第三章 矩阵的秩与行列式
1矩阵的秩
（1）矩阵的定义
第一章结论5所描述的不重复数量其实就是这里所讲解的矩阵秩。用数学语言描
述为：对n阶矩阵A进行多次初等变换后，最少不全为0的行或列的个数t，则
称t为矩阵A的秩，记为：tAr。
（2）向量
前面我们已经知道用向量可以对矩阵简化表示，不仅如此，在对矩阵的性质进行
分析时，用向量可以便于描述，分析过程自然也更加清晰。
○1线性表出与线性相关
（a）线性表出
如果n维向量能表示成向量s,,,
21的线性组合，即：
sskkk
2211，则称可由向量组s,,,
21线性表出,其中数
skkk,,,
21称为关于的组合系数.
(b)向量组的等价
如果向量组s,,,
21中的每个向量都可由向量组t,,,
21线性表出，且向
量组t,,,
21中的每个向量也可以由向量组s,,,
21线性表出,那么就称
这两个向量组等价.
【例3.1】试判定向量 T)2,0,2,1( 是否可由向量组T)0,1,1,1(
1,
T)1,0,1,1(
2,T)1,1,0,1(
3,T)1,1,1,0(
4表出，
解：设有
44332211xxxx，此线性方程组是否有解就代表是否可表出。
根据解线性方程组的思路，可以将上述的列向量写成如下矩阵形式，并实施行初
等变换，变为左边区域可用单位矩阵代替的新矩阵，最右边一列的值便是方程的
解。
321000350100310010370001
~
21110011012101110111
,,,,
4321初等行变换
则此方程有唯一解：32
135
131
137
1,,,xxxx，故向量可线性表出。
○2向量组的线性相关
（a）向量组的线性相关的定义
对于n维向量组s,,,
矩阵论及其应用
矩阵论是数学中的一个重要分支，它研究的是矩阵及其性质、运算规则以及在各个领域中的应用。矩阵作为一种代数工具，具有广泛的运用价值，特别是在线性代数、计算机科学、物理学、经济学等领域。本文将介绍矩阵论的基本概念、运算规则以及一些典型的应用。
我们来了解一下矩阵的基本概念。矩阵是由数个数构成的矩形阵列，其中的每个数称为矩阵的元素。矩阵可以表示为一个大写字母加上两个下标，例如A、B、C等。矩阵的大小由行数和列数决定，行数用m表示，列数用n表示，一个m行n列的矩阵称为m×n矩阵。矩阵的元素可以是实数、复数或者其他类型的数。
矩阵的运算是矩阵论的核心内容之一。常见的矩阵运算包括矩阵的加法、减法、数乘、乘法以及转置等。矩阵的加法和减法要求两个矩阵具有相同的大小，即行数和列数相等。加法和减法的运算规则是对应位置上的元素相加或相减。数乘是指一个数与矩阵中的每个元素相乘，乘积仍然是一个矩阵。矩阵的乘法是一种复杂的运算，它要求第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数，乘积的结果是一个新的矩阵，其行数等于第一个矩阵的行数，列数等于第二个矩阵的列数。转置是指将矩阵的行和列互换得到的新矩阵。
矩阵的应用广泛存在于各个领域中。在线性代数中，矩阵被用来描述线性方程组的系数矩阵，通过矩阵的运算可以求解线性方程组的解。在计算机科学中，矩阵被广泛应用于图像处理、人工智能和数据分析等领域。在图像处理中，矩阵可以表示为像素点的亮度值，通过对矩阵的运算可以实现图像的旋转、缩放、模糊等操作。在人工智能中，矩阵可以表示神经网络的权重矩阵，通过矩阵的乘法和激活函数的运算可以实现神经网络的前向传播和反向传播。在数据分析中，矩阵可以表示数据集，通过对矩阵的分解和降维可以实现数据的特征提取和模式识别。
矩阵还在物理学、经济学以及其他科学领域中得到广泛应用。在物理学中，矩阵被用来描述波函数和量子态，通过矩阵的运算可以求解量子系统的能量和态矢。在经济学中，矩阵被用来描述经济模型中的变量关系，通过矩阵的运算可以分析经济系统的稳定性和发展趋势。在其他科学领域中，矩阵被用来描述复杂系统的结构和相互作用，通过矩阵的运算可以揭示系统的内在规律和动态特性。
目录
1、介绍 ............................................................................................................................................ 2
2、现实应用 .................................................................................................................................... 2
2.1、图像处理 ......................................................................................................................... 3
2.1.1、背景 ..................................................................................................................... 3
2.1.2、理论基础 ............................................................................................................. 3
2.1.3、应用 ..................................................................................................................... 3
2.2电路分析 ............................................................................................................................ 4
矩阵分析与应用补充材料
第3讲
武露 wulou04@
内容：MATLAB命令介绍、补充Kernel Matrix和Distance Matrix
的概念、习题选讲 1
例： 1234
5678
9101112
13141516⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A
>> flipdim(A,1)
ans =
13 14 15 16
9 10 11 12
5 6 7 8
1 2 3 4
>> flipud(A)
ans =
13 14 15 16
9 10 11 12
5 6 7 8
1 2 3 4
例： 1234
5678
9101112
13141516⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A
>> flipdim(A,2)
ans =
4 3 2 1
8 7 6 5
12 11 10 9
16 15 14 13
>> fliplr(A)
ans =
4 3 2 1
8 7 6 5
12 11 10 9
16 15 14 13
2
例： 1234
5678
9101112
13141516⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A
>> rot90(A,1)
ans =
4 8 12 16
3 7 11 15
2 6 10 14
1 5 9 13
>> rot90(A,2)
ans =
16 15 14 13
12 11 10 9
8 7 6 5
4 3 2 1
例：
>> hadamard(4)
ans =
1 1 1 1
1 -1 1 -1
1 1 -1 -1
1 -1 -1 1
例：
>> hankel([1,2,3])
ans =
1 2 3
2 3 0
3 0 0
若c的最后一个元素和r的第一个元素不同时，以c为准。
例：
>> hankel([1,2,3], [6,7,8,9]) 3
Warning: Last element of input column does not match first element of input row.
