，(x －1)2＞0 C ．∃x ∈R ，lg x ＜1 D ．∃x ∈R ，tan x ＝2B [对于B ，当x ＝1时，(x －1)2＝0，故B 项是假命题．]4．命题：“∃x 0∈R ，x 20－ax 0＋1＜0”的否定为________．∀x ∈R ，x 2－ax ＋1≥0 [因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“∃x 0∈R ，x 20－ax 0＋1＜0”的否定是“∀x ∈R ，x 2－ax ＋1≥0”．]5．若命题“∀x ∈R ，ax 2－ax －2≤0”是真命题，则实数a 的取值范围是________．[－8,0] [当a ＝0时，不等式显然成立． 当a ≠0时，依题意知⎩⎨⎧a ＜0，Δ＝a 2＋8a ≤0， 解得－8≤a ＜0. 综上可知－8≤a ≤0.]定范围．q ：乙降落在指定范围．则命题“至少有一名学员没有降落在指定范围”可表示为( )A ．(p )∨(q )B ．p ∨(q )C ．(p )∧(q )D ．p ∧qA[p：甲没有降落在指定范围，q：乙没有降落在指定范围．则“至少有一名学员没有降落在指定范围”可表示为(p)∨(q)，故选A.]2．若命题“p∨q”是真命题，“p”为真命题，则()A．p真，q真B．p假，q真C．p真，q假D．p假，q假B[命题“p∨q”是真命题，则p或q至少有一个真命题，又“p”是真命题，则p是假命题，从而q一定是真命题，故选B.]3．(2019·泰安模拟)已知命题p：∀x>0，ln(x＋1)>0；命题q：若a>b，则a2>b2.下列命题为真命题的是()A．p∧q B．p∧(q)C．(p)∧q D．(p)∧(q)B[∵x>0，∴x＋1>1，∴ln(x＋1)>ln 1＝0.∴命题p为真命题，∴p为假命题．∵a>b，取a＝1，b＝－2，而12＝1，(－2)2＝4，此时a2<b2，∴命题q为假命题，∴q为真命题．∴p∧q为假命题，p∧q为真命题，p∧q为假命题，p∧q为假命题．故选B.]p【例1】(1)(2019·武汉模拟)命题“∃x0∈(0，＋∞)，ln x0＝x0－1”的否定是()A．∀x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1B ．∀x ∉(0，＋∞)，ln x ＝x －1C ．∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0≠x 0－1D ．∃x 0∉(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1 (2)下列命题中的假命题是( ) A ．∀x ∈R ，x 2≥0 B ．∀x ∈R,2x －1＞0 C ．∃x 0∈N ，sin π2x 0＝1 D ．∃x 0∈R ，sin x 0＋cos x 0＝2(1)A (2)D [(1)改变原命题中的三个地方即可得其否定，∃改为∀，x 0改为x ，否定结论，即ln x ≠x －1，故选A.(2)当x ∈R 时，x 2≥0且2x －1＞0，故A 、B 是真命题． 当x 0＝1时，sin π2x 0＝1，故C 是真命题．由sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤2，故D 是假命题．]000A ．∀x ＞0，使2x (x －a )＞1 B ．∀x ＞0，使2x (x －a )≤1 C ．∀x ≤0，使2x (x －a )≤1 D ．∀x ≤0，使2x (x －a )＞1(2)下列命题中，真命题是( ) A ．∀x ∈R ，x 2－x －1＞0B ．∀α，β∈R ，sin(α＋β)＜sin α＋sin βC ．∃x ∈R ，x 2－x ＋1＝0D ．∃α，β∈R ，sin(α＋β)＝cos α＋cos β(1)B (2)D [(1)命题的否定为∀x ＞0，使2x (x －a )≤1，故选B.(2)因为x 2－x －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－54≥－54，所以A 是假命题．当α＝β＝0时，有sin(α＋β)＝sin α＋sin β，所以B 是假命题．x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥34，所以C 是假命题．当α＝β＝π2时，有sin(α＋β)＝cos α＋cos β，所以D 是真命题，故选D.]【例2】 (1)已知命题“∃x 0∈R ，使2x 20＋(a －1)x 0＋12≤0”是假命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,3)C ．(－3，＋∞)D ．(－3,1)(2)已知p ：∃x 0∈R ，mx 20＋1≤0，q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0，若p ∨q 为假命题，则实数m 的取值范围为( )A ．m ≥2B ．m ≤－2C ．m ≤－2或m ≥2D ．－2≤m ≤2(1)B (2)A [(1)原命题的否定为∀x ∈R,2x 2＋(a －1)x ＋12＞0，由题意知，为真命题，则Δ＝(a －1)2－4×2×12＜0，则－2＜a －1＜2，则－1＜a ＜3，故选B.(2)依题意知，p ，q 均为假命题．当p 是假命题时，∀x ∈R ，mx 2＋1＞0恒成立，则有m ≥0；当q 是假命题时，则有Δ＝m 2－4≥0，m ≤－2或m ≥2.因此，由p ，q 均为假命题得⎩⎨⎧m ≥0，m ≤－2或m ≥2，即m≥2，故选A.]实数a的取值范围为()A．(－∞，e2] B．(－∞，e]C．[e，＋∞) D．[e2，＋∞)(2)已知命题p：∃x0∈R，x20－ax0＋4＝0；命题q：关于x的函数y＝2x2＋ax＋4在[3，＋∞)上是增函数，若p∧q是真命题，则实数a的取值范围是________．(1)B(2)[－12，－4]∪[4，＋∞)[(1)p是假命题，则p是真命题，当x∈[1,2]时，e≤e x≤e2，由题意知a≤(e x)min，x∈[1,2]，因此a≤e，故选B.(2)若p是真命题，则Δ＝a2－16≥0，解得a≤－4或a≥4.若q是真命题，则－a4≤3，即a≥－12.由p∧q是真命题知，命题p、q均是真命题．因此a的取值范围是[－12，－4]∪[4，＋∞)．]第2章函数、导数及其应用第一节函数及其表示[考纲传真] 1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段)．1．函数与映射的概念(1)函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，自变量x的取值范围(数集A)叫做函数的定义域；函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．(2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域．(3)相等函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数．(4)函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．3．分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．[常用结论]求函数定义域的依据(1)整式函数的定义域为R；(2)分式的分母不为零；(3)偶次根式的被开方数不小于零； (4)对数函数的真数必须大于零； (5)正切函数y ＝tan x 的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z ； (6)x 0中x ≠0；(7)实际问题中除要考虑函数解析式有意义外，还应考虑实际问题本身的要求．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数是特殊的映射．( )(2)函数y ＝1与y ＝x 0是同一个函数． ( )(3)与x 轴垂直的直线和一个函数的图象至多有一个交点． ( ) (4)分段函数是两个或多个函数． ( ) [答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)× 2．(教材改编)函数y ＝2x －3＋1x －3的定义域为( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ B ．(－∞，3)∪(3，＋∞) C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，3∪(3，＋∞) D ．(3，＋∞)C [由题意知⎩⎨⎧2x －3≥0，x －3≠0，解得x ≥32且x ≠3.]3．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，2x ，x ＞1，则f (f (3))等于( ) A.15 B ．3C.23D.139D [f (3)＝23，f (f (3))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋1＝139，故选D.]4．下列函数中，与函数y ＝x ＋1是相等函数的是( ) A ．y ＝(x ＋1)2B ．y ＝3x 3＋1C ．y ＝x 2x ＋1D ．y ＝x 2＋1B [y ＝3x 3＋1＝x ＋1，且函数定义域为R ，故选B.]5．已知函数f (x )＝2x ＋1，若f (a )＝5，则实数a 的值为________． 12 [由f (a )＝5得2a ＋1＝5，解得a ＝12.])A ．(－2,1)B ．[－2,1]C ．(0,1)D ．(0,1](2)若函数y ＝f (x )的定义域为[0,2]，则函数g (x )＝f (2x )x －1的定义域是________． (3)已知函数y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]，则函数y ＝f (x )的定义域为________．(1)C (2)[0,1) (3)[－1,2][(1)由题意得⎩⎨⎧－x 2－x ＋2≥0ln x ≠0x ＞0，解得0＜x ＜1，故选C.(2)由0≤2x ≤2，得0≤x ≤1，又x －1≠0，即x ≠1， 所以0≤x <1，即g (x )的定义域为[0,1)． (3)由函数y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]得 －1≤x 2－1≤2，即函数y ＝f (x )的定义域为[－1,2]．](1)函数f (x )＝3x 1－x＋lg(3x ＋1)的定义域是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，13 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13 (2)已知函数f (2x )的定义域为[－1,1]，则f (x )的定义域为________． (1)A (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 [(1)由题意可知⎩⎨⎧1－x ＞0，3x ＋1＞0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＜1，x ＞－13，∴－13＜x＜1，故选A.(2)∵f (2x )的定义域为[－1,1]， ∴12≤2x ≤2，即f (x )的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.]【例2】 (1)已知f (x )是二次函数且f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝x －1，则f (x )＝________.(2)已知f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5，则f (x )＝________. (3)已知f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x (x ≠0)，则f (x )＝________.(1)12x 2－32x ＋2 (2)x 2－5x ＋9 (3)23x －x3 [(1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝2，得c ＝2，f (x ＋1)－f (x )＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)－ax 2－bx ＝x －1，即2ax ＋a ＋b ＝x －1，∴⎩⎨⎧2a ＝1，a ＋b ＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－32，∴f (x )＝12x 2－32x ＋2.(2)法一(配凑法)f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5＝(2x ＋1)2－10x ＋4 ＝(2x ＋1)2－5(2x ＋1)＋9， ∴f (x )＝x 2－5x ＋9. 法二(换元法)令2x ＋1＝t (t ∈R )，则x ＝t －12，所以f (t )＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122－6×t －12＋5＝t 2－5t ＋9，所以f (x )＝x 2－5x ＋9. (3)∵f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2f (x )＝1x . 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2f (x )＝1x ，解得f (x )＝23x －x3(x ≠0)．](1)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，则f (x )＝________.(2)已知f (x )是一次函数，且2f (x －1)＋f (x ＋1)＝6x ，则f (x )＝________. (3)已知函数f (x )满足f (－x )＋2f (x )＝2x ，则f (x )＝________. (1)x 2－1(x ≥1) (2)2x ＋23 (3)2x ＋1－2－x3[(1)(换元法)设x ＋1＝t (t ≥1)，则x ＝t －1，所以f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－1(t ≥1)，所以f (x )＝x 2－1(x ≥1)． (配凑法)f (x ＋1)＝x ＋2x ＝(x ＋1)2－1， 又x ＋1≥1，∴f (x )＝x 2－1(x ≥1)． (2)∵f (x )是一次函数， ∴设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)， 由2f (x －1)＋f (x ＋1)＝6x ，得2[k (x －1)＋b ]＋k (x ＋1)＋b ＝6x ，即3kx －k ＋3b ＝6x ， ∴⎩⎨⎧3k ＝6，－k ＋3b ＝0，∴k ＝2，b ＝23，即f (x )＝2x ＋23. (3)由f (－x )＋2f (x )＝2x ①， 得f (x )＋2f (－x )＝2－x②，①×2－②，得3f (x )＝2x ＋1－2－x . 即f (x )＝2x ＋1－2－x3.∴f (x )的解析式为f (x )＝2x ＋1－2－x3.]►考法1 求分段函数的函数值 【例3】 (1)若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，x ≤0log 3x ，x ＞0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝( )A ．－2B ．－3C ．9D ．－9(2)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2cos πx ，x ＜0f (x －1)＋1，x ＞0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43的值为( )A ．－1B ．1C.32D.52(1)C (2)B [(1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝log 319＝－2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝f (－2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－2＝9.(2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＋1＋1＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π＋2＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋2＝1，故选B.] ►考法2 求参数或自变量的值【例4】 (1)已知f (x )＝⎩⎨⎧2x－2，x ≥0－x 2＋3，x ＜0，若f (a )＝2，则实数a 的值为( )A ．2B ．－1或2C ．±1或2D ．1或2(2)设函数f (x )＝⎩⎨⎧3x －b ，x ＜12x ，x ≥1，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝4，则b ＝( )A ．1 B.78C.34D.12(1)B (2)D [(1)由f (a )＝2得⎩⎨⎧ a ≥0，2a －2＝2，或⎩⎨⎧a ＜0，－a 2＋3＝2，解得a ＝2或a ＝－1，故选B. (2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3×56－b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52－b . 当52－b ＜1，即b ＞32时，3×⎝ ⎛⎭⎪⎫52－b －b ＝4，解得b ＝78(舍去)．当52－b ≥1，即b ≤32时，252－b ＝4，解得b ＝12.故选D.]►考法3 解与分段函数有关的方程或不等式【例5】 (1)(2019·青岛模拟)设f (x )＝⎩⎨⎧x ，0＜x ＜1，2(x －1)，x ≥1.若f (a )＝f (a ＋1)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8(2)(2017·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，x ≤0，2x ，x ＞0，则满足f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＞1的x的取值范围是________．(1)C (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞ [(1)法一：当0＜a ＜1时，a ＋1＞1，∴f (a )＝a ，f (a ＋1)＝2(a ＋1－1)＝2a . 由f (a )＝f (a ＋1)得a ＝2a ，∴a ＝14. 此时f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝f (4)＝2×(4－1)＝6.当a ≥1时，a ＋1＞1，∴f (a )＝2(a －1)，f (a ＋1)＝2(a ＋1－1)＝2a . 由f (a )＝f (a ＋1)得2(a －1)＝2a ，无解． 综上，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝6，故选C.法二：∵当0＜x ＜1时，f (x )＝x ，为增函数， 当x ≥1时，f (x )＝2(x －1)，为增函数， 又f (a )＝f (a ＋1)， ∴a ＝2(a ＋1－1)， ∴a ＝14. ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝f (4)＝6. (2)当x ≤0时，原不等式为x ＋1＋x ＋12>1，解得x >－14， ∴－14<x ≤0.当0<x ≤12时，原不等式为2x ＋x ＋12>1，显然成立． 当x >12时，原不等式为2x ＋2x －12>1，显然成立． 综上可知，x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞.](1)设函数f (x )＝⎩⎨⎧1＋log 2(2－x )，x <1，2x －1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝( )A ．3B ．6C ．9D ．12(2)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，x ≥1，x 2＋m 2，x ＜1，若f (f (－1))＝2，则实数m 的值为( ) A ．1 B ．1或－1 C. 3D.3或－ 3(3)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x <1，x 13，x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________．(1)C (2)D (3)(－∞，8] [(1)∵－2<1， ∴f (－2)＝1＋log 2(2＋2)＝1＋log 24＝1＋2＝3. ∵log 212>1，∴f (log 212)＝2log 212－1＝122＝6. ∴f (－2)＋f (log 212)＝3＋6＝9.故选C.(2)f (f (－1))＝f (1＋m 2)＝log 2(1＋m 2)＝2，m 2＝3，解得m ＝±3，故选D. (3)当x <1时，x －1<0，e x －1<e 0＝1≤2，∴当x <1时满足f (x )≤2.当x ≥1时，x 13≤2，x ≤23＝8，∴1≤x ≤8. 综上可知x ∈(－∞，8]．]1．(2015·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x －1－2，x ≤1，－log 2(x ＋1)，x ＞1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝( )A ．－74B ．－54C ．－34D ．－14A [分类讨论处理条件f (a )＝－3，解得a ，然后代入函数解析式计算f (6－a )．由于f (a )＝－3，①若a ≤1，则2a －1－2＝－3，整理得2a －1＝－1. 由于2x >0，所以2a －1＝－1无解； ②若a >1，则－log 2(a ＋1)＝－3， 解得a ＋1＝8，a ＝7， 所以f (6－a )＝f (－1)＝2－1－1－2＝－74.综上所述，f (6－a )＝－74.故选A.]2．(2015·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝ax 3－2x 的图象过点(－1,4)，则a ＝________.－2 [将已知点代入函数解析式即可求得a 的值． ∵f (x )＝ax 3－2x 的图象过点(－1,4)， ∴4＝a ×(－1)3－2×(－1)，解得a ＝－2.]第二节 函数的单调性与最值[考纲传真] 1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义.2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质．1．增函数、减函数函数单调性的常用结论(1)对∀x 1，x 2∈D (x 1≠x 2)，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0⇔f (x )在D 上是增函数，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＜0⇔f (x )在D 上是减函数．(2)对勾函数y ＝x ＋ax (a ＞0)的增区间为(－∞，－a ]和[a ，＋∞)，减区间为[－a ，0)和(0，a ]．(3)在区间D 上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数． (4)函数f (g (x ))的单调性与函数y ＝f (u )和u ＝g (x )的单调性的关系是“同增异减”．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对于函数f (x )，x ∈D ，若对任意x 1，x 2∈D ，x 1≠x 2且(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]>0，则函数f (x )在区间D 上是增函数．( )(2)函数y ＝1x 的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)． ( ) (3)函数y ＝|x |是R 上的增函数．( )(4)函数y ＝x 2－2x 在区间[3，＋∞)上是增函数，则函数y ＝x 2－2x 的单调递增区间为[3，＋∞)．( )[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)×2．(教材改编)如图是函数y ＝f (x )，x ∈[－4,3]上的图象，则下列说法正确的是( )A ．f (x )在[－4，－1]上是减函数，在[－1,3]上是增函数B ．f (x )在区间(－1,3)上的最大值为3，最小值为－2C ．f (x )在[－4,1]上有最小值－2，有最大值3D ．当直线y ＝t 与y ＝f (x )的图象有三个交点时－1＜t ＜2C [由图象知，函数f (x )在[－4,1]上有最小值－2，最大值3，故选C.] 3．(教材改编)已知函数f (x )＝2x －1，x ∈[2,6]，则f (x )的最大值为________，最小值为________．2 25 [可判断函数f (x )＝2x －1在[2,6]上为减函数，所以f (x )ma x ＝f (2)＝2，f (x )min ＝f (6)＝25.]4．函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在R 上是减函数，则k 的取值范围是________． ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12 [由题意知2k ＋1＜0，得k ＜－12.]5．f (x )＝x 2－2x ，x ∈[－2,3]的单调增区间为________，f (x )ma x ＝________. [1,3] 8 [f (x )＝(x －1)2－1，故f (x )的单调增区间为[1,3]，f (x )ma x ＝f (－2)＝8.]【例1】 (1)(2017·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是( )A ．(－∞，－2)B ．(－∞，1)C ．(1，＋∞)D ．(4，＋∞)D [由x 2－2x －8>0，得x >4或x <－2.设t ＝x 2－2x －8，则y ＝ln t 在t ∈(0，＋∞)上为增函数．欲求函数f (x )的单调递增区间，即求函数t ＝x 2－2x －8的单调递增区间． ∵函数t ＝x 2－2x －8的单调递增区间为(4，＋∞)， ∴函数f (x )的单调递增区间为(4，＋∞)． 故选D.](2)试讨论函数f (x )＝x ＋kx (k ＞0)的单调性．[解] 法一：由解析式可知，函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．在(0，＋∞)内任取x 1，x 2，令0＜x 1＜x 2，那么f (x 2)－f (x 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋k x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋k x 1＝(x 2－x 1)＋k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－1x 1＝(x 2－x 1)·x 1x 2－k x 1x 2. 因为0＜x 1＜x 2，所以x 2－x 1＞0，x 1x 2＞0. 故当x 1，x 2∈(k ，＋∞)时，f (x 1)＜f (x 2)， 即函数在(k ，＋∞)上单调递增． 当x 1，x 2∈(0，k )时，f (x 1)＞f (x 2)， 即函数在(0，k )上单调递减．考虑到函数f (x )＝x ＋kx (k ＞0)是奇函数，在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，故在(－∞，－k )上单调递增，在(－k ，0)上单调递减．综上，函数f (x )在(－∞，－k )和(k ，＋∞)上单调递增，在(－k ，0)和(0，k )上单调递减． 法二：f ′(x )＝1－kx2.令f ′(x )＞0得x 2＞k ，即x ∈(－∞，－k )或x ∈(k ，＋∞)，故函数的单调增区间为(－∞，－k )和(k ，＋∞)．令f ′(x )＜0得x 2＜k ，即x ∈(－k ，0)或x ∈(0，k )，故函数的单调减区间为(－k ，0)和(0，k )．故函数f (x )在(－∞，－k )和(k ，＋∞)上单调递增，在(－k ，0)和(0，k )上单调递减．( )A ．(－∞，1]B ．[3，＋∞)C ．(－∞，－1]D ．[1，＋∞) (2)(2019·郑州模拟)函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132x 2－3x ＋1的单调递增区间为( ) A ．(1，＋∞) B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，34 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞ (1)B (2)B [(1)设t ＝x 2－2x －3，由t ≥0，即x 2－2x －3≥0，解得x ≤－1或x ≥3.所以函数的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数t ＝x 2－2x －3的图象的对称轴为x ＝1，所以函数t 在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增． 所以函数f (x )的单调递增区间为[3，＋∞)． (2)令t ＝2x 2－3x ＋1，则t ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342－18.又函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t是减函数，因此函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132x 2－3x ＋1的单调递增区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，34.故选B.] (3)试讨论函数f (x )＝axx －1(a ≠0)在(－1,1)上的单调性．[解] 法一：设－1＜x 1＜x 2＜1， f (x )＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x －1＋1x －1＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x －1， f (x 1)－f (x 2)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 1－1－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2－1＝a (x 2－x 1)(x 1－1)(x 2－1)， 由于－1＜x 1＜x 2＜1，所以x 2－x 1＞0，x 1－1＜0，x 2－1＜0， 故当a ＞0时，f (x 1)－f (x 2)＞0， 即f (x 1)＞f (x 2)，函数f (x )在(－1,1)上递减；当a ＜0时，f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)， 函数f (x )在(－1,1)上递增． 法二：f ′(x )＝a (x －1)－ax (x －1)2＝－a(x －1)2， 所以当a ＞0时，f ′(x )＜0，当a ＜0时，f ′(x )＞0， 即当a ＞0时，f (x )在(－1,1)上为单调减函数， 当a ＜0时，f (x )在(－1,1)上为单调增函数．1．函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－log 2(x ＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________．3 [函数f (x )在区间[－1,1]上是减函数，则f (x )ma x ＝f (－1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1－log 21＝3.]2．函数f (x )＝3x －1x ＋2，x ∈[－5，－3]的值域为________． ⎣⎢⎡⎦⎥⎤163，10 [f (x )＝3x －1x ＋2＝3(x ＋2)－7x ＋2＝3－7x ＋2， 则函数f (x )在区间[－5，－3]上是增函数． 所以f (x )ma x ＝f (－3)＝3－7－3＋2＝10， f (x )min ＝f (－5)＝3－7－5＋2＝163. 因此函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤163，10.]3．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x，x ≥1，－x 2＋2，x ＜1的最大值为________．2 [当x ≥1时，函数f (x )＝1x 为减函数，所以f (x )在x ＝1处取得最大值，为f (1)＝1；当x ＜1时，易知函数f (x )＝－x 2＋2在x ＝0处取得最大值，为f (0)＝2.故函数f (x )的最大值为2.]的形式，再用单调性求解.►考法1 比较函数值的大小【例2】 已知函数f (x )的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2＞x 1＞1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)＜0恒成立，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c ＞a ＞bB ．c ＞b ＞aC ．a ＞c ＞bD ．b ＞a ＞cD [因为f (x )的图象关于直线x ＝1对称．由此可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52.由x 2＞x 1＞1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)＜0恒成立，知f (x )在(1，＋∞)上单调递减．因为1＜2＜52＜3，所以f (2)＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＞f (3)，所以b ＞a ＞c .]►考法2 解函数不等式【例3】 (2019·青岛模拟)已知函数f (x )＝x 3＋sin x ，x ∈(－1,1)，则满足f (a 2－1)＋f (a －1)＞0的a 的取值范围是( )A ．(0,2)B ．(1，2)C ．(1,2)D ．(0，2)B [由题意知f (－x )＝(－x )3＋sin(－x )＝－x 3－sin x ＝－(x 3＋sin x )＝－f (x )，x ∈(－1,1)，∴f (x )在区间(－1,1)上是奇函数． 又f ′(x )＝3x 2＋cos x ＞0， ∴f (x )在区间(－1,1)上单调递增， ∵f (a 2－1)＋f (a －1)＞0， ∴－f (a －1)＜f (a 2－1)， ∴f (1－a )＜f (a 2－1)，∴⎩⎨⎧－1＜1－a ＜1，－1＜a 2－1＜1，1－a ＜a 2－1，解得1＜a ＜2，故选B.]►考法3 求参数的值或取值范围【例4】 (1)若函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，＋∞ C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，0 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，0 (2)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧(a －2)x －1，x ≤1，log a x ，x ＞1，若f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为________．(1)D (2)(2,3] [(1)当a ＝0时，f (x )＝2x －3，在定义域R 上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；当a ≠0时，二次函数f (x )的对称轴为x ＝－1a ， 因为f (x )在(－∞，4)上单调递增， 所以a ＜0，且－1a ≥4，解得－14≤a ＜0. 综上所述，实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，0.(2)要使函数f (x )在R 上单调递增，则有⎩⎨⎧a ＞1，a －2＞0，f (1)≤0，即⎩⎨⎧a ＞1，a ＞2，a －2－1≤0，解得2＜a ≤3，即实数a 的取值范围是(2,3]．](1)若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(0,1]C ．(0,1)D ．(0,1](2)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 3，x ≤0，ln (x ＋1)，x ＞0，若f (2－x 2)＞f (x )，则实数x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C ．(－1,2)D ．(－2,1)(3)已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，当x 1，x 2∈(0，＋∞)，x 1≠x 2时，都有(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]＜0.设a ＝ln 1π，b ＝(ln π)2，c ＝ln π，则( )A ．f (a )＞f (b )＞f (c )B ．f (b )＞f (a )＞f (c )C ．f (c )＞f (a )＞f (b )D ．f (c )＞f (b )＞f (a )(4)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧a x，x ＜0，(a －3)x ＋4a ，x ≥0满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＜0成立，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14 B ．(1,2] C ．(1,3)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 (1)D (2)D (3)C (4)A [(1)因为f (x )＝－x 2＋2ax 在[1,2]上是减函数，所以a ≤1，又因为g (x )＝ax ＋1在[1,2]上是减函数，所以a ＞0，所以0＜a ≤1. (2)因为当x ＝0时，两个表达式对应的函数值都为零，所以函数的图象是一条连续的曲线． 因为当x ≤0时，函数f (x )＝x 3为增函数， 当x ＞0时，f (x )＝ln(x ＋1)也是增函数， 所以函数f (x )是定义在R 上的增函数． 因此，不等式f (2－x 2)＞f (x )等价于2－x 2＞x ， 即x 2＋x －2＜0，解得－2＜x ＜1.(3)由题意可知f (x )在(0，＋∞)上是减函数，且f (a )＝f (|a |)，f (b )＝f (|b |)，f (c )＝f (|c |)，又|a |＝ln π＞1，|b |＝(ln π)2＞|a |，|c |＝12ln π，且0＜12ln π＜|a |，故|b |＞|a |＞|c |＞0，∴f (|c |)＞f (|a |)＞f (|b |)，即f (c )＞f (a )＞f (b )．(4)由题意知，函数f (x )在R 上是减函数，则⎩⎨⎧0＜a ＜1，a －3＜0，a 0≥4a ，解得0＜a ≤14，故选A.]1．(2016·全国卷Ⅱ)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x 的定义域和值域相同的是( )A ．y ＝xB ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y ＝1xD [函数y ＝10lg x 的定义域与值域均为(0，＋∞)． 函数y ＝x 的定义域与值域均为(－∞，＋∞)．函数y ＝lg x 的定义域为(0，＋∞)，值域为(－∞，＋∞)． 函数y ＝2x 的定义域为(－∞，＋∞)，值域为(0，＋∞)． 函数y ＝1x的定义域与值域均为(0，＋∞)．故选D.] 2．(2015·全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2，则使得f (x )>f (2x －1)成立的x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13∪(1，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，13 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞ A [法一：分析f (x )的奇偶性和单调性，然后对所给不等式作出等价转化． ∵f (－x )＝ln(1＋|－x |)－11＋(－x )2＝f (x )，∴函数f (x )为偶函数． ∵当x ≥0时，f (x )＝ln(1＋x )－11＋x 2， 在(0，＋∞)上y ＝ln(1＋x )递增，y ＝－11＋x 2也递增， 根据单调性的性质知，f (x )在(0，＋∞)上单调递增．综上可知：f (x )>f (2x －1)⇔f (|x |)>f (|2x －1|)⇔|x |>|2x －1|⇔x 2>(2x －1)2⇔3x 2－4x ＋1<0⇔13<x <1.故选A.法二：(特殊值排除法)令x ＝0，此时f (x )＝f (0)＝－1<0，f (2x －1) ＝f (－1)＝ln 2－12＝ln 2－ln e>0， ∴x ＝0不满足f (x )>f (2x －1)，故C 错误．令x ＝2，此时f (x )＝f (2)＝ln 3－15，f (2x －1)＝f (3)＝ln 4－110.∵f (2)－f (3)＝ln 3－ln 4－110，其中ln 3<ln 4，∴ln 3－ln 4－110<0，∴f (2)－f (3)<0， 即f (2)<f (3)，∴x ＝2不满足f (x )>f (2x －1)， 故B ，D 错误．故选A.]第三节函数的奇偶性与周期性[考纲传真] 1.了解函数奇偶性的含义.2.会运用基本初等函数的图象分析函数的奇偶性.3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．1．函数的奇偶性(1)周期函数：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．[常用结论]1．函数奇偶性常用结论(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(3)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.2．函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a＞0)．。
