直线与平面,平面与平面垂直的性质
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直线与平面、平面与平面垂直的性质
[ 学习目标 ] 1.理解直线和平面垂直、平面与平面垂直的性质定理，并能用文字、符号和图 形语言描述定理 .2. 会用线面垂直、 面面垂直的性质定理证明相关问题 .3.理解“平行”与“垂
直”之间的相互转化 .
知识点一 直线与平面垂直的性质定理
文字语言 垂直于同一个平面的两条直线平行
符号语言 a⊥α ? a∥ b b⊥α
图形语言
作用 ①线面垂直 ? 线线平行
②作平行线
思考 (1)垂直于同一平面的两条垂线一定共面吗？
(2)过一点有几条直线与已知平面垂直？
答 (1)共面 .由线面垂直的性质定理可知这两条直线是平行的，故能确定一个平面 .
(2) 有且仅有一条 .假设过一点有两条直线与已知平面垂直，由直线与平面垂直的性质定理可 得这两条直线平行，即无公共点，这与过同一点相矛盾，故只有一条直线 . 知识点二 平面与平面垂直的性质定理
文字语言 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
符号语言 α⊥ β
α∩ β＝ l
? a⊥ β a? α a⊥ l
图形语言
作用 ①面面垂直 ? 线面垂直
②作面的垂线
思考 (1)如果 α⊥ β，则 α内的直线必垂直于 β内的无数条直线吗？
(2) 如果 α⊥β，过 β内的任意一点作 α与 β交线的垂线，则这条直线必垂直于 α吗？答 (1)正确 .若设 α∩β＝ l，a? α，b? β，b⊥l ，则 a⊥b，故 β内与 b 平行的无数条直线均垂
直于 α内的任意直线 .
(2) 错误 .垂直于交线的直线必须在平面 β内才与平面 α垂直，否则不垂直 .
题型一 直线与平面垂直的性质及应用
例 1 如图，正方体 A1B1C1D1-ABCD 中，EF 与异面直线 AC、A1D 都 垂直相交 .
求证： EF∥ BD 1.
证明 如图所示，
连接 AB1、 B1D1、B1C、BD ， ∵DD 1⊥平面 ABCD，
AC? 平面 ABCD ，
∴DD 1⊥AC.
又 AC⊥BD，DD 1∩BD＝D，
∴AC ⊥平面 BDD 1B1，
又 BD1? 平面 BDD 1B1，
∴AC⊥BD1.
同理可证 BD 1⊥ B1C ， 又 AC∩ B1C ＝C ， ∴BD1⊥平面 AB1C.
∵EF⊥A1D，A1D∥B1C，∴EF ⊥B1C. 又∵ EF⊥AC，AC∩B1C＝C， ∴EF ⊥平面 AB1C，∴EF∥BD1.
跟踪训练 1 已知 α∩ β＝AB，PQ⊥
求证： QR⊥ AB.
证明 如图，因为 α∩ β＝ AB，
PO⊥β于点 O，所以 PO⊥ AB.
因为 PQ⊥ α于点 Q，所以 PQ⊥AB.
因为 PO∩ PQ＝P，
所以 AB⊥ 平面 PQO.
因为 OR⊥ α于点 R，所以 PQ∥OR. 因为 PQ 与 OR 确定平面 PQRO， 于点 Q， PO⊥β于点 O，OR⊥α于点
R. QR? 平面 PQRO，AB⊥ 平面 PQRO， 所以 AB⊥ QR.
题型二 平面与平面垂直的性质及应用
例 2 如图，在三棱锥 V－ ABC 中，平面 VAB⊥平面 ABC，△ VAB 为等边三角形， AC⊥
BC 且 AC＝BC＝ 2，O，M 分别为 AB，VA的中点 .
(1)求证： VB∥平面 MOC ； (2)求证：平面 MOC ⊥平面 VAB；
(3) 求三棱锥 V－ABC 的体积 .
(1)证明 ∵O，M 分别为 AB，VA 的中点，
∴OM ∥VB.
∵VB? 平面 MOC ， OM ? 平面 MOC，
∴VB∥平面 MOC.
(2)证明 ∵ AC＝BC，O 为 AB 的中点， ∴OC⊥AB.
又∵ 平面 VAB⊥平面 ABC，且平面 VAB∩平面 ABC＝ AB，OC? 平面 ABC，∴OC⊥平面
VAB. ∵OC? 平面 MOC，∴ 平面 MOC ⊥平面 VAB.
(3)解 在等腰直角 △ACB 中， AC＝BC＝ 2， ∴AB＝2，OC＝1， ∴S△ VAB＝ AB2＝ 3
∵OC⊥ 平面 VAB，
∴ V C－VAB＝ 13OC ·S△ VAB＝ 31×1× 3＝ 33，
跟踪训练 2 如图，在三棱锥 S－ABC中，平面 SAB⊥平面 SBC，AB⊥BC，过点 A作
AF⊥SB， 垂足为 F.求证： BC⊥SA.
证明 因为平面 SAB⊥ 平面 SBC，平面 SAB∩平面 SBC＝SB，
AF? 平面 SAB， AF⊥ SB，
所以 AF⊥ 平面 SBC.
又因为 BC? 平面 SBC，所以 AF ⊥
BC. 因为 AB⊥BC，AF∩ AB＝A，
所以 BC⊥ 平面
SAB. 又因为 SA? 平面 SAB，所以 BC⊥
SA. 题型三 线线、线面、面面垂直的综合应用
例 3 如图，直四棱柱 ABCD－A1B1C1D1中， AB∥CD，AD⊥AB，AB＝2，AD＝ 2，AA1
＝3，E为 CD上一点， DE＝1，EC＝3.
(1) 证明： BE⊥平面
BB1C1C； (2)求点 B1 到平面 EA1C1 的距离 . (1)证明 过 B 作 CD 的垂线交 CD 于 F ，
则 BF＝AD＝ 2， EF＝AB－DE＝1，FC＝2.
在 Rt△BFE 中， BE＝ 3.
在 Rt△CFB 中， BC＝ 6.
在△BEC 中，因为 BE2＋BC2＝9＝EC2，故 BE⊥ BC.
由 BB1⊥平面 ABCD 得 BE⊥
BB1， 又 BB1∩BC＝B，所以 BE⊥ 平面
BB1C1C. (2)解 三棱锥 E－A1B1C1 的体积
V＝ 3AA1·S A1B1C1 ＝ 2.
在 Rt△A1D1C1 中， A1C1＝ A1D12＋D1C21＝3 2.
同理， EC1＝ EC2＋ CC21＝ 3
2， A1E＝ A1A2＋AD2＋DE2＝ 2 3.
故S A1C1E ＝3 5.
设点 B1到平面 A1C1E 的距离为 d，
则三棱锥 B1－A1C1E 的体积
V＝ 3·d·S A1C1E ＝ 5d，
从而 5d＝ 2， d＝ 510.
即点 B1到平面 EA1C1 的距离为 10.
5.
跟踪训练 3 如图，在四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 a 的 菱形，∠ DAB ＝60°，侧面 PAD 为等边三角形，其所在平面垂直于底面
ABCD.
(1)求证： AD ⊥PB；
(2)若 E为 BC 边上的中点，能否在 PC棱上找到一点 F，使平面 DEF⊥平面 ABCD ？并证明
你的结论 .
(1)证明 设 G为 AD 的中点，连接 PG，BG，如图 . 因为△ PAD 为等边三角形， 所以 PG⊥
AD.
在菱形 ABCD 中， ∠ DAB ＝60°，
G为 AD 的中点，所以 BG⊥AD. 又因为 BG∩PG＝G，所以
AD⊥ 平面 PGB.
因为 PB? 平面 PGB，所以 AD⊥ PB.
(2)解 当 F 为 PC 的中点时，满足平面 DEF ⊥ 平面 ABCD. 如图，设 F 为 PC的中点，则在 △PBC 中，EF∥PB. 在菱形
ABCD 中， GB∥DE ，
而 EF? 平面 DEF，DE? 平面 DEF ，EF∩DE＝E， 所以平面
DEF ∥ 平面 PGB.
由(1) ，得 PG⊥平面 ABCD ，而 PG? 平面 PGB， 所以平面
PGB⊥平面 ABCD.
所以平面 DEF⊥平面 ABCD.
条件开放型
例 4 如图，在直四棱柱 A1B1C1D1－ ABCD 中，当底面四边形
A1C⊥ B1D1？ (注：写出一个你认为正确的条件即可，不必考虑所有可能的情形 )
A1A ∩A1C＝ A1 ABCD 满足什么条件时，有
分析 要使A1C⊥ B1D1 → A1C⊥BD ―1 ――1――→1 BD⊥平面 A1AC → AC⊥ BD解 因为 BD ∥ B1D 1，所以要使 A1C⊥B1D1，需 A1C⊥BD.
又因为 A1A⊥平面 ABCD ，A1A⊥BD，A1A∩A1C＝A1， 所以 BD⊥ 平面 A1AC.
因为 AC? 平面 A1AC，所以 AC⊥BD.
由以上分析，知要使 A1C⊥ B1D1，需使 AC⊥BD 或任何能推导出 AC⊥BD 的条件，如四边
形 ABCD 是正方形、菱形等 .
1. 在空间中，下列命题正确的是 ( )
A. 垂直于同一条直线的两直线平行 B.平行于同一条直线的两个平面平行
C.垂直于同一平面的两个平面平行 D. 垂直于同一平面的两条直线平行
2. 关于直线 m，n 与平面 α， β，有下列四个命题：
① 若 m∥α， n∥ β，且 α∥ β，则 m∥n；
② 若 m⊥α， n⊥ β，且 α⊥ β，则 m⊥n；
③ 若 m⊥α， n∥ β，且 α∥ β，则 m⊥n；
④ 若 m∥α， n⊥ β，且 α⊥ β，则 m∥n.
其中真命题的序号是 ( )
A. ①② B. ③④ C.①④ D.②③
3. 若平面 α⊥平面 β，平面 β⊥平面 γ，则 ( )
A.α∥γ B.α⊥ γ
C.α与 γ相交但不垂直 D. 以上都有可能
4. _________________________________________________________________ 已知 a、 b
为直线， α、β为平面 .在下列四个命题中，正确的命题是 __________________ .
① 若 a⊥ α， b⊥α，则 a∥ b；
② 若 a∥ α， b∥α，则 a∥ b；
③ 若 a⊥ α， a⊥β，则 α∥ β；
④ 若 α∥ b，β∥b，则 α∥β.
5. 如图，在三棱锥 P－ABC 内，侧面 PAC ⊥底面 ABC，且∠ PAC＝90°，PA＝1，AB＝2，则
