以创新意识立意的中考数学试题赏析

一元二次方程创新中考题分类例析近年来，中考试题更加灵活开放，有关一元二次方程的创新题也频频出现，这类题更能考查同学们灵活运用知识的能力、创新精神以及实践能力.为此，我们精选出一些试题进行归类分析，针对不同的题型提出不同的思考策略和解题方法.一、探索规律型例1 已知下列n（n为正整数）个关于x的一元二次方程：x2-1=0x2+x-2=0x2+2x-3=0……x2+（n-1）x-n=0（1）请解上述一元二次方程；（2）请你指出这n个方程的根具有什么共同特点，写出一条即可.分析：可利用因式分解法分别解方程，求出结果，分析方程的解与因式之间的关系，总结出共同特点.解：（1）（x+1）（x-1）=0，所以x1=-1，x2=1（x+2）（x-1）=0，所以x1=-2，x2=1，（x+3）（x-1）=0，所以x1=-3，x2=1，……（x+n）（x-1）=0，所以x1=-n，x2=1；（2）共同特点即：都有一个根为1；都有一个根为负整数；两个根都是整数根等.点评：本例从基本知识出发，探索具有某种特点的方程的解题规律及方程的根与系数之间的关系，注重考查观察、类比及联想等数学思想方法.二、讨论说理型例2 解方程x（x-1）=2.有学生给出了如下解法：∵ x（x-1）=2=1×2=（-1）×（-2），∴ x=1，x-1=2；或x=2，x-1=1；或x=-1，x-1=-2；或x=-2，x-1=-1；解上面第一、四方程组，无解；解第二、三方程组，得 x=2或x=-1.∴ x=2或x=-1.请问：这个解法对吗？试说明理由.分析：这种解法不对.两个数的积是2，这两个数的情况有无数种，不一定只是所列出的几种；这个同学的解法是一种特定情况，不具有一般性，是一种巧合.解：答案一：对于这个特定的已知方程，解法是正确的.理由是：一元二次方程有根的话，只能有两个根，此学生已经将两个根都求出来了，所以正确.答案二：解法不严密，方法不具有一般性.理由是：为何不可以由2=3× 等，得到其它的方程组？此学生只是碰巧求对了方程的根.点评：本题是一道判断解答正误的说理题.过去的说理题要么解法是正确的，要么是错误的，而本题的新颖之处是，既可以说解法正确也可以说解法错误，只要能够运用所学的数学知识说出道理即可.三、创新自编型例3 已知一元二次方程有一个根是2，那么这个方程可以是____________（填上你认为正确的一个方程即可）.分析：本题的答案不惟一.解答这类试题必须根据“定义具有判定作用，又有性质作用”的思路逆向进行操作.解：先构造方程的一个根为x=2，然后在x=2的两边同乘以x，展开得x2-2x=0；或两边同乘以（x-3），得x（x-3）=2（x-3），展开得x2-5x+6=0等.点评：要学会从结果出发进行逆向思维，避免盲目地写出一系列的一元二次方程，然后检验2是不是所列一元二次方程的解，这是不正确的思维方法，需要纠正.四、新定义运算型例4 将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成a bc d，定义a bc d=ad-bc，上述记号就叫做2阶行列式.若x+1 x-11-x x+1=6，则x= .分析：题中给出了2阶行列式的定义，根据新定义的运算法则，将方程转化为常规的方程即可使问题得以解决.解：由题意得（x+1）2-（1-x）（x-1）=6，解这个一元二次方程得：x1= ，x2=- .点评：本题定义了一种新运算，在代数式中某种相同的结构或某种特定操作用特定算式符号来表示，形成一种新的运算，要求同学们现学现用，充分调动阅读理解能力、接受能力、应变能力和创新能力去解答试题，突出考查同学们的数学素质.五、表格分析型例5 代数式ax2+bx+c（a≠0，a、b、c是常数）中，x与ax2+bx+c的对应值如下表：试判断一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a、b、c是常数）的两个根x1，x2的取值范围是下列选项中的哪一个 .①- 解答问题：（1）上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用________法达到了解方程的目的，体现了转化的数学思想；（2）请利用以上知识解方程x4-x2-6=0.分析：本例首先要求考生在阅读理解例题的规范解法的基础上，总结归纳出如何用换元法解高次方程.当然，这并非机械模仿，要先对所解答问题中的方程进行换元，才能实现信息迁移，解决问题.解：（1）换元法；（2）设x2=y，那么原方程可化为y2-y-6=0，解得y1=3；y2=-2，当y=3时，x2=3；∴x=±当y=-2时，x2=-2不符合题意，舍去.∴原方程的解为x1= ，x2=- .点评：利用换元的思想来解答同学们很少遇到过的一元高次方程，同学们应仔细阅读，观察、分析、归纳与猜想.这是培养大家收集和处理信息能力以及“学会学习”的一种重要题型.七、综合应用型例7 已知：△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2-（2k+3）x+k2+3k+2=0的两个实数根，第三边BC的长为5.试问：取何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形？分析：先解方程可得x1=k+1，x2=k+2，若△ABC是直角三角形，且BC是斜边，那么有（k+1）2+（k+2）2=52，易求k，结合实际意义可求k的值.解：原方程=[x-（k+1）][x-（k+2）]=0，解得：x1=k+1，x2=k+2，由勾股定理得：（k+1）2+（k+2）2=52，∴k2+3k-10=0，∴k1=-5或k2=2，当k=-5时，方程为x2+7x+12=0，解得：x1=-3，x2=-4（舍去），当k=2时，方程为：x2-7x+12=0，解得：x1=3，x2=4，∴当k=2时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形.点评：这是一道融合了代数、几何知识的综合题，解答的关键在于找出可供列方程的相等关系：对于勾股定理中的等式，要注意将推理和计算相结合，先推理后计算，或边推理边计算，力求使解题的过程规范化.七年级（下）期末巩固练习参考答案1. D；2.A；3.C；4.D；5.3；6. ；7.8；8.（5，0）；9.2，4；10. （1）证明：∵AB∥CD，∴∠BAC=∠DCA，又∵∠BAE=∠DCF，∴∠EAM=∠FCM，∴AE∥CF；（2）证明：∵AM平分∠FAE，∴∠FAM=∠EAM，又∵∠EAM=∠FAM，∴∠FAM=∠F CM，∴△FAC是等腰三角形，又∵AM=CM，∴FM⊥AC，即EF垂直平分AC.11. 解：（1）设帐篷有x件，食品有y件.则x+y=680x-y=200，解得，x=440y=240，答：帐篷有440件，食品有240件（2）设租用A种货车a辆，则租用B种货车（16-a）辆，则，40a+20（16-a）≥68010a+20（16-a）≥200，解得6≤a≤8，故有3种方案：A种车分别为6，7，8辆，B种车对应为10，9，8辆；（3）设总费用为W元，则W=800a+720（16-a）=80a+11520，k=80>0，W随a的增大而增大，所以当a=6时费用最少，为12000元.八年级（下）期末强化练习参考答案1.A；2.C；3.C；4.B；5.a≥3；6.12cm2；7.y=2x-3；8.32；9.580，11.6，10；10.证明：∵∠ABC=90°，∠BAC=60°，∴∠C=30°，∴BA= AC.又∵BD是斜边AC的中线，∴BD=AD= AC=CD.∴BD=AB=CD，∴∠C=∠DBC=30°，∵将△BCD沿BD折叠得△BC1D，∴△CBD≌△C1BD，∴CD=DC1，∴AB=BD=DC1，∴∠C1BA=∠BC1D=30°，∴BA∥DC1，DC1=AB，∴四边形ABDC1为平行四边形，又∵AB=BD，∴平行四边形ABDC1为菱形.11.解：（1）利用图象可得：线段CD表示轿车在途中停留了：2.5-2=0.5小时；（2）根据D点坐标为：（2.5，80），E点坐标为：（4.5，300），代入y=kx+b，得：80=2.5k+b300=4.5k+b，解得：k=110b=-195，∴线段DE对应的函数解析式为：y=110x-195（2.5≤x≤4.5）；（3）∵A点坐标为：（5，300），代入解析式y=ax得，300=5a，解得：a=60，∴y=60x，当60x=110x-195，解得：x=3.9，故3.9-1=2.9（小时），答：轿车从甲地出发后经过2.9小时追上货车.。

中考数学中的新定义题型赏析.近年来的中考，竞赛中，屡屡涌现出一种新型试题──新概念问题，它们立意考查学生阅读、阐发、仿练、归纳、内化等综合能力，在解决它们过程中又可发生了许多新方法、新不雅念，增强了学生创新意识．试题新颖别致，颇具魅力，成为中考、竞赛试题中的一朵朵奇葩，现采撷几束予以赏析．一、定义一种新数【例1】日常生活中，“白叟〞是一个模糊的概念，有人想用“白叟系数〞来暗示一个人的老年化程度，此中一个人的“白叟系数〞计算方法如下表：人的春秋x〔岁〕x≤6060＜x＜80 x≥800 1该人的“白叟系数〞按照这样的规定，一个春秋为70岁的白叟的“白叟系数〞为．赏析：一个春秋为70岁的白叟，因春秋在60～80岁之间，按照白叟系数的规定，这位白叟的“白叟系数〞为＝．【例2】〔“但愿杯〞邀请赛试题〕对于不小于3的自然数n，规定如下一种操作：暗示不是n的约数的最小自然数，如<7>=2，<12>=5，等等，那么<19>×<98>= (式子中“×〞暗示乘法)．赏析：按照的定义，<19>＝2，<98>＝3，故<19>×<98>＝2×3＝6．此题要求考生弄懂“新数〞的定义，抓住“新数〞的定义推理，斗胆演练，不难得到答案．二、定义一种新的运算【例3】用“〞定义新运算：对于任意实数a，b都有a b＝b2＋1，例如74＝42＋1＝17，那么53＝，m〔m2〕＝．赏析：依据新运算的定义，53＝32+1＝10，〔m2〕＝22+1＝5，故m〔m2〕＝〔m5〕＝52+1＝26．【例4】在有理数范围内规定一种新运算“*〞，其规那么为a*b＝a2－b2，按照这个规那么，求2*5的成果为.赏析：按照新运算的定义，2*5＝22－52＝4-25＝－21.【例5】用“←〞与“→〞定义：对于任意实数a，b，都有a←b=a，a→b＝b，例如：3←2＝3，3→2＝2，那么〔2006→2005〕←〔2004→2003〕＝．赏析：按照新运算“←〞与“→〞的意义：对于任意实数a，b，都有a←b=a，a→b ＝b，故〔2006→2005〕＝2005；〔2004→2003〕＝2003，〔2006→2005〕←〔2004→2003〕＝2005←2003＝2005．【例6】现定义两种运算：“〞，“〞，对于任意两个整数a，b，a b=a+b-1，a b＝a×b-1,求4【〔68〕〔35〕】的值．赏析：按照新运算的定义，〔68〕＝6＋8－1＝13，〔35〕＝3×5－1＝14，那么〔68〕〔3 5〕＝1314＝13＋14－1＝26那么4【〔68〕〔35〕】＝4 26＝4×26-1＝103．以上试题要求考生趁热打铁，现学现卖，抓住“新运算〞的定义，积极推理，模仿演练，可一举成功！三、给定一种新的规那么或要求，要求按规那么或要求解题【例7】同学们玩过“24点〞游戏吗？现给你一个无理数，你再找3个有理数，使它们颠末3次运算后得到的成果为24，请你写出一个符合要求的等式．赏析：此题集趣味性，开放型，娱乐性，挑战性于一身，试题的答案很多，只要我们开动脑筋，斗胆想象，就可找出最简单，最可行的方案．现举两例：×0+1+23＝24；，〔提示：〕此题值得回味的是，如何使无理数最终变成有理数.。

一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个函数是奇函数？A. y = x^2B. y = |x|C. y = x^3D. y = x^4答案：C解析：奇函数的定义是f(-x) = -f(x)，只有C选项满足此条件。

2. 在直角坐标系中，点A(2,3)，点B(5,1)，则线段AB的中点坐标为：A. (3,2)B. (4,2)C. (3,1)D. (4,1)答案：B解析：中点坐标公式为((x1+x2)/2, (y1+y2)/2)，代入得(4,2)。

3. 若等差数列{an}的公差d=2，且a1+a5=18，则a3的值为：A. 8B. 10C. 12D. 14答案：B解析：由等差数列性质，a1+a5 = 2a3，代入得2a3=18，解得a3=9。

4. 若sinA=1/2，cosB=3/5，且A、B均为锐角，则tan(A+B)的值为：A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B解析：利用正切和公式tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)，代入得tan(A+B) = (1/2+3/5)/(1-1/23/5) = 2。

5. 若等比数列{an}的公比q=2，且a1+a3=24，则a5的值为：A. 64B. 32C. 16D. 8答案：A解析：由等比数列性质，a1a3 = a2^2，代入得a1a3 = 2^22^2 = 16，又因为a1+a3=24，解得a1=4，a3=20，所以a5=a3q^2=202^2=64。

二、填空题（每题4分，共20分）6. 已知函数f(x)=2x-1，则f(-3)的值为______。

答案：-7解析：将x=-3代入函数f(x)中，得f(-3)=2(-3)-1=-7。

7. 在△ABC中，若a=3，b=4，c=5，则△ABC是______三角形。

答案：直角解析：根据勾股定理，a^2+b^2=c^2，代入得3^2+4^2=5^2，满足条件，所以△ABC 是直角三角形。