2014届高考数学一轮复习教学案等差数列及其前n项和

第2讲 等差数列及其前n 项和一、知识梳理1．等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差都是同一个常数，那么这个数列就叫作等差数列，称这个常数为等差数列的公差，常用字母d 表示．(2)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b2，其中A 叫做a ，b 的等差中项．2．等差数列的有关公式(1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ． (2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝（a 1＋a n ）n2．3．等差数列的性质已知数列{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和． (1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N +)． (2)若k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N +)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n ． (3)若{a n }的公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d ． (4)若{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列． (5)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…构成等差数列． 常用结论1．等差数列的函数性质(1)通项公式：当公差d ≠0时，等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ＝dn ＋a 1－d 是关于n 的一次函数，且一次项系数为公差d .若公差d >0，则为递增数列，若公差d <0，则为递减数列．(2)前n 项和：当公差d ≠0时，S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n 是关于n 的二次函数且常数项为0.(3)单调性：当d >0时，数列{a n }为递增数列；当d <0时，数列{a n }为递减数列；当d ＝0时，数列{a n }为常数列．2．记住两个常用结论(1)关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质①若项数为2n ，则S 偶－S 奇＝nd ，S 奇S 偶＝a na n ＋1； ②若项数为2n －1，则S 偶＝(n －1)a n ，S 奇＝na n ，S 奇－S 偶＝a n ，S 奇S 偶＝n n －1. (2)两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和S n ，T n 之间的关系为S 2n －1T 2n －1＝a nb n. 二、教材衍化1．已知等差数列－8，－3，2，7，…，则该数列的第100项为________． 解析：依题意得，该数列的首项为－8，公差为5，所以a 100＝－8＋99×5＝487. 答案：4872．在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450，则a 2＋a 8＝________．解析：由等差数列的性质，得a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝5a 5＝450，所以a 5＝90，所以a 2＋a 8＝2a 5＝180.答案：1803．已知等差数列5，427，347，…，则前n 项和S n ＝________．解析：由题知公差d ＝－57，所以S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝114(75n －5n 2)．答案：114(75n －5n 2)4．设数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若a 6＝2且S 5＝30，则S 8＝________．解析：由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋5d ＝2，5a 1＋10d ＝30，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝263，d ＝－43，所以S 8＝8a 1＋8×72d ＝32.答案：32 一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N +，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.( ) (2)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的．( )(3)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝pn ＋q (其中p ，q 为常数)，则数列{a n }一定是等差数列．( )(4)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数．( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)× 二、易错纠偏常见误区|Ｋ(1)忽视等差数列中项为0的情况； (2)考虑不全而忽视相邻项的符号； (3)等差数列各项的符号判断不正确．1．已知等差数列{a n }中，|a 3|＝|a 9|，公差d <0，则使数列{a n }的前n 项和S n 取最大值的正整数n 的值是________．解析：由|a 3|＝|a 9|，d <0，得a 3＝－a 9， 即a 3＋a 9＝0，所以a 6＝a 3＋a 92＝0.所以a 5>0，a 6＝0，a 7<0.所以当n ＝5或6时，S n 取最大值． 答案：5或62．首项为30的等差数列{a n }，从第8项开始为负数，则公差d 的取值范围是________． 解析：由题意知a 1＝30，a 8<0，a 7≥0.即⎩⎪⎨⎪⎧30＋7d <0，30＋6d ≥0，解得－5≤d <－307.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－5，－3073．设数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －10(n ∈N +)，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝________． 解析：由a n ＝2n －10(n ∈N +)知{a n }是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由a n ＝2n －10≥0得n ≥5，所以n ≤5时，a n ≤0，当n >5时，a n >0，所以|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝－(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋(a 5＋a 6＋…＋a 15)＝20＋110＝130.答案：130等差数列基本量的计算(师生共研)(1)(一题多解)已知等差数列{a n }中，a 1＋a 4＝76，a 3＋a 6＝56，则公差d ＝( )A.16 B ．112 C ．－16D ．－112(2)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝( )A ．－12B ．－10C ．10D ．12(3)(2019·高考全国卷Ⅲ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1≠0，a 2＝3a 1，则S 10S 5＝________．【解析】 (1)通解：由⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 4＝76，a 3＋a 6＝56，得⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋3d ＝76，2a 1＋7d ＝56，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1724，d ＝－112，故选D.优解：由等差数列的性质知，a 3＋a 6＝(a 1＋2d )＋(a 4＋2d )＝(a 1＋a 4)＋4d ＝56，又a 1＋a 4＝76，所以d ＝－112.故选D.(2)设等差数列{a n }的公差为d ，因为3S 3＝S 2＋S 4，所以3(3a 1＋3×22d )＝2a 1＋d ＋4a 1＋4×32d ，解得d ＝－32a 1，因为a 1＝2，所以d ＝－3，所以a 5＝a 1＋4d ＝2＋4×(－3)＝－10.故选B.(3)设等差数列{a n }的公差为d ，由a 2＝3a 1，即a 1＋d ＝3a 1，得d ＝2a 1， 所以S 10S 5＝10a 1＋10×92d 5a 1＋5×42d ＝10a 1＋10×92×2a 15a 1＋5×42×2a 1＝10025＝4.【答案】 (1)D (2)B (3)4等差数列运算问题的通性通法(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a 1和公差d ，然后由通项公式或前n 项和公式转化为方程(组)求解．(2)等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．1．在公差不为0的等差数列{a n }中，4a 3＋a 11－3a 5＝10，则15a 4＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．2解析：选C.法一：设{a n }的公差为d (d ≠0)，由4a 3＋a 11－3a 5＝10，得4(a 1＋2d )＋(a 1＋10d )－3(a 1＋4d )＝10，即2a 1＋6d ＝10，即a 1＋3d ＝5，故a 4＝5，所以15a 4＝1，故选C.法二：设{a n }的公差为d (d ≠0)，因为a n ＝a m ＋(n －m )d ，所以由4a 3＋a 11－3a 5＝10，得4(a 4－d )＋(a 4＋7d )－3(a 4＋d )＝10，整理得a 4＝5，所以15a 4＝1，故选C.法三：由等差数列的性质，得2a 7＋3a 3－3a 5＝10，得4a 5＋a 3－3a 5＝10，即a 5＋a 3＝10，则2a 4＝10，即a 4＝5，所以15a 4＝1，故选C.2．设数列{a n }是等差数列，且a 2＝－6，a 6＝6，S n 是数列{a n }的前n 项和，则( ) A ．S 4<S 3 B ．S 4＝S 3 C ．S 4>S 1D ．S 4＝S 1解析：选B.设{a n }的公差为d ，由a 2＝－6，a 6＝6，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝－6，a 1＋5d ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－9，d ＝3.于是S 1＝－9，S 3＝3×(－9)＋3×22×3＝－18，S 4＝4×(－9)＋4×32×3＝－18，所以S 4＝S 3，S 4<S 1，故选B.等差数列的判定与证明(师生共研)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2n－1.数列{b n }满足b 1＝2，b n ＋1－2b n ＝8a n . (1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n 2n 为等差数列，并求{b n }的通项公式．【解】 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝21－1＝1； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n－1)－(2n －1－1)＝2n －1.因为a 1＝1适合通项公式a n ＝2n －1，所以a n ＝2n －1.(2)证明：因为b n ＋1－2b n ＝8a n ， 所以b n ＋1－2b n ＝2n ＋2，即b n ＋12n ＋1－b n 2n ＝2. 又b 121＝1， 所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n 2n 是首项为1，公差为2的等差数列．所以b n2n ＝1＋2(n －1)＝2n －1.所以b n ＝(2n －1)×2n.等差数列的四个判定方法(1)定义法：证明对任意正整数n 都有a n ＋1－a n 等于同一个常数．(2)等差中项法：证明对任意正整数n 都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2后，可递推得出a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ＝a n －a n －1＝a n －1－a n －2＝…＝a 2－a 1，根据定义得出数列{a n }为等差数列．(3)通项公式法：得出a n ＝pn ＋q 后，得a n ＋1－a n ＝p 对任意正整数n 恒成立，根据定义判定数列{a n }为等差数列．(4)前n 项和公式法：得出S n ＝An 2＋Bn 后，根据S n ，a n 的关系，得出a n ，再使用定义法证明数列{a n }为等差数列．1．若数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ≠0，且满足a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12.(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 成等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)证明：当n ≥2时，由a n ＋2S n S n －1＝0， 得S n －S n －1＝－2S n S n －1，所以1S n －1S n －1＝2，又1S 1＝1a 1＝2，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为2，公差为2的等差数列． (2)由(1)可得1S n ＝2n ，所以S n ＝12n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －12（n －1）＝n －1－n 2n （n －1）＝－12n （n －1）.当n ＝1时，a 1＝12不适合上式．故a n＝⎩⎪⎨⎪⎧12，n ＝1，－12n （n －1），n ≥2.2．已知数列{a n }的前n项和为S n，a1＝1，a n≠0，a n a n＋1＝λS n－1，其中λ为常数．(1)证明：a n＋2－a n＝λ；(2)是否存在λ，使得{a n }为等差数列？并说明理由．解：(1)证明：由题设知a n a n＋1＝λS n－1，a n＋1a n＋2＝λS n＋1－1，两式相减得a n＋1(a n＋2－a n)＝λa n＋1，由于a n＋1≠0，所以a n＋2－a n＝λ.(2)由题设知a1＝1，a1a2＝λS1－1，可得a2＝λ－1.由(1)知，a3＝λ＋1.令2a2＝a1＋a3，解得λ＝4.故a n＋2－a n＝4，由此可得{a2n－1}是首项为1，公差为4的等差数列，a2n－1＝4n－3；{a2n}是首项为3，公差为4的等差数列，a2n＝4n－1.所以a n＝2n－1，a n＋1－a n＝2，因此存在λ＝4，使得数列{a n}为等差数列．等差数列性质的应用(多维探究)角度一等差数列项的性质的应用(1)等差数列{a n}中，a1＋3a8＋a15＝120，则2a9－a10的值是( )A．20 B．22C．24 D．－8(2)一个等差数列的前12项的和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27，则该数列的公差d为________．【解析】(1)因为a1＋3a8＋a15＝5a8＝120，所以a8＝24，所以2a9－a10＝a10＋a8－a10＝a8＝24.(2)设等差数列的前12项中奇数项的和为S奇，偶数项的和为S偶，等差数列的公差为d.由已知条件，得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＋S 偶＝354，S 偶∶S 奇＝32∶27，解得⎩⎪⎨⎪⎧S 偶＝192，S 奇＝162.又S 偶－S 奇＝6d ，所以d ＝192－1626＝5.【答案】 (1)C (2)5角度二 等差数列前n 项和性质的应用(1)在等差数列{a n }中，a 1＝－2 018，其前n 项和为S n ，若S 1212－S 1010＝2，则S 2 018的值等于( )A ．－2 018B ．－2 016C ．－2 019D ．－2 017(2)已知等差数列{a n }的前10项和为30，它的前30项和为210，则前20项和为( ) A ．100 B ．120 C ．390D ．540【解析】 (1)由题意知，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 为等差数列，其公差为1，所以S 2 0182 018＝S 11＋(2 018－1)×1＝－2 018＋2 017＝－1.所以S 2 018＝－2 018.(2)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，则S 10，S 20－S 10，S 30－S 20成等差数列， 所以2(S 20－S 10)＝S 10＋(S 30－S 20)，又等差数列{a n }的前10项和为30，前30项和为210， 所以2(S 20－30)＝30＋(210－S 20)，解得S 20＝100. 【答案】 (1)A (2)A等差数列的性质(1)项的性质：在等差数列{a n }中，a m －a n ＝(m －n )d ⇔a m －a nm －n＝d (m ≠n )，其几何意义是点(n ，a n )，(m ，a m )所在直线的斜率等于等差数列的公差．(2)和的性质：在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，则 ①S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)； ②S 2n －1＝(2n －1)a n ；③⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是首项为a 1，公差为d2的等差数列．1．(一题多解)(2020·惠州模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＋a 3＋a 4＝15，a 7＝13，则S 5＝( )A ．28B ．25C ．20D ．18解析：选B.通解：设等差数列{a n }的公差为d ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＋a 1＋2d ＋a 1＋3d ＝15，a 1＋6d ＝13，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2，所以S 5＝5a 1＋5×42d ＝5×1＋5×42×2＝25，故选B.优解：由{a n }是等差数列，可得a 2＋a 4＝2a 3，所以a 3＝5，所以S 5＝5（a 1＋a 5）2＝5×2a 32＝25，故选B.2．等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，若S n T n ＝3n －22n ＋1，则a 7b 7等于( )A.3727B ．3828 C.3929D ．4030解析：选A.a 7b 7＝2a 72b 7＝a 1＋a 13b 1＋b 13＝132（a 1＋a 13）132（b 1＋b 13）＝S 13T 13＝3×13－22×13＋1＝3727.等差数列前n 项和的最值问题(典例迁移)(一题多解)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝13，S 3＝S 11，当S n 最大时，n的值是( )A ．5B ．6C ．7D ．8【解析】 法一：由S 3＝S 11，得a 4＋a 5＋…＋a 11＝0，根据等差数列的性质，可得a 7＋a 8＝0.根据首项等于13可推知这个数列递减，从而得到a 7>0，a 8<0，故n ＝7时S n 最大．法二：由S 3＝S 11，可得3a 1＋3d ＝11a 1＋55d ，把a 1＝13代入，得d ＝－2，故S n ＝13n －n (n －1)＝－n 2＋14n .根据二次函数的性质，知当n ＝7时S n 最大．法三：根据a 1＝13，S 3＝S 11，知这个数列的公差不等于零，且这个数列的和是先递增后递减．根据公差不为零的等差数列的前n 项和是关于n 的二次函数，以及二次函数图象的对称性，可得只有当n ＝3＋112＝7时，S n 取得最大值．【答案】 C【迁移探究】 (变条件)将本例中“a 1＝13，S 3＝S 11”改为“a 1＝20，S 10＝S 15”，则n 为何值？解：因为a 1＝20，S 10＝S 15，所以10×20＋10×92d ＝15×20＋15×142d ，所以d ＝－53.法一：由a n ＝20＋(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝－53n ＋653，得a 13＝0.即当n ≤12时，a n >0， 当n ≥14时，a n <0.所以当n ＝12或n ＝13时，S n 取得最大值． 法二：S n ＝20n ＋n （n －1）2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝－56n 2＋1256n＝－56⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2522＋3 12524.因为n ∈N +，所以当n ＝12或n ＝13时，S n 有最大值． 法三：由S 10＝S 15，得a 11＋a 12＋a 13＋a 14＋a 15＝0. 所以5a 13＝0，即a 13＝0.所以当n ＝12或n ＝13时，S n 有最大值．求等差数列前n 项和S n 及最值的2种方法(1)函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn ，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．(2)邻项变号法①当a 1>0，d <0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值为S m ；②当a 1<0，d >0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≤0，a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值为S m .1．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1>0且a 6a 5＝911，则当S n 取最大值时，n 的值为( ) A ．9 B ．10 C ．11D ．12解析：选B.由a 6a 5＝911，得S 11＝S 9，即a 10＋a 11＝0，根据首项a 1>0可推知这个数列递减，从而a 10>0，a 11<0，故n ＝10时，S n 最大．2．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 15>0，S 16<0，则S n 的最大值是( ) A ．S 1 B ．S 7 C ．S 8D ．S 15解析：选C.由等差数列的前n 项和公式可得S 15＝15a 8>0，S 16＝8(a 8＋a 9)<0，所以a 8>0，a 9<0，则d ＝a 9－a 8<0，所以在数列{a n }中，当n <9时，a n >0，当n ≥9时，a n <0，所以当n ＝8时，S n 最大，故选C.[基础题组练]1．(一题多解)(2019·高考全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知S 4＝0，a 5＝5，则( )A ．a n ＝2n －5B ．a n ＝3n －10C ．S n ＝2n 2－8nD ．S n ＝12n 2－2n解析：选A.法一：设等差数列{a n }的公差为d ，因为⎩⎪⎨⎪⎧S 4＝0，a 5＝5，所以⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋4×32d ＝0，a 1＋4d ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－3，d ＝2，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－3＋2(n －1)＝2n －5，S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝n 2－4n .故选A.法二：设等差数列{a n }的公差为d ，因为⎩⎪⎨⎪⎧S 4＝0，a 5＝5，所以⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋4×32d ＝0，a 1＋4d ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－3，d ＝2.选项A ，a 1＝2×1－5＝－3；选项B ，a 1＝3×1－10＝－7，排除B ； 选项C ，S 1＝2－8＝－6，排除C ；选项D ，S 1＝12－2＝－32，排除D.故选A.2．(一题多解)(2020·沈阳质量监测)在等差数列{a n }中，若S n 为前n 项和，2a 7＝a 8＋5，则S 11的值是( )A ．55B ．11C ．50D ．60解析：选A.通解：设等差数列{a n }的公差为d ，由题意可得2(a 1＋6d )＝a 1＋7d ＋5，得a 1＋5d ＝5，则S 11＝11a 1＋11×102d ＝11(a 1＋5d )＝11×5＝55，故选A. 优解：设等差数列{a n }的公差为d ，由2a 7＝a 8＋5，得2(a 6＋d )＝a 6＋2d ＋5，得a 6＝5，所以S 11＝11a 6＝55，故选A.3．(一题多解)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选C.法一：等差数列{a n }中，S 6＝（a 1＋a 6）×62＝48，则a 1＋a 6＝16＝a 2＋a 5，又a 4＋a 5＝24，所以a 4－a 2＝2d ＝24－16＝8，得d ＝4，故选C.法二：由已知条件和等差数列的通项公式与前n 项和公式可列方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋7d ＝24，6a 1＋6×52d ＝48， 即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋7d ＝24，2a 1＋5d ＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，d ＝4，故选C. 4．(2020·焦作市统一模拟考试)《九章算术》是我国古代第一部数学专著，全书收集了246个问题及其解法，其中一个问题为“现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面四节容积之和为3升，下面三节的容积之和为4升，求中间两节的容积各为多少？”该问题中的第2节，第3节，第8节竹子的容积之和为( )A.176升 B ．72升 C.11366升 D ．10933升解析：选 A.自上而下依次设各节竹子的容积分别为a 1，a 2，…，a 9，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3a 7＋a 8＋a 9＝4，因为a 2＋a 3＝a 1＋a 4，a 7＋a 9＝2a 8，故a 2＋a 3＋a 8＝32＋43＝176.选A.5．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a m ＝4，S m ＝0，S m ＋2＝14(m ≥2，且m ∈N +)，则a 2 017的值为( )A ．2 018B ．4 028C ．5 037D ．3 019解析：选B.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a m＝a 1＋（m －1）d ＝4，S m ＝ma 1＋m （m －1）2d ＝0，S m ＋2－S m ＝a m ＋1＋a m ＋2＝2a 1＋（m ＋m ＋1）d ＝14，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－4，m ＝5，d ＝2，所以a n ＝－4＋(n －1)×2＝2n －6，所以a 2 017＝2×2 017－6＝4 028.故选B.6．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6＝2a 3，则S 11S 5＝________． 解析：S 11S 5＝112（a 1＋a 11）52（a 1＋a 5）＝11a 65a 3＝225.答案：2257．在等差数列{a n }中，公差d ＝12，前100项的和S 100＝45，则a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝________．解析：因为S 100＝1002(a 1＋a 100)＝45，所以a 1＋a 100＝910，a 1＋a 99＝a 1＋a 100－d ＝25，则a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝502(a 1＋a 99)＝502×25＝10.答案：108．在单调递增的等差数列{a n }中，若a 3＝1，a 2a 4＝34，则a 1＝________．解析：由题知，a 2＋a 4＝2a 3＝2，又因为a 2a 4＝34，数列{a n }递增，所以a 2＝12，a 4＝32.所以公差d ＝a 4－a 22＝12.所以a 1＝a 2－d ＝0. 答案：09．已知等差数列{a n }的前三项的和为－9，前三项的积为－15. (1)求等差数列{a n }的通项公式；(2)若{a n }为递增数列，求数列{|a n |}的前n 项和S n .解：(1)设公差为d ，则依题意得a 2＝－3，则a 1＝－3－d ，a 3＝－3＋d ， 所以(－3－d )(－3)(－3＋d )＝－15，得d 2＝4，d ＝±2， 所以a n ＝－2n ＋1或a n ＝2n －7.(2)由题意得a n ＝2n －7，所以|a n |＝⎩⎪⎨⎪⎧7－2n ，n ≤32n －7，n ≥4，①n ≤3时，S n ＝－(a 1＋a 2＋…＋a n )＝5＋（7－2n ）2n ＝6n －n 2；②n ≥4时，S n ＝－a 1－a 2－a 3＋a 4＋…＋a n ＝－2(a 1＋a 2＋a 3)＋(a 1＋a 2＋…＋a n )＝18－6n ＋n 2.综上，数列{|a n |}的前n 项和S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－n 2＋6n ，n ≤3n 2－6n ＋18，n ≥4.10．已知等差数列{a n }的公差d >0.设{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S 2·S 3＝36. (1)求d 及S n ；(2)求m ，k (m ，k ∈N +)的值，使得a m ＋a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a m ＋k ＝65. 解：(1)由题意知(2a 1＋d )(3a 1＋3d )＝36， 将a 1＝1代入上式解得d ＝2或d ＝－5. 因为d >0，所以d ＝2.从而a n ＝2n －1，S n ＝n 2(n ∈N +)．(2)由(1)得a m ＋a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a m ＋k ＝(2m ＋k －1)(k ＋1)，所以(2m ＋k －1)(k ＋1)＝65. 由m ，k ∈N *知2m ＋k －1≥k ＋1>1，故⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋k －1＝13，k ＋1＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝5，k ＝4.即所求m 的值为5，k 的值为4.[综合题组练]1．等差数列{a n }中，a na 2n是一个与n 无关的常数，则该常数的可能值的集合为( )A ．{1}B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，12C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫12 D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，12，1解析：选B.a n a 2n ＝a 1＋（n －1）d a 1＋（2n －1）d ＝a 1－d ＋nd a 1－d ＋2nd ，若a 1＝d ，则a n a 2n ＝12；若a 1≠0，d ＝0，则a n a 2n ＝1.因为a 1＝d ≠0，所以a na 2n ≠0，所以该常数的可能值的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，12.2．(2020·晋冀鲁豫名校期末联考)我国南北朝时期的著作《张邱建算经》有这样一个问题：今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下四人后入，得金三斤，持出，中间三人未到者，亦依等次更给，问各得金几何？则据你对数学史的研究与数学问题的理解可知，两人所得金相差数额绝对值的最小值是( )A.113斤 B ．739斤 C.778斤 D ．111斤 解析：选C.设第n 个人得金a n 斤，由题意可知{a n }是等差数列，设公差为d ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＝3a 1＋3d ＝4，a 7＋a 8＋a 9＋a 10＝4a 1＋30d ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3726，d ＝－778，则两个人所得金相差数额绝对值的最小值是778斤．故选C.3．若数列{a n }是正项数列，且a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 2＋n ，则a 1＋a 22＋…＋a nn ＝________．解析：当n ＝1时，a 1＝2⇒a 1＝4，又a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 2＋n ①，所以当n ≥2时，a 1＋a 2＋…＋a n －1＝(n －1)2＋(n －1)＝n 2－n ②，①－②得a n ＝2n ，即a n ＝4n 2，所以a n n ＝4n 2n ＝4n ，所以a 1＋a 22＋…＋a n n ＝（4＋4n ）n 2＝2n 2＋2n .答案：2n 2＋2n4．若{a n }是等差数列，首项a 1>0，a 2 016＋a 2 017>0，a 2 016·a 2 017<0，则使前n 项和S n >0成立的最大正整数n ＝________．解析：因为a 1>0，a 2 016＋a 2 017>0，a 2 016·a 2 017<0，所以d <0，a 2 016>0，a 2 017<0，所以S 4 032＝4 032（a 1＋a 4 032）2＝4 032（a 2 016＋a 2 017）2>0，S 4 033＝4 033（a 1＋a 4 033）2＝4 033a 2 017<0，所以使前n 项和S n >0成立的最大正整数n 是4 032.答案：4 0325．(2020·湖北仙桃、天门、潜江模拟)已知数列{a n }满足a 1＝2，(n ＋2)a n ＝(n ＋1)a n＋1－2(n 2＋3n ＋2)，设b n ＝a nn ＋1.(1)求b 1，b 2，b 3；(2)判断数列{b n }是否为等差数列，并说明理由； (3)求{a n }的通项公式．解：(1)因为数列{a n }满足(n ＋2)a n ＝(n ＋1)a n ＋1－2(n 2＋3n ＋2)，所以将n ＝1代入得3a 1＝2a 2－12.又a 1＝2，所以a 2＝9.将n ＝2代入得4a 2＝3a 3－24，所以a 3＝20.从而b 1＝1，b 2＝3，b 3＝5.(2)数列{b n }是以1为首项，2为公差的等差数列．理由如下：将(n ＋2)a n ＝(n ＋1)a n ＋1－2(n 2＋3n ＋2)两边同时除以(n ＋1)(n ＋2)可得（n ＋2）a n （n ＋1）（n ＋2）＝（n ＋1）a n ＋1－2（n 2＋3n ＋2）（n ＋1）（n ＋2），化简可得a n ＋1n ＋2－a nn ＋1＝2，即b n ＋1－b n ＝2， 所以数列{b n }是以1为首项， 2为公差的等差数列．(3)由(2)可得b n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，所以a n ＝(n ＋1)b n ＝(n ＋1)·(2n －1)＝2n 2＋n －1.6．(2020·安徽蚌阜模拟)在数列{a n }，{b n }中，设S n 是数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2，3b 1＋5b 2＋…＋(2n ＋1)b n ＝2n·a n ＋1，n ∈N *.(1)求a n 和S n ；(2)当n ≥k 时，b n ≥8S n 恒成立，求整数k 的最小值．解：(1)因为a n ＋1＝a n ＋2，所以a n ＋1－a n ＝2，所以{a n }是等差数列． 又a 1＝1，所以a n ＝2n －1， 从而S n ＝n （1＋2n －1）2＝n 2.(2)因为a n＝2n－1，所以3b1＋5b2＋7b3＋…＋(2n＋1)b n＝2n·(2n－1)＋1，①当n≥2时，3b1＋5b2＋7b3＋…＋(2n－1)b n－1＝2n－1·(2n－3)＋1.②①－②可得(2n＋1)b n＝2n－1·(2n＋1)(n≥2)，即b n＝2n－1.而b1＝1也满足上式，故b n＝2n－1.令b n≥8S n，则2n－1≥8n2，即2n－4≥n2.又210－4<102，211－4>112，结合指数函数增长的性质，可知整数k的最小值是11.。

等差数列求和方法【考点1】等差数列的前n 项和公式 （1）等差数列的前n 项和公式：2)(1n n a a n S +=，或d n n na S n 2)1(1-+=，此式还可变形为n da n d S n )2(212-+=．（2）倒序相加法:将一个数列倒过来排列,当它与原数列相加时,若有规律可循,并且容易求和,则这样的数列求和时可用倒序相加法（等差数列前n 项公式的推导所用方法）．例1在等差数列{a n }中，（1）已知S 12＝84，S 20＝460，求S 28； （2）已知a 6＝10，S 5＝5，求a 8和S 8．【点拨】利用等差数列前n 项和公式的变形形式n da n d S n )2(212-+=待定系数法求解． 【解析】（1）不妨设S n ＝An 2＋Bn ，∴⎩⎨⎧-==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+172460202084121222B A B A B A ∴S n ＝2n 2－17n∴S 28＝2×282－17×28＝1092．（2）∵S 6＝S 5＋a 6＝5＋10＝15，又S 6＝2)10(62)(6161+=+a a a ∴15＝2)10(61+a 即a 1＝－5而d ＝31616=--a a ∴a 8＝a 6＋2 d ＝16S 8＝442)(881=+a a ．【答案】（1）1092；（2）44．【小结】本题考查等差数列前n 项和公式．例2设等差数列{}n a 的第10项为23，第25项为22-，求：（1）数列{}n a 的通项公式； （2）数列{}n a 前50项的绝对值之和．【点拨】通过通项公式找到数列{}n a 中的正．负分界项，利用等差数列前n 项和公式求解． 【解析】（1）由已知可知22,232510-==a a ，d a a 151025=-d 152322=--∴，解得3-=d ．509101=-=d a a 533+-=∴n a n ．（2）此数列的前17项均为正数，从第18项开始均为负数．前50项的绝对值之和()()()20591175442225017175017501918173211321=--⨯=-=--=+++-++++=+++++=-S S S S S a a a a a a a a a a a a S n n ΛΛΛ．【答案】（1）353n a n =-+；（2）2059． 【小结】本题考查等差数列前n 项和公式练习1：已知数列{}n a 的通项公式112+-=n a n ，如果)(N n a b n n ∈=，求数列{}n b 的前n 项和． 【解题过程】【解析】112,5211,6n n n n b a n n -≤⎧==⎨-≥⎩，当5n ≤时，2(9112)102n n S n n n =+-=-当6n ≥时，255525(1211)10502n n n S S S n n n --=+=++-=-+ ∴⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤+-=)6(,5010)5(,1022n n n n n n S n ．【考点2】等差数列前n 项和的最值 （1）在等差数列{a n }中当a 1>0，d <0时，S n 有最________值，使S n 取到最值的n 可由不等式组__________确定； 当a 1<0，d >0时，S n 有最________值，使S n 取到最值的n 可由不等式组__________确定． （2）因为S n ＝d2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ，若d ≠0，则从二次函数的角度看：当d >0时，S n 有最______值；当d <0时，S n 有最______值；且n 取最接近对称轴的自然数时，S n 取到最值． 一个有用的结论：若S n ＝an 2＋bn ，则数列{a n }是等差数列．反之亦然．例3设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3＝12，且S 12>0，S 13<0．（1）求公差d 的范围；（2）问前几项的和最大，并说明理由．【点拨】找到数列{}n a 中的正．负分界项是解题关键．【解析】（1）根据题意，有：⎩⎪⎨⎪⎧12a 1＋12×112d >0，13a 1＋13×122d <0，a 1＋2d ＝12，整理得：⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋11d >0，a 1＋6d <0，a 1＋2d ＝12.解之得：－247<d <－3．（2）∵d <0，∴a 1>a 2>a 3>…>a 12>a 13>…，而S 13＝13a 1＋a 132＝13a 7<0，∴a 7<0．又S 12＝12a 1＋a 122＝6（a 1＋a 12）＝6（a 6＋a 7）>0，∴a 6>0．∴数列{a n }的前6项和S 6最大．【答案】（1）－247<d <－3；（2）数列{a n }的前6项和S 6最大．【小结】本题考查等差数列的最值．练习1：设{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和，且S 5<S 6，S 6＝S 7>S 8，则下列结论正确的是________（只填序号）．①d <0；②a 7＝0；③S 9>S 5；④S 6与S 7均为S n 的最大值 【解题过程】【解析】由S 5<S 6，得a 6＝S 6－S 5>0．又S 6＝S 7⇒a 7＝0，所以d <0．故①②正确．由S 7>S 8⇒a 8<0，因此，S 9－S 5＝a 6＋a 7＋a 8＋a 9＝2（a 7＋a 8）<0即S 9<S 5故③错误，④正确．【考点3】等差数列前n 项和的性质（1）数列{}{}{}212n n n a a ka b -+，，仍为等差数列，232n n n n n S S S S S --，，……仍为等差数列；（2）若n 为偶数，则2nS S d -=偶 奇；若n 为奇数，则S S a -=偶 奇中（中间项）；例4一个等差数列的前10项之和为100，前100项之和为10，则前110项之和是________．【点拨】利用232n n n n n S S S S S --，，……成等差数列求解．【解析】数列S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，…，S 100－S 90，S 110－S 100 成等差数列，设其公差为D ．前10项的和10S 10＋10×92·D ＝S 100＝10，解得D ＝－22，∴S 110－S 100＝S 10＋（11－1）D＝100＋10×（－22）＝－120．∴S 110＝－120＋S 100＝－110． 【答案】－110．【小结】本题考查等差数列前n 项和的性质．练习1：等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若363,7,S S ==则9S 等于 ． 【解答过程】【解析】由{}n a 是等差数列知36396,,S S S S S --成等差数列，即()92437S ⨯=+-，解得912S =．例5已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为________． 【点拨】根据S 偶－S 奇＝n2d 求解．【解析】当项数n 为偶数时，由S 偶－S 奇＝n2d 知30－15＝5d ，∴d ＝3．【答案】3【小结】本题考查等差数列的前n 项和公式．当项数n 为偶数时，由S 偶－S 奇＝n2d ；含21n +项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为1=S n S n+奇偶，之差为1=n S S a +-奇偶． 练习1：等差数列}{n a 共有21n +项，其中奇数项之和为319，偶数项之和为290，则其中间项为_________． 【解题过程】【解析】设数列公差为d ，首项为1a ，奇数项共1n +项：令其和为1319n S +=；偶数项共n 项：令其和为290n T =．有()()()12121432212131929029n n n n n n S T a a a a a a a a nd ++-+-=--+-++-=-=-=⎡⎤⎣⎦L ，有211129n n a nd a nd a ++-=+==．基础练习1．（2014·福建卷） 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6等于___________． 2．已知数列{a n }中，a 1＝－60，a n ＋1＝a n ＋3，则|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 30|等于____________．3．在等差数列{}n a 中，10120S =，则29a a +=____________．4．等差数列{}n a 中，39a a =，公差0d <，则使前n 项和n S 取得最大值的自然数n 是____． 5．若数列{}n a 是等差数列，首项10a >，200320040a a +>,200320040a a ⋅<，则使前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是________．6．（2014·北京卷） 若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝________时，{a n }的前n 项和最大．7．若{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，若a 1>0，d<0，S 4＝S 8，则S n >0成立的最大自然数n 为________．8．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若361,3S S =，则612SS 等于____________． 9．已知等差数列}{n a 的前n 项和是n S ，若1>m ，且0211=-++-m m m a a a ，3812=-m S ,则=m ___．10．一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项与奇数项和之比为32∶27，则这个等差数列的公差是____________．11．已知公差大于零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：34117a a ⋅=，2522a a += （1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）若数列{}n b 是等差数列，且nn S b n c=+，求非零常数c ． 12．（2014·全国卷） 等差数列{a n }的前n 项和为S n ．已知a 1＝10，a 2为整数，且S n ≤S 4． （1）求{a n }的通项公式； （2）设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n ．13．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，2(1)n n S na n n =--． （1）求2a ,3a ,4a ,并求出数列{}n a 的通项公式；（2）设数列11{}n n a a +⋅的前n 项和为n T ，求证：41<n T ．参考答案1．【解析】 设等差数列{a n }的公差为d ，由等差数列的前n 项和公式，得S 3＝3×2＋3×22d＝12，解得d ＝2，则a 6＝a 1＋（6－1）d ＝2＋5×2＝12．2．【解析】∵a n ＋1＝a n ＋3，∴a n ＋1－a n ＝3为常数，故{a n }为等差数列． ∴a n ＝－60＋（n －1）×3，即a n ＝3n －63 ∴a n ＝0时，n ＝21；a n >0时，n>21；a n <0时，n<21 ∴S 30′＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 30|＝－a 1－a 2－a 3－…－a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 30 ＝－2（a 1＋a 2＋…＋a 21）＋S 30 ＝－2S 21＋S 30 ＝765．3．【解析】本题考查等差数列的前n 项和公式及等差数列的质.()11010102a a S +=.()295120a a =+=2924.a a ∴+=4．【解析】本题考查等差数列的性质.39,a a =-由题意可知即390a a +=所以63920a a a =+=，又因为公差0d <，所以70a <，n S 取得最大值的自然数n 是5或6.【答案】5或65．【解析】本题考查等差数列的性质及前n 项和公式.由200320040a a +>，200320040a a ⋅<得200320040,0a a ><()1400620032004400640064600()=022a a a a S ++=>140072004200440074007()4007()022a a a a S ++==<，所以前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是4006. 【答案】40066．【解析】∵a 7＋a 8＋a 9＝3a 8>0，a 7＋a 10＝a 8＋a 9<0，∴a 8>0，a 9<0，∴n＝8时，数列{a n }的前n 项和最大．7．【解析】S 4＝S 8⇒a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝0⇒a 6＋a 7＝0， 又a 1>0，d<0，S 12＝a 1＋a 12·122＝0，故n<12时，S n >0．即S n >0成立的最大自然数n 为11．8．【解析】本题考查等差数列的性质232,,,n n n n n S S S S S --L 成等差数列. 由36396129,,,S S S S S S S ---成等差数列得设36,3S x S x ==，则9636S S x x =+=， 129410S S x x =+=，612310S S =. 9．【解析】10． 10．【解析】 S 偶＝a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12；S 奇＝a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9＋a 11．则⎩⎪⎨⎪⎧ S 奇＋S 偶＝354S 偶÷S 奇＝32∶27，∴S 奇＝162，S 偶＝192，∴S 偶－S 奇＝6d ＝30，d ＝5．11．【解析】本题考查等差数列的概念及其性质. 由公差大于零的等差数列{}n a ,m n p q m n p q a a a a +=++=+,解得34,a a 的值，从而求得通项公式；{}n b 是等差数列， 只需计算前三项的的值就可以求得c 的值.【答案】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，且0d >.342522a a a a +=+=Q ，又34117a a ⋅=，34,a a ∴是方程2221170x x -+=的两个根． 又公差0d >,34a a ∴<，349,13a a ∴==.1129313a d a d +=⎧⎨+=⎩,114a d =⎧∴⎨=⎩, 43n a n ∴=-.()2由()1知，()211422n n n S n n n -=⨯+⨯=-， 22n n S n n b n c n c -∴==++ 1231615,,123b b b c c c∴===+++ {}n b Q 是等差数列，2132b b b ∴=+，2120,2c c c ∴+=∴=-(0c =舍去)．12．【解析】（1）由a 1＝10，a 2为整数知，等差数列{a n }的公差d 为整数． 又S n ≤S 4，故a 4≥0，a 5≤0，于是10＋3d ≥0，10＋4d ≤0，解得－103≤d ≤－52， 因此d ＝－3．故数列{a n }的通项公式为a n ＝13－3n ．（2）b n ＝1（13－3n ）（10－3n ）＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫110－3n －113－3n ．于是T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫17－110＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14－17＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫110－3n －113－3n ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫110－3n －110＝n 10（10－3n ）． 13．【解析】（Ⅰ）由)1(2--=n n na S n n 得n na a n S S a n n n n n 4)1(111--+=-=+++ .41=-∴+n n a a 所以，数列}{n a 是以1为首项，4为公差的等差数列34-=∴n a n ，13,9,5432===a a a （Ⅱ）)14)(34(1139195151111113221+-++⨯+⨯+⨯=+++=+n n a a a a a a T n n n ΛΛΘ 41)1411(41]141341131919151511[41<+-=+-+++-+-+-=n n n Λ。

[第29讲等差数列及其前n项和](时间：45分钟分值：100分)基础热身1．已知a，b，c三个数成等差数列，其中a＝5＋26，c＝5－26，则b的值为( ) A．2 6 B. 6C．5 D．102．在等差数列{a n}中，已知a1＝1，a2＋a4＝10，a n＝39，则n＝( )A．19 B．20C．21 D．223．[2013·昆明质检] 设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a3＝5，S11＝22，则数列{a n}的公差d为( )A．－1 B．－1 3C.13D．14．[2013·湖南卷] 设S n是等差数列{a n}(n∈N*)的前n项和，且a1＝1，a4＝7，则S5＝________．能力提升5．若S n是等差数列{a n}的前n项和，且S8－S3＝10，则S11的值为( )A．12 B．18C．22 D．446．[2013·包头一模] 已知数列{a n}是等差数列，若a1＋a5＋a9＝2π，则cos(a2＋a8)＝( )A．－12B．－32C.12D.327．设S n是等差数列{a n}的前n项和，若S8＝30，S4＝7，则a4的值等于( )A.14B.94C.134D.1748．等差数列{a n}中，若a5＋a6＝4，则log2(2a1·2a2·…·2a10)＝( )A．10 B．20C．40 D．2＋log259．已知数列{a n}是等差数列，a4＝15，S5＝55，则过点P(3，a3)，Q(4，a4)的直线的斜率是( )A ．4 B.14C ．－4D ．－14310．[2013·北京卷] 已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，若a 1＝12，S 2＝a 3，则a 2＝________．11．[2013·长春一调] 若等差数列{a n }的前5项和S 5＝25，且a 2＝3，则a 4＝________． 12．设等差数列{a n }的公差为正数，若a 1＋a 2＋a 3＝15，a 1a 2a 3＝80，则a 11＋a 12＋a 13＝________．13．设数列{a n }为等差数列，其前n 项和为S n ，a 1＋a 4＋a 7＝99，a 2＋a 5＋a 8＝93，若对任意n ∈N *，都有S n ≤S k 成立，则k 的值为________．14．(10分)[2013·福建卷] 已知等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝－3. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }的前k 项和S k ＝－35，求k 的值．15．(13分)[2013·吉林摸底] 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝10n －n 2(n ∈N *)． (1)求a 1和a n ；(2)记b n ＝|a n |，求数列{b n }的前n 项和．难点突破16．(12分)[2013·丰台二模] 已知数列{a n }满足a 1＝4，a n ＋1＝a n ＋p ·3n ＋1(n ∈N *，p 为常数)，a 1，a 2＋6，a 3成等差数列．(1)求p 的值及数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }满足b n ＝n 2a n －n ，证明：b n ≤49.课时作业(二十九)【基础热身】1．C [解析] 由a ，b ，c 成等差数列，得2b ＝a ＋c ，则b ＝12a ＋c )＝5，故选C.2．B [解析] 设等差数列{a n }的公差为d ，由a 2＋a 4＝10，得a 1＋d ＋a 1＋3d ＝10，即d ＝14(10－2a 1)＝2， 由a n ＝39，得1＋2(n －1)＝39，n ＝20，故选B. 3．A [解析] 设等差数列{a n }的公差为d ，则 ⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝5，11a 1＋11×102d ＝22，解得a 1＝7，d ＝－1， ∴数列{a n }的公差d ＝－1，故选A.4．25 [解析] 设数列{a n }的公差为d ，因为a 1＝1，a 4＝7，所以a 4＝a 1＋3d ⇒d ＝2， 故S 5＝5a 1＋10d ＝25. 【能力提升】5．C [解析] 由S 8－S 3＝10，得a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝10， 因为a 4＋a 8＝a 5＋a 7＝2a 6，则5a 6＝10，即a 6＝2，∴S 11＝11（a 1＋a 11）2＝11·2a 62＝22，故选C.6．A [解析] 由已知得a 5＝2π3，而a 2＋a 8＝2a 5＝4π3，则cos(a 2＋a 8)＝－12，故选A.7．C [解析] 由已知，得，⎩⎪⎨⎪⎧8a 1＋8×72d ＝30，4a 1＋4×32d ＝7，即⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋14d ＝15，4a 1＋6d ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝14，d ＝1， 则a 4＝a 1＋3d ＝134C.8．B [解析] 因为a 1＋a 10＝a 2＋a 9＝…＝a 5＋a 6＝4，则log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)＝log 22a 1＋a 2＋…＋a 10＝a 1＋a 2＋…＋a 10＝5(a 5＋a 6)＝20，故选B.9．A [解析] 因为{a n }是等差数列，a 4＝15，S 5＝55，所以S 5＝5（a 1＋a 5）2＝55，得a 1＋a 5＝22，所以2a 3＝22，a 3＝11，所以k PQ ＝a 4－a 34－3＝4.故选A.10．1 [解析] 设等差数列{a n }的公差为d ，由S 2＝a 3可得，a 1＝a 3－a 2＝d ＝12，所以a 2＝2d ＝2×12＝1.11．7 [解析] 依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧5a 1＋5×42＝25，a 1＋d ＝3，解得d ＝2，∴a 4＝a 2＋2d ＝7.12．105 [解析] 由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1＋d ＋a 1＋2d ＝15，a 1（a 1＋d ）（a 1＋2d ）＝80，即⎩⎪⎨⎪⎧d ＝5－a 1，a 1（a 1＋2d ）＝16，消去d ，得 a 21－10a 1＋16＝0，解得a 1＝2或a 1＝8.当a 1＝2时，d ＝3，a 11＋a 12＋a 13＝a 1＋10d ＋a 1＋11d ＋a 1＋12d ＝3a 1＋33d ＝105； 当a 1＝8时，d ＝－3，不符合题意，舍去．13．20 [解析] 方法一：由对任意n ∈N *，都有S n ≤S k 成立，知S k 是S n 的最大值． 由等差数列的性质，得a 1＋a 7＝2a 4，a 2＋a 8＝2a 5，代入已知条件，得 a 4＝33，a 5＝31，则公差d ＝a 5－a 4＝－2，a 1＝33－3d ＝39，∴S n ＝39n ＋n （n －1）2×(－2)＝－n 2＋40n ＝－(n －20)2＋400，则当n ＝20时，S n 有最大值，故k 的值为20.方法二：由题设对任意n ∈N *，都有S n ≤S k 成立，知求k 的值即求S n 最大时的项数n . 由等差数列的性质，有a 1＋a 7＝2a 4，a 2＋a 8＝2a 5，代入已知条件，得 a 4＝33，a 5＝31，则公差d ＝a 5－a 4＝－2，a 1＝33－3d ＝39， ∴a n ＝39－2(n －1)＝41－2n . 由⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1<0，即⎩⎪⎨⎪⎧41－2n ≥0，41－2（n ＋1）<0，解得19.5<n ≤20.5， ∴当n ＝20时，S n 取得最大值，故k ＝n ＝20.14．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d . 由a 1＝1，a 3＝－3，可得1＋2d ＝－3. 解得d ＝－2.从而，a n ＝1＋(n －1)×(－2)＝3－2n . (2)由(1)可知a n ＝3－2n .所以S n ＝n [1＋（3－2n ）]2＝2n －n 2.进而由S k ＝－35可得2k －k 2＝－35.即k 2－2k －35＝0，解得k ＝7或k ＝－5. 又k ∈N *，故k ＝7为所求．15．解：(1)∵S n ＝10n －n 2，∴a 1＝S 1＝10－1＝9. ∵S n ＝10n －n 2，当n ≥2，n ∈N *时，S n －1＝10(n －1)－(n －1)2＝10n －n 2＋2n －11， ∴a n ＝S n －S n －1＝(10n －n 2)－(10n －n 2＋2n －11) ＝－2n ＋11.又n ＝1时，a 1＝9＝－2×1＋11，符合上式． 则数列{a n }的通项公式为a n ＝－2n ＋11(n ∈N *)．(2)∵a n ＝－2n ＋11，∴b n ＝|a n |＝⎩⎪⎨⎪⎧－2n ＋11（n ≤5），2n －11（n >5），设数列{b n }的前n 项和为T n ，当n ≤5时，T n ＝n （9－2n ＋11）2＝10n －n 2；当n >5时，T n ＝T 5＋（n －5）（b 6＋b n ）2＝25＋（n －5）（1＋2n －11）2＝25＋(n －5)2＝n 2－10n ＋50，∴数列{b n }的前n 项和T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧10n －n 2（n ≤5，n ∈N *），n 2－10n ＋50（n >5，n ∈N *）. 【难点突破】16．解：(1)因为a 1＝4，a n ＋1＝a n ＋p ·3n＋1，所以a 2＝a 1＋p ·31＋1＝3p ＋5；a 3＝a 2＋p ·32＋1＝12p ＋6. 因为a 1，a 2＋6，a 3成等差数列， 所以2(a 2＋6)＝a 1＋a 3，即6p ＋10＋12＝4＋12p ＋6， 所以p ＝2.依题意，a n ＋1＝a n ＋2·3n ＋1，所以当n ≥2时，a 2－a 1＝2·31＋1， a 3－a 2＝2·32＋1， …a n －1－a n －2＝2·3n －2＋1， a n －a n －1＝2·3n －1＋1.相加得a n －a 1＝2(3n －1＋3n －2＋…＋32＋3)＋n －1，所以a n －a 1＝2×3（1－3n －1）1－3＋(n －1)，所以a n ＝3n＋n .当n ＝1时，a 1＝31＋1＝4成立， 所以a n ＝3n ＋n .(2)证明：因为a n ＝3n ＋n ，所以b n ＝n 2（3n ＋n ）－n ＝n 23n .因为b n ＋1－b n ＝（n ＋1）23n ＋1－n 23n ＝－2n 2＋2n ＋13n ＋1(n ∈N *)． 若－2n 2＋2n ＋1<0，则n >1＋32，即n ≥2时b n ＋1<b n .又因为b 1＝13，b 2＝49，所以b n ≤49.。

第二课时 等差数列前n 项和【学习目标】探索并掌握等差数列的前n 项和公式 【考纲要求】等差数列的前n 项和公式是C 级要求 【自主学习】1、学习等差数列{}n a 前n 项和n S 公式推导过程。

2、等差数列{}n a 的公差为d ，首项为1a ，前n 项和n S 公式（1）=n S ， 公式（2）=n S 。

3．等差数列{}n a 前n 项和n S 的相关性质[课前热身] 1 等差数列{}a n 中，(1)已知150a 3,101a == 则50s =__________________(2)已知1a 3=，12d =则10s =___________________ 2等差数列{}a n 中，已知12d =，3a 2n =，152n s =- 则1a =______及n=_____________3数列{}n a 前n 项和n n S n 92-=，且85<<k a ，则正整数=k _____________ 4设等差数列{}n a 前n 项和n S ，若36,963==S S ，则=++987a a a[典型例析]例1 在等差数列{a n }中，(1)已知a 15＝10，a 45＝90，求a 60；(2)已知S12＝84，S20＝460，求S28；(3)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S8．例2在等差数列{an }中，10100s=,10010s=,求110s例3美国某公司给员工加工资有两个方案：一是每年年末加1000美元；二是每半年结束时加300美元．问：⑴ 从第几年开始，第二种方案比第一种方案总共加的工资多？⑵ 如果在该公司干10年，问选择第二种方案比选择第一种方案多加工资多少美元？⑶ 如果第二种方案中每半年加300美元改为每半年加a美元．问a取何值时，总是选择第二种方案比第一种方案多加工资？例4设等差数列{}n a 前n 项和为n s ，已知312a =，12130,0s s ><（1） 求公差d 的取值范围（2） 指出1212,,s s s K 中哪一个的值最大，并说明理由。

2.3等差数列的前n项和第一课时推进新课教师出示投影胶片1：印度泰姬陵a j M a h a是世界七大建筑奇迹之一，所在地阿格拉市，泰姬陵是印度古代建筑史上的经典之作，这个古陵墓融合了古印度、阿拉伯和古波斯的建筑风格，是印度伊斯兰教文化的象征陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝.传说当时陵寝中有一个等边三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层(如下图)，奢华之程度，可见一斑.你知道这个图案中一共有多少颗宝石吗？(这问题赋予了课堂人文历史的气息，缩短了数学与现实之间的距离，引领学生步入探讨高斯算法的阶段)生只要计算出1+2+3+…+100的结果就是这些宝石的总数师对，问题转化为求这100个数的和.怎样求这100个数的和呢？［合作探究］师我们再回到前面的印度泰姬陵的陵寝中的等边三角形图案中，在图中我们取下第1层到第21层，得到右图，则图中第1层到第21层一共有多少颗宝石呢生这是求“1+2+3+…+21”奇数个项的和的问题，高斯的方法不能用了.要是偶数项的数求和就好首尾配成对了师高斯的这种“首尾配对”的算法还得分奇、偶个项的情况求和，适用于偶数个项，我们是否有简单的方法来解决这个问题呢生有!我用几何的方法，将这个全等三角形倒置，与原图补成平行四边形.平行四边形中的每行宝石的个数均为22个，共21行.则三角形中的宝石个数就是221)211(⨯+师妙得很!这种方法不需分奇、偶个项的情况就可以求和，真是太好了!我将他的几何法写成式子就是：1+2+3+ (21)21+20+19+ (1)对齐相加(其中下第二行的式子与第一行的式子恰好是倒序这实质上就是我们数学中一种求和的重要方法——“倒序相加法现在我将求和问题一般化：(1)求1到n 的正整数之和，即求1+2+3+…+(n -1)+n .(注：这问题在前面思路的引导下可由学生轻松解决(2)如何求等差数列{a n }的前n 项的和S n生1 对于问题(2)，我这样来求：因为S n =a 1+a 2+a 3+…+a n ，S n =a n +a n -1+…+a 2+a 1，再将两式相加，因为有等差数列的通项的性质：若m+n =p+q ，则a m +a n =a p +a q ， 所以2)(1n n a a n S +=.(Ⅰ生2 对于问题(2)，我是这样来求的：因为S n =a 1+(a 1+d )+(a 1+2d )+(a 1+3d )+…+［a 1+(n -1)×d ］，所以S n =na 1+［1+2+3+…+(n -1)］d =na 1+2)1(-n n d 即S n =na 1+2)1(-n n d .(Ⅱ［教师精讲］两位同学的推导过程都很精彩，一位同学是用“倒序相加法”，后一位同学用的是基本量来转化为用我们前面求得的结论，并且我们得到了等差数列前n 项求和的两种不同的公式.这两种求和公式都很重要,都称为等差数列的前n 项和公式.其中公式(Ⅰ)是基本的，我们可以发现，它可与梯形面积公式(上底+下底)×高÷2相类比，这里的上底是等差数列的首项a 1，下底是第n 项a n ，高是项数n ,有利于我们的记忆 ［方法引导］师 如果已知等差数列的首项a 1，项数为n ，第n 项为a n ，则求这数列的前n 项和用公式(Ⅰ)来进行，若已知首项a 1，项数为n ，公差d ，则求这数列的前n 项和用公式(Ⅱ)来进行 引导学生总结：这些公式中出现了几个量？生 每个公式中都是5个量师 如果我们用方程思想去看这两个求和公式，你会有何种想法?生 已知其中的三个变量，可利用构造方程或方程组求另外两个变量(知三求二师 当公差d ≠0时，等差数列{a n }的前n 项和S n 可表示为n 的不含常数项的二次函数，且这二次函数的二次项系数的2倍就是公差 ［知识应用］【例1】 (直接代公式)计算：(1)1+2+3+…+n ；(2)1+3+5+…+(2n -1)；(3)2+4+6+…+2n ；(4)1-2+3-4+5-6+…+(2n -1)-2n(让学生迅速熟悉公式，即用基本量观点认识公式)请同学们先完成(1)～(3)，并请一位同学回答生 (1)1+2+3+…+n =2)1(+n n ；(2)1+3+5+…+(2n -1)=2)11(-+n n =n 2；(3)2+4+6+…+2n =2)22(+n n =n (n 师 第(4)小题数列共有几项？是否为等差数列？能否直接运用S n 公式求解？若不能，那应如何解答？(小组讨论后，让学生发言解答生 (4)中的数列共有2n 项，不是等差数列，但把正项和负项分开，可看成两个等差数列，所以原式= [1+3+5+…+(2n -1)]-(2+4+6+…+2n )=n 2-n (n +1)=-n生 上题虽然不是等差数列，但有一个规律，两项结合都为-1，故可得另一解法：原式=(-1)+(-1)+(-1)+…+(-1)=-n师 很好！在解题时我们应仔细观察，寻找规律，往往会寻找到好的方法.注意在运用求和公式时，要看清等差数列的项数，否则会引起错解【例2】 （课本第49页例分析：这是一道实际应用题目，同学们先认真阅读此题，理解题意.你能发现其中的一些有用信息吗生 由题意我发现了等差数列的模型，这个等差数列的首项是500，记为a 1，公差为50，记为d ，而从2001年到2010年应为十年，所以这个等差数列的项数为10.再用公式就可以算出来了师 这位同学说得很对，下面我们来完成此题的解答.(按课本解答示范格式【例3】 (课本第50页例2)已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1 220，由此可以确定求其前n 项和的公式吗？分析：若要确定其前n 项求和公式，则必须确定什么？生 必须要确定首项a 1与公差d师 首项与公差现在都未知，那么应如何来确定？生 由已知条件，我们已知了这个等差数列中的S 10与S 20，于是可从中获得两个关于a 1和d的关系式，组成方程组便可从中求得(解答见课本第50页师 通过上面例题3我们发现了在以上两个公式中，有5个变量.已知三个变量，可利用构造方程或方程组求另外两个变量(知三求二).运用方程思想来解决问题 ［合作探究］师 请同学们阅读课本第50页的例3，阅读后我们来互相进行交流(给出一定的时间让学生对本题加以理解师 本题是给出了一个数列的前n 项和的式子，来判断它是否是等差数列.解题的出发点是什么生 从所给的和的公式出发去求出通项师 对的，通项与前n 项的和公式有何种关系生 当n =1时，a 1=S 1，而当n ＞1时，a n =S n -S n -1师 回答的真好!由S n 的定义可知，当n =1时，S 1=a 1；当n ≥2时，a n =S n -S n -1，即a n =S 1(nS n -S n -1(n ≥2).这种已知数列的S n 来确定数列通项的方法对任意数列都是可行的.本题用这方法求出的通项a n =2n -21，我们从中知它是等差数列，这时当n =1也是满足的，但是不是所有已知S n 求a n 的问题都能使n =1时，a n =S n -S n -1满足呢?请同学们再来探究一下课本第51页的探究问题生1 这题中当n =1时，S 1=a 1=p+q+r ；当n ≥2时，a n =S n -S n -1=2p n -p+q ，由n =1代入的结果为p+q ，要使n =1时也适合，必须有生2 当r=0时，这个数列是等差数列，当r≠0时，这个数列不是等差数列生3 这里的p≠0也是必要的，若p=0，则当n ≥2时，a n =S n -S n -1=q+r ，则变为常数列了，r≠0也还是等差数列师 如果一个数列的前n 项和公式是常数项为0，且是关于n 的二次型函数，则这个数列一定是等差数列，从而使我们能从数列的前n 项和公式的结构特征上来认识等差数列.实质上等差数列的两个求和公式中皆无常数项课堂练习等差数列-10，-6，-2，2，…前多少项的和是54？(学生板演解：设题中的等差数列为{a n }，前n 项和为S n则a 1=-10,d =(-6)-(-10)=4,S n由公式可得-10n +2)1(-n n解之,得n 1=9,n 2=-3(舍去所以等差数列-10，-6，-2，2…前9项的和是(教师对学生的解答给出评价课堂小结师 同学们，本节课我们学习了哪些数学内容生 ①等差数列的前n 项和公式1：2)(1n n a a n S += ②等差数列的前n 项和公式2：2)1(1d n n na S n -+=师 通过等差数列的前n 项和公式内容的学习，我们从中体会到哪些数学的思想方法 生 ①通过等差数列的前n 项和公式的推导我们了解了数学中一种求和的重要方法——“倒序相加法②“知三求二”的方程思想，即已知其中的三个变量，可利用构造方程或方程组求另外两个变量师 本节课我们通过探究还得到了等差数列的性质中的什么内容生 如果一个数列的前n 项和公式中的常数项为0，且是关于n 的二次型函数，则这个数列一定是等差数列，否则这个数列就不是等差数列，从而使我们能从数列的前n 项和公式的结构特征上来认识等差数列布置作业课本第52页习题2.3 A 组第2、3题板书设计 等差数列的前n 项和(一)公式：2)1(2)(11d n n na a a n S n n -+=+=推导过程 例 第二课时教学过程推进新课［合作探究］师 本节课的第一个内容是来研究一下等差数列的前n 项和的公式的函数表示，请同学们将求和公式写成关于n 的函数形式生 我将等差数列{a n }的前n 项和的公式2)1(1d n n na S n -+=整理、变形得到：)2(212d a n d S n -+=n师 很好!我们能否说(*)式是关于n 的二次函数呢生1 能，(*)式就是关于n 的二次函数生2 不能，(*)式不一定是关于n 的二次函数师 为什么生2 若等差数列的公差为0，即d =0时，(*)式实际是关于n 的一次函数!只有当d ≠0时，(*)式才是关于n 的二次函数师 说得很好!等差数列{a n }的前n 项和的公式可以是关于n 的一次函数或二次函数.我来问一下：这函数有什么特征生 它一定不含常数项，即常数项为生 它的二次项系数是公差的一半师 对的，等差数列{a n }的前n 项和为不含常数项的一次函数或二次函数.问：若一数列的前n 项和为n 的一次函数或二次函数，则这数列一定是等差数列吗生 不一定，还要求不含常数项才能确保是等差数列师 说的在理.同学们能画出(*)式表示的函数图象或描述一下它的图象特征吗生 当d =0时，(*)式是关于n 的一次函数，所以它的图象是位于一条直线上的离散的点列，当d ≠0时，(*)式是n 的二次函数，它的图象是在二次函数x d a x d y )2(212-+=的图象上的一群孤立的点.这些点的坐标为(n ,S n )(n =1，2，3，师 说得很精辟［例题剖析］【例】 (课本第51页例分析:等差数列{a n }的前n 项和公式可以写成n d a n d S n )2(212-+=，所以S n 可以看成函数x d a x d y )2(212-+= (x ∈N *)当x=n 时的函数值.另一方面，容易知道S n 关于n 的图象是一条抛物线上的点.因此我们可以利用二次函数来求n 的值.(解答见课本第52页师 我们能否换一个角度再来思考一下这个问题呢？请同学们说出这个数列的首项和公差. 生 它的首项为5，公差为75-师 对，它的首项为正数，公差小于零，因而这个数列是个单调递减数列，当这数列的项出现负数时，则它的前n 项的和一定会开始减小，在这样的情况下，同学们是否会产生新的解题思路呢？生 老师，我有一种解法：先求出它的通项，求得结果是a n =a 1+(n -1)d =74075+-n我令74075+=n a n ≤0，得到了n ≥8，这样我就可以知道a 8=0，而a 9＜0.从而便可以发现S 7=S 8，从第9项和S n 开始减小，由于a 8=0对数列的和不产生影响，所以就可以说这个等差数列的前7项或8项的和最大师 说得非常好!这说明我们可以通过研究它的通项取值的正负情况来研究数列的和的变化情况［方法引导］师 受刚才这位同学的新解法的启发，我们大家一起来归纳一下这种解法的规律： ①当等差数列{a n }的首项大于零，公差小于零时，它的前n 项的和有怎样的最值?可通过什么来求达到最值时的n 的值生S n 有最大值，可通过⎩⎨⎧≤≥+001n n a a 求得n 的值师 ②当等差数列{a n }的首项不大于零，公差大于零时，它的前n 项的和有怎样的最值?可通过什么来求达到最值时的n 的值生 S n 有最小值，可以通过⎩⎨⎧≥≤+001n n a a 求得n 的值［教师精讲］好!有了这种方法再结合前面的函数性质的方法，我们求等差数列的前n 项的和的最值问题就有法可依了.主要有两种：(1)利用a n 取值的正负情况来研究数列的和的变化情况；(2)利用S n ：由n d a n d S n )2(212-+=利用二次函数求得S n 取最值时n 的值 课堂练习请同学们做下面的一道练习：已知：a n =1 024+lg21-n (lg2=0.3 01 0)n ∈*.问多少项之和为最大？前多少项之和的绝对值最小？(让一位学生上黑板去板演解：1°⎩⎨⎧-=≥-+=+02lg 102402lg )1(10241＜n a n a n n 2lg 10242lg 1024≤⇒n ＜+1⇒3 401＜n ＜3 403.所以n2°S n =1 024n +2)1(-n n (-lg2)，当S n =0或S n 趋近于0时其和绝对值最小， 令S n =0，即1 024+2)1(-n n (-lg2)=0,得n =2lg 2048因为n ∈N *，所以有n(教师可根据学生的解答情况和解题过程中出现的问题进行点评［合作探究］师 我们大家再一起来看这样一个问题：全体正奇数排成下表：37 913 15 1721 23 25 27……此表的构成规律是：第n 行恰有n 个连续奇数;从第二行起，每一行第一个数与上一行最后一个数是相邻奇数，问2 005是第几行的第几个数师 此题是数表问题，近年来这类问题如一颗“明珠”频频出现在数学竞赛和高考中，成为出题专家们的“新宠”，值得我们探索.请同学们根据此表的构成规律，将自己的发现告诉我. 生1 我发现这数表n 行共有1+2+3+…+n 个数，即n 行共有2)1(+n n 个奇数师 很好!要想知道2 005是第几行的第几个数，必须先研究第n 行的构成规律生2 根据生1的发现，就可得到第n 行的最后一个数是2×2)1(+n n -1=n 2+n - 生3 我得到第n 行的第一个数是(n 2+n -1)-2(n -1)=n 2-n师 现在我们对第n 行已经非常了解了，那么这问题也就好解决了，谁来求求看生4 我设n 2-n +1≤2 005≤n 2+n -1，解这不等式组便可求出n =45，n 2-n +1=1 981.再设2 005是第45行中的第m 个数，则由2 005=1 981+(m-1)×2，解得m=13.因此，2 005是此表中的第45行中的第13个数师 很好!由这解法可以看出，只要我们研究出了第n 行的构成规律，则可由此展开我们的思路.从整体上把握等差数列的性质，是迅速解答本题的关键 课堂小结本节课我们学习并探究了等差数列的前n 项和的哪些内容生1我们学会了利用等差数列通项公式与前n 项和的公式研究S n 的最值的方法：①利用a n ：当a n ＞0，d ＜0，前n 项和有最大值.可由a n ≥0，且a n +1≤0，求得n 的值；当a n ≤0，d ＞0，前n 项和有最小值.可由a n ≤0，且a n +1≥0，求得n 的值②利用S n ：由S n =2d n 2+(a 1-2d )n 利用二次函数求得S n 取最值时n 的值生 2 我们还对等差数列中的数表问题的常规解法作了探究，学习了从整体上把握等差数列的性质来解决问题的数学思想方法师 本节课我们在熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式的基础上，进一步去了解了等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题.学会了一些常用的数学方法和数学思想，从而使我们从等差数列的前n 项和公式的结构特征上来更深刻地认识等差数列 布置作业课本第52页习题2.3 A 组第5、6题 预习提纲： ①什么是等比数列？②等比数列的通项公式如何求？板书设计 等差数列的前n 项和(二)S n 与函数的联系 例4求S n 最值的方法 学生练习。

§6.2 等差数列及其前n 项和2014高考会这样考 1.在解答题中对所求结论的运算进行等差数列的判断与证明；2.运用基本量法求解等差数列的基本量问题；3.考查等差数列的性质及综合应用．复习备考要这样做 1.准确理解概念，掌握等差数列的有关公式和性质；2.注意不同性质的适用条件和注意事项．1． 等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母__d __表示． 2． 等差数列的通项公式如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式是a n ＝a 1＋(n －1)d . 3． 等差中项如果A ＝a ＋b2，那么A 叫做a 与b 的等差中项．4． 等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d ，(n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n ，(k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d . (4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列．5． 等差数列的前n 项和公式设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和S n ＝n a 1＋a n 2或S n ＝na 1＋n n －12d .6． 等差数列的前n 项和公式与函数的关系S n ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n .数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn ，(A 、B 为常数)． 7． 等差数列的最值在等差数列{a n }中，a 1>0，d <0，则S n 存在最__大__值；若a 1<0，d >0，则S n 存在最__小__值．[难点正本 疑点清源]1． 等差数列的判断方法(1)定义法：a n －a n －1＝d (n ≥2)； (2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2. 2． 等差数列与等差数列各项和的有关性质(1)a m ，a m ＋k ，a m ＋2k ，a m ＋3k ，…仍是等差数列，公差为kd . (2)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列． (3)S 2n －1＝(2n －1)a n . 3． 等差数列与函数在d ≠0时，a n 是关于n 的一次函数，一次项系数为d ；S n 是关于n 的二次函数，二次项系数为d2，且常数项为0.1． (2012·江西)设数列{a n }，{b n }都是等差数列，若a 1＋b 1＝7，a 3＋b 3＝21，则a 5＋b 5＝____.答案 35解析 两个等差数列的和数列仍为等差数列．设两等差数列组成的和数列为{c n }，由题意知新数列仍为等差数列且c 1＝7，c 3＝21，则c 5＝2c 3－c 1＝2×21－7＝35.2． 已知两个数列x ，a 1，a 2，a 3，y 与x ，b 1，b 2，y 都是等差数列，且x ≠y ，则a 2－a 1b 2－b 1的值为________． 答案 34解析 ∵a 2－a 1＝14(y －x )，b 2－b 1＝13(y －x )，∴a 2－a 1b 2－b 1＝34. 3． 已知等差数列{a n }中，a 3＋a 8＝22，a 6＝7，则a 5＝________.答案 15解析 ∵{a n }为等差数列，∴a 3＋a 8＝a 5＋a 6＝22， ∴a 5＝22－a 6＝22－7＝15.4． (2011·江西)设{a n }为等差数列，公差d ＝－2，S n 为其前n 项和，若S 10＝S 11，则a 1等于( )A ．18B ．20C ．22D ．24答案 B解析 因为S 10＝S 11，所以a 11＝0.又因为a 11＝a 1＋10d ，所以a 1＝20.5． (2012·辽宁)在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11等于( )A ．58B ．88C ．143D ．176答案 B 解析 S 11＝11a 1＋a 112＝11a 4＋a 82＝88.题型一 等差数列基本量的计算例1 (2011·福建)在等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝－3.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }的前k 项和S k ＝－35，求k 的值．思维启迪：等差数列基本量的计算，基本思想就是根据条件列方程，求等差数列的首项与公差．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d . 由a 1＝1，a 3＝－3，可得1＋2d ＝－3，解得d ＝－2. 从而a n ＝1＋(n －1)×(－2)＝3－2n . (2)由(1)可知a n ＝3－2n ， 所以S n ＝n [1＋3－2n ]2＝2n －n 2.由S k ＝－35，可得2k －k 2＝－35， 即k 2－2k －35＝0，解得k ＝7或k ＝－5. 又k ∈N *，故k ＝7.探究提高 (1)等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题．(2)数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．设a 1，d 为实数，首项为a 1，公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S 5S 6＋15＝0.(1)若S 5＝5，求S 6及a 1； (2)求d 的取值范围．解 (1)由题意知S 6＝－15S 5＝－3，a 6＝S 6－S 5＝－8.所以⎩⎪⎨⎪⎧5a 1＋10d ＝5，a 1＋5d ＝－8.解得a 1＝7，所以S 6＝－3，a 1＝7. (2)方法一 ∵S 5S 6＋15＝0， ∴(5a 1＋10d )(6a 1＋15d )＋15＝0， 即2a 21＋9da 1＋10d 2＋1＝0.因为关于a 1的一元二次方程有解，所以 Δ＝81d 2－8(10d 2＋1)＝d 2－8≥0， 解得d ≤－22或d ≥2 2. 方法二 ∵S 5S 6＋15＝0， ∴(5a 1＋10d )(6a 1＋15d )＋15＝0， 即2a 21＋9da 1＋10d 2＋1＝0. 故(4a 1＋9d )2＝d 2－8.所以d 2≥8. 故d 的取值范围为d ≤－22或d ≥2 2. 题型二 等差数列的前n 项和及综合应用例2 (1)在等差数列{a n }中，已知a 1＝20，前n 项和为S n ，且S 10＝S 15，求当n 取何值时，S n 取得最大值，并求出它的最大值；(2)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝4n －25，求数列{|a n |}的前n 项和．思维启迪：(1)由a 1＝20及S 10＝S 15可求得d ，进而求得通项，由通项得到此数列前多少项为正，或利用S n 是关于n 的二次函数，利用二次函数求最值的方法求解．(2)利用等差数列的性质，判断出数列从第几项开始变号． 解 (1)方法一 ∵a 1＝20，S 10＝S 15，∴10×20＋10×92d ＝15×20＋15×142d ，∴d ＝－53.∴a n ＝20＋(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝－53n ＋653.∴a 13＝0，即当n ≤12时，a n >0，n ≥14时，a n <0，∴当n ＝12或13时，S n 取得最大值，且最大值为S 13＝S 12＝12×20＋12×112×⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝130.方法二 同方法一求得d ＝－53.∴S n ＝20n ＋n n －12·⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝－56n 2＋1256n ＝－56⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2522＋3 12524.∵n ∈N *，∴当n ＝12或13时，S n 有最大值，且最大值为S 12＝S 13＝130. 方法三 同方法一求得d ＝－53.又由S 10＝S 15得a 11＋a 12＋a 13＋a 14＋a 15＝0. ∴5a 13＝0，即a 13＝0.∴当n ＝12或13时，S n 有最大值． 且最大值为S 12＝S 13＝130.(2)∵a n ＝4n －25，a n ＋1＝4(n ＋1)－25， ∴a n ＋1－a n ＝4＝d ，又a 1＝4×1－25＝－21.所以数列{a n }是以－21为首项，以4为公差的递增的等差数列．令⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝4n －25<0， ①a n ＋1＝4n ＋1－25≥0， ②由①得n <614；由②得n ≥514，所以n ＝6.即数列{|a n |}的前6项是以21为首项，公差为－4的等差数列，从第7项起以后各项构成公差为4的等差数列， 而|a 7|＝a 7＝4×7－25＝3. 设{|a n |}的前n 项和为T n ，则T n＝⎩⎪⎨⎪⎧21n ＋n n －12×－4 n ≤666＋3n －6＋n －6n －72×4 n ≥7＝⎩⎪⎨⎪⎧－2n 2＋23n n ≤6，2n 2－23n ＋132 n ≥7.探究提高 求等差数列前n 项和的最值，常用的方法：①利用等差数列的单调性，求出其正负转折项；②利用性质求出其正负转折项，便可求得和的最值；③将等差数列的前n 项和S n ＝An 2＋Bn (A 、B 为常数)看做二次函数，根据二次函数的性质求最值．(2012·湖北)已知等差数列{a n }前三项的和为－3，前三项的积为8.(1)求等差数列{a n }的通项公式；(2)若a 2，a 3，a 1成等比数列，求数列{|a n |}的前n 项和． 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ， 则a 2＝a 1＋d ，a 3＝a 1＋2d .由题意得⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝－3，a 1a 1＋d a 1＋2d ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝－3，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－4，d ＝3.所以由等差数列通项公式可得a n ＝2－3(n －1)＝－3n ＋5或a n ＝－4＋3(n －1)＝3n －7.故a n ＝－3n ＋5或a n ＝3n －7.(2)当a n ＝－3n ＋5时，a 2，a 3，a 1分别为－1，－4,2，不成等比数列； 当a n ＝3n －7时，a 2，a 3，a 1分别为－1,2，－4，成等比数列，满足条件．故|a n |＝|3n －7|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3n ＋7，n ＝1，2，3n －7，n ≥3.记数列{|a n |}的前n 项和为S n .当n ＝1时，S 1＝|a 1|＝4；当n ＝2时，S 2＝|a 1|＋|a 2|＝5； 当n ≥3时，S n ＝S 2＋|a 3|＋|a 4|＋…＋|a n | ＝5＋(3×3－7)＋(3×4－7)＋…＋(3n －7) ＝5＋n －2[2＋3n －7]2＝32n 2－112n ＋10. 当n ＝2时，满足此式． 综上，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，32n 2－112n ＋10，n ≥2.题型三 等差数列性质的应用例3 设等差数列的前n 项和为S n ，已知前6项和为36，S n ＝324，最后6项的和为180 (n >6)，求数列的项数n .思维启迪：在等差数列中，若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ，在涉及数列前n 项和及某些项和的问题中常用到此性质． 解 由题意可知a 1＋a 2＋…＋a 6＝36①a n ＋a n －1＋a n －2＋…＋a n －5＝180②①＋②得(a 1＋a n )＋(a 2＋a n －1)＋…＋(a 6＋a n －5) ＝6(a 1＋a n )＝216. ∴a 1＋a n ＝36.又S n ＝n a 1＋a n 2＝324，∴18n ＝324.∴n ＝18.探究提高 本题的解题关键是将等差数列性质m ＋n ＝p ＋q ⇒a m ＋a n ＝a p ＋a q 与前n 项和公式S n ＝n a 1＋a n 2结合在一起，采用整体思想，简化解题过程．(1)设数列{a n }的首项a 1＝－7，且满足a n ＋1＝a n ＋2 (n ∈N ＋)，则a 1＋a 2＋…＋a 17＝________.(2)等差数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝－24，a 18＋a 19＋a 20＝78，则此数列前20项和等于________．答案 (1)153 (2)180 解析 (1)∵a n ＋1－a n ＝2，∴{a n }为等差数列．∴a n ＝－7＋(n －1)·2， ∴a 17＝－7＋16×2＝25，S 17＝a 1＋a 17×172＝－7＋25×172＝153.(2)由已知可得(a 1＋a 2＋a 3)＋(a 18＋a 19＋a 20)＝－24＋78⇒(a 1＋a 20)＋(a 2＋a 19)＋(a 3＋a 18)＝54⇒a 1＋a 20＝18⇒S 20＝a 1＋a 202×20＝182×20＝180.整体思想在等差数列解题中的应用典例：(12分)设等差数列{a n }的前n 项和S n ＝m ，前m 项和S m ＝n (m ≠n )，求它的前m ＋n 项的和S m ＋n .审题视角 (1)S m ＋n ＝a 1(m ＋n )＋m ＋n －1m ＋n 2d ＝(m ＋n )·⎝⎛⎭⎪⎫a 1＋m ＋n －12d ，这样只要求出a 1＋m ＋n －12d 即可．(2)由S n ，S m 可以构造出a 1＋m ＋n －12d ，并求出．规范解答解 方法一 设{a n }的公差为d ，则由S n ＝m ，S m ＝n ，得⎩⎪⎨⎪⎧S n ＝na 1＋n n －12d ＝m ， ①S m＝ma 1＋m m －12d ＝n . ②[4分]②－①得(m －n )a 1＋m －n m ＋n －12·d ＝n －m ，∵m ≠n ，∴a 1＋m ＋n －12d ＝－1.[8分]∴S m ＋n ＝(m ＋n )a 1＋m ＋n m ＋n －12d＝(m ＋n )⎝⎛⎭⎪⎫a 1＋m ＋n －12d ＝－(m ＋n )．[12分]方法二 设S n ＝An 2＋Bn (n ∈N *)，则⎩⎪⎨⎪⎧Am 2＋Bm ＝n ， ③An 2＋Bn ＝m . ④[4分]③－④得A (m 2－n 2)＋B (m －n )＝n －m .[6分] ∵m ≠n ，∴A (m ＋n )＋B ＝－1， ∴A (m ＋n )2＋B (m ＋n )＝－(m ＋n )， ∴S m ＋n ＝－(m ＋n )．[12分]温馨提醒 (1)本题的两种解法都突出了整体思想，其中方法一把a 1＋m ＋n －12d 看成了一个整体，方法二把A (m ＋n )＋B 看成了一个整体，解起来都很方便．(2)整体思想是一种重要的解题方法和技巧．这就要求学生要掌握公式，理解其结构特征． (3)本题的易错点是，不能正确运用整体思想的运算方法，不能建立数量间的关系，导致错误.方法与技巧1． 等差数列的判断方法(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (d 是常数)⇔{a n }是等差数列． (2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2 (n ∈N *)⇔{a n }是等差数列． (3)通项公式：a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数)⇔{a n }是等差数列． (4)前n 项和公式：S n ＝An 2＋Bn (A 、B 为常数)⇔{a n }是等差数列．2． 方程思想和化归思想：在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为a 1和d 等基本量，通过建立方程(组)获得解． 失误与防范1．如果p ＋q ＝r ＋s ，则a p ＋a q ＝a r ＋a s ，一般地，a p ＋a q ≠a p ＋q ，必须是两项相加，当然也可以是a p －t ＋a p ＋t ＝2a p .2．当公差d ≠0时，等差数列的通项公式是n 的一次函数，当公差d ＝0时，a n 为常数． 3．公差不为0的等差数列的前n 项和公式是n 的二次函数，且常数项为0.若某数列的前n 项和公式是常数项不为0的二次函数，则该数列不是等差数列，它从第二项起成等差数列．A 组 专项基础训练 (时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1． (2012·福建)等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝10，a 4＝7，则数列{a n }的公差为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 B解析 方法一 设等差数列{a n }的公差为d ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋4d ＝10，a 1＋3d ＝7.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2.∴d ＝2.方法二 ∵在等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝2a 3＝10，∴a 3＝5. 又a 4＝7，∴公差d ＝7－5＝2.2． 数列{a n }为等差数列，a 10＝33，a 2＝1，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 20－2S 10等于( )A ．40B ．200C ．400D ．20答案 C解析 S 20－2S 10＝20a 1＋a 202－2×10a 1＋a 102＝10(a 20－a 10)＝100d ，又a 10＝a 2＋8d ， ∴33＝1＋8d ，∴d ＝4，∴S 20－2S 10＝400.3． 已知等差数列{a n }满足a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 101＝0，则有( )A ．a 1＋a 101>0B ．a 2＋a 100<0C ．a 3＋a 99＝0D ．a 51＝51答案 C解析 由题意，得a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 101＝a 1＋a 1012×101＝0.所以a 1＋a 101＝a 2＋a 100＝a 3＋a 99＝0.4． (2011·大纲全国)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，公差d ＝2，S k ＋2－S k ＝24，则k 等于( ) A ．8B ．7C ．6D ．5答案 D解析 ∵S k ＋2－S k ＝a k ＋1＋a k ＋2＝a 1＋kd ＋a 1＋(k ＋1)d ＝2a 1＋(2k ＋1)d ＝2×1＋(2k ＋1)×2＝4k ＋4＝24，∴k ＝5. 二、填空题(每小题5分，共15分)5． 在等差数列{a n }中，a 3＝7，a 5＝a 2＋6，则a 6＝________.答案 13解析 设等差数列{a n }的公差为d ，则由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝7，a 1＋4d ＝a 1＋d ＋6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝2.所以a 6＝a 1＋5d ＝13.6． (2011·辽宁)S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 2＝S 6，a 4＝1，则a 5＝________.答案 －1解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1＋d ＝6a 1＋6×52d ，a 1＋3d ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝7，d ＝－2，∴a 5＝a 4＋d ＝1＋(－2)＝－1.7． 在数列{a n }中，若a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2 (n ≥1)，则该数列的通项a n ＝________.答案 2n －1解析 ∵a n ＋1－a n ＝2(n ≥1)，∴{a n }为等差数列， ∴a n ＝1＋(n －1)×2，即a n ＝2n －1. 三、解答题(共22分)8． (10分)已知等差数列{a n }的公差是正数，且a 3a 7＝－12，a 4＋a 6＝－4，求它的通项公式．解 设等差数列{a n }的公差为d . 因为a 3＋a 7＝a 4＋a 6＝－4，a 3a 7＝－12， 所以a 3，a 7是方程x 2＋4x －12＝0的两根．因为d >0，所以a 3<a 7.解方程，得⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝－6，a 7＝2.由a 7＝a 3＋4d ，得d ＝2.所以a n ＝a 3＋(n －3)d ＝－6＋2(n －3)＝2n －12.9． (12分)设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ＝S nn＋2 (n －1) (n ∈N *)．(1)求证：数列{a n }为等差数列，并分别写出a n 和S n 关于n 的表达式；(2)是否存在自然数n ，使得S 1＋S 22＋S 33＋…＋S nn －(n －1)2＝2 013？若存在，求出n 的值；若不存在，请说明理由．解 (1)由a n ＝S n n＋2(n －1)，得S n ＝na n －2n (n －1) (n ∈N *)． 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝na n －(n －1)a n －1－4(n －1)， 即a n －a n －1＝4，故数列{a n }是以1为首项，以4为公差的等差数列．于是，a n ＝4n －3，S n ＝a 1＋a n n 2＝2n 2－n (n ∈N *)．(2)由S n ＝na n －2n (n －1)，得S n n ＝2n －1 (n ∈N *)，又S 1＋S 22＋S 33＋…＋S n n－(n －1)2＝1＋3＋5＋7＋…＋(2n －1)－(n －1)2＝n 2－(n －1)2＝2n －1.令2n －1＝2 013，得n ＝1 007，即存在满足条件的自然数n ＝1 007.B 组 专项能力提升(时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1． 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 33－S 22＝1，则数列{a n }的公差是( ) A.12B ．1C ．2D ．3 答案 C解析 因为S n ＝n a 1＋a n 2，所以S n n ＝a 1＋a n 2，由S 33－S 22＝1，得a 32－a 22＝1，即a 3－a 2＝2，所以数列{a n }的公差为2.2． 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝13，S 3＝S 11，当S n 最大时，n 的值是( )A ．5B ．6C ．7D ．8 答案 C解析 方法一 由S 3＝S 11，得a 4＋a 5＋…＋a 11＝0，根据等差数列的性质，可得a 7＋a 8＝0，根据首项等于13可推知这个数列递减，从而得到a 7>0，a 8<0，故n ＝7时，S n 最大． 方法二 由S 3＝S 11，可得3a 1＋3d ＝11a 1＋55d ，把a 1＝13代入，得d ＝－2，故S n ＝13n －n (n －1)＝－n 2＋14n ，根据二次函数的性质，知当n ＝7时，S n 最大．方法三 根据a 1＝13，S 3＝S 11，则这个数列的公差不等于零，且这个数列的和先是单调递增然后又单调递减，根据公差不为零的等差数列的前n 项和是关于n 的二次函数，以及二次函数图象的对称性，得只有当n ＝3＋112＝7时，S n 取得最大值． 3． 已知数列{a n }中，a 3＝2，a 5＝1，若⎩⎨⎧⎭⎬⎫11＋a n 是等差数列，则a 11等于 ( ) A ．0B.16C.13D.12答案 A解析 记b n ＝11＋a n ，则b 3＝13，b 5＝12，数列{b n }的公差为12×⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＝112，b 1＝16，∴b n ＝n ＋112，即11＋a n ＝n ＋112，∴a n ＝11－n n ＋1，故a 11＝0. 二、填空题(每小题5分，共15分)4． 设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 3＝3，S 6＝24，则a 9＝________.答案 15解析 设等差数列的公差为d ，则S 3＝3a 1＋3×22d ＝3a 1＋3d ＝3，即a 1＋d ＝1，① S 6＝6a 1＋6×52d ＝6a 1＋15d ＝24，即2a 1＋5d ＝8.② 联立①②两式得a 1＝－1，d ＝2，故a 9＝a 1＋8d ＝－1＋8×2＝15.5． 设等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为S n 、T n ，若对任意自然数n 都有S n T n ＝2n －34n －3，则a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4的值为________．答案 1941解析 ∵{a n }，{b n }为等差数列，∴a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4＝a 92b 6＋a 32b 6＝a 9＋a 32b 6＝a 6b 6. ∵S 11T 11＝a 1＋a 11b 1＋b 11＝2a 62b 6＝2×11－34×11－3＝1941，∴a 6b 6＝1941. 6． (2011·湖北)《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升．答案 6766解析 设所构成数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，依题意⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，a 7＋a 8＋a 9＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧ 4a 1＋6d ＝3，3a 1＋21d ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1322，d ＝766，∴a 5＝a 1＋4d ＝1322＋4×766＝6766. 三、解答题7． (13分)已知等差数列{a n }中，公差d >0，前n 项和为S n ，a 2·a 3＝45，a 1＋a 5＝18.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝S n n ＋c(n ∈N *)，是否存在一个非零常数c ，使数列{b n }也为等差数列？若存在，求出c 的值；若不存在，请说明理由．解 (1)由题意知，{a n }是等差数列，且公差d >0， 则由⎩⎪⎨⎪⎧ a 2a 3＝45，a 1＋a 5＝18，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d a 1＋2d ＝45，a 1＋a 1＋4d ＝18.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，d ＝4. ∴a n ＝4n －3 (n ∈N*)． (2)由b n ＝S nn ＋c ＝n 1＋4n －32n ＋c ＝2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12n ＋c ，∵c ≠0，∴可令c ＝－12，得到b n ＝2n .∵b n ＋1－b n ＝2(n ＋1)－2n ＝2(n ∈N *)，∴数列{b n }是公差为2的等差数列．即存在一个非零常数c ＝－12，使数列{b n }也为等差数列．。

课题：等差数列的前n项和教材：普通高中课程标准实验教科书《数学》必修5(人民教育出版社A版)一、背景分析1．教学内容分析《等差数列的前n项和》是按照从特殊到一般的探究方式，引导学生采用倒序相加法推导等差数列的前n项和公式，并体会公式的一些应用，同时让学生探究等差数列的前n 项和公式与关于n的二次函数之间的联系。

2．在教材中的地位等差数列前n项和是进一步学习数列、微积分的基础，与数学课程的其它内容（函数、三角、不等式等）有着密切的联系。

3．重点、难点定位重点：等差数列前n项和公式的理解、推导及应用。

难点：等差数列前n项和公式推导方法及它与二次函数的关系。

二、学生学情分析1、知识准备学生已经学习了等差数列的通项公式和性质，数列的和等有关内容。

2、能力储备学生经过初高中的数学学习，已具有一定的自主探究能力，从特殊到一般的类比推理能力，但学生对于倒序求和的思想还初次见到。

3、学生情况我所在的学校是省示范性高中，学生基础还不错，经过近几年的课改，已经形成了较浓的自主探究氛围与合作交流意识。

这些都为本节课突破难点提供了有利条件。

三、教学目标1、知识与技能（1）理解等差数列前项和的定义以及等差数列前项和公式推导的过程，并理解推导此公式的方法——倒序相加法，记忆公式的两种形式；（2）用方程思想认识等差数列前项和的公式，利用公式求；等差数列通项公式与前项和的公式两套公式涉及五个字母，已知其中三个量求另两个量；（3）会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题.2、过程与方法（1）通过对历史有名的高斯求和的介绍，引导学生发现等差数列的第k项与倒数第k项的和等于首项与末项的和这个规律，然后体验从特殊到一般的研究方法。

通过公式的探索、发现，在知识发生、发展以及形成过程中培养学生观察、联想、归纳、分析、综合和逻辑推理的能力。

（2）通过公式的推导过程，展现数学中的对称美；通过有关内容在实际生活中的应用，使学生再一次感受数学源于生活，又服务于生活的实用性，引导学生要善于观察生活，从生活中发现问题，并运用数学知识和方法科学地解决问题.3、情感与价值观(1) 通过对数列知识的进一步学习，不断培养学生自主学习、合作交流、善于反思、勤于总结的科学态度和锲而不舍的钻研精神，提高参与意识和合作精神；（2）通过生动具体的现实问题，激发学生探究的兴趣和欲望，树立学生求真的勇气和自信心，产生热爱数学的情感, 形成学数学、用数学的思维和意识，培养学好数学的信心，体验在学习中获得成功的成就感，为远大的志向而不懈奋斗。

【重点知识梳理】一、等差数列的有关概念1．定义：如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *,d 为常数)．2．等差中项：数列a ,A ,b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b2,其中A 叫做a ,b 的等差中项．二、等差数列的有关公式 1．通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d . 2．前n 项和公式：S n ＝na 1＋nn －12d ＝a 1＋a n n2. 三、等差数列的性质1．若m ,n ,p ,q ∈N *,且m ＋n ＝p ＋q ,{a n }为等差数列,则a m ＋a n ＝a p ＋a q . 2．在等差数列{a n }中,a k ,a 2k ,a 3k ,a 4k ,…仍为等差数列,公差为kd .3．若{a n }为等差数列,则S n ,S 2n －S n ,S 3n －S 2n ,…仍为等差数列,公差为n 2d .4．等差数列的增减性：d >0时为递增数列,且当a 1<0时前n 项和S n 有最小值．d <0时为递减数列,且当a 1>0时前n 项和S n 有最大值．5．等差数列{a n }的首项是a 1,公差为d .若其前n 项之和可以写成S n ＝An 2＋Bn ,则A ＝d 2,B ＝a 1－d2,当d ≠0时它表示二次函数,数列{a n }的前n 项和S n ＝An 2＋Bn 是{a n }成等差数列的充要条件．【特别提醒】1.与前n 项和有关的三类问题(1)知三求二：已知a 1、d 、n 、a n 、S n 中的任意三个,即可求得其余两个,这体现了方程思想． (2)S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ＝An 2＋Bn ⇒d ＝2A . (3)利用二次函数的图象确定S n 的最值时,最高点的纵坐标不一定是最大值,最低点的纵坐标不一定是最小值．2．设元与解题的技巧已知三个或四个数组成等差数列的一类问题,要善于设元,若奇数个数成等差数列且和为定值时,可设为…,a －2d ,a －d ,a ,a ＋d ,a ＋2d ,…；若偶数个数成等差数列且和为定值时,可设为…,a －3d ,a －d ,a ＋d ,a ＋3d ,…,其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元．【高频考点突破】考点一、等差数列的判断与证明 1．证明{a n }为等差数列的方法：(1)用定义证明：a n －a n －1＝d (d 为常数,n ≥2)⇔{a n }为等差数列； (2)用等差中项证明：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2⇔{a n }为等差数列； (3)通项法：a n 为n 的一次函数⇔{a n }为等差数列； (4)前n 项和法：S n ＝An 2＋Bn 或S n ＝n a 1＋a n2.2．用定义证明等差数列时,常采用的两个式子a n ＋1－a n ＝d 和a n －a n －1＝d ,但它们的意义不同,后者必须加上“n ≥2”,否则n ＝1时,a 0无定义．例1、在数列{a n }中,a 1＝－3,a n ＝2a n －1＋2n ＋3(n ≥2,且n ∈N *)． (1)求a 2,a 3的值；(2)设b n ＝a n ＋32n (n ∈N *),证明：{b n }是等差数列．考点二、等差数列的基本运算1．等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d 及前n 项和公式S n ＝na 1＋a n 2＝na 1＋nn －12d ,共涉及五个量a 1,a n ,d ,n ,S n ,知其中三个就能求另外两个,体现了方程的思想．2．数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用,而a 1和d 是等差数列的两个基本量,用它们表示已知和未知是常用方法．例2、已知{a n }为等差数列,且a 1＋a 3＝8,a 2＋a 4＝12. (1)求{a n }的通项公式；(2)记{a n }的前n 项和为S n ,若a 1,a k ,S k ＋2成等比数列,求正整数k 的值． 考点三、等差数列的性质1．等差数列的性质是等差数列的定义、通项公式以及前n 项和公式等基础知识的推广与变形,熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等差数列问题．2．应用等差数列的性质解答问题的关键是寻找项的序号之间的关系．例3、(1)等差数列{a n}中,若a1＋a4＋a7＝39,a3＋a6＋a9＝27,则前9项和S9等于()A．66 B．99C．144 D．297(2)设等差数列{a n}的前n项和S n,若S4＝8,S8＝20,则a11＋a12＋a13＋a14＝()A．18 B．17C．16 D．15【经典考题精析】（2013·新课标全国卷Ⅰ] 设等差数列{a n}的前n项和为S n,若S m－1＝－2,S m＝0,S m＋1＝3,则m＝()A．3 B．4 C．5 D．6（2013·广东卷）在等差数列{a n}中,已知a3＋a8＝10,则3a5＋a7＝________．（2013·北京卷）已知{a n}是由非负整数组成的无穷数列,该数列前n项的最大值记为A n,第n项之后各项a n＋1,a n＋2,…的最小值记为B n,d n＝A n－B n.(1)若{a n}为2,1,4,3,2,1,4,3,…,是一个周期为4的数列(即对任意n∈N*,a n＋4＝a n),写出d1,d2,d3,d4的值；(2)设d是非负整数,证明：d n＝－d(n＝1,2,3,…)的充分必要条件为{a n}是公差为d的等差数列；(3)证明：若a1＝2,d n＝1(n＝1,2,3,…),则{a n}的项只能是1或者2,且有无穷多项为1.（2013·全国卷）等差数列{a n}前n项和为S n.已知S3＝a22,且S1,S2,S4成等比数列,求{a n}的通项公式．（2013·山东卷）设等差数列{a n}的前n项和为S n,且S4＝4S2,a2n＝2a n＋1.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设数列{b n}的前n项和为T n,且T n＋a n＋12n＝λ(λ为常数),令c n＝b2n(n∈N*),求数列{c n}的前n项和R n.（2013·四川卷）在等差数列{a n}中,a1＋a3＝8,且a4为a2和a9的等比中项,求数列{a n}的首项、公差及前n项和．（2013·新课标全国卷Ⅱ] 等差数列{a n}的前n项和为S n,已知S10＝0,S15＝25,则nS n的最小值为________．（2013·重庆卷）已知{a n }是等差数列,a 1＝1,公差d≠0,S n 为其前n 项和,若a 1,a 2,a 5成等比数列,则S 8＝________．（2012·辽宁卷）在等差数列{a n }中,已知a 4＋a 8＝16,则该数列前11项和S 11＝( ) A ．58 B ．88 C ．143 D ．176（2012·全国卷）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 5＝5,S 5＝15,则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前100项和为( )A.100101B.99101C.99100D.101100（2012·北京卷）已知{a n }为等差数列,S n 为其前n 项和,若a 1＝12,S 2＝a 3,则a 2＝________.（2012·福建卷）等差数列 {a n }中,a 1＋a 5＝10,a 4＝7,则数列{a n }的公差为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4（2012·广东卷）已知递增的等差数列{a n }满足a 1＝1,a 3＝a 22－4,则a n ＝________.（2012·四川卷）设函数f (x )＝2x －cos x ,{a n }是公差为π8的等差数列,f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a 5)＝5π,则[f (a 3)]2－a 1a 5＝( )A ．0 B.116π2C.18π2D.1316π2 （2012·广东卷）设数列{a n }的前n 项和为S n ,满足2S n ＝a n ＋1－2n ＋1＋1,n ∈N *,且a 1,a 2＋5,a 3成等差数列．(1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)证明：对一切正整数n ,有1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32.（2012·湖北卷）已知等差数列{a n }前三项的和为－3,前三项的积为8. (1)求等差数列{a n }的通项公式；(2)若a 2,a 3,a 1成等比数列,求数列{|a n |}的前n 项和．（2012·湖南卷）已知数列{a n }的各项均为正数,记A (n )＝a 1＋a 2＋…＋a n ,B (n )＝a 2＋a 3＋…＋a n ＋1,C (n )＝a 3＋a 4＋…＋a n ＋2,n ＝1,2,….(1)若a 1＝1,a 2＝5,且对任意n ∈N *,三个数A (n ),B (n ),C (n )组成等差数列,求数列{a n }的通项公式； (2)证明：数列{a n }是公比为q 的等比数列的充分必要条件是：对任意n ∈N *,三个数A (n ),B (n ),C (n )组成公比为q 的等比数列．（2012·江西卷）设数列{a n },{b n }都是等差数列．若a 1＋b 1＝7,a 3＋b 3＝21,则a 5＋b 5＝________. （2012·陕西卷）设{a n }是公比不为1的等比数列,其前n 项和为S n ,且a 5,a 3,a 4成等差数列． (1)求数列{a n }的公比；(2)证明：对任意k ∈N ＋,S k ＋2,S k ,S k ＋1成等差数列．（2012·重庆卷）在等差数列{a n }中,a 2＝1,a 4＝5,则{a n }的前5项和S 5＝( ) A ．7 B ．15 C ．20 D ．25 【当堂巩固】1．等差数列{a n }中,a 1＋a 5＝10,a 4＝7,则数列{a n }的公差为 ( )． A ．1B ．2C ．3D ．42．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和,已知a 1＋a 3＋a 11＝6,那么S 9＝ ( )．A ．2B ．8C ．18D ．363．已知{a n }为等差数列,a 1＋a 3＋a 5＝105,a 2＋a 4＋a 6＝99,则a 20等于( )． A ．－1B ．1C ．3D ．74．在等差数列{a n }中,S 15>0,S 16<0,则使a n >0成立的n 的最大值为 ( )．A ．6B ．7C ．8D ．95．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,S 4＝40,S n ＝210,S n －4＝130,则n ＝ ( )．A ．12B ．14C ．16D ．186．已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ,且A n B n ＝7n ＋45n ＋3,则使得a n b n为整数的正整数的个数是( )． A ．2B ．3C ．4D ．57．等差数列{a n }的通项公式是a n ＝2n ＋1,其前n 项和为S n ,则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前10项和为________．8．设项数为奇数的等差数列,奇数项之和为44,偶数项之和为33,则这个数列的中间项是________,项数是________．9．设数列{a n },{b n }都是等差数列,若a 1＋b 1＝7,a 3＋b 3＝21,则a 5＋b 5＝________. 10．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 412－S 39＝1,则公差为________．11．(12分)在等差数列{a n }中,已知a 2＋a 7＋a 12＝12,a 2·a 7·a 12＝28,求数列{a n }的通项公式． 12．(13分)在等差数列{a n }中,公差d ＞0,前n 项和为S n ,a 2·a 3＝45,a 1＋a 5＝18. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝S n n ＋c (n ∈N *),是否存在一个非零常数c ,使数列{b n }也为等差数列？若存在,求出c 的值；若不存在,请说明理由．13．(12分)在数列{a n }中,a 1＝8,a 4＝2,且满足a n ＋2＋a n ＝2a n ＋1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设S n 是数列{|a n |}的前n 项和,求S n .14．已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 2a n ＝S 2＋S n 对一切正整数n 都成立． (1)求a 1,a 2的值；(2)设a 1＞0,数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫lg 10a 1a n 的前n 项和为T n .当n 为何值时,T n 最大？并求出T n 的最大值．。

2014年高考数学一轮复习精品学案（人教版A 版）数列概念及等差数列一．【课标要求】1．数列的概念和简单表示法；通过日常生活中的实例，了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图像、通项公式），了解数列是一种特殊函数；2．通过实例，理解等差数列的概念，探索并掌握等差数列的通项公式与前n 项和的公式；3．能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题。

体会等差数列与一次函数的关系.二．【命题走向】数列在历年高考都占有很重要的地位，一般情况下都是一至二个客观性题目和一个解答题。

对于本将来讲，客观性题目主要考察数列、等差数列的概念、性质、通项公式、前n 项和公式等基本知识和基本性质的灵活应用，对基本的计算技能要求比较高.预测2014年高考：1．题型既有灵活考察基础知识的选择、填空，又有关于数列推导能力或解决生产、生活中的实际问题的解答题；2．知识交汇的题目一般是数列与函数、不等式、解析几何、应用问题联系的综合题，还可能涉及部分考察证明的推理题.三．【要点精讲】1．数列的概念（1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；数列中的每个数都叫这个数列的项。

记作n a ，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位置的叫第2项，……，序号为n 的项叫第n 项（也叫通项）记作n a ；数列的一般形式：1a ，2a ，3a ，……，n a ，……，简记作 {}n a 。

（2）通项公式的定义：如果数列}{n a 的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式.例如，数列①的通项公式是n a = n （n ≤7，n N +∈），数列②的通项公式是n a =1n（n N +∈）。

说明：①{}n a 表示数列，n a 表示数列中的第n 项，n a = ()f n 表示数列的通项公式；② 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。

例如，n a =(1)n -=1,21()1,2n k k Z n k-=-⎧∈⎨+=⎩； ③不是每个数列都有通项公式。