第一章集合与函数概念章末复习课 知识概览 对点讲练 分类讨论思想在集合中的应用 分类讨论思想是高中的重要数学思想之一，分类讨论思想在与集合概念的结合问题上，主要是以集合作为一个载体，与集合中元素结合加以考查，解决此类问题关键是要深刻理解集合概念，结合集合中元素的特征解决问题． 1．由集合的互异性决定分类 【例1】设A＝{－4,2a－1，a2}，B＝{9，a－5,1－a}，已知A∩B＝{9}，则实数a＝________. 分析由A∩B＝{9}知集合A与B中均含有9这个元素，从而分类讨论得到不同的a 的值，注意集合中元素互异性的检验． 答案－3 解析由A∩B＝{9}，得2a－1＝9，或a2＝9， 解得a＝5,3，－3. 当a＝5时，A＝{－4,9,25}，B＝{9,0，－4}，
A ∩ B ＝{9，－4}，与A ∩B ＝{9}矛盾； 当a ＝3时，a －5＝－2,1－a ＝－2，B 中元素重复，舍去； 当a ＝－3时，A ＝{－4，－7,9}，B ＝{9，－8,4}，满足题设． ∴a ＝－3. 规律方法 (1)本题主要考查了分类讨论的思想在集合中的具体运用，同时应该注意集合中元素的互异性在集合元素的确定中起重要作用． (2)本题在解题过程中易出现的错误：①分类讨论过于复杂；②不进行检验，导致出现增根；③分类讨论之后没有进行总结． 变式迁移1 全集S ＝{2,3，a 2＋2a －3}，A ＝{|2a ＋11|,2}，?S A ＝{5}，求实数a 的值． 解 因为?S A ＝{5}，由补集的定义知，5∈S ，但5?A. 从而a 2＋2a －3＝5，解得a ＝2或a ＝－4. 当a ＝2时，|2a ＋11|＝15?S ，不符合题意； 当a ＝－4时，|2a ＋11|＝3∈S.故a ＝－4. 2．由空集引起的讨论 【例2】 已知集合A ＝{x|－2≤x ≤5}，集合B ＝{x|p ＋1≤x ≤2p －1}，若A ∩B ＝B ，求实数p 的取值范围． 解 ∵A ∩B ＝B ，∴B ?A ， (1)当B ＝?时，即p ＋1>2p －1， 故p<2，此时满足B ?A ； (2)当B ≠?时，又B ?A ，借助数轴表示知 ????? p ＋1≤2p －1－2≤p ＋1 2p －1≤5，故2≤p ≤3. 由(1)(2)得p ≤3. 规律方法 解决这类问题常用到分类讨论的方法．如A ?B 即可分两类：(1)A ＝?；(2)A ≠?.而对于A ≠?又可分两类：①A B ；②A ＝B.从而使问题得到解决．需注意A ＝?这种情况易被遗漏．解决含待定系数的集合问题时，常常会引起讨论，因而要注意检验是否符合全部条件，合理取舍，谨防增解． 变式迁移2 已知集合A ＝{x|x 2－3x ＋2＝0}，集合B ＝{x|mx －2＝0}，若B ?A ，求由实数m 构成的集合． 解 A ＝{x|x 2－3x ＋2＝0}＝{1,2} 当m ＝0时，B ＝?，符合B ?A ； 当m ≠0时，B ＝{x|x ＝2m }，由B ?A 知，2m ＝1或2m ＝2.即m ＝2或m ＝1. 故m 所构成的集合为{0,1,2}． 数形结合思想在函数中的应用 数形结合是本章最重要的数学思想方法，通过画出函数的图象，使我们所要研究的问题更加清晰，有助于提高解题的速度和正确率． 【例3】 设函数f(x)＝x 2－2|x|－1 (－3≤x ≤3)， (1)证明f(x)是偶函数； (2)画出这个函数的图象； (3)指出函数f(x)的单调区间，并说明在各个单调区间上f(x)是增函数还是减函数； (4)求函数的值域． (1)证明 f(－x)＝(－x)2－2|－x|－1＝x 2－2|x|－1＝f(x)， 即f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数． (2)解 当x ≥0时， f(x)＝x 2－2x －1＝(x －1)2－2，
集合与函数概念 知识点1：集合的含义 1》元素定义：我们把研究对象称为元素；集合定义：把一些元素组成的总体叫做集合2》集合表示方法：集合通常用大括号{ }或大写的拉丁字母A,B,C…表示， 而元素用小写的拉丁字母a,b,c…表示。 3》集合相等：构成两个集合的元素完全一样。 典例分析 … 题型1：判断是否形成集合 例1：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由： （1）大于3小于11的偶数；（2）我国的小河流； （3）非负奇数；（4）方程x2+1=0的解； （5）某校2011级新生；（6）血压很高的人； （7）著名的数学家；（8）平面直角坐标系内所有第三象限的点 … 能组成集合的是___________________。 例2：考察下列对象能形成一个集合的是____________________。 ①身材高大的人②所有的一元二次方程 ③直角坐标平面上纵横坐标相等的点④细长的矩形的全体 ⑤比2大的几个数⑥2的近似值的全体 ⑦所有的小正数⑧所有的数学难题 : 知识点2：集合元素的特征以及集合与元素之间的关系 1》集合的元素特征： ①确定性：给定一个集合，一个元素在不在这个集合中就确定了。 ②互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的。. ， 如:方程(x-2)(x-1)2=0的解集表示为{1,-2},而不是{1,1,-2}
2》元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于?两种) ①若a 是集合A 中的元素，则称a 属于集合A a ∈A ； ②若a 不是集合A 的元素，则称a 不属于集合A ，记作a ?A 。 注意：常见数集 ①非负整数集（或自然数集），记作N ； ②正整数集，记作N * 或N +； ③整数集，记作Z ； ④有理数集，记作Q ； ⑤实数集，记作R ； ^ 典例分析 题型1：集合中元素的互异性的考察 例1：由实数-a, a, a , a 2 , - 5 a 5 为元素组成的集合中,最多有_______个元素，分别为__________。 例2：设a,b,c 分别为非零实数，则c c b b a a y ++= 所有的值构成的集合中元素分别为______________。 # 例3：含有三个实数的集合可表示为{1,,a b a }，也可表示为{0,,2 b a a +}，则=+20142013b a _________。 例4：集合{2,1,12 --x x }中的x 不能取得值有_______个。 例5：由4,2,2 a a -组成1个集合A ，A 中含有3个元素，则实数a 的取值可以是（ ） A 、1 B 、-2 C 、6 D 、2 ￥ 例6：以实数a ２ ，2-a.,4为元素组成一个集合A ，A 中含有2个元素，则的a 值为 . 题型2：集合与元素之间关系的考察 例1：用“∈”或“ ?”符号填空： （1）8 N ； （2）0 N ； （3）-3 Z ； （4； （5）设A 为所有亚洲国家组成的集合，则中国 A ，美国 A ，印度 A ，英国 A 。 … 例2：给出下面四个关系: 3∈R, 0.7?Q, 0∈{0}, 0∈N,其中正确的个数是:( )
高一数学必修1各章知识点总结 第一章集合与函数概念 一、集合有关概念 1.集合的含义 2.集合的中元素的三个特性： (1)元素的确定性如：世界上最高的山 (2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3)元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合3.集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西 洋,印度洋,北冰洋} (1)用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2)集合的表示方法：列举法与描述法。 ◆注意：常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 1）列举法：{a,b,c……} 2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。{x∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2} 3）语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} 4）Venn图: 4、集合的分类： (1)有限集含有有限个元素的集合 (2)无限集含有无限个元素的集合 (3)空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝ 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 A?有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是注意：B 同一集合。 ?/B 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A ?/A 或B 2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5) 实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” 即：①任何一个集合是它本身的子集。A?A ②真子集:如果A?B,且A≠ B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A) ③如果 A?B, B?C ,那么 A?C ④如果A?B 同时 B?A 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。 ◆有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集
高一数学集合与函数测试题 一、 选择题（每题5分，共60分） 1、下列各组对象：○12008年北京奥运会上所有的比赛项目；○2《高中数学》必修1中的所有难题；○3所有质数；○4平面上到点(1,1)的距离等于5的点的全体；○5在数轴上与原点O 非常近的点。其中能构成集合的有（ ） A ．2组 B ．3组 C ．4组 D ．5组 2、下列集合中与集合{21,}x x k k N +=+∈不相等的是（ ） A ．{23,}x x k k N =+∈ B ．{41,}x x k k N +=±∈ C ．{21,}x x k k N =+∈ D ．{23,3,}x x k k k Z =-≥∈ 3、设221()1x f x x -=+，则(2)1()2 f f 等于（ ） A ．1 B ．1- C ．35 D ．35- 4、已知集合2{40}A x x =-=，集合{1}B x ax ==，若B A ?，则实数a 的值是（ ） A ．0 B ．12± C ．0或12± D ．0或12 5、已知集合{(,)2}A x y x y =+=，{(,)4}B x y x y =-=，则A B =I （ ） A ．{3,1}x y ==- B ．(3,1)- C ．{3,1}- D ．{(3,1)}- 6、下列各组函数)()(x g x f 与的图象相同的是（ ） （A ）2)()(,)(x x g x x f == （B ）22)1()(,)(+==x x g x x f （C ）0)(,1)(x x g x f == （D ）???-==x x x g x x f )(|,|)( )0()0(<≥x x 7、是定义在上的增函数,则不等式的解集
第一章集合与函数概念复习与小结 一、内容与解析 (一）内容：复习与小结 （二）解析：本节课是对第一章的基本知识和方法的总结与归纳，从整体上来把握本章，使学生的基本知识系统化和网络化，基本方法条理化.本章三部分内容是独立的，但是又相互联系，集合是基础，用集合定义函数，将函数拓展为映射，层层深入，环环相扣，组成了一个完整的整体. 二、教学目标及解析 通过总结和归纳集合与函数的知识，能够使学生综合运用知识解决有关问题，培养学生分析、探究和思考问题的能力，激发学生学习数学的兴趣，培养分类讨论的思想和抽象思维能力. 教学重点：①集合与函数的基本知识. ②含有字母问题的研究. ③抽象函数的理解. 教学难点：①分类讨论的标准划分. ②抽象函数的理解. 三、教学过程 问题1.①第一节是集合，分为几部分？ ②第二节是函数，分为几部分？ ③第三节是函数的基本性质，分为几部分？ ④画出本章的知识结构图. 活动：让学生自己回顾所学知识或结合课本，重新对知识整合，对没有思路的学生，教师可以提示按课本的章节标题来分类.对于画知识结构图，学生可能比较陌生，教师可以引导学生先画一个本班班委的结构图或学校各个处室的关系结构图，待学生了解了简单的画法后，再画本章的知识结构图. 讨论结果:①分为：集合的含义、集合间的基本关系和集合的运算三部分. ②分为：定义、定义域、解析式、值域四部分；其中又把函数的概念拓展为映射. ③分为：单调性、最值和奇偶性三部分. ④第一章的知识结构图如图1-1所 示，
图1-1 应用示例 [例1] 1.已知集合M ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈R}，N ＝{y |y ＝x ＋1，x ∈R}，则M ∩N 等于( ) A ．(0,1)，(1,2) B ．{(0,1)，(1,2)} C ．{y |y ＝1或y ＝2} D ．{y |y ≥1} 2.定义集合A 与B 的运算A*B={x|x∈A 或x∈B,且x ?A∩B},则(A*B)*A 等于( ) A.A∩B B.A∪B C.A D.B [例2] 已知M ＝{2，a ，b }，N ＝{2a,2，b 2}，且M ＝N ，求a ，b 的值． [例3] 1.设集合A ＝{a |a ＝3n ＋2，n ∈Z}，集合B ＝{b |b ＝3k －1，k ∈Z}，试判断集合A 、B 的关系． 2.集合A={x|x 2-3x-4=0},B={x|mx-1=0}，若B ?A ，则实数m ＝________. [例4] 已知函数的定义域为R ，且对任意m 、n ∈R ，恒有f (m ＋n )＝f (m )＋f (n )－1且f ? ?? ??－12＝0，当x >－12 时，f (x )>0，试判断函数f (x )的单调性． 【例5】求函数()f x = [例6] 已知函数f (x )满足f (x ＋y )＋f (x －y )＝2f (x )·f (y )(x ∈R ，y ∈R)，且f (0)≠0，试证f (x )是偶函数． [例7] 如果二次函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5在区间? ????12，1上是增函数，求f (2)的取值范围．
教师姓名学生姓名填写时间年级高一学科数学上课时间 阶段基础（√）提高（）强化（）课时计划第（）次课共（）次课 教学目标1、通过复习熟练掌握集合概念及其运算，以及集合的几种表示方法 2、通过复习熟练掌握函数的概念以及函数的性质，进一步体会运动变化、数形结合、代数转化以及集合与对应的数学思想方法 教学重难点教学重点：集合的概念与表示、集合的运算、函数的概念以及函数的性质教学难点：集合的运算、函数的概念以及性质的具体运用 教 学 过 程 课后作业：教学反思：
知识点一：集合的性质与运算 例1、已知集合{}2 1,1,3A x x =--,求实数x 应满足的条件. 例2、设{} 022=+-=q px x x A ，{} 05)2(62 =++++=q x p x x B ，若? ?????=21B A ， 则=B A （ ） （A ）??????-4,31 ,21 （B ）??????-4,21 （C ）??????31,21 (D)? ?????21 例3、如图U 是全集，M 、P 、S 是U 的3个子集，则阴影部分所表示的集合是 （ ） A 、 ()M P S B 、 ()M P S C 、()u M P C S D 、 ()u M P C S 例4、设集合{}21<≤-=x x M ，{} 0≤-=k x x N ，若M N M = ，则k 的取值范围（ ） （A ）(1,2)- （B ）[2,)+∞ （C ）(2,)+∞ (D)]2,1[- 例5、设{ }{} I a A a a =-=-+241222 ，，，，，若{}1I C A =-，则a =__________。 知识点二：判断两函数是否为同一个函数 例6、试判断以下各组函数是否表示同一函数？ （1）2)(x x f =，33)(x x g =； （2）x x x f =)(，?? ?<-≥=; 01 , 01 )(x x x g （3）1212)(++=n n x x f ，1212)()(--=n n x x g （n ∈N *）； （4）x x f =)(1+x ，x x x g += 2)(； （5）12)(2--=x x x f ，12)(2--=t t t g
第一章集合与函数概念 §1.1集合 1.1.1 集合的含义与表示（一） 1．体验由实例分析探究集合中元素的特性的过程，了解集合的含义以及集合中元素的特性，培养自己的抽象、概括能力． 2．掌握“属于”关系的意义，知道常用数集及其记法，初步体会集合语言和符号语言表示数学内容的简洁性和准确性． 1．元素与集合的概念 (1)把研究对象统称为元素，通常用小写拉丁字母表示． (2)把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，通常用大写拉丁字母表示． 2．集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性． 3．集合相等：只有构成两个集合的元素是一样的，才说这两个集合是相等的． 4．元素与集合的关系 (1)如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A. (2)如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a A. 5．实数集、有理数集、整数集、非负整数集、正整数集分别用字母R、Q、Z、N、N*或N＋来表示．
对点讲练 集合的概念 【例1】考查下列每组对象能否构成一个集合： (1)著名的数学家；(2)某校2007年在校的所有高个子同学； (3)不超过20的非负数；(4)方程x2－9＝0在实数范围内的解； (5)直角坐标平面内第一象限的一些点；(6)3的近似值的全体． 解(1)“著名的数学家”无明确的标准，对于某个人是否“著名”无法客观地判断，因此“著名的数学家”不能构成一个集合；类似地，(2)也不能构成集合；(3)任给一个实数x，可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”，即“0≤x≤20”与“x>20或x<0”，两者必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能构成集合；类似地，(4)也能构成集合；(5)“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；(6)“3的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以(6)不能构成集合． 规律方法判断指定的对象能不能形成集合，关键在于能否找到一个明确标准，对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素，同时还要注意集合中元素的互异性、无序性． 变式迁移1 下列给出的对象中，能构成集合的是() A．高个子的人B．很大的数C．聪明的人D．小于3的实数 答案 D
新课标数学必修1第一章集合与函数概念测试题 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代 号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）。 1．用描述法表示一元二次方程的全体，应是 （ ） A ．｛x ｜ax 2+bx +c =0，a ，b ，c ∈R ｝ B ．｛x ｜ax 2+bx +c =0，a ，b ，c ∈R ，且a ≠0｝ C ．｛ax 2+bx +c =0｜a ，b ，c ∈R ｝ D ．｛ax 2+bx +c =0｜a ，b ，c ∈R ，且a ≠0｝ 2．图中阴影部分所表示的集合是（ ） A.B ∩［C U (A ∪C)］ B.(A ∪B) ∪(B ∪C) C.(A ∪C)∩(C U B) D.［C U (A ∩C)］∪B 3．设集合P=｛立方后等于自身的数｝，那么集合P 的真子集个数是 （ ） A ．3 B ．4 C ．7 D ．8 4．设P=｛质数｝，Q=｛偶数｝，则P ∩Q 等于 （ ） A ． B ．2 C ．｛2｝ D ．N 5．设函数x y 111+=的定义域为M ，值域为N ，那么 （ ） A ．M=｛x ｜x ≠0｝，N=｛y ｜y ≠0｝ B ．M=｛x ｜x ＜0且x ≠－1，或x ＞0}，N={y ｜y ＜0，或0＜y ＜1，或y ＞1} C ．M=｛x ｜x ≠0｝，N=｛y ｜y ∈R ｝ D ．M=｛x ｜x ＜－1，或－1＜x ＜0，或x ＞0＝，N=｛y ｜y ≠0｝ 6．已知A 、B 两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A 地到达B 地，在B 地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A 地，把汽车离开A 地的距离x 表示为时间t （小时）的函数表达式是 （ ） A ．x =60t B ．x =60t +50t C ．x =???>-≤≤)5.3(,50150)5.20(,60t t t t D ．x =?????≤<--≤<≤≤)5.65.3(),5.3(50150)5.35.2(,150) 5.20(,60t t t t t 7．已知g (x )=1-2x,f [g (x )]=)0(122≠-x x x ,则f (21)等于 （ ） A ．1 B ．3 C ．15 D ．30 8．函数y=x x ++-1912是（ ）
高中数学第一章集合与函数概念知识点 〖1.1〗集合 【1.1.1】集合的含义与表示 （1）集合的概念 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法 表示正整数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，N表示自然数集，N*或N + R表示实数集. （3）集合与元素间的关系 ?，两者必居其一. ∈，或者a M 对象a与集合M的关系是a M （4）集合的表示法 ①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x|x具有的性质}，其中x为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集. ③不含有任何元素的集合叫做空集(?). 【1.1.2】集合间的基本关系 （6）子集、真子集、集合相等
（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有 21n -个非空子集，它有22n -非空真子集. （8）交集、并集、补集 【1.1.3】集合的基本运算
【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法（1）含绝对值的不等式的解法 （2）一元二次不等式的解法 0) 〖1.2〗函数及其表示 【1.2.1】函数的概念 （1）函数的概念
①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →． ②函数的三要素:定义域、值域和对应法则． ③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数． （2）区间的概念及表示法 ①设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足 ,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做 [,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞． 注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须 a b <． （3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则： ①()f x 是整式时，定义域是全体实数． ②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数． ③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合． ④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1． ⑤tan y x =中，()2 x k k Z π π≠+ ∈． ⑥零（负）指数幂的底数不能为零． ⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）。 1．用描述法表示一元二次方程的全体，应是 （ ） A ．｛x ｜ax 2+bx +c =0，a ，b ，c ∈R ｝ B ．｛x ｜ax 2+bx +c =0，a ，b ，c ∈R ，且a ≠0｝ C ．｛ax 2+bx +c =0｜a ，b ，c ∈R ｝ D ．｛ax 2+bx +c =0｜a ，b ，c ∈R ，且a ≠0｝ 2．图中阴影部分所表示的集合是（ ） ∩［C U (A ∪C)］ B.(A ∪B) ∪(B ∪C) C.(A ∪C)∩(C U B) D.［C U (A ∩C)］∪B 3．设集合P=｛立方后等于自身的数｝，那么集合P 的真子集个数是 （ ） A ．3 B ．4 C ．7 D ．8 4．设P=｛质数｝，Q=｛偶数｝，则P ∩Q 等于 （ ） A ． B ．2 C ．｛2｝ D ．N 5．设函数x y 111 +=的定义域为M ，值域为N ，那么 （ ） A ．M=｛x ｜x ≠0｝，N=｛y ｜y ≠0｝ B ．M=｛x ｜x ＜0且x ≠－1，或x ＞0}，N={y ｜y ＜0，或0＜y ＜1，或y ＞1} C ．M=｛x ｜x ≠0｝，N=｛y ｜y ∈R ｝ D ．M=｛x ｜x ＜－1，或－1＜x ＜0，或x ＞0＝，N=｛y ｜y ≠0｝ 6．已知A 、B 两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A 地到达B 地，在B 地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A 地，把汽车离开A 地的距离x 表示为时间t （小时）的函数表达式是 （ ） A ．x =60t B ．x =60t +50t C ．x =???>-≤≤)5.3(,50150)5.20(,60t t t t D ．x =? ????≤<--≤<≤≤)5.65.3(),5.3(50150)5.35.2(,150)5.20(,60t t t t t 7．已知g (x )=1-2x,f [g (x )]=)0(12 2≠-x x x ,则f (21)等于 （ ） A ．1 B ．3 C ．15 D ．30 8．函数y=x x ++-1912是（ ） A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既是奇函数又是偶函数 D ．非奇非偶数
高中数学复习讲义 第一课时函数概念及其性质 第1课 函数的概念 【基础练习】 1． 设有函数组：①y x = ，y = y x = ，y = ；③y ，y = ；④1(0),1 (0), x y x >?=?-
(3) ()1f x x =+，(1,2]x ∈． 值域是(2,3]． 【范例解析】 例 1.设有函数组：①21 ()1 x f x x -=-，()1g x x =+； ②()f x = ， ()g x = ③()f x =()1g x x =-；④()21f x x =-，()21g t t =-．其中表示同一个函数的有 ． 例2.求下列函数的定义域：① 12y x =+- ② ()f x = 例3.求下列函数的值域： （1）242y x x =-+-，[0,3)x ∈； （2）2 2 1 x y x =+()x R ∈； （3 ）y x =- 【反馈演练】 1．函数f (x )＝x 21-的定义域是___________． 2．函数) 34(log 1 )(2 2-+-= x x x f 的定义域为_________________． 3. 函数2 1 ()1y x R x = ∈+的值域为________________． 4. 函数23y x =-+_____________． 5．函数)34(log 25.0x x y -= 的定义域为_____________________． 6.记函数f (x )=1 3 2++- x x 的定义域为A ，g (x )=lg [(x －a －1)(2a －x )](a <1) 的定义域为B ． (1) 求A ； (2) 若B ?A ，求实数a 的取值范围．
集合（第1课时） 一、知识目标：①内容：初步理解集合的基本概念，常用数集，集合元素的特征 等集合的基础知识。 ②重点：集合的基本概念及集合元素的特征 ③难点：元素与集合的关系 ④注意点：注意元素与集合的关系的理解与判断；注意集合中元 素的基本属性的理解与把握。 二、能力目标：①由判断一组对象是否能组成集合及其对象是否从属已知集合， 培养分析、判断的能力； ②由集合的学习感受数学的简洁美与和谐统一美。 三、教学过程： Ⅰ）情景设置： 军训期间，我们经常会听到教官在高喊：（x）的全体同学集合！听到口令，咱们班的全体同学便会从四面八方聚集到教官的身边，而那些不是咱们班的学生便会自动走开。这样一来教官的一声“集合”（动词）就把“某些指定的对象集在一起”了。数学中的“集合”这一概念并不是教官所用的动词意义下的概念，而是一个名词性质的概念，同学们在教官的集合号令下形成的整体即是数学中的集合的涵义。 Ⅱ）探求与研究： ①一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集。 问题：同学们能不能举出一些集合的例子呢？（板书学生们所举出的一些例子） ②为了明确地告诉大家，是哪些“指定的对象”被集在了一起并作为一个 整体来看待，就用大括号{ }将这些指定的对象括起来，以示它作为一个 整体是一个集合，同时为了讨论起来更方便，又常用大写的拉丁字母A、 B、C……来表示不同的集合，如同学们刚才所举的各例就可分别记 为……（板书） 另外，我们将集合中的“每个对象”叫做这个集合的元素，并用小写字 母a、b、c……（或x1、x2、x3……）表示 同学口答课本P5练习中的第1大题 ③分析刚才同学们所举出的集合例子，引出： 对某具体对象a与集合A，如果a是集合A中的元素，就说a属于集合 A，记作a∈A；如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作 a A ④再次分析同学们刚才所举出的一些集合的例子，师生共同讨论得出结论： 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性。 然后请同学们分别阅读课本P5和P40上相关的内容。 ⑤在数学里使用最多的集合当然是数集，请同学们阅读课本P4上与数集有 关的内容，并思考：常用的数集有哪些？各用什么专用字母来表示？你 能分别说出各数集中的几个元素吗？（板书N、Z、Q、R、N*（或N+）） 注意：数0是自然数集中的元素。这与同学们脑子里原来的自然数就是 1、2、3、4……的概念有所不同 同学们完成课本P5练习第2大题。
集合与函数概念单元测试 一、选择题 1．集合},{b a 的子集有 （ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 2、已知函数x x f -=21)(的定义域为M ，2)(+=x x g 的定义域为N ，则=?N M A.{}2-≥x x B.{}2
10.已知函数212x y x ?+=?-? (0)(0)x x ≤>，使函数值为5的x 的值是（ ） A ．-2 B ．2或52- C ． 2或-2 D ．2或-2或52 - 11.下列四个函数中，在（0，∞）上为增函数的是 （A ）f （x ）＝3－x （B ）f （x ）＝x 2－3x （C ）f （x ）＝－｜x ｜ （D ）f （x ）＝－2 3+x 12、定义在R 上的偶函数在[0，7]上是增函数，在[7，+∞]上是减函数，又6)7(=f ，则)(x f A 、在[－7，0]上是增函数，且最大值是6 B 、在[－7，0]上是增函数，且最小值是6 C 、在[－7，0]上是减函数，且最小值是6 D 、在[－7，0]上是减函数，且最大值是6 二、填空题 13.已知集合M={(x ，y )|x ＋y =2}，N={(x ，y )|x －y =4}，那么集合M∩N＝ ． 14.已知f （x ）是偶函数，当x ＜0时，f （x ）＝x （2x －1），则当x ＞0时，f （x ）＝＿＿ 15． 设f(x)=2x+3，g(x+2)=f(x-1)，则g(x)= ． 16．定义域为2[32,4]a a --上的函数f(x)是奇函数，则a= ． 17．设32()3,()2f x x x g x x =-=-，则(())g f x = ． 三．解答题 18．.已知集合A={-1，a 2+1,a 2-3},B={-4,a-1,a+1},且A∩B={-2}，求a 的值.(13分) 19．已知集合A={} 71<≤x x ，B={x|2 第四讲函数的概念与表示 一．知识归纳： 1．映射 （ 1）映射：设 A 、 B 是两个集合，如果按照某种映射法则f，对于集合 A 中的任一个 元素，在集合 B 中都有唯一的元素和它对应，则这样的对应（包括集合A、B以及 A到 B 的对应法则 f ）叫做集合 A 到集合 B 的映射，记作 f ： A→B。 （ 2）象与原象：如果给定一个从集合 A 到集合 B 的映射，那么集合 A 中的元素 a 对应的 B 中的元素 b 叫做 a 的象， a 叫做 b 的原象。 注意：（ 1）对映射定义的理解。（ 2）判断一个对应是映射的方法。 2．函数 （ 1）函数的定义 ①原始定义：设在某变化过程中有两个变量x、y，如果对于 x 在某一范围内的每一个确定的值， y 都有唯一确定的值与它对应，那么就称y 是 x 的函数， x 叫作自变量。 ②近代定义：设 A 、 B 都是非空的数的集合，f： x→y是从 A 到 B 的一个对应法则，那么从 A 到 B 的映射 f ： A→B就叫做函数，记作y=f(x) ，其中 x∈ A,y ∈ B，原象集合 A 叫做函数的定义域，象集合 C 叫做函数的值域。 注意：①C B; ② A,B,C 均非空 （ 2）构成函数概念的三要素：①定义域②对应法则③值域 3．函数的表示方法：①解析法②列表法③图象法 注意：强调分段函数与复合函数的表示形式。 二．例题讲解： 【例 1】下列各组函数中，表示相同函数的是（） (A) f(x)=lnx 2,g(x)=2lnx (B)f(x)= a log a x (a>0 且 a≠1),g(x)=x (C) f(x)= 1 x 2 , g(x)=1 - |x| (x ∈[ - 1,1]) (D) f(x)= log a a x (a>0 且 a≠1),g(x)= 3 x3 解答：选D 点评：判断两个函数是否相同主要是从定义域、对应法则两个方面加以分析。 变式：下列各对函数中，相同的是（ D ） (A) f(x)= x 2, g(x)=x (B)f(x)=lgx 2 ,g(x)=2lgx (C)f(x)= lg x 1 , g(x)=lg(x - 1)- lg(x+1) (D) f(x)= 1 u 1 v 1 , g(x)= v x 1 u 1 【例 2】（ 1）集合 A={3,4},B={5,6,7} ，那么可以建立从 A 到 B 的映射的个数是；从B 到 A 的映射的个数是。 （ 2）设集合 A 和 B 都是自然数集合N，映射 f：A→B把集合 A 中的元素 n 映射到集 合 B 中的元素2n+n，则在映射 f 下，像20 的原象是。 解答：（ 1）从 A 到 B 可分两步进行，第一步 A 中的元素 3 可有 3 种对应方法（ 5 或 6 精选 集合的概念及相关运算教学设计 一、教材分析 1.知识来源：集合的概念选自湖南教育出版社必修一中第一章集合与函数概念的第一小节； 2. 知识背景：作为现代数学基础的的集合论，集合语言是现代数学的基本语言，使用集合语言，可以简洁、准确地表达数学中一些冗长的文字语言．高中数学课程只将集合作为一种语言来学习，作为一种数学简单符号来探究。通过本节课的学习，是阶段性的要求，学生将领悟集合的抽象性及其具体性，学会使用最基本的集合语言去表示有关的数学对象，逐渐发展运用数学语言进行交流的能力。 3.知识外延：集合相关知识的学习对于接下来函数的学习至关重要，高中函数的概念将建立在集合间关系的基础上的。 二、学情分析 1．学生心理特征分析：集合为高一上学期开学后的第一次授课知识，是学生从初中到高中的过渡知识，存在部分同学还沉浸在暑假的懒散中，从而增加了授课的难度。再者，与初中直观、具体、易懂的数学知识相比，集合尤其是无限集合就显得抽象、不易理解，这会给学生产生一定的心理负担，对高中数学知识的学习产生排斥心理。因此本节授课方法就显得十分重要。 2．学生知识结构分析：对于高一的新生来说，能够顺利进入高中知识的学习，基本功还是较扎实的，有良好的学习态度，也有一定的自主学习能力和探究能力。对集合概念的知识接纳和理解打下了良好的 基础，在教学过程中，充分调动学生已掌握的知识，增强学生的学习兴趣。 三、教学目标 (一)知识与技能目标 1．了解集合的含义与表示，理解集合间的基本关系，掌握集合的基本运算。能从集合间的运算分析出集合的基本关系，同时对于分类讨论问题，能区分取交还是取并． 2．学会在具体的问题中选择恰当的集合表示方法，理解集合有限和无限的特征，理清“元素和集合关系”和“集合与集合关系”符号的区别，不混淆。 3.学会正确使用集合补集思想，即为“正难则反”的思想。 (二)过程与方法目标 1．通过学生自主知识梳理，了解自己学习的不足，明确知识的来龙去脉，把学习的内容网络化、系统化． 2．在解决问题的过程中，学生通过自主探究、合作交流，领悟知识的横、纵向联系，体会集合的本质． 3. 学生通过集合概念的学习，应掌握分类讨论思想、化简思想以及补集思想等。 (三)情感态度与价值观目标 1.在学生自主整理知识结构的过程中，认识到材料整理的必要性，从而形成及时反思的学习习惯，独立获取数学知识的能力。 2.在解决问题的过程中，学生感受到成功的喜悦，树立学好数学的 集合与函数概念 一.课标要求： 本章将集合作为一种语言来学习，使学生感受用集合表示数学内容时的简洁 性、准确性，帮助学生学会用集合语言描述数学对象，发展学生运用数学语言进行交 流的能力. 函数是高中数学的核心概念，本章把函数作为描述客观世界变化规律的重要数学模型 来学习，强调结合实际问题，使学生感受运用函数概念建立模型的过程与方法，从而发展 学生对变量数学的认识. 1.了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系，掌握某些数集的专用符号. 2.理解集合的表示法，能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述 不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用. 3、理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集，培养学生分析、比较、归纳的逻辑思维能力. 4、能在具体情境中，了解全集与空集的含义. 5、理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的交集与并集,培养学生从 具体到抽象的思维能力. 6.理解在给定集合中，一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集. 7.能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用. 8.学会用集合与对应的语言来刻画函数，理解函数符号y=f(x)的含义;了解函数构成 的三要素，了解映射的概念;体会函数是一种刻画变量之间关系的重要数学模型，体会对 应关系在刻画函数概念中的作用;会求一些简单函数的定义域和值域，并熟练使用区间表 示法. 9.了解函数的一些基本表示法(列表法、图象法、分析法)，并能在实际情境中，恰当 地进行选择;会用描点法画一些简单函数的图象. 10.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用. 11.结合熟悉的具体函数，理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义，了解奇偶 性和周期性的含义，通过具体函数的图象，初步了解中心对称图形和轴对称图形. 12.学会运用函数的图象理解和研究函数的性质，体会数形结合的数学方法.函数的概念与表示复习讲义与习题.doc
集合的概念教学设计
集合与函数概念
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