2014年高考一轮复习数学教案：10.5 二项式定理

高中数学《二项式定理》教学设计教学目标：1.理解二项式定理的概念和公式；2.掌握二项式定理的应用方法，能够将其用于多项式展开和计算；3.培养学生的逻辑思维能力和数学推理能力。

教学重点：1.二项式定理的概念和公式；2.二项式定理的应用方法。

教学难点：1.二项式定理的应用方法；2.数学推理能力的培养。

教学准备：1.教材《高中数学》；2.黑板、彩色粉笔；3.教学投影仪。

教学过程：Step 1 引入（5分钟）1. 在黑板上写出“(a+b)² = a² + 2ab + b²”这个式子，让学生观察这个式子有什么特点。

2.引导学生思考，当我们展开一个形如“(a+b)ⁿ”的式子时，会得到怎样的结果。

Step 2 概念讲解（10分钟）1.分析上面提到的式子，得出一个结论：“当一个多项式的指数为2时，展开后的结果是一个三项式”。

2.引入二项式的概念：“若为任意正整数n，a和b为任意常数，则(a+b)ⁿ展开后得到的多项式称为二项式。

”3.引入二项式定理的公式：“对任意正整数n，有(a+b)ⁿ=C(n,0)aⁿ·b⁰+C(n,1)aⁿ⁻¹·b¹+C(n,2)aⁿ⁻²·b²+...+C(n,n-1)a¹·bⁿ⁻¹+C(n,n)a⁰·bⁿ。

”4.解释公式中的C(n,k)为组合数，表示从n个元素中选择k个元素的组合数。

Step 3 示例讲解（15分钟）1.通过一个具体的示例，将二项式定理的应用方法展示给学生。

2.示范展开一个二项式“(a+b)³”。

3.计算C(3,0)、C(3,1)、C(3,2)、C(3,3)的值。

4.将计算结果代入公式，展开“(a+b)³”。

Step 4 练习（20分钟）1.让学生尝试展开不同次数的二项式，并听取他们的答案。

2.提示学生根据二项式定理的公式，计算组合数的值，并将其应用于展开计算中。

10.3 二项式定理考纲要求1．能用计数原理证明二项式定理．2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．1．二项式定理(a ＋b )n ＝____________________，该等式右边的多项式叫做(a ＋b )n的二项展开式．该展开式有如下特点：(1)它是______项和的形式；(2)各项次数的和都等于二项式的幂指数____，各项从左到右是按字母a 的降幂且按字母b 的升幂排列的；(3)它是两项和的形式，公式中a ，b 的位置不能互换，(a －b )n可按[a ＋(－b )]n展开；(4)C r n (r ＝0,1,2，…，n )叫做二项展开式第______项的二项式系数，它与a ，b 的取值无关．2．通项公式T r ＋1＝C r na n －rb r(r ＝0,1,2，…，n )，它表示展开式中的任意一项，只要n ，r 确定，该项也就随之确定．3．二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离〞的两个二项式系数相等，即C r n ＝______. (2)增减性与最大值：当n 是偶数时，中间一项的二项式系数__________最大；当n 是奇数时，中间两项的二项式系数____________、__________相等且最大．(3)各二项式系数的和：012C C C C n n n n n ++++…＝____，其中02C C n n ++…＝__________＝2n －1，即奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，都等于2n －1.1．(1－x )4(1＋x )4的展开式中x 的系数是( )． A ．－4 B ．－3 C ．3 D ．42．假设(x －1)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，那么a 0＋a 2＋a 4的值为( )． A ．9 B ．8 C ．7 D ．63．(2012湖北高考)设a ∈Z ，且0≤a ＜13，假设512 012＋a 能被13整除，那么a ＝( )． A ．0 B ．1 C ．11 D ．124．假设⎝⎛⎭⎪⎫x －a x6展开式的x 2的系数为A ，常数项为B ，假设B ＝4A ，那么a 的值为__________．5．⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13x 18的展开式中含x 15的项的系数为__________．(结果用数值表示)一、二项展开式的通项公式的应用[例1]假设⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋124x n 的展开式中前三项的系数成等差数列，求： (1)展开式中含x 的一次幂的项； (2)展开式中所有x 的有理项． 方法提炼二项展开式的通项与数列的通项公式类似，它可以表示二项展开式的任意一项，只要n ，r 确定，该项也就随之确定．利用二项展开式的通项可以求出展开式中任意的指定项，如常数项、系数最大的项、次数为某一确定值的项、有理项等．请做演练巩固提升3二、用赋值法求二项展开式系数的和[例2]在(2x －3y )10的展开式中，求： (1)二项式系数的和； (2)各项系数的和；(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和； (4)奇数项系数和与偶数项系数和；(5)x 的奇次项系数和与x 的偶次项系数和． 方法提炼由于二项式定理是一个恒等式，对于a ，b 的一切取值均成立．因此，可将a ，b 设定为一些特殊值．在使用赋值法时，令a ，b 取多少，应就具体情况而定．请做演练巩固提升1三、二项式定理的其他应用[例3]求证：1＋2＋22＋…＋25n －1能被31整除(n ∈N *)． 方法提炼1．利用二项式定理解决整除问题时，关键是进行合理地变形构造二项式，应注意：要证明一个式子能被另一个式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可．2．求余数问题时，应明确被除式f (x )与除式g (x )(g (x )≠0)，商式q (x )与余式的关系及余式的范围．请做演练巩固提升2二项式定理中的几个概念[典例](12分)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 2n (n ∈N *)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10∶1.(1)求展开式中各项系数的和；(2)求展开式中含32x 的项；(3)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项．规范解答：由题意知，第五项系数为C 4n ·(－2)4，第三项的系数为C 2n ·(－2)2，那么有C 4n ·(－2)4C 2n ·(－2)2＝101， 化简得n 2－5n －24＝0，解得n ＝8或n ＝－3(舍去)．(4分)(1)令x ＝1，得展开式中各项系数的和为(1－2)8＝1.(5分)(2)通项T r ＋1＝C r 8·(x )8－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 2r＝C r 8·(－2)r·82r 2rx --， 令8－r 2－2r ＝32，那么r ＝1，故展开式中含32x 的项为32216T x ＝－.(8分)(3)设展开式中的第r 项、第r ＋1项、第r ＋2项的系数绝对值分别为C r －18·2r －1，C r 8·2r，C r ＋18·2r ＋1，假设第r ＋1项的系数绝对值最大，那么⎩⎪⎨⎪⎧C r －18·2r －1≤C r 8·2r ，C r ＋18·2r ＋1≤C r 8·2r，解得5≤r ≤6.(10分) 又T 6的系数为负，∴系数最大的项为T 7＝1 792x －11.由n ＝8知第五项二项式系数最大，此时T 5＝1 120x －6.(12分)答题指导：1．此题重点考查了二项式的通项、二项式系数、项的系数以及项数和项的有关概念． 2．解题时要注意区别二项式系数和项的系数的不同及项数和项的不同． 3．此题的易错点是混淆项与项数、二项式系数和项的系数的区别．1．设(1＋x ＋x 2)n ＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2n x 2n，求a 2＋a 4＋…＋a 2n 的值为( )．A ．3nB ．3n－2C ．3n －12D ．3n ＋122．假设(1－2x )2 013＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 013x2 013(x ∈R )，那么a 12＋a 222＋a 323＋…＋a 2 01322 013的值为( )．A ．2B ．0C ．－1D ．－23．(1＋x 3)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 26展开式的常数项为__________．4．(2012上海高考)在⎝⎛⎭⎪⎫x －2x 6的二项展开式中，常数项等于__________．参考答案基础梳理自测 知识梳理1．C 0n a n ＋C 1n a n －1b 1＋C 2n a n －2b 2＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n n b n (n ∈N *) n ＋1 n r ＋1 3．(1)Cn －r n(2)2C n n 12Cn n -12Cn n+ (3)2n C 1n ＋C 3n ＋…基础自测1．A 解析：原式＝(1－x )4(1＋x )4＝(1－x )4，于是x 的系数是C 14·(－1)＝－4.2．B 解析：(x －1)4＝1＋C 14x (－1)3＋C 24x 2(－1)2＋C 34x 3(－1)＋x 4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，∴a 0＝1，a 2＝C 24＝6，a 4＝1. ∴a 0＋a 2＋a 4＝8.3．D 解析：∵52能被13整除，∴512 012可化为(52－1)2 012，其二项式系数为T r ＋1＝C r2 012522 012－r ·(－1)r .故(52－1)2 012被13除余数为C 2 0122 012·(－1)2 012＝1，那么当a ＝12时，512 012＋12被13整除．4．－3 解析：二项展开式的通项为T r ＋1＝C r 6x6－r⎝ ⎛⎭⎪⎫－a x r ＝(－a )r C r 6x 6－2r ， ∴A ＝(－a )2C 26＝15a 2，B ＝(－a )3C 36＝－20a 3. 又∵B ＝4A ，∴－20a 3＝60a 2. ∴a ＝－3.5．17 解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13x 18展开式的通项T r ＋1＝C r 18x 18－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13r C r 183182r x -.令18－32r ＝15，那么r ＝2，故展开式中含x 15的系数为⎝ ⎛⎭⎪⎫－132C 218＝17.考点探究突破[例1]解：∵⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋124x n 的展开式中前三项的系数分别为C 0n ⎝ ⎛⎭⎪⎫120，C 1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫121，C 2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫122，而前三项的系数成等差数列，∴2C 1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫121＝C 0n ⎝ ⎛⎭⎪⎫120＋C 2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫122，即n ＝1＋n n －14×2，解得n ＝8或n ＝1(舍去)．(1)T r ＋1＝C r 8(x )8－r ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫124x r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12r C r81634r x -，令16－3r4＝1，得r ＝4. ∴T 5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫124C 48x ＝358x .∴展开式中含x 的一次幂的项为T 5＝358x .(2)∵T r ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12r C r81634r x-，要使16－3r 4为整数，那么r ＝0,4,8.∴T 1＝x 4，T 5＝358x ，T 9＝1256x －2.∴展开式中所有x 的有理项为x 4，358x ，1256x －2.[例2]解：设(2x －3y )10＝a 0x 10＋a 1x 9y ＋a 2x 8y 2＋…＋a 10y 10，(*)各项系数和即为a 0＋a 1＋…＋a 10，奇数项系数和为a 0＋a 2＋…＋a 10，偶数项系数和为a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 9，x 的奇次项系数和为a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 9，x 的偶次项系数和为a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10.由于(*)是恒等式，故可用“赋值法〞求出相关的系数和．(1)二项式系数的和为C 010＋C 110＋…＋C 1010＝210.(2)令x ＝y ＝1，各项系数和为(2－3)10＝(－1)10＝1.(3)奇数项的二项式系数和为C 010＋C 210＋…＋C 1010＝29，偶数项的二项式系数和为C 110＋C 310＋…＋C 910＝29. (4)令x ＝y ＝1，得到a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10＝1，① 令x ＝1，y ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 10＝510，②①＋②得2(a 0＋a 2＋…＋a 10)＝1＋510，∴奇数项的系数和为1＋5102；①－②得2(a 1＋a 3＋…＋a 9)＝1－510，∴偶数项的系数和为1－5102.(5)x 的奇次项系数和为a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 9＝1－5102；x 的偶次项系数和为a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10＝1＋5102.[例3]证明：1＋2＋22＋…＋25n －1＝25n－12－1＝25n －1＝32n －1＝(31＋1)n－1 ＝C 0n ×31n ＋C 1n ×31n －1＋…＋C n －1n ×31＋C nn －1＝31(C 0n ×31n －1＋C 1n ×31n －2＋…＋C n －1n )， 显然上式括号内为整数， ∴原式能被31整除． 演练巩固提升1．C 解析：令x ＝0，得a 0＝1；令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 2n ＝1，①令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2n ＝3n，② 由①＋②得2(a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝3n＋1，故a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 2n ＝3n＋12，再由a 0＝1得a 2＋a 4＋…＋a 2n ＝3n－12.2．C 解析：法一：由二项式定理得通项为T r ＋1＝C r 2 013(－2x )r ＝(－1)r 2r C r 2 013x r，那么a n ＝(－1)n 2n C n2 013. ∴a n2n ＝(－1)n C n2 013. 那么a 12＋a 222＋a 323＋…＋a 2 01322 013＝(1－1)2 013－C 02 013＝－1.应选C.法二：原式令x ＝0，那么a 0＝1.令x ＝12，那么a 12＋a 222＋a 323＋…＋a 2 01322 013＝⎝⎛⎭⎪⎫1－2×12 2 013－1＝－1.应选C.3．35 解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 26的通项为T r ＋1＝C r 6x 6－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2r ＝C r 6x 6－3r ，(1＋x 3)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 26的展开式中的常数项由两部分组成：①由6－3r ＝0，得r ＝2，C 26＝15；②由6－3r ＝－3，得r ＝3，C 36＝20. 相加得15＋20＝35.4．－160 解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 6的二项展开式中的常数项为C 36·(x )3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 3＝－160.。

二项式定理教案
（一）教学目标
1．知识与技能：掌握二项式定理①能根据组合思想及不完全归纳，得出二项式定理和二项展开式的通项。

②能正确区分二项式系数和某一项的系数。

③能正确利用二项式定理对任意给定的一个二项式进行展开，并求出它的特定项。

2．过程与方法：通过定理的发现推导提高学生的观察，比较，分析，概括等能力。

（二）教学重点与难点
重点：二项式定理的发现，理解和初步应用。

难点：二项式定理的发现。

（三）教学方法
启发诱导，师生互动
（四）教学过程。

高三数学教案《二项式定理》优秀三篇回顾小结：篇一通过学生主动探索的学习过程，使学生清晰的掌握二项式定理的内容，更体会到了二项式定理形成的思考方式，为后继课程（n次独立重复实验恰好发生k次）的学习打下了基础。

而二项式定理内容本身对解释二项分布有很直接的功效，因为二项分布中所有概率和恰好是二项式。

课后记：准备这节课，我主要思考了这么几个问题：1）这节课的教学目的“使学生掌握二项式定理”重要，还是“使学生掌握二项式定理的形成过程”重要？我反复斟酌，认为后者重要。

于是，我这节课花了大部分时间是来引导学生探究“为什么可以用组合数来表示二项式定理中各项的二项式系数？”2）学生怎样才能掌握二项式定理？是通过大量的练习来达到目的，还是通过学生对二项式定理的形成过程来记忆？正如前面所说“学问之道，问而得，不如求而得之深固也”。

我还是要求学生自主的去探索二项式定理。

这样也符合以教师为主导、学生为主体、师生互动的新课程教学理念。

3）准备什么样的例题？例题的目的是为了巩固本节课所学，例题1是很直接的二项式定理内容的应用；为了更好的让学生体会到二项式定理形成过程中的思考问题的方式，并培养学生知识的迁移能力，我增多了例题，但难免还有一些有不足之处，希望各位老师能不吝赐教。

谢谢！教材分析：篇21.知识内容：二项式定理及简单应用2.地位及重要性二项式定理是安排在高中数学排列组合内容后的一部分内容，其形成过程是组合知识的应用，同时也是自成体系的知识块，为随后学习的概率知识及高三选修概率与统计，作知识上的铺垫。

二项展开式与多项式乘法有密切的联系，本节知识的学习，必然从更广的视角和更高的层次来审视初中学习的有关多项式变形的知识。

利用二项式定理可以解决一些比较典型的数学问题，例如近似计算、整除问题、不等式的证明等。

3.教学目标A、知识目标：1）使学生参与并探讨二项式定理的形成过程，掌握二项式系数、字母的幂次、展开式项数的规律2）能应用二项式定理对所给出的二项式进行正确的展开B、能力目标：1）在学生对二项式定理形成过程的参与、探讨过程中，培养学生观察、猜想、归纳的能力及分类讨论解决问题的能力2）培养学生的化归意识和知识迁移的能力c、情感目标：1）通过学生自主参与和二项式定理的形成过程培养学生解决数学问题的信心；2）通过学生自主参与和二项式定理的形成过程培养学生体会到数学内在和谐对称美；3）培养学生的民族自豪感，在学习知识的过程中进行爱国主义教育。

10.7二项式定理、1．二项式定理(1)定理公式(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n(n∈N*)叫做二项式定理．(2)通项T r＋1＝C r n a n－r b r为展开式的第r＋1项．2．二项式系数与项的系数(1)二项式系数二项展开式中各项的系数C r n(r∈{0,1，…，n})叫做二项式系数．(2)项的系数项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与二项式系数是两个不同的概念．3．二项式系数的性质性质内容对称性与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即C m n＝C n－mn增减性当r＜n＋12时，二项式系数逐渐增大；当r＞n＋12时，二项式系数逐渐减小最大值当n是偶数时，中间一项⎝⎛⎭⎫第n2＋1项的二项式系数最大，最大值为Cn2n；当n是奇数时，中间两项⎝⎛第n－12＋1项和第n＋12＋1)项的二项式系数相等，且同时取得最大值，最大值为Cn－12n或Cn＋12n4．各二项式系数的和(a＋b)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n，即C0n＋C1n＋C2n＋…＋C r n＋…＋C n n＝2n.二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C1n＋C3n＋C5n＋…＝C0n＋C2n＋C4n＋…＝2n－1.1．二项式的通项易误认为是第r 项实质上是第r ＋1项．2．(a ＋b )n 与(b ＋a )n 虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不相同的，所以公式中的第一个量a 与第二个量b 的位置不能颠倒．3．易混淆二项式中的“项”，“项的系数”、“项的二项式系数”等概念，注意项的系数是指非字母因数所有部分，包含符号，二项式系数仅指C r n (r ＝0,1，…，n )． 『试一试』1．(2014·无锡调研)化简C 22n ＋C 42n ＋…＋C 2k 2n ＋…＋C 2n 2n 的值为________． 『解析』(1＋x )2n ＝C 02n ＋C 12n x ＋C 22n x 2＋C 32n x 3＋…＋C 2n 2n x 2n . 令x ＝1得C 02n ＋C 12n ＋C 22n ＋…＋C 2n －12n ＋C 2n 2n ＝22n ；再令x ＝－1得C 02n －C 12n ＋C 22n －…＋(－1)r C r 2n ＋…－C 2n －12n ＋C 2n 2n ＝0. 两式相加得2(C 02n ＋C 22n ＋…＋C 2n 2n )＝22n ，又C 02n ＝1，得C 22n ＋C 42n ＋…＋C 2k 2n ＋…＋C 2n 2n ＝22n 2－1＝22n －1－1.『答案』22n －1－12．(2014·深圳调研)若(1＋2x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，则a 3＝________.『解析』根据已知条件得，T 3＋1＝C 35(2x )3＝80x 3，∴a 3＝80. 『答案』803．(2014·沈阳模拟)设二项式(x －ax )6的展开式中x 2的系数为A ，常数项为B ，若B ＝4A ，则a ＝________.『解析』T r ＋1＝C r 6x 6－r ·⎝⎛⎭⎫－a x r ＝(－a )r C r 6x 6－2r ，令6－2r ＝2，得r ＝2，A ＝a 2C 26＝15a 2；令6－2r ＝0，得r ＝3，B ＝－a 3C 36＝－20a 3，代入B ＝4A 得a ＝－3.『答案』－31．赋值法研究二项式的系数和问题“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax ＋b )n 、(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可；对形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可． 2．利用二项式定理解决整除问题的思路要证明一个式子能被另一个式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可．因此，一般要将被除式化为含相关除式的二项式，然后再展开． 3．二项式系数最大项的确定方法(1)如果n 是偶数，则中间一项⎝⎛⎭⎫第⎝⎛⎭⎫n 2＋1项的二项式系数最大； (2)如果n 是奇数，则中间两项⎝⎛第n ＋12项与第⎝⎛⎭⎫n ＋12＋1 )项的二项式系数相等并最大．4．二项展开式系数最大项的求法如求(a ＋bx )n (a ，b ∈R )的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A 1，A 2，…，A n ＋1，且第r 项系数最大，应用⎩⎪⎨⎪⎧A r ≥A r －1A r ≥A r ＋1从而解出r 来，即得．『练一练』1．设a ∈Z ，且0≤a ＜13，若512 012＋a 能被13整除，则a ＝________.『解析』512 012＋a ＝(13×4－1)2 012＋a ，被13整除余1＋a ，结合选项可得a ＝12时，512 012＋a 能被13整除． 『答案』122．若x ∈(0，＋∞)，则(1＋2x )15的二项展开式中系数最大的项为第________项．『解析』T r ＋1＝C r 152r x r ，由C r －1152r －1≤C r 152r ，C r ＋1152r ＋1≤C r 152r ⇒293≤r ≤323，r ＝10，所以第11项的系数最大． 『答案』11考点一二项式中的特定项或特定项的系数1．(2013·江西高考改编)⎝⎛⎭⎫x 2－2x 35展开式中的常数项为________． 『解析』T r ＋1＝C r 5·(x 2)5－r ·⎝⎛⎭⎫－2x 3r ＝C r 5·(－2)r ·x 10－5r ，令10－5r ＝0，得r ＝2，故常数项为C 25×(－2)2＝40. 『答案』402．(2014·浙江五校联考)在⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 5的展开式中x 的系数为__________． 『解析』∵T r ＋1＝C r 5(x 2)5－r ⎝⎛⎭⎫1x r ＝C r 5x 10－3r ， ∴x 的系数为C 35＝10. 『答案』103．(2013·安徽高考)若⎝⎛⎭⎪⎫x ＋a 3x 8的展开式中x 4的系数为7，则实数a ＝________.『解析』二项式⎝⎛⎭⎪⎫x ＋a 3x 8展开式的通项为T r ＋1＝C r 8a r x 8－43r ，令8－43r ＝4，可得r ＝3，故C 38a 3＝7，易得a ＝12.『答案』12『备课札记』 『类题通法』求二项展开式中的指定项，一般是利用通项公式进行化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数r ＋1，代回通项公式即可．考点二二项式系数和或各项系数和问题『典例』 (1)(2014·北京西城一模)若⎝⎛⎭⎪⎫3x －13x 2m 的展开式中二项式系数之和为128，则展开式中1x3的系数是________．(2)(2013·成都诊断)若(1－2x )4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝________. 『解析』 (1)∵2m ＝128，∴m ＝7， ∴展开式的通项T r ＋1＝C r 7(3x )7－r ·⎝⎛⎭⎪⎫－13x 2r ＝C r 737－r (－1)r x 7－5r 3，令7－53r ＝－3，解得r ＝6，∴1x3的系数为C 6737－6(－1)6＝21. (2)令x ＝1可得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1，令x ＝0，可得a 0＝1，所以a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝0. 『答案』 (1)21 (2)0『备课札记』在本例(2)中条件不变，问题变为“求|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|”.『解』由题意知(1＋2x )4＝a 0＋|a 1|x ＋|a 2|x 2＋|a 3|x 3＋|a 4|x 4，令x ＝1得a 0＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|＝34＝81. 『类题通法』1．二项式定理给出的是一个恒等式，对于a ，b 的一切值都成立．因此，可将a ，b 设定为一些特殊的值．在使用赋值法时，令a ，b 等于多少时，应视具体情况而定，一般取“1、－1或0”，有时也取其他值．2．一般地，若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )的展开式中各项系数之和为f (1)，奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f 1＋f －12，偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f 1－f －12.『针对训练』若(1－2x )2 013＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2 013x 2 013，则a 12＋a 222＋…＋a 2 01322 013＝________.『解析』当x ＝0时，左边＝1，右边＝a 0，∴a 0＝1. 当x ＝12时，左边＝0，右边＝a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01322 013，∴0＝1＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01322 013.即a 12＋a 222＋…＋a 2 01322 013＝－1 『答案』－1考点三多项式展开式中的特定项(系数问题)在高考中，常常涉及一些多项式二项式问题，主要考查学生的化归能力，归纳起来常见的命题角度有： 1几个多项式和的展开式中的特定项系数问题 2几个多项式积的展开式中的特定项系数问题3三项展开式中的特定项系数问题角度一 几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题 1.⎝⎛⎭⎫x 3－2x 4＋⎝⎛⎭⎫x ＋1x 8的展开式中的常数项为________． 『解析』⎝⎛⎭⎫x 3－2x 4的展开式的通项为T m ＋1＝C m 4(x 3)4－m ·⎝⎛⎭⎫－2x m ＝C m 4(－2)m x 12－4m ，令12－4m ＝0，解得m ＝3，⎝⎛⎭⎫x ＋1x 8的展开式的通项为T n ＋1＝C n 8x 8－n ⎝⎛⎭⎫1x n ＝C n 8x 8－2n ，令8－2n ＝0，解得n ＝4，所以所求常数项为C 34(－2)3＋C 48＝38.『答案』38角度二 几个多项式积的展开式中的特定项(系数)问题2．(2013·全国课标卷Ⅱ改编)已知(1＋ɑx )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，则ɑ＝________.『解析』展开式中含x 2的系数为C 25＋a C 15＝5，解得a ＝－1.『答案』－1角度三 三项展开式中特定项(系数)问题3.⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋25的展开式中的常数项为________．(用数字作答) 『解析』原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋22x ＋22x 5＝132x5·『()x ＋22』5＝132x 5()x ＋210. 求原式的展开式中的常数项，转化为求()x ＋210的展开式中含x 5项的系数，即C 510·()25. 所以所求的常数项为C 510·()2532＝6322.『答案』6322『备课札记』 『类题通法』1．对于几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题，只需依据二项展开式的通项，从每一项中分别得到含x 3的项，再求和即可．2．对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏． 3．对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决．『课堂练通考点』1．(2013·辽宁高考改编)使⎝⎛⎭⎫3x ＋1x x n (n ∈N ＋)的展开式中含有常数项的最小的n 为________． 『解析』由二项式定理得，T r ＋1＝C r n (3x )n －r ⎝⎛⎭⎫1x x r ＝C r n 3n －r·xn －52r ，令n －52r ＝0，当r ＝2时，n ＝5，此时n 最小． 『答案』52．(2013·贵阳模拟)在二项式(x 2＋x ＋1)(x －1)5的展开式中，含x 4项的系数是________． 『解析』∵(x 2＋x ＋1)(x －1)＝x 3－1， ∴原式可化为(x 3－1)·(x －1)4.故展开式中，含x 4项的系数为C 34(－1)3－C 04＝－4－1＝－5.『答案』－53．(2014·厦门质检)()2－x 8的展开式中不含x 4项的系数的和为________．『解析』()2－x 8展开式中各项的系数和为()2－18＝1，展开式的通项为C r 828－r (－x )r ，则x 4项的系数为C 88×28－8＝1，则()2－x 8展开式中不含x 4项的系数的和为0. 『答案』04．若(2x －3)5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，则a 1＋2a 2＋3a 3＋4a 4＋5a 5等于________． 『解析』在已知等式两边对x 求导，得5(2x －3)4×2＝a 1＋2a 2x ＋3a 3x 2＋4a 4x 3＋5a 5x 4，令x ＝1得a 1＋2a 2＋3a 3＋4a 4＋5a 5＝5×(2×1－3)4×2＝10. 『答案』105．(2013·江苏泰州中学5月调研)在二项式⎝⎛⎭⎫x ＋3x n 的展开式中，各项系数之和为A ，各项的二项式系数之和为B ，且A ＋B ＝72，则n ＝________.『解析』令x ＝1，得展开式的各项系数之和A ＝4n ，又各项的二项式系数之和B ＝2n ，所以A ＋B ＝4n ＋2n ＝72，即(2n －8)·(2n ＋9)＝0，所以2n ＝8，得n ＝3.故填3. 『答案』3。

高三数学教案《二项式定理》高三数学教案《二项式定理》二项式定理说课稿高三第一阶段复习，也称“知识篇”。

在这一阶段，学生重温高一、高二所学课程，全面复习巩固各个知识点，熟练掌握基本方法和技能;然后站在全局的高度，对学过的知识产生全新认识。

在高一、高二时，是以知识点为主线索，依次传授讲解的，由于后面的相关知识还没有学到，不能进行纵向联系，所以，学的知识往往是零碎和散乱，而在第一轮复习时，以章节为单位，将那些零碎的、散乱的知识点串联起来，并将他们系统化、综合化，把各个知识点融会贯通。

对于普通高中的学生，第一轮复习更为重要，我们希望能做高考试题中一些基础题目，必须侧重基础，加强复习的针对性，讲求实效。

一、内容分析说明1、本小节内容是初中学习的多项式乘法的继续，它所研究的二项式的乘方的展开式，与数学的其他部分有密切的联系：(1)二项展开式与多项式乘法有联系，本小节复习可对多项式的变形起到复习深化作用。

(2)二项式定理与概率理论中的二项分布有内在联系，利用二项式定理可得到一些组合数的恒等式，因此，本小节复习可加深知识间纵横联系，形成知识网络。

(3)二项式定理是解决某些整除性、近似计算等问题的一种方法。

2、高考中二项式定理的试题几乎年年有，多数试题的难度与课本习题相当，是容易题和中等难度的试题，考察的题型稳定，通常以选择题或填空题出现，有时也与应用题结合在一起求某些数、式的近似值。

二、学校情况与学生分析(1)我校是一所镇普通高中，学生的.基础不好，记忆力较差，反应速度慢，普遍感到数学难学。

但大部分学生想考大学，主观上有学好数学的愿望。

(2)授课班是政治、地理班，学生听课积极性不高，听课率低(60﹪)，注意力不能持久，不能连续从事某项数学活动。

课堂上喜欢轻松诙谐的气氛，大部分能机械的模仿，部分学生好记笔记。

三、教学目标复习课二项式定理计划安排两个课时，本课是第一课时，主要复习二项展开式和通项。

根据历年高考对这部分的考查情况，结合学生的特点，设定如下教学目标：1、知识目标：(1)理解并掌握二项式定理，从项数、指数、系数、通项几个特征熟记它的展开式。

10.7 二项式定理考纲传真1.能用计数原理证明二项式定理．2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.1．二项式定理(1)(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n n b n (n ∈N *)． (2)第r ＋1项，T r ＋1＝C r n an －r b r． (3)第r ＋1项的二项式系数为C r n ． 2．二项式系数的性质(1)0≤k ≤n 时，C k n 与C n －k n 的关系是C k n ＝C n －k n ．(2)二项式系数先增后减中间项最大且n 为偶数时第n2＋1项的二项式系数最大，最大值为C n2n ；当n 为奇数时，第n ＋12项和n ＋32项的二项式系数最大，最大值为C n －12n 或C n ＋12n ．(3)各二项式系数和：C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n ，C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝2n －1．1．(人教A 版教材习题改编)(1＋x )6的展开式中，二项式系数最大的项是( ) A ．20x 3 B ．15x 2 C ．15x 4 D ．x 6『解析』 二项展开式中间一项(第4项)的二项式系数最大，∴T 4＝C 36x 3＝20x 3.『答案』 A2．(2012·天津高考)在(2x 2－1x )5的二项展开式中，x 的系数为( )A ．10B ．－10C ．40 D．－40『解析』 因为T r ＋1＝C r 5(2x 2)5－r (－1x)r＝C r 525－r x 10－2r(－1)r x －r ＝C r 525－r (－1)r x 10－3r，令10－3r ＝1，所以r ＝3，所以x 的系数为C 3525－3(－1)3＝－40. 『答案』 D3．若(3x －1)7＝a 7x 7＋a 6x 6＋…＋a 1x ＋a 0，则a 7＋a 6＋…＋a 1的值为( ) A ．1 B ．129 C ．128 D ．127『解析』 令x ＝1得a 0＋a 1＋…＋a 7＝128.令x ＝0得a 0＝(－1)7＝－1，∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7＝129. 『答案』 B4．(2012·陕西高考)(a ＋x )5展开式中x 2的系数为10，则实数a 的值为________．『解析』 (a ＋x )5的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 5a 5－r x r . 当r ＝2时，由题意知C 25a 3＝10，∴a 3＝1，∴a ＝1.『答案』 15．(1＋3x )n (其中n ∈N 且n ≥6)的展开式中x 5与x 6的系数相等，则n ＝________．『解析』 T r ＋1＝C r n (3x )r ＝3r C r n x r . 由已知条件35C 5n ＝36C 6n ，即C 5n ＝3C 6n .n ！5！（n －5）！＝3n ！6！（n －6）！，整理得n ＝7.『答案』 7(见学生用书第201页)通项公式及其应用已知在(3x －123x )n 的展开式中，第6项为常数项．(1)求含x 2的项的系数； (2)求展开式中所有的有理项．『思路点拨』 (1)写出通项T r ＋1，先求n ，再求含x 2的项的系数．(2)寻找使x 的指数为整数的r 值，从而确定有理项．『尝试解答』 (1)(3x －123x )n 的展开式的通项为T r ＋1＝C r n x n －r 3(－12)r x －r 3＝C r n (－12)rx n －2r3.因为第6项为常数项，所以r ＝5时，有n －2r3＝0，即n ＝10.令n －2r 3＝2，得r ＝12(n －6)＝12×(10－6)＝2， ∴含x 2的项的系数为C 210(－12)2＝454. (2)根据通项公式，由题意10－2r 3∈Z ，且0≤r ≤10.令10－2r 3＝k (k ∈Z )，则10－2r ＝3k ，即r ＝5－32k . ∵r ∈N ，∴k 应为偶数．∴k 可取2，0，－2，即r 可取2，5，8.所以第3项，第6项和第9项为有理项，它们分别为C 210(－12)2x 2，C 510(－12)5，C 810(－12)8x －2.,1．解此类问题可以分两步完成：第一步是根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n ≥r )；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．2．有理项是字母指数为整数的项．解此类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其为整数，再根据数的整除性来求解．(1)(2012·浙江高考)若将函数f (x )＝x 5表示为f (x )＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋…＋a 5(1＋x )5，其中a 0，a 1，a 2，…，a 5为实数，则a 3＝________．(2)设二项式(x －a x)6(a ＞0)的展开式中x 3的系数为A ，常数项为B ，若B ＝4A ，则a 的值是________．『解析』 (1)f (x )＝x 5＝(1＋x －1)5，它的通项为T r ＋1＝C r 5(1＋x )5－r ·(－1)r ， T 3＝C 25(1＋x )3(－1)2＝10(1＋x )3，∴a 3＝10.(2)(x －a x)6展开式的通项T r ＋1＝(－a )r C r 6x 6－32r ， ∴A ＝(－a )2C 26，B ＝(－a )4C 46，由B ＝4A ，得(－a )4C 46＝4(－a )2C 26，解之得a ＝±2.又a ＞0，所以a ＝2. 『答案』 (1)10 (2)2二项展开式的系数与二项式系数(1)(2013·厦门模拟)设(1＋x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，若a 1＋a 2＋…＋a n ＝63，则展开式中系数最大的项是( )A ．15x 2B ．20x 3C ．21x 3D ．35x 3(2)(2012·大纲全国卷)若(x ＋1x )n 的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中1x2的系数为________．『思路点拨』 (1)先赋值求a 0及各项系数和，进而求得n 值，再运用二项式系数性质与通项公式求解．(2)根据二项式系数性质，由C 2n ＝C 6n ，确定n 的值，求出1x2的系数． 『尝试解答』 (1)∵(1＋x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ， 令x ＝0，得a 0＝1.令x ＝1，则(1＋1)n ＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a n ＝64，∴n ＝6， 又(1＋x )6的展开式二项式系数最大项的系数最大，∴(1＋x )6的展开式系数最大项为T 4＝C 36x 3＝20x 3. (2)由题意知，C 2n ＝C 6n ，∴n ＝8.∴T r ＋1＝C r 8·x 8－r ·(1x )r ＝C r 8·x 8－2r ， 当8－2r ＝－2时，r ＝5， ∴1x 2的系数为C 58＝C 38＝56. 『答案』 (1)B (2)56,1．第(1)题求解的关键在于赋值，求出a 0与n 的值；第(2)小题在求解过程中，常因把n的等量关系表示为C 3n ＝C 7n ，而求错n 的值．2．求解这类问题要注意：(1)区别二项式系数与展开式中项的系数，灵活利用二项式系数的性质．(2)根据题目特征，恰当赋特殊值代换．对于展开式中的系数和、隔项系数和、系数的绝对值和等问题，通常运用赋值法进行构造(构造出目标式)．赋值时要注意根据目标式进行灵活的选择，常见的赋值方法是使字母因式的值为1，－1或目标式的值．(2013·合肥质检)设(x－1)21＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a21x21，则(1)a10＋a11＝________；(2)a1＋a2＋…＋a21＝________．『解析』(1)由二项展开式知T r＋1＝C r21x21－r(－1)r，∴a10＋a11＝C1121(－1)11＋C1021(－1)10＝－C1121＋C1021＝－C1021＋C1021＝0.(2)令x＝0，得a0＝－1，令x＝1得a0＋a1＋a2＋…＋a21＝0，所以a1＋a2＋…＋a21＝1.『答案』(1)0(2)1二项式定理的应用(2012·湖北高考)设a∈Z，且0≤a<13，若512 012＋a能被13整除，则a＝() A．0B．1C．11D．12『思路点拨』注意到52能被13整除，化51为52－1，从而运用二项式定理展开512012，由条件求a的值．『尝试解答』512 012＋a＝(52－1)2 012＋a＝C02 012·522 012－C12 012·522 011＋…＋C2 0112 012×52·(－1)2 011＋C2 0122 012·(－1)2 012＋a，∵C02 012·522 012－C12 012·522 011＋…＋C2 0112 012×52·(－1)2 011能被13整除．且512 012＋a能被13整除，∴C2 0122 012·(－1)2 012＋a＝1＋a也能被13整除．因此a可取值12.『答案』D,1．本题求解的关键在于将512 012变形为(52－1)2 012，使得展开式中的每一项与除数13建立联系．2．用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开．但要注意两点：(1)余数的范围，a＝cr＋b，其中余数b∈『0，r)，r是除数，若利用二项式定理展开变形后，切记余数不能为负；(2)二项式定理的逆用．1－90C110＋902C210－903C310＋…＋(－1)k90k C k10＋…＋9010C1010除以88的余数是()A．－1B．1C．－87D．87『解析』1－90C110＋902C210＋…＋(－1)k90k C k10＋…＋9010C1010＝(1－90)10＝8910＝(88＋1)10＝8810＋C110889＋…＋C91088＋1∵前10项均能被88整除，∴余数是1.『答案』B一个定理二项式定理(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n(n∈N*)揭示二项展开式的规律，一定牢记通项公式T r＋1＝C r n a n－r b r.一个防范切记二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指C r n，而后者是字母外的部分．前者只与n和r有关，恒为正，后者还与a，b有关，可正可负．两种应用1.通项的应用：利用二项展开式的通项可求指定的项或指定项的系数等．2．展开式的应用：利用展开式(1)可求解与二项式系数有关的求值；(2)可证明不等式；(3)可证明整除问题(或求余数)．三条性质1.对称性．2．增减性．3．各项二项式系数的和．(见学生用书第202页)从近两年的高考试题来看，求二项展开式中特定项及特定项的系数是考查的热点，题型为选择题或填空题，属容易题，在考查基本运算、基本概念的基础上注重考查方程思想、等价转化思想．预测2014年高考，求二项展开式的特定项和特定项的系数仍然是考查的重点，同时应注意二项式系数性质的应用．思想方法之十九 赋值法在二项展开式中的应用(2012·上海高考改编)(x ＋a x )(2x －1x)5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为( )A ．－40B ．－20C ．20D ．40 『解析』 在(x ＋a x )(2x －1x )5中，令x ＝1，得(1＋a )(2－1)5＝1＋a ＝2，∴a ＝1.∵(2x －1x )5展开式的通项T r ＋1＝C r 5(2x )5－r (－1x)r ＝C r 5·25－r (－1)r ·x 5－2r.令5－2r ＝1，得2r ＝4，即r ＝2，因此(2x －1x )5展开式中x 的系数为C 2525－2(－1)2＝80. 令5－2r ＝－1，得2r ＝6，即r ＝3，因此(2x －1x )5展开式中1x 的系数为C 3525－3·(－1)3＝－40. 所以(x ＋1x )(2x －1x )5展开式中的常数项为80－40＝40.『答案』 D易错提示：(1)混淆各项系数的和与二项式系数和，难以运用赋值法正确求出a 的值． (2)对展开式中的常数项的来源构成分析不清，盲目把(x ＋a x )(2x －1x )5全部展开，运算繁琐，导致计算错误．防范措施：(1)二项式定理是一个恒等式，因此我们可以根据需要对变量x 进行赋值，从而得到关于参数的方程，求出参数的值．(2)展开式的常数项来源于：①“x ＋a x ”中的x 与(2x －1x )5展开式中含1x 的项相乘；②ax 与(2x－1x)5展开式中含x 的项相乘．1．(2013·烟台模拟)设(5x －1x)n的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，若M －N ＝240，则展开式中x 的系数为( )A ．－150B ．150C ．300D ．－300 『解析』 由已知条件4n －2n ＝240，解得n ＝4，T r ＋1＝C r 4(5x )4－r (－1x)r ＝(－1)r 54－r C r 4x 4－3r 2， 令4－3r2＝1，得r ＝2，T 3＝150x . 『答案』 B2．(2012·安徽高考)(x 2＋2)(1x 2－1)5的展开式的常数项是( )A ．－3B ．－2C ．2D ．3『解析』 二项式(1x 2－1)5展开式的通项为：T r ＋1＝C r 5(1x 2)5－r·(－1)r ＝C r 5·x 2r －10·(－1)r . 当2r －10＝－2， 即r ＝4时，有x 2·C 45x －2·(－1)4＝C 45×(－1)4＝5；当2r －10＝0， 即r ＝5时，有2·C 55x 0·(－1)5＝－2.∴展开式中的常数项为5－2＝3，故选D. 『答案』 D。

10.5 二项式定理●知识梳理1.二项展开式的通项公式是解决与二项式定理有关问题的基础.2.二项展开式的性质是解题的关键.3.利用二项式展开式可以证明整除性问题，讨论项的有关性质，证明组合数恒等式，进行近似计算等.●点击双基1.已知（1－3x ）9=a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 9x 9，则｜a 0｜+｜a 1｜+｜a 2｜+…+｜a 9｜等于 A.29 B.49 C.39D.1 解析：x 的奇数次方的系数都是负值，∴｜a 0｜+｜a 1｜+｜a 2｜+…+｜a 9｜=a 0－a 1+a 2－a 3+…－a 9. ∴已知条件中只需赋值x =－1即可. 答案：B2.（2004年江苏，7）（2x +x ）4的展开式中x 3的系数是 A.6B.12C.24D.48解析：（2x +x ）4=x 2（1+2x ）4，在（1+2x ）4中，x 的系数为C 24·22=24. 答案：C3.（2004年全国Ⅰ，5）（2x 3－x1）7的展开式中常数项是A.14B.－14C.42D.－42解析：设（2x 3－x1）7的展开式中的第r +1项是T 1+r =C r7（2x 3）r -7（－x1）r=C r 72r-7·（－1）r·x )7(32x r-+-，当－2r +3（7－r ）=0，即r =6时，它为常数项，∴C 67（－1）6·21=14. 答案：A4.（2004年湖北，文14）已知（x 23+x31-）n的展开式中各项系数的和是128，则展开式中x 5的系数是_____________.（以数字作答）解析：∵（x 23+x31-）n的展开式中各项系数和为128，∴令x =1，即得所有项系数和为2n=128. ∴n =7.设该二项展开式中的r +1项为T 1+r =C r7（x 23）r-7·（x31-）r=C r 7·x61163r -，令61163r -=5即r =3时，x 5项的系数为C 37=35. 答案：355.若（x +1）n =x n +…+ax 3+bx 2+cx +1（n ∈N *），且a ∶b =3∶1，那么n =_____________.解析：a ∶b =C 3n ∶C 2n =3∶1，n =11.答案：11 ●典例剖析【例1】 如果在（x +421x）n的展开式中，前三项系数成等差数列，求展开式中的有理项.解：展开式中前三项的系数分别为1，2n ，8)1(-n n ， 由题意得2×2n=1+8)1(-n n ，得n =8. 设第r +1项为有理项，T 1+r =C r8·r 21·x 4316r -，则r 是4的倍数，所以r =0，4，8.有理项为T 1=x 4，T 5=835x ，T 9=22561x. 评述：求展开式中某一特定的项的问题常用通项公式，用待定系数法确定r .【例2】 求式子（｜x ｜+||1x －2）3的展开式中的常数项.解法一：（｜x ｜+||1x －2）3=（｜x ｜+||1x －2）（｜x ｜+||1x －2）（｜x ｜+||1x －2）得到常数项的情况有：①三个括号中全取－2，得（－2）3；②一个括号取｜x ｜，一个括号取||1x ，一个括号取－2，得C 13C 12（－2）=－12， ∴常数项为（－2）3+（－12）=－20.解法二：（|x |+||1x －2）3=（||x －||1x ）6. 设第r +1项为常数项，则T 1+r =C r6·（－1）r·（||1x ）r ·|x |r -6=（－1）6·C r6·|x |r 26-，得6－2r =0，r =3. ∴T 3+1=（－1）3·C 36=－20.思考讨论（1）求（1+x +x 2+x 3）（1－x ）7的展开式中x 4的系数；（2）求（x +x 4－4）4的展开式中的常数项； （3）求（1+x ）3+（1+x ）4+…+（1+x ）50的展开式中x 3的系数.解：（1）原式=xx --114（1－x ）7=（1－x 4）（1－x ）6，展开式中x 4的系数为（－1）4C 46－1=14.（2）（x +x 4－4）4=442)44(x x x +-=48)2(xx -，展开式中的常数项为C 4482·（－1）4=1120.（3）方法一：原式=1)1(]1)1[()1(483-+-++x x x =x x x 351)1()1(+-+.展开式中x 3的系数为C 451.方法二：原展开式中x 3的系数为C 33+C 34+C 35+…+C 350=C 44+C 34+…+C 350=C 45+C 35+…+C 350=…=C 451.评述：把所给式子转化为二项展开式形式是解决此类问题的关键.【例3】 设a n =1+q +q 2+…+q 1-n （n ∈N *，q ≠±1），A n =C 1n a 1+C 2n a 2+…+C n n a n .（1）用q 和n 表示A n ； （2）（理）当－3<q <1时，求lim ∞→n nn A 2.解：（1）因为q ≠1，所以a n =1+q +q 2+…+q1-n =qq n--11. 于是A n =q q --11 C 1n +q q --112 C 2n +…+qq n --11C n n=q-11［（C 1n +C 2n +…+C n n ）－（C 1n q +C 2n q 2+…+C n n q n ）］ =q-11{（2n －1）－［（1+q ）n－1］} =q-11［2n －（1+q ）n］. （2）nn A 2=q -11［1－（21q +）n ］. 因为－3<q <1，且q ≠－1， 所以0<|21q+ |<1. 所以lim ∞→n nn A 2=q-11. ●闯关训练 夯实基础1.一串装饰彩灯由灯泡串联而成，每串有20个灯泡，只要有一只灯泡坏了，整串灯泡就不亮，则因灯泡损坏致使一串彩灯不亮的可能性的种数为A.20B.219C.220D.220－1解析：C 120+C 220+…+C 2020=220－1.答案：D2.（2004年福建，文9）已知（x －xa ）8展开式中常数项为1120，其中实数a 是常数，则展开式中各项系数的和是A.28B.38C.1或38D.1或28解析：T 1+r =C r 8·x8－r·（－ax －1）r=（－a ）rC r8·x8－2r.令8－2r =0，∴r =4.∴（－a ）4C 48=1120.∴a =±2.当a =2时，令x =1，则（1－2）8=1.当a =－2时，令x =－1，则（－1－2）8=38. 答案：C3.（2004年全国Ⅳ，13）（x －x1）8展开式中x 5的系数为_____________.解析：设展开式的第r +1项为T 1+r =C r 8x 8－r·（－x1）r =（－1）rC r8x238r-.令8－23r =5得r =2时，x 5的系数为（－1）2·C 28=28. 答案：284.（2004年湖南，理15）若（x 3+xx 1）n的展开式中的常数项为84，则n =_____________.解析：T 1+r =C r n （x 3）n －r·（x23-）r=C r n ·xrn 293-.令3n －29r =0，∴2n =3r . ∴n 必为3的倍数，r 为偶数.试验可知n =9，r =6时，C r n =C 69=84.答案：95.已知（x x lg +1）n展开式中，末三项的二项式系数和等于22，二项式系数最大项为20000，求x 的值.解：由题意C 2-n n ＋C 1-n n ＋C n n =22， 即C 2n ＋C 1n ＋C 0n =22，∴n =6.∴第4项的二项式系数最大.∴C 36（xx lg ）3=20000，即x 3lg x=1000.∴x =10或x =101. 培养能力6.若（1+x ）6（1－2x ）5=a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 11x 11. 求：（1）a 1+a 2+a 3+…+a 11； （2）a 0+a 2+a 4+…+a 10.解：（1）（1+x ）6（1－2x ）5=a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 11x 11.令x =1，得 a 0+a 1+a 2+…+a 11=－26， ①又a 0=1，所以a 1+a 2+…+a 11=－26－1=－65. （2）再令x =－1，得a 0－a 1+a 2－a 3+…－a 11=0. ②①+②得a 0+a 2+…+a 10=21（－26+0）=－32. 评述：在解决此类奇数项系数的和、偶数项系数的和的问题中常用赋值法，令其中的字母等于1或－1.7.在二项式（ax m +bx n ）12（a ＞0，b ＞0，m 、n ≠0）中有2m +n =0，如果它的展开式里最大系数项恰是常数项.（1）求它是第几项；（2）求ba的范围. 解：（1）设T 1+r =C r 12（ax m）12－r·（bx n）r=C r12a12－r b r x m （12－r ）+nr为常数项，则有m （12－r ）+nr =0，即m （12－r ）－2mr =0，∴r =4，它是第5项.（2）∵第5项又是系数最大的项，C 412a 8b 4≥C 312a 9b 3，①C 412a 8b 4≥C 512a 7b 5.②由①得2349101112⨯⨯⨯⨯⨯a 8b 4≥23101112⨯⨯⨯a 9b 3，∵a ＞0，b ＞0，∴49 b ≥a ，即ba ≤49.由②得b a ≥58，∴58≤b a ≤49.8.在二项式（x +421x）n的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项.分析：根据题意列出前三项系数关系式，先确定n ，再分别求出相应的有理项. 解：前三项系数为C 0n ，21C 1n ，41C 2n ，由已知C 1n =C 0n +41C 2n ，即n 2－9n +8=0， 解得n =8或n =1（舍去）.T 1+r =C r8（x ）8－r（24x ）－r=C r8·r21·x 434r-. ∴有∵4－43r∈Z 且0≤r ≤8，r ∈Z ， ∴r =0，r =4，r =8.∴展开式中x 的有理项为T 1=x 4，T 5=835x ，T 9=2561 x －2. 评述：展开式中有理项的特点是字母x 的指数4－43r ∈Z 即可，而不需要指数4－43r∈N . 探究创新9.有点难度哟！求证：2<（1+n1）n <3（n ≥2，n ∈N *）. 证明：（1+n 1）n =C 0n +C 1n ×n 1 +C 2n （n 1）2+…+C n n （n 1）n =1+1+C 2n ×21n +C 3n ×31n+…+C n n×n n 1=2+!21×2)1(n n n -+!31×3)2)(1(n n n n --+…+!1n ×nn n n 12)1(⨯⨯⨯-⨯ <2+!21+!31 +!41+…+!1n <2+21+221+321+…+121-n =2+211])21(1[211---n =3－（21）1-n <3.显然（1+n 1）n =1+1+C 2n ×21n +C 3n ×31n +…+C nn×n n 1>2.所以2<（1+n 1）n <3. ●思悟小结1.在使用通项公式T 1+r =C r n rn a-b r时，要注意： （1）通项公式是表示第r ＋1项，而不是第r 项.（2）展开式中第r +1项的二项式系数C r n 与第r +1项的系数不同.（3）通项公式中含有a ，b ，n ，r ，T 1+r 五个元素，只要知道其中的四个元素，就可以求出第五个元素.在有关二项式定理的问题中，常常遇到已知这五个元素中的若干个，求另外几个元素的问题，这类问题一般是利用通项公式，把问题归纳为解方程（或方程组）.这里必须注意n 是正整数，r 是非负整数且r ≤n .2.证明组合恒等式常用赋值法. ●教师下载中心 教学点睛1.要正确理解二项式定理，准确地写出二项式的展开式.2.要注意区分项的系数与项的二项式系数.3.要注意二项式定理在近似计算及证明整除性中的应用.4.通项公式及其应用是二项式定理的基本问题，要熟练掌握. 拓展题例【例题】 求（a －2b －3c ）10的展开式中含a 3b 4c 3项的系数.解：（a －2b －3c ）10=（a －2b －3c ）（a －2b －3c ）…（a －2b －3c ），从10个括号中任取3个括号，从中取a ；再从剩余7个括号中任取4个括号，从中取－2b ；最后从剩余的3个括号中取－3c ，得含a 3b 4c 3的项为C 310a 3C 47·（－2b ）4C 33（－3c ）3=C 310C 47C 4332（－3）3a 3b 4c 3.所以含a3b4c3项的系数为－C310C47×16×27.。