山东省潍坊市2020-2021学年高一上学期期末考试 数学 Word版含答案

2020-2021高一数学上期末试卷及答案(4) 一、选择题1．已知函数()()2,2 11,2 2xax xf xx⎧-≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩, 满足对任意的实数x1≠x2都有()()1212f x f xx x--＜0成立，则实数a的取值范围为( )A．(－∞，2)B．13,8⎛⎤-∞⎥⎝⎦C．(－∞，2]D．13,28⎡⎫⎪⎢⎣⎭2．定义在R上的偶函数()f x满足：对任意的1x，212[0,)()x x x∈+∞≠，有2121()()f x f xx x-<-，则（）．A．(3)(2)(1)f f f<-<B．(1)(2)(3)f f f<-<C．(2)(1)(3)f f f-<<D．(3)(1)(2)f f f<<-3．德国数学家狄利克在1837年时提出：“如果对于x的每一个值，y总有一个完全确定的值与之对应，则y是x的函数，”这个定义较清楚地说明了函数的内涵．只要有一个法则，使得取值范围中的每一个值，有一个确定的y和它对应就行了，不管这个对应的法则是公式、图象，表格述是其它形式已知函数f（x）由右表给出，则1102f f⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭的值为（）A．0B．1C．2D．34．已知函数2()2logxf x x=+，2()2logxg x x-=+，2()2log1xh x x=⋅-的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系为（）．A．b a c<<B．c b a<<C．c a b<<D．a b c<<5．下列函数中，值域是()0,+∞的是（）A．2y x=B．211yx=+C．2xy=-D．()lg1(0)y x x=+>6．若函数y xa a-a>0，a≠1)的定义域和值域都是[0，1]，则log a56＋log a485＝() A．1B．2C．3D．47．设()f x是R上的周期为2的函数，且对任意的实数x，恒有()()0f x f x--=，当[]1,0x ∈-时，()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若关于x 的方程()()log 10a f x x -+=(0a >且1a ≠)恰有五个不相同的实数根，则实数a 的取值范围是( ) A ．[]3,5B ．()3,5C ．[]4,6D ．()4,68．已知()y f x =是以π为周期的偶函数，且0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()1sin f x x =-，则当5,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x =（ ） A ．1sin x +B ．1sin x -C ．1sin x --D ．1sin x -+9．已知函数()ln f x x =，2()3g x x =-+，则()?()f x g x 的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间(),0-∞上单调递增。

2019-2020学年山东省潍坊市山东省实验中学高一数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知集合，则=( )A． B．C． D．参考答案：B2. 已知全集，集合，，则集合( )(A) (B) (C) (D)参考答案：C3. 的值为（）A．B．C．D．1参考答案：D∵，∴选“D”．4. 已知f（x）=a x﹣2，g（x）=log a|x|（a＞0且a≠1），若f（4）?g（﹣4）＜0，则y=f （x），y=g（x）在同一坐标系内的大致图象是( )A．B．C．D．参考答案：B【考点】对数函数的图像与性质；指数函数的图像与性质．【专题】数形结合．【分析】观察两个函数的解析式，f（x）=a x﹣2是指数型的，g（x）=log a|x|是对数型的且是一个偶函数，由f（4）?g（﹣4）＜0，可得出g（﹣4）＜0，由这些特征对选项进行正确判断即可【解答】解：由题意f（x）=a x﹣2是指数型的，g（x）=log a|x|是对数型的且是一个偶函数，由f（4）?g（﹣4）＜0，可得出g（﹣4）＜0，由此特征可以确定C、D两选项不正确，A，B两选项中，在（0，+∞）上，函数是减函数，故其底数a∈（0，1）由此知f（x）=a x﹣2，是一个减函数，由此知A不对，B选项是正确答案故选B【点评】本题考查识图，判断图的能力，考查根据函数的图象确定函数的性质及通过函数的解析式推测函数的图象，综合性较强，解决此类题关键是找准最明显的特征作为切入点如本题选择了从f（4）?g（﹣4）＜0，因为f（4）一定为正，这可以由函数是指数型的函数轻易得出．5. 已知集合,则=--------------------------------------------------------------（）A. B. C. D.参考答案：B6. 关于空间两条直线、和平面，下列命题正确的是A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则参考答案：D7. 等差数列{a n}的前n项和为S n，若，则（）A. 27B. 36C. 45D. 54参考答案：B【分析】利用等差数列的性质进行化简，由此求得的值.【详解】依题意，所以，故选B.【点睛】本小题主要考查等差数列的性质，考查等差数列前项和公式，属于基础题. 8. 若直线l与直线3x+y+8=0垂直，则直线l的斜率为（）A．﹣3 B．﹣C．3 D．参考答案：D【分析】先求出直线3x+y+8=0的斜率，再根据两直线垂直时斜率之间的关系求出对应的斜率值．【解答】解：直线3x+y+8=0可化为y=﹣3x﹣8，其斜率为k=﹣3；又直线l与直线3x+y+8=0垂直，所以直线l的斜率为k′=﹣=．故选：D．9. 等差数列{a n}中，已知，，则的值是（）A. 30B. 27C. 24D. 21参考答案：B【分析】根据等差数列的性质可以得到，故公差，而所求式子为，由此求得相应的值.【详解】根据等差数列的性质可以得到，故公差，而所求式子为，故选B.【点睛】本小题主要考查等差数列的一个性质：若为等差数列，且，则有，再求得数列的公差，即可求得所要求解表达式的值.10. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＋c2－b2＝ac，则角B的值为()参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若集合A={x|x2=1}，B={x|mx=1}，且A∪B=A，则由实数m的值组成的集合为．参考答案：{﹣1，0，1}【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】根据题意，解方程x2=1可得结合A，分析A∪B=A，可得B?A，进而对B分3种情况讨论：：①、B=?，②、B={1}，③、B={﹣1}，分别求出m的值，综合可得答案．【解答】解：根据题意，A={x|x2=1}={﹣1，1}，若A∪B=A，则有B?A，对B分3种情况讨论：①、B=?，即方程mx=1无解，分析可得m=0，②、B={1}，即方程mx=1的解为x=1，即m×1=1，解可得m=1，③、B={﹣1}，即方程mx=1的解为x=﹣1，即m×（﹣1）=1，解可得m=﹣1，综合可得：实数m的值组成的集合为{﹣1，0，1}；故答案为：{﹣1，0，1}．12. 若，不等式恒成立，则实数的取值范围为 .参考答案：13. （5分）直线y=k（x﹣1）+2与曲线x=有且只有一个交点，则k的取值范围是．参考答案：[1，3）考点：直线与圆相交的性质．专题：直线与圆．分析：由曲线方程的特点得到此曲线表示在y轴右边的单位圆的一半，可得出圆心坐标和圆的半径r，然后根据题意画出相应的图形，根据图形，直线恒过（1，2），由图形过（1，2），（0，1）的直线的斜率为﹣1；过（1，2），（0，﹣1）的直线的斜率为3．，综上，得到满足题意的k的范围．解答：解：由题意可知：曲线方程表示一个在y轴右边的单位圆的一半，则圆心坐标为（0，0），圆的半径r=1，画出相应的图形，如图所示：直线y=k（x﹣1）+2，恒过（1，2），由图形过（1，2），（0，1）的直线的斜率为﹣1；过（1，2），（0，﹣1）的直线的斜率为3．综上，直线与曲线只有一个交点时，k的取值范围为[1，3）．故答案为：[1，3）．点评：此题考查了直线与圆相交的性质，考查数形结合的思想，根据题意得出此曲线表示在y轴右边的单位圆的一半，并画出相应的图形是解本题的关键．14. 已知幂函数y=f（x）的图象过，则f（9）= ．参考答案：【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【分析】设幂函数y=f（x）=xα，再由题意可得f（2）=，由此求得α的值，可得y=f（x）的解析式，从而可求f（9）的值．【解答】解：设幂函数y=f（x）=xα，再由题意可得f（2）=，即 2α==，∴α=﹣，∴y=f（x）=．∴f（9）==，故答案为．15. 在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，AC⊥BC，PA＝AC＝BC，则直线PC与AB所成角的大小是________．参考答案：60°16. 圆上的点到直线的距离最大值是_____________参考答案：略17. 若x＞0，则函数f（x）=+x的最小值为．参考答案：2【考点】基本不等式．【分析】由x＞0，直接运用基本不等式，计算即可得到最小值．【解答】解：x＞0，则函数f（x）=+x≥2=2，当且仅当x=时，f（x）取得最小值2．故答案为：2．三、解答题：本大题共5小题，共72分。

2020-2021学年高一数学第一册单元提优卷（人教A 版（2019））期末测试卷（二）(满分：150分，测试时间：120分钟)一、单选题1．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =A ．–4B ．–2C ．2D ．42.【2020·广东省高三月考（文）】命题“10,ln 1x x x∀>≥-”的否定是A ．10ln 1x x x ∃≤≥-,B ．10ln 1x x x ∃≤<-,C ．10ln 1x x x∃>≥-,D ．10ln 1x x x∃><-,．3.【2020·北京市八一中学高三月考】函数()()213f x ax a x =---在区间[)1,-+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是A ．1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．(],0-∞C ．10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦4.【2020·福建省福州第一中学高三其他（理）】已知函数()f x 的定义域为[0，2]，则()()21f xg x x =-的定义域为A ．[)(]0,11,2B ．[)(]0,11,4C ．[)0,1D ．(]1,45.设函数要想得到函数sin21y x =+的图像，只需将函数cos2y x =的图象（）A ．向左平移4π个单位，再向上平移1个单位B ．向右平移4π个单位，再向上平移1个单位C ．向左平移2π个单位，再向下平移1个单位D ．向右平移2π个单位，再向上平移1个单位6.【2020·北京高三月考】已知函数()y f x =满足(1)2()f x f x +=，且(5)3(3)4f f =+，则(4)f =A ．16B ．8C ．4D ．27.已知3sin(3)cos()0πθπθ-++-=，则sin cos cos 2θθθ＝（）A ．3B ．﹣3C ．38D ．38-8.【2020·南昌市八一中学】已知函数sin (0)y ax b a =+>的图象如图所示，则函数log ()a y x b =-的图象可能A ．B ．C ．D ．9.【2020年新高考全国Ⅰ卷】基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：(e )rtI t =描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位:天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0=1+rT .有学者基于已有数据估计出R 0=3.28，T =6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)A ．1.2天B ．1.8天C ．2.5天D ．3.5天10.【2020年高考北京】已知函数()21x f x x =--，则不等式()0f x >的解集是A ．(1,1)-B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．(0,1)D ．(,0)(1,)-∞⋃+∞11.【2020年高考全国Ⅱ卷理数】若2x −2y <3−x −3−y ，则A ．ln(y −x +1)>0B ．ln(y −x +1)<0C ．ln|x −y |>0D ．ln|x −y |<012.【2020年高考天津】已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩若函数2()()2()g x f x kx x k =--∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围是A ．1(,))2-∞-+∞ B ．1(,)(0,2-∞-C ．(,0)-∞D ．(,0))-∞+∞ 二.填空题13.【2020年高考北京】函数1()ln 1f x x x =++的定义域是____________．14.【2020年高考江苏】已知2sin ()4απ+=23，则sin 2α的值是____________．15.【2020·江苏省高三月考】已知函数()2,0228,2x x x f x x x ⎧+<<=⎨-+≥⎩，若()()2f a f a =+，则1f a ⎛⎫⎪⎝⎭的值是____________.16.【2020·六盘山高级中学高三其他（理）】设函数2()2cos ()sin(284f x x x ππ=+++，(0,3π)∈x 则下列判断正确的是____________.①．函数的一条对称轴为6x π=②．函数在区间5,24ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内单调递增③．0(0,3π)x ∃∈，使0()1f x =-④．∃∈R a ，使得函数()y f x a =+在其定义域内为偶函数三．解答题17.（本题满分10分）已知0a >，0b >.（1）求证：()2232a b b a b +≥+；（2）若2a b ab +=，求ab 的最小值.18.（本题满分12分）已知集合，2|2162xA x ⎧⎫⎪⎪=<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭，{|3221}B x a x a =-<<+.（1）当0a =时，求A B ；（2）若A B φ⋂=，求a 的取值范围.19.（本题满分12分）已知函数()21sin sin cos 2f x x x x =+-，x ∈R ．（1）求函数()f x 的最大值，并写出相应的x 的取值集合；（2）若()26f α=，3,88ππα⎛⎫∈-⎪⎝⎭，求sin 2α的值．20．（本题满分12分）已知函数()0.52log 2axf x x -=-为奇函数．(1)求常数a 的值；(2)若对任意10,63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦都有()3f x t >-成立，求t 的取值范围.21（本题满分12分）【江苏省盐城市第一中学2020届高三下学期6月调研考试数学试题某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍稀水果树的单株产量W （单位：千克）与施用肥料x （单位：千克）满足如下关系：()253,02()50,251x x W x x x x⎧+≤≤⎪=⎨<≤⎪+⎩，肥料成本投入为10x 元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）20x 元．已知这种水果的市场售价大约为15元／千克，且销路畅通供不应求．记该水果树的单株利润为()f x （单位：元）．（Ⅰ）求()f x 的函数关系式；（Ⅱ）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大?最大利润是多少?22．（本题满分12分）已知函数2()2sin cos 0)f x x x x ωωωω=+->的最小正周期为π.（1）求函数()f x 的单调增区间；（2）将函数()f x 的图象向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到函数()y g x =的图象，若()y g x =在[0,](0)b b >上至少含有10个零点，求b 的最小值.2020-2021学年高一数学第一册单元提优卷期末测试卷（二）(满分：150分，测试时间：120分钟)一、单选题1．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =A ．–4B ．–2C ．2D ．4【答案】B求解二次不等式240x -≤可得{}2|2A x x -=≤≤，求解一次不等式20x a +≤可得|2a B x x ⎧⎫=≤-⎨⎩⎭.由于{}|21A B x x ⋂=-≤≤，故12a-=，解得2a =-.故选B ．2.【2020·广东省高三月考（文）】命题“10,ln 1x x x∀>≥-”的否定是A ．10ln 1x x x ∃≤≥-,B ．10ln 1x x x ∃≤<-,C ．10ln 1x x x ∃>≥-,D ．10ln 1x x x∃><-,【答案】D【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“0x ∀>，1ln 1x x ≥-”的否定为“0x ∃>，1ln 1x x<-”.故选D ．3.【2020·北京市八一中学高三月考】函数()()213f x ax a x =---在区间[)1,-+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是A ．1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．(],0-∞C ．10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】若0a =，则()3f x x =-，()f x 在区间[)1,-+∞上是增函数，符合.若0a ≠，因为()f x 在区间[)1,-+∞上是增函数，故0112a a a>⎧⎪-⎨≤-⎪⎩，解得103a <≤.综上，103a ≤≤.故选：D ．4.【2020·福建省福州第一中学高三其他（理）】已知函数()f x 的定义域为[0，2]，则()()21f xg x x =-的定义域为A ．[)(]0,11,2 B ．[)(]0,11,4 C ．[)0,1D ．(]1,4【答案】C【解析】函数()f x 的定义域是[0，2]，要使函数()()21f xg x x =-有意义,需使()2f x 有意义且10x -≠.所以10022x x -≠⎧⎨≤≤⎩,解得01x ≤<.故答案为C ．5.设函数要想得到函数sin21y x =+的图像，只需将函数cos2y x =的图象（）A ．向左平移4π个单位，再向上平移1个单位B ．向右平移4π个单位，再向上平移1个单位C ．向左平移2π个单位，再向下平移1个单位D ．向右平移2π个单位，再向上平移1个单位【答案】B【解析】cos 2sin(2)sin 2()24y x x x ππ==+=+，因此把函数cos 2y x =的图象向右平移4π个单位，再向上平移1个单位可得sin 21y x =+的图象，故选B6.【2020·北京高三月考】已知函数()y f x =满足(1)2()f x f x +=，且(5)3(3)4f f =+，则(4)f =A ．16B ．8C ．4D ．2【答案】B【解析】因为(1)2()f x f x +=,且(5)3(3)4f f =+,故()()324442f f =+,解得()48f =.故选：B7.已知3sin(3)cos()0πθπθ-++-=，则sin cos cos 2θθθ＝（）A ．3B ．﹣3C ．38D ．38-【答案】D 【解析】∵3sin(3)cos()0πθπθ-++-=，∴3sin cos 0θθ--=，即cos 3sin θθ=-，∴sin cos cos 2θθθ2222sin cos sin (3sin )3cos sin (3sin )sin 8θθθθθθθθ⋅-===----．故选：D ．8.【2020·南昌市八一中学】已知函数sin (0)y ax b a =+>的图象如图所示，则函数log ()a y x b =-的图象可能A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由函数sin (0)y ax b a =+>的图象可得201,23b a πππ<<<<，213a ∴<<，故函数log ()a y xb =-是定义域内的减函数，且过定点(1,0)b +.结合所给的图像可知只有C 选项符合题意.故选：C ．9.【2020年新高考全国Ⅰ卷】基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：(e )rt I t =描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位:天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0=1+rT .有学者基于已有数据估计出R 0=3.28，T =6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)A ．1.2天B ．1.8天C ．2.5天D ．3.5天【答案】B【解析】因为0 3.28R =，6T =，01R rT =+，所以 3.2810.386r -==，所以()0.38rt t I t e e ==，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为1t 天，则10.38()0.382t t t e e +=，所以10.382t e =，所以10.38ln 2t =，所以1ln 20.691.80.380.38t =≈≈天.故选：B ．10.【2020年高考北京】已知函数()21x f x x =--，则不等式()0f x >的解集是A ．(1,1)-B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．(0,1)D ．(,0)(1,)-∞⋃+∞【解析】因为()21xf x x =--，所以()0f x >等价于21x x >+，在同一直角坐标系中作出2x y =和1y x =+的图象如图：两函数图象的交点坐标为(0,1),(1,2)，不等式21x x >+的解为0x <或1x >.所以不等式()0f x >的解集为：()(),01,-∞⋃+∞.故选：D ．11.【2020年高考全国Ⅱ卷理数】若2x −2y <3−x −3−y ，则A ．ln(y −x +1)>0B ．ln(y −x +1)<0C ．ln|x −y |>0D ．ln|x −y |<0【答案】A【解析】由2233x y x y ---<-得：2323x x y y ---<-，令()23ttf t -=-，2x y = 为R 上的增函数，3x y -=为R 上的减函数，()f t ∴为R 上的增函数，x y ∴<，0y x ->Q ，11y x ∴-+>，()ln 10y x ∴-+>，则A 正确，B 错误；x y -Q 与1的大小不确定，故CD 无法确定.12.【2020年高考天津】已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩若函数2()()2()g x f x kx x k =--∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围是A ．1(,))2-∞-+∞ B ．1(,(0,2-∞-C ．(,0)-∞D ．(,0))-∞+∞ 【答案】D【解析】注意到(0)0g =，所以要使()g x 恰有4个零点，只需方程()|2|||f x kx x -=恰有3个实根即可，令()h x =()||f x x ，即|2|y kx =-与()()||f x h x x =的图象有3个不同交点.因为2,0()()1,0x x f x h x x x ⎧>==⎨<⎩，当0k =时，此时2y =，如图1，2y =与()()||f x h x x =有2个不同交点，不满足题意；当k 0<时，如图2，此时|2|y kx =-与()()||f x h x x =恒有3个不同交点，满足题意；当0k >时，如图3，当2y kx =-与2y x =相切时，联立方程得220x kx -+=，令0∆=得280k -=，解得k =k >.综上，k 的取值范围为(,0))-∞+∞ .故选：D ．二.填空题13.【2020年高考北京】函数1()ln 1f x x x =++的定义域是____________．【答案】(0,)+∞【解析】由题意得010x x >⎧⎨+≠⎩，0x ∴>故答案为：(0,)+∞14.【2020年高考江苏】已知2sin ()4απ+=23，则sin 2α的值是____________．【答案】13【解析】22221sin ()(cos sin )(1sin 2)4222παααα+=+=+Q 121(1sin 2)sin 2233αα∴+=∴=故答案为：1315.【2020·江苏省高三月考】已知函数()2,0228,2x x x f x x x ⎧+<<=⎨-+≥⎩，若()()2f a f a =+，则1f a ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值是____________.【答案】2【解析】由2x ≥时，()28f x x =-+是减函数可知，当2a ≥，则()()2f a f a ≠+，所以02a <<，由()(+2)f a f a =得22(2)8a a a +=-++，解得1a =，则21(1)112f f a ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭.故答案为：2.16.【2020·六盘山高级中学高三其他（理）】设函数2()2cos ()sin(2)84f x x x ππ=+++，(0,3π)∈x 则下列判断正确的是_____.①．函数的一条对称轴为6x π=②．函数在区间5,24ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内单调递增③．0(0,3π)x ∃∈，使0()1f x =-④．∃∈R a ，使得函数()y f x a =+在其定义域内为偶函数【答案】④【解析】函数()1cos 2sin 21244f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当(0,3π)∈x 时，当6x π=时，23x π=不能使函数取得最值，所以不是函数的对称轴，①错；当5,24x π⎡⎤∈π⎢⎥⎣⎦时，52,2x ⎡⎤∈ππ⎢⎥⎣⎦，函数先增后减，②不正确；若()1f x =-，那么cos 2x =不成立，所以③错；当3 2a =π时，()12f x a x +=函数是偶函数，④正确，三．解答题17.（本题满分10分）已知0a >，0b >.（1）求证：()2232a b b a b +≥+；（2）若2a b ab +=，求ab 的最小值.【答案】（1）证明见解析；（2）1.【解析】证明：（1）∵()()222223220a b b a b a ab b a b +-+=-+=-≥，∴()2232a b b a b +≥+.（2）∵0a >，0b >，∴2ab a b =+≥2ab ≥1≥，∴1≥ab .当且仅当1a b ==时取等号，此时ab 取最小值1.18.（本题满分12分）已知集合，|2162x A x ⎧⎫⎪⎪=<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭，{|3221}B x a x a =-<<+.（1）当0a =时，求A B ；（2）若A B φ⋂=，求a 的取值范围.【答案】（1）1|12A B x x ⎧⎫⋂=-<<⎨⎬⎩⎭；（2）3,[2,)4⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦.【解析】（1）1|42A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭，0a =时，{|21}B x x =-<<，∴1|12A B x x ⎧⎫⋂=-<<⎨⎬⎩⎭（2）∵A B φ⋂=，∴当B φ=时，3221a a -≥+，即3a ≥，符合题意；当B φ≠时，31213242a a a <⎧⎪⎨+≤--≥⎪⎩或，解得34a ≤-或23a ≤<，综上，a 的取值范围为3,[2,)4⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦.19.（本题满分12分）已知函数()21sin sin cos 2f x x x x =+-，x ∈R ．（1）求函数()f x 的最大值，并写出相应的x 的取值集合；（2）若()26f α=，3,88ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，求sin 2α的值．【答案】（1）()f x 的最大值为22，此时x 的取值集合为3,8x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭；（2）4sin 26α=.【解析】（1）因为()()211cos 2111sin sin cos sin 2sin 2cos 222222x f x x x x x x x -=+-=+-=-22sin 2cos cos 2sin sin 224424x x x πππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当()2242x k k Z πππ-=+∈，即()38x k k Z ππ=+∈时，函数()y f x =取最大值2，所以函数()y f x =的最大值为22，此时x 的取值集合为3,8x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭；（2）因为()26f α=，则sin 2246πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即1sin 243πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为3,88ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以2,422πππα⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，则cos 243πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以sin 2sin 2sin 2cos cos 2sin 444444ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1432326+=+⋅=.20．（本题满分12分）已知函数()0.52log 2ax f x x -=-为奇函数．(1)求常数a 的值；(2)若对任意10,63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦都有()3f x t >-成立，求t 的取值范围.【答案】(1)1a =-；(2)(),1-∞【解析】(1)因为函数()0.52log 2ax f x x -=-为奇函数，所以()()220.50.50.52224log log log 0224ax ax a x f x f x x x x-+-+-=+==----，所以222414a x x-=-，即21a =，1a =或1-，当1a =时，函数()0.50.52log log 12x f x x -==--，无意义，舍去，当1a =-时，函数()0.52log 2x f x x +=-定义域（-∞，-2）∪（2，+∞），满足题意，综上所述，1a =-。

2020-2021学年山东省潍坊市高三（上）期末数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1．（5分）若()1(a bi i i a -=+，)b R ∈，则1(a bi=+ ) A ．12i+ B ．12i- C ．12i-+ D ．12i-- 2．（5分）命题“0a ∀>，12a a+”的否定是( ) A ．0a ∃，12a a +< B ．0a ∃>，12a a +< C ．0a ∀，12a a+ D ．0a ∀>，12a a +< 3．（5分）函数()x f x e =在点(0，(0))f 处的切线方程是( ) A ．y x =B ．1y x =-C ．1y x =+D ．2y x =4．（5分）音乐，是人类精神通过无意识计算而获得的愉悦享受，1807年法国数学家傅里叶发现代表任何周期性声音的公式是形如sin y A x ω=的简单正弦型函数之和，而且这些正弦型函数的频率都是其中一个最小频率的整数倍，比如用小提琴演奏的某音叉的声音图象是由图1，2，3三个函数图象组成的，则小提琴演奏的该音叉的声音函数可以为( )A ．()0.06sin10000.02sin15000.01sin3000f t t t t πππ=++B ．()0.06sin5000.02sin 20000.01sin3000f t t t t πππ=++C ．()0.06sin10000.02sin 20000.01sin3000f t t t t πππ=++D ．()0.06sin10000.02sin 25000.01sin3000f t t t t πππ=++5．（5分）2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球土壤样品，在预定区域安全着陆．嫦娥五号是使用长征五号火箭发射成功的，在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v （单位：/)m s 和燃料的质量M （单位：)g 、火箭（除燃料外）的质量m （单位：)g 的函数关系表达式为2000(1)Mv ln m=+．如果火箭的最大速度达到12/m s ，则燃料的质量与火箭的质量的关系是( ) A ．6M e m =B ．61Mm e =-C ．6lnM lnm +=D ．61Me m=-6．（5分）已知圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的体积为( ) A ．2πB ．3πC ．3πD ．3π7．（5分）已知抛物线21:12C y x =，圆222:(3)1C x y -+=，若点A ，B 分别在上1C ，2C 上运动，点(1,1)M ，则||||AM AB +的最小值为( ) A ．2B ．5C ．22D ．38．（5分）已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()(2)f x f x =-，当[1x ∈-，1]时，()3f x x =，若函数()()(2)g x f x x =--的所有零点为(1i x i =，2，3，⋯，)n ，当317<<时，1(ni i x ==∑) A ．6B ．8C ．10D ．12二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9．（5分）设全集为U ，如图所示的阴影部分用集合可表示为( )A ．ABB ．UA B C ．()UA B B D ．UA B10．（5分）某地区机械厂为倡导“大国工匠精神”，提高对机器零件质量的品质要求，对现有产品进行抽检，由抽检结果可知，该厂机器零件的质量指标值Z 服从正态分布(200,224)N ，则( )（附22414.97≈，若2~(,)Z N μσ，则()0.6826P Z μσμσ-<<+=，(22)0.9544)P Z μσμσ-<<+=A ．(185.03200)0.6826P Z <<=B ．(200229.94)0.4772P Z <=C ．(185.03229.94)0.9544P Z <<=D ．任取10000件机器零件，其质量指标值位于区间(185.03,229.94)内的件数约为8185件11．（5分）将函数()sin 2f x x =的图象向左平移6π个单位，得到函数()y g x =的图象，则以下说法正确的是( )A ．函数()g x 在(0,)6π上单调递增B ．函数()y g x =的图象关于点(6π-，0)对称C ．()()2g x g x π-=-D ．()()6g g x π12．（5分）已知数列{}n a 满足：11n n n a a a +=+，11a =，设*()n n b lna n N =∈，数列{}n b 的前n 项和为n S ，则下列选项正确的是( )(20.693ln ≈，3 1.099)ln ≈A ．数列21{}n a -单调递增，数列2{}n a 单调递减B ．13n n b b ln ++C ．2020693S >D ．212n n b b ->三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．（5分）已知(1,1)a =，||2b =，且()4a b a +⋅=，则向量a 与b 的夹角为 ．14．（5分）已知双曲线2221(0)x y a a-=>的右焦点为F ，过点F 作一条渐近线的垂线，垂足为P ，OPF ∆的面积为2，则该双曲线的离心率为 ．15．（5分）通常，我国民用汽车号牌的编号由两部分组成：第一部分为汉字表示的省、自治区、直辖市简称和用英文字母表示的发牌机关代号，第二部分为由阿拉伯数字和英文字母组成的序号，如图所示．其中序号的编码规则为：①由10个阿拉伯数字和除I ，O 之外的24个英文字母组成； ②最多只能有2个英文字母．则采用5位序号编码的鲁V 牌照最多能发放的汽车号牌数为 万张．（用数字作答）16．（5分）如图，在底面边长为2，高为3的正四棱柱中，大球与该正四棱柱的五个面均相切，小球在大球上方且与该正四棱柱的三个面相切，也与大球相切，则小球的半径为 ．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）在①点(n a ，)n S 在直线210x y --=上，②12a =，122n n S S +=+，③0n a >，11a =，22112320n n n n a a a a +++-=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解．问题：已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，____． （1）求{}n a 的通项公式；（2）求n S ，并判断1S -，n S ，1n S +是否成等差数列，并说明理由．18．（12分）已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且3cos sin 3a C c A b -=． （1）求A ；（2）若2c =，且BC 边上的中线长为3，求b ．19．（12分）已知正方形ABCD 的边长为2，沿AC 将ACD ∆折起到PAC 位置（如图），G 为PAC ∆的重心，点E 在边BC 上，//GE 平面PAB ．（1）若CE EB λ=，求λ的值；（2）若GE PA ⊥，求平面GEC 与平面PAC 所成锐二面角的余弦值．20．（12分）在一个系统中，每一个设备能正常工作的概率称为设备的可靠度，而系统能正常工作的概率称为系统的可靠度，为了增加系统的可靠度，人们经常使用“备用冗余设备”（即正在使用的设备出故障时才启动的设备）．已知某计算机网络服务器系统采用的是“一用两备”（即一台正常设备，两台备用设备）的配置，这三台设备中，只要有一台能正常工作，计算机网络就不会断掉．设三台设备的可靠度均为(01)r r <<，它们之间相互不影响． （1）要使系统的可靠度不低于0.992，求r 的最小值；（2）当0.9r =时，求能正常工作的设备数X 的分布列；（3）已知某高科技产业园当前的计算机网络中每台设备的可靠度是0.7，根据以往经验可知，计算机网络断掉可能给该产业园带来约50万的经济损失．为减少对该产业园带来的经济损失，有以下两种方案：方案1：更换部分设备的硬件，使得每台设备的可靠度维持在0.9，更新设备硬件总费用为8万元；方案2：对系统的设备进行维护，使得设备可靠度维持在0.8，设备维护总费用为5万元． 请从期望损失最小的角度判断决策部门该如何决策？21．（12分）已知点B 是圆22:(1)16C x y -+=上的任意一点，点(1,0)F -，线段BF 的垂直平分线交BC 于点P ．（1）求动点P 的轨迹E 的方程；（2）设曲线E 与x 轴的两个交点分别为1A ，2A ，Q 为直线4x =上的动点，且Q 不在x 轴上，1QA 与E 的另一个交点为M ，2QA 与E 的另一个交点为N ，证明：FMN ∆的周长为定值．22．（12分）已知函数1()()x f x e ax a R -=-∈在区间(0,2)上有两个不同的零点1x ，2x ． （1）求实数a 的取值范围； （2）求证：121x x a>．2020-2021学年山东省潍坊市高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1．（5分）若()1(a bi i i a -=+，)b R ∈，则1(a bi=+ ) A ．12i+ B ．12i- C ．12i-+ D ．12i-- 【解答】解：()1a bi i i b ai -=+=+， 1a b ∴==，∴11111(1)(1)2i ia bi i i i --===+++-， 故选：B ．2．（5分）命题“0a ∀>，12a a+”的否定是( ) A ．0a ∃，12a a +< B ．0a ∃>，12a a +< C ．0a ∀，12a a+ D ．0a ∀>，12a a +< 【解答】解：命题“0a ∀>，12a a+”为全称命题， 则其的否定为0a ∃>，12a a+<， 故选：B ．3．（5分）函数()x f x e =在点(0，(0))f 处的切线方程是( ) A ．y x =B ．1y x =-C ．1y x =+D ．2y x =【解答】解：由()x f x e =，得()x f x e '=， 则0(0)1f e '==， 又(0)1f =，∴函数()x f x e =在点(0，(0))f 处的切线方程是1y x =+．故选：C ．4．（5分）音乐，是人类精神通过无意识计算而获得的愉悦享受，1807年法国数学家傅里叶发现代表任何周期性声音的公式是形如sin y A x ω=的简单正弦型函数之和，而且这些正弦型函数的频率都是其中一个最小频率的整数倍，比如用小提琴演奏的某音叉的声音图象是由图1，2，3三个函数图象组成的，则小提琴演奏的该音叉的声音函数可以为( )A ．()0.06sin10000.02sin15000.01sin3000f t t t t πππ=++B ．()0.06sin5000.02sin 20000.01sin3000f t t t t πππ=++C ．()0.06sin10000.02sin 20000.01sin3000f t t t t πππ=++D ．()0.06sin10000.02sin 25000.01sin3000f t t t t πππ=++ 【解答】解：由图1知，0.06A =，211500500500T =-=， 所以21000Tπωπ==，所以0.06sin1000y t π=； 结合题意知，函数()0.06sin10000.02sin 20000.01sin3000f t t t t πππ=++． 故选：C ．5．（5分）2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球土壤样品，在预定区域安全着陆．嫦娥五号是使用长征五号火箭发射成功的，在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v （单位：/)m s 和燃料的质量M （单位：)g 、火箭（除燃料外）的质量m （单位：)g 的函数关系表达式为2000(1)Mv ln m=+．如果火箭的最大速度达到12/m s ，则燃料的质量与火箭的质量的关系是( ) A ．6M e m =B ．61Mm e =-C ．6lnM lnm +=D ．61Me m=- 【解答】解：由题意可得：2000(1)12000Mv ln m=+=， 得61Me m+=，解得：61M e m =-， ∴如果火箭的最大速度达到12/m s ，则燃料的质量与火箭的质量的关系是61Me m=-， 故选：D ．6．（5分）已知圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的体积为( ) A ．2πB 3πC 3πD ．3π【解答】解：圆锥的侧面展开恰为一个半径为2的半圆，所以圆锥的底面周长为：2π， 底面半径为：13圆锥的体积为：213133ππ=， 故选：C ．7．（5分）已知抛物线21:12C y x =，圆222:(3)1C x y -+=，若点A ，B 分别在上1C ，2C 上运动，点(1,1)M ，则||||AM AB +的最小值为( ) A ．2B ．5C ．22D ．3【解答】解：过点A 作AP 垂直于抛物线的准线，垂足为点P ， 过点M 作MD 垂直于抛物线的准线，垂足为点D ，212y x =焦点(3,0)F 与圆2C 圆心重合， 若要使得||||AM AB +的最小，||AB 必须最小，||11AB AF r AF AP =-=-=-最小， 所以()1AM AB AM AP +=+-最小， 而()134AM AP MD +==+=最小， 所以()3AM AB +=最小． 故选：D ．8．（5分）已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()(2)f x f x =-，当[1x ∈-，1]时，()3f x x =，若函数()()(2)g x f x x =--的所有零点为(1i x i =，2，3，⋯，)n ，当317<<时，1(ni i x ==∑) A ．6B ．8C ．10D ．12【解答】解：定义在R 上的奇函数()f x 满足()(2)f x f x =-，故图象关于1x =对称， ()(2)f x f x ∴--=-，故(2)()f x f x +=-，(4)(2)()f x f x f x ∴+=-+=，即周期为4，又因为当[1x ∈-，1]时，()3f x x =，函数()()(2)g x f x x =--的所有零点即为()(2)f x x =-的交点， 因为317<<时，对应图象如图，故共有5个零点，一个为2，另两对都关于(2,0)对称，∴12222210ni i x ==+⨯+⨯=∑，故选：C ．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9．（5分）设全集为U ，如图所示的阴影部分用集合可表示为( )A ．ABB ．UA B C ．()UA B B D ．UA B【解答】解：设全集为U ，如图所示的阴影部分用集合可表示为：UA B 或()UA B B ，故A ，D 均错误，B ，C 均正确． 故选：BC ．10．（5分）某地区机械厂为倡导“大国工匠精神”，提高对机器零件质量的品质要求，对现有产品进行抽检，由抽检结果可知，该厂机器零件的质量指标值Z 服从正态分布(200,224)N ，则( )（附14.97≈，若2~(,)Z N μσ，则()0.6826P Z μσμσ-<<+=，(22)0.9544)P Z μσμσ-<<+=A ．(185.03200)0.6826P Z <<=B ．(200229.94)0.4772P Z <=C ．(185.03229.94)0.9544P Z <<=D ．任取10000件机器零件，其质量指标值位于区间(185.03,229.94)内的件数约为8185件【解答】解：因为(200,224)N ，所以200μ=，14.97σ=≈， 故214.97μσ+=，2229.94μσ+=，185.03μσ-=，2170.06μσ-=， 故(170.06229.94)0.9544P Z <<=，(185.03214.97)0.6826P Z <<=，由正态分布函数的对称性可知A 选项应为(185.03200)0.3413P Z <<=，故A 错； (200229.94)0.4772P Z <=，故B 正确；(185.03229.94)(185.03200)(200229.94)0.34130.47720.8185P Z P Z P Z <<=<<+<<=+=，故C 错；由C 可知任取10000件机器零件，其质量指标值位于区间(185.03,229.94)内的件数约为100000.81858185⨯=件，故D 正确．故选：BD ．11．（5分）将函数()sin 2f x x =的图象向左平移6π个单位，得到函数()y g x =的图象，则以下说法正确的是( )A ．函数()g x 在(0,)6π上单调递增B ．函数()y g x =的图象关于点(6π-，0)对称C ．()()2g x g x π-=-D ．()()6g g x π【解答】解：函数()sin 2f x x =的图象向左平移6π个单位，得到函数()sin(2)3y g x x π==+的图象，对于A ：由于(0,)6x π∈，所以22(,)333x πππ+∈，故函数在该区间上，先增后减，故A 错误；对于B ：当6x π=-时，()06g π-=，故B 正确； 对于C ：由于函数()g x 的最小正周期22T ππ==，所以()()2g x g x π-=-成立，故C 正确；低于D ：当6x π=时，2()sin 163g ππ==≠，即()()6g g x π，不成立，故D 错误．故选：BC ．12．（5分）已知数列{}n a 满足：11n n n a a a +=+，11a =，设*()n n b lna n N =∈，数列{}n b 的前n 项和为n S ，则下列选项正确的是( )(20.693ln ≈，3 1.099)ln ≈A ．数列21{}n a -单调递增，数列2{}n a 单调递减B ．13n n b b ln ++C ．2020693S >D ．212n n b b ->【解答】解：因为11a =，11n n n a a a +=+，所以11n n n a a a ++=即2211n n n a a a ++=+， 令21()1x g x x +=+，则1()0(1)2g x x '=>+，所以()g x 单调递增，所以220n nn n a a a a +-->-，所以2{}n a ，21{}n a -都单调，又因为13a a <，24a a >所以21{}n a -单调递增，2{}n a 单调递减，故A 正确； 欲证111()3n n n n n n b b lna lna ln a a ln ++++=+=，即13n n a a +⋅，即13n a +，即2n a ， 由11n n n a a a ++=，上式可化为1112n n a a --+，即11n a -， 显然2n =时，11a =，当3n 时，21211n n n a a a ---+=>，故11n a -成立， 所以原不等式成立，故B 正确， 因为[1n a ∈，2]，所以11(1)1[2,3]n n n n na a a a a +=+=+∈， 所以1[2n n b b ln ++∈，3]ln ，202010102693S ln >，故C 正确；因为11a =<21n a -<，则21211221n n a a +-=-<=+，因为22a =>2n a >2221221n n a a +=->=+由数学归纳法，212n n a a -<<，则212n n a a -<，212n n b b -<，故D 不正确． 故选：ABC ．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．（5分）已知(1,1)a =，||2b =，且()4a b a +⋅=，则向量a 与b 的夹角为 4π． 【解答】解：(1,1)a =，||2b =，且()4a b a +⋅=，∴24a a b +⋅=，所以422a b ⋅=-=．cos ,||||22a b a b a b ⋅∴<>===．由0,a b π<>， ,4a b π∴<>=．故答案为：4π． 14．（5分）已知双曲线2221(0)x y a a-=>的右焦点为F ，过点F 作一条渐近线的垂线，垂足为P ，OPF ∆，则该双曲线的离心率为4． 【解答】解：双曲线2221(0)x y a a-=>的1b =，设双曲线的半焦距为c ，且c =设过(,0)F c 与一条渐近线0x ay -=垂直的直线为l ， 则l 的方程为：()y a x c =--， 由1()y xay a x c ⎧=⎪⎨⎪=--⎩解得2a x c=，a y c =， 即2(a P c ，)ac，OPF ∆∴11||22P aOF y c c⨯=⋅=a ∴=， 3c ∴，c e a ∴==，故答案为：324． 15．（5分）通常，我国民用汽车号牌的编号由两部分组成：第一部分为汉字表示的省、自治区、直辖市简称和用英文字母表示的发牌机关代号，第二部分为由阿拉伯数字和英文字母组成的序号，如图所示．其中序号的编码规则为：①由10个阿拉伯数字和除I ，O 之外的24个英文字母组成； ②最多只能有2个英文字母．则采用5位序号编码的鲁V 牌照最多能发放的汽车号牌数为 706 万张．（用数字作答）【解答】解：根据题意，分3种情况讨论： ①，汽车号牌中没有字母，有510种组合，②，汽车号牌中有1个字母，有1145245101210C C ⨯⨯=⨯种组合， ③，汽车号牌中有2个字母，若两个字母不同，有22342451055210C A ⨯⨯=⨯种组合， 若两个字母相同，有1234245102410C C ⨯⨯=⨯种组合， 则汽车号牌中有2个字母的组合有44455210241057610⨯+⨯=⨯种，共有55441012105761070610+⨯+⨯=⨯种情况，故最多能发放的汽车号牌数为706万张， 故答案为：70616．（5分）如图，在底面边长为2，高为3的正四棱柱中，大球与该正四棱柱的五个面均相切，小球在大球上方且与该正四棱柱的三个面相切，也与大球相切，则小球的半径为 515- ．【解答】解：大球的半径为1R =，设小球的半径为r ，如图， 由题意可知，22OD r ，2CD r =-，1CO r =+，所以222(1)(2)(22)r r r +=-+-，221050r r -+=， (0,1)r ∈，解得1010040515r ---==， 故答案为：515-．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）在①点(n a ，)n S 在直线210x y --=上，②12a =，122n n S S +=+，③0n a >，11a =，22112320n n n n a a a a +++-=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解．问题：已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，____． （1）求{}n a 的通项公式；（2）求n S ，并判断1S -，n S ，1n S +是否成等差数列，并说明理由． 【解答】解：选条件①：（1）由题设可得：210n n a S --=，即21n n S a =-， 当2n 时，有1121n n S a --=-，两式相减得：122n n n a a a -=-，即12n n a a -=，2n ， 又当1n =时，1121S a =-，即11a =，∴数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，12n n a -∴=；（2）由（1）可得：122112nn n S -==--， 1112112(21)2n n n n S S S ++∴-=--=-=，1S ∴-，n S ，1n S +成等差数列．选条件②：（1）12a =，122n n S S +=+， 122n n S S -∴=+，2n ，两式相减得：12n n a a +=，2n ，又当1n =时，有211222S S a a =+=+，可解得：24a =，212a a ∴=，∴数列{}n a 是首项、公比均为2的等比数列，2n n a ∴=；（2）由（1）可得：12(12)2212n n n S +-==--，21112222(22)2n n n n S S S +++∴-=--=-=， 1S ∴-，n S ，1n S +成等差数列．选条件③：（1）22112320n n n n a a a a +++-=，11(2)(2)0n n n n a a a a ++∴-+=， 0n a >，120n n a a +∴-=，即112n n a a +=， 又11a =，∴数列{}n a 是首项为1，公比为12的等比数列， 112n n a -∴=； （2）由（1）可得：1111221212n n n S --==--， 1111211222n n n n S S S +-=--=-≠， 1S ∴-，n S ，1n S +不成等差数列．18．（12分）已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos sin C c A -=． （1）求A ；（2）若2c =，且BCb ． 【解答】解：（1）因为cos sin C c A -，由正弦定理可得3sin cos sin sin 3sin A C C A B -=，因为B A C π=--，所以3sin cos sin sin 3sin cos 3cos sin A C C A A C A C -=+，可得sin sin 3cos sin C A A C -=，因为sin 0C ≠，所以sin 3cos A A =-，可得tan 3A =-， 又因为(0,)A π∈，可得23A π=． （2）由余弦定理可得22222cos 42a b c bc A b b =+-=++，①又在ABC ∆中，222224cos 24a c b a b B ac a+-+-==，设BC 的中点为D ， 在ABD ∆中，2222()124cos 222a a c AD B a a c +-+==⨯⨯，可得22214442a a b a a ++-=，可得22420a b +-=，②由①②可得2280b b --=，解得4b =．19．（12分）已知正方形ABCD 的边长为2，沿AC 将ACD ∆折起到PAC 位置（如图），G 为PAC ∆的重心，点E 在边BC 上，//GE 平面PAB ．（1）若CE EB λ=，求λ的值；（2）若GE PA ⊥，求平面GEC 与平面PAC 所成锐二面角的余弦值．【解答】解：（1）连接CG ，并延长交PA 于点F ，连接BF ， //GE 平面PAB ，GE ⊂平面BCF ，平面BCF ⋂平面PAB BF =， //GE BF ∴， G 为PAC ∆的重心，2CG GF ∴=，2CE EB ∴=，即2λ=．（2）由（1）知，//GE BF ， GE PA ⊥，BF PA ∴⊥，F 为PA 的中点， 2PB AB ∴==，取AC 的中点O ，连接PO ，则2PO BO == 在POB ∆中，222PO BO PB +=，即PO BO ⊥， PO AO ⊥，AOBO O =，AO 、BO ⊂平面ABC ，PO ∴⊥平面ABC ，以O 为原点，OB ，OC ，OP 所在的直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(0A ，20)，(2B 0，0)，(0C 2，0)，(0P ，0，2)，(0F ，22， ∴(0FC =322，(2BC =-20)，设平面BCF 的法向量为(m x =，y ，)z ，则0m FC m BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即322022220y z x y ⎧-=⎪⎨⎪-+=⎩， 令1y =，则1x =，3z =，∴(1m =，1，3)， OB ⊥平面PAC ，∴平面PAC 的一个法向量为(1n =，0，0)，cos m ∴<，11||||1191m n n m n ⋅>===⋅++⨯故平面GEC 与平面PAC 11． 20．（12分）在一个系统中，每一个设备能正常工作的概率称为设备的可靠度，而系统能正常工作的概率称为系统的可靠度，为了增加系统的可靠度，人们经常使用“备用冗余设备”（即正在使用的设备出故障时才启动的设备）．已知某计算机网络服务器系统采用的是“一用两备”（即一台正常设备，两台备用设备）的配置，这三台设备中，只要有一台能正常工作，计算机网络就不会断掉．设三台设备的可靠度均为(01)r r <<，它们之间相互不影响． （1）要使系统的可靠度不低于0.992，求r 的最小值； （2）当0.9r =时，求能正常工作的设备数X 的分布列；（3）已知某高科技产业园当前的计算机网络中每台设备的可靠度是0.7，根据以往经验可知，计算机网络断掉可能给该产业园带来约50万的经济损失．为减少对该产业园带来的经济损失，有以下两种方案：方案1：更换部分设备的硬件，使得每台设备的可靠度维持在0.9，更新设备硬件总费用为8万元；方案2：对系统的设备进行维护，使得设备可靠度维持在0.8，设备维护总费用为5万元． 请从期望损失最小的角度判断决策部门该如何决策？ 【解答】解：（1）要使系统的可靠度不低于0.992， 则3(1)1(1)1(0)1(1)0.992P X P X P X r =-<=-==--， 解得0.8r ，故r 的最小值为0.8．（2）X 正常工作的设备数，由题意可知，~(3,)X B r ，0033(0)0.9(10.9)0.001P X C ==⨯⨯-=，1123(1)0.9(10.9)0.027P X C ==⨯⨯-=，2213(2)0.9(10.9)0.243P X C ==⨯⨯-=，3303(3)0.9(10.9)0.729P X C ==⨯⨯-=，从而X 的分布列为（3）设方案1、方案2的总损失分别为1X ，2X ，采用方案1，更换部分设备的硬件，使得设备可靠度达到0.9，由（2）可知计算机网络断掉的概率为0.001，不断掉的概率为0.999， 因为1()800000.00150000080500E X =+⨯=元．采用方案2，对系统的设备进行维护，使得设备可靠度维持在0.8，由（1）可知计算机网络断掉的概率为0.008，2()500000.00850000054000E X =+⨯=元，因此，从期望损失最小的角度，决策部分应选择方案2．21．（12分）已知点B 是圆22:(1)16C x y -+=上的任意一点，点(1,0)F -，线段BF 的垂直平分线交BC 于点P ．（1）求动点P 的轨迹E 的方程；（2）设曲线E 与x 轴的两个交点分别为1A ，2A ，Q 为直线4x =上的动点，且Q 不在x 轴上，1QA 与E 的另一个交点为M ，2QA 与E 的另一个交点为N ，证明：FMN ∆的周长为定值．【解答】（1）解：由题意可知，42PF PC PB PC FC +=+=>=， 所以动点的轨迹是以F ，C 为焦点且长轴长为4的椭圆， 所以2a =，1c =，故2223b a c =-=，所以动点P 的轨迹E 的方程为22143x y +=；（2）证明：题意可知，1(2,0)A -，2(2,0)A ，(4Q ，)(0)t t ≠为直线4x =上一点，设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，直线1A Q 的方程为(2)6t y x =+，直线2A Q 的方程为(2)2ty x =-，联立方程组22(2)6143t y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，可得2222(27)441080t x t x t +++-=， 可得2124108(2)27t x t --⋅=+，所以21254227t x t -=+， 故22542(27t M t -+，218)27t t +，同理可得222266(,)33t tN t t --++，故直线MN 的方程为22226626()393t t t y x t t t -+=--+-+， 即222666(1)999t t ty x x t t t =-+=-----，故直线MN 过定点(1,0)， 所以FMN ∆的周长为定值8．当3t =±时，MN 是椭圆的通径，经过焦点(1,0)，此时FMN ∆的周长为定值48a =， 综上可得，FMN ∆的周长为定值8．22．（12分）已知函数1()()x f x e ax a R -=-∈在区间(0,2)上有两个不同的零点1x ，2x ． （1）求实数a 的取值范围； （2）求证：121x x a>． 【解答】解：（1）由()0f x =，得：1x e a x-=，设1()x e h x x-=，(0,2)x ∈，即直线y a =与曲线()y h x =在(0,2)上有2个交点，又12(1)()x e x h x x --'=，当(0,1)x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减， (1,2)x ∈时，()0h x '>，()h x 单调递增，故()min h x h =（1）1=， 而h （2）2e=，当(0,1)x ∈时，()(1h x ∈，)+∞， 故(1,)2ea ∈；（2）证明：1()x f x e a -'=-，由()0f x '=，得1x lna =+， 当(0,1)x lna ∈+时，()0f x '<，()f x 在(0,1)lna +单调递减， 当(1,2)x lna ∈+时，()0f x '>，()f x 在(1,2)lna +单调递增，1x ，2x 为()f x 的两个零点，不妨设12x x <，则12012x lna x <<+<<，且121112x x e ax e ax --⎧=⎪⎨=⎪⎩，取对数112211x lna lnx x lna lnx -=+⎧⎨-=+⎩，原不等式等价于12lnx lnx lna +>-， 等价于1222x x lna lna +-->-， 等价于122x x lna +>+，第21页（共21页）即证122111x lna x lnx >++-=-， 212lna x +<<，故2(1)2ln lna lnx ln +<<， 故21211(1)1ln lnx ln lna -<-<-+<， 即证120()(1)f x f lnx =<-， 即22122(1)0x lnx e e lnx x ---->， 即2121(1)0x e lnx --->，2121x e lnx -+>，2(1,2)x lna ∈+， 设1()x m x e lnx -=+，11()x x e x m x xe---'=，易知1(1)x e x x ->>， 故()0m x '>，()m x 在(0,)+∞单调递增， 故()(1)m x m lna m >+>（1）1=， 故120lnx lnx lna ++>， 故121x x a>．。