广东省实验中学12-13高一下学期期末-数学解读

2024学年广东省中山市实验中学数学高三第一学期期末质量检测试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若平面向量,,a b c ，满足||2,||4,4,||3a b a b c a b ==⋅=-+=，则||c b -的最大值为（ ）A ．B ．C ．D ．2．设()y f x =是定义域为R 的偶函数，且在[)0,+∞单调递增，0.22log 0.3,log 0.3a b ==，则（ ） A ．()()(0)f a b f ab f +>>B ．()(0)()f a b f f ab +>>C ．()()(0)f ab f a b f >+>D ．()(0)()f ab f f a b >>+ 3．已知函数()()sin 06f x A x a a A ωπ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭在区间70,3ωπ⎡⎤⎢⎥⎣⎦有三个零点1x ，2x ，3x ，且123x x x <<，若123523x x x π++=，则()f x 的最小正周期为（ ） A ．2π B ．23π C ．π D ．43π 4．我国著名数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界瞩目的成就，哥德巴赫猜想内容是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”（ 注：如果一个大于1的整数除了1和自身外无其他正因数，则称这个整数为素数），在不超过15的素数中，随机选取2个不同的素数a 、b ，则3a b -<的概率是（ ）A ．15 B ．415 C ．13 D ．255．在钝角ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，B 为钝角，若cos sin a A b A =，则sin sin A C +的最大值为（ ）A B ．98 C ．1 D ．786．射线测厚技术原理公式为0t I I e ρμ-=，其中0I I ，分别为射线穿过被测物前后的强度，e 是自然对数的底数，t 为被测物厚度，ρ为被测物的密度，μ是被测物对射线的吸收系数.工业上通常用镅241（241Am ）低能γ射线测量钢板的厚度.若这种射线对钢板的半价层厚度为0.8，钢的密度为7.6，则这种射线的吸收系数为（ ）（注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，ln 20.6931≈，结果精确到0.001）A ．0.110B ．0.112C ．0.114D ．0.1167．已知i 是虚数单位，若z 211i i =+-，则||z =（ ） A ．2 B ．2C ．10D ．10 8．已知(,)a bi a b R +∈是11i i +-的共轭复数,则a b +=（ ） A ．1- B ．12- C ．12 D ．1 9．已知定点1(4,0)F -，2(4,0)F ，N 是圆22:4O x y +=上的任意一点，点1F 关于点N 的对称点为M ，线段1F M 的垂直平分线与直线2F M 相交于点P ，则点P 的轨迹是（ ）A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆10．已知正四面体A BCD -外接球的体积为86π，则这个四面体的表面积为（ ）A ．183B ．163C ．143D ．12311．《九章算术》“少广”算法中有这样一个数的序列：列出“全步”（整数部分）及诸分子分母，以最下面的分母遍乘各分子和“全步”，各自以分母去约其分子，将所得能通分之分数进行通分约简，又用最下面的分母去遍乘诸（未通者）分子和以通之数，逐个照此同样方法，直至全部为整数，例如：2n =及3n =时，如图：记n S 为每个序列中最后一列数之和，则6S 为（ ）A ．147B ．294C ．882D ．176412．已知函数()ln a f x x a x=-+在[]1,e x ∈上有两个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．e ,11e ⎡⎤-⎢⎥-⎣⎦ B ．e ,11e ⎡⎫⎪⎢-⎣⎭ C ．e ,11e ⎡⎫-⎪⎢-⎣⎭ D ．[)1,e - 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2023-2024学年广东省实验中学八年级（下）期中数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.下列二次根式中是最简二次根式的是( )A. 12B. x2+1C. 15D. a22.设a>0，b>0，则下列运算错误的是( )A. a+b=a+bB. ab=a⋅bC. (a)2=aD. ab =ab3.如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，则下列说法一定正确的是( )A. AO=OBB. AO⊥ODC. AO=OCD. AO⊥AB4.下列选项中y不是x的函数的是( )A. |y|=xB. y=−x−6C. D.5.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，D是AC边的中点，E是AB的中点，若AB=4，则DE的长是( )A. 4B. 3C. 2D. 16.已知△ABC的三边分别为a，b，c，当三角形的边、角满足下列关系，不能判定△ABC是直角三角形的是( )A. a2−b2=c2B. ∠A：∠B：∠C=1：2：3C. a：b：c=1：2：3D. a=12b=33c7.下列命题：①对角线相等的菱形是正方形；②四个内角都相等的四边形是矩形；③一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；④一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形.其中真命题有个( )A. 1B. 2C. 3D. 48.如图，菱形ABCD的两条对角线交于点O，BE⊥DC于点E，若AC=6，BD=8，则BE的长是( )A. 245B. 485C. 125D. 49.如图，在△ABC中，AC=6，BC=8，BA=10，P为边AB上一动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，点M为EF中点，则PM最小值为( )A. 2.4B. 2.5C. 4.8D. 510.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是AB，BC的中点，CE，DF交于点G，连接AG，下列结论：①CE=DF；②CE⊥DF；③∠AGE=∠CDF；④∠EAG=30°，其中正确的结论是( )A. ①②B. ①③C. ①②④D. ①②③二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。

2021-2022学年广东省佛山市禅城实验高级中学高一数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知平面向量，，且，则（）A． B． C． D．参考答案：C略2. 掷一枚均匀的硬币两次，事件M：一次正面朝上，一次反面朝上；事件N：至少一次正面朝上，则下列结果正确的是（）A．P（M）=，P（N）=B．P（M）=，P（N）=C．P（M）=，P（N）=D．P（M）=，P（N）=参考答案：D【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】分别列举出满足条件的所有的事件总数，再列出事件M的所有的基本事件，和事件N的所有基本事件，分别代入古典概型公式即可得到答案．【解答】解：记掷一枚均匀的硬币两次，所得的结果为事件I，则I={（正，正）、（正，反）、（反，正）、（反，反）}，则事件M：一次正面朝上，一次反面朝上；∴M={（正，反）、（反，正）}，事件N：至少一次正面朝上，∴N={（正，正）、（正，反）、（反，正）}，∴P（M）=，P（N）=．故选D【点评】本题考查的知识点是古典概型及其概率计算公式，其中根列举出基本事件总数，及事件M，N 的基本事件个数，是解答本题的关键．3. 设定义域为R的函数满足且,则= ( )A. B.1 C. 2005 D.参考答案：D4. 已知，，若，那么与在同一坐标系内的图像可能是（）参考答案：C5. 已知奇函数f（x）满足f（x+2）=f（x），当x∈（0，1）时，函数f（x）=2x，则=（）A．B．C．D．参考答案：B【考点】抽象函数及其应用．【分析】由函数是奇函数得到f（﹣x）=﹣f（x）和f（x+2）=f（x）把则进行变形得到﹣f（），由∈（0，1）满足f（x）=2x，求出即可．【解答】解：根据对数函数的图象可知＜0，且=﹣log223；奇函数f（x）满足f（x+2）=f（x）和f（﹣x）=﹣f（x）则=f（﹣log223）=﹣f（log223）=﹣f（log223﹣4）=﹣f（），因为∈（0，1）∴﹣f（）==，故选：B6. 当时，下面四个函数中最大的是（）。

2021-2022学年广东省实验中学高一（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知全集U=R，集合A=(−∞,1)，B=(−1,3)，它们的关系如图(Venn图)所示，则阴影部分表示的集合为()A. {x|−1≤x<3}B. {x|−1<x<3}C. {x|1≤x<3}D. {x|1<x<3}2.tan240°=()A. −√33B. √33C. −√3D. √33.关于三个数(−2)3，2sin2，ln10的大小，下面结论正确的是()A. 2sin2<ln10<(−2)3B. 2sin2<(−2)3<ln10C. (−2)3<ln10<2sin2D. (−2)3<2sin2<ln104.函数y=|x|x+x的图象是()A. B. C. D.5.下列函数是奇函数且在定义域内是增函数的是()A. y=e xB. y=ln2+x2−xC. y=−x3−xD. y=tanx6.若tan(α+π4)=5，则3sinα−cosαsinα+3cosα值为()A. 111B. 311C. −311D. 77.在人类用智慧架设的无数座从已知通向未知的金桥中，用二分法求方程的近似解是其中璀璨的一座.已知A为锐角△ABC的内角，满足sinA−2cosA+tanA=1，则A∈()A. (0,π6) B. (π6,π4) C. (π4,π3) D. (π3,π2)8.设α∈(0,π2)，β∈(0,π2)且tanα=1+sinβcosβ，则()A. 2α−β=0B. 2α+β=π2C. 2α+β=0 D. 2α−β=π2二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.下列运算中，结果是1的是()A. sin(3π2) B. tan5π4√3−tan15°1+√3tan15∘D. 4sin165°sin75°10.一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经市场调查了解到下列信息：每月土地占地费y1(单位：万元)与仓库到车站的距离x(单位：km)成反比，每月库存货物费y2(单位：万元)与x成正比，若在距离车站10km处建仓库，则y1为1万元，y2为4万元，下列结论正确的是()A. y1=1xB. y2=0.4xC. y1+y2有最小值4D. y1−y2无最小值11.关于函数f(x)=sin(4x+7π3 )sin(2x+2π3)，下列判断正确的是()A. f(x)的图象的对称中心为(kπ2−π12,0)(k∈Z)B. 函数f(x)的最小正周期为πC. f(x)在(−π3,π8)上存在单调递减区间D. f(x)有最大值2和最小值−212.已知f(x)是定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)的奇函数，函数g(x)=f(x)+1x，f(1)=−1.当x2>x1>0时，x1x2f(x1)−x1>x1x2f(x2)−x2恒成立，则()A. f(3)+f(−2)<log642B. 不等式g(x)>0的解集为(−1,0)∪(0,1)C. g(x)在(0,+∞)上单调递增D. g(x)的图象与x轴有2个交点三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知幂函数y=f(x)的图象过(8,2)，则f(27)=______．14.计算：tan20°+tan40°+tan120°tan20°tan40°=．15.“12<cosθ<1”是“0<θ<π3”的______条件．(请从“充分不必要”，“必要16.设函数f(x)=|ln(x+2)|−2ax−1(a∈R)，若其定义域内不存在实数x，使得f(x)≤0，则a的取值范围是．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.(1)若sinα是5x2−7x−6=0的根，求sin(α−3π2)⋅sin(3π2−α)⋅tan2(2π−α)cos(π2−α)⋅cos(π2+α)⋅sin(π+α)的值；(2)若cos2α=35，sin(β−α)=−513，且α∈[0,π2]，β∈[π,5π4]，求sin(α+β)的值．18.已知函数f(x)=cosx(√3sinx−cosx)+a．(1)求函数f(x)的对称轴和单调减区间；(2)当x∈[0,5π12]时，函数y=f(x)的最大值与最小值的和为2，求a．19.给出以下四个式子：①sin28°+cos222°−sin8°cos22°；②sin215°+cos215°−sin15°cos15°；③sin216°+cos214°−sin16°cos14°；④sin2(−5)°+cos235°−sin(−5)°cos35°．(1)已知所给各式都等于同一个常数，试从上述四个式子中任选一个，求出这个常数；(2)分析以上各式的共同特点，写出能反应一般规律的等式，并对等式正确性作出证明．20.某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券类稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票类风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知两类产品各投资1万元时的收益分别为0.125万元和0.5万元，如图：(Ⅰ)分别写出两类产品的收益y(万元)与投资额x(万元)的函数关系；(Ⅱ)该家庭有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大收益，最大收益是多少万元？21.已知f(x)=2+sinx−cos2x−(sin x2−cos x2)2．(1)若函数f(x)和函数g(x)的图象关于原点对称，求函数g(x)的解析式；(2)若ℎ(x)=g(x)−λf(x)+1在[−π2,π2]上是增函数，求实数λ的取值范围．22.已知函数f(x)=log2(x+1)．(1)若f(x)+f(x−1)>0成立，求x的取值范围；(2)若定义在R上奇函数g(x)满足g(x+2)=−g(x)，且当0≤x≤1时，g(x)=f(x)，求g(x)在[−3,−1]的解析式，并写出g(x)在[−3,3]的单调区间(不必证明)．(3)对于(2)中的g(x)，若关于x的不等式g(t−2x8+2x+3)≥g(−12)在R上恒成立，求实数的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：由图可得阴影部分表示的是B∩(∁U A)，而由已知可得∁U A=[1,+∞)，所以B∩(∁U A)=[1,3)，故选：C．由图可得阴影部分表示的是B∩(∁U A)，然后求出集合A的补集，再根据交集的定义即可求解．本题考查了集合的运算关系，涉及到韦恩图的应用，考查了学生的识图能力，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：tan240°=tan(180°+60°)=tan60°=√3故选：D．利用诱导公式tan(π+α)=tanα，将所求三角值转化为特殊角三角函数值，求值即可本题考查了诱导公式的运用，特殊角三角函数值，熟练的运用诱导公式转化三角函数值是解决本题的关键3.【答案】D=2，ln10>ln9>lne2=2，【解析】解：(−2)3=−8，0<2sin2<2sinπ2∴(−2)3<2sin2<ln10．故选：D．根据每个数与0，2的大小关系即可判断．本题考查了不等式的大小比较，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：函数y=|x|x +x={x+1,x>0x−1,x<0．所以函数的图象是C．故选：C．通过函数的解析式的变形，得到分段函数，然后判断函数的图象即可．本题考查函数的图象的判断，分段函数的应用，是基础题．5.【答案】B【解析】解：A选项：定义域为R，f(−x)≠−f(x)；B选项：2+x2−x >0，解得−2<x<2，f(−x)=ln2+x2−x=ln12+x2−x=−f(x)，f(x)=ln(−1+42−x)，y=42−x在定义域为增函数，所以f(x)在定义域为增函数．C选项：定义域为R，是奇函数，求导y′=−3x2−1<0，即在定义域上单调递减；D选项：定义域为x≠π2+kπ2+x2−x>0，虽然f(−x)=−f(x)，但是函数在整个定义域不具有单调性；故选：B．先判断定义域，再根据奇函数的定义判断是否为奇函数，再通过求导或者分析法判断单调性．本题考查了函数奇偶性的性质与判断，函数单调性的性质与判断，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：因为tan(α+π4)=5，所以tanα+11−tanα=5，可得tanα=23，则3sinα−cosαsinα+3cosα=3tanα−1tanα+3=3×23−123+3=311．故选：B．由已知利用两角和的正切公式可求得tanα的值，进而根据同角三角函数基本关系式即可求解．本题主要考查了两角和的正切公式，同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，属于基础题．7.【答案】C【解析】【分析】本题考查角的取值范围的求法，考查二分法的应用、零点存在定理等基础知识，属于基础题．设f(A)=sinA−2cosA+tanA−1，由f(π4)=−√22，f(π3)=3√3−42，得f(π4)f(π3)<0，由此得到A∈(π4,π3 ).【解答】解：A为锐角△ABC的内角，满足sinA−2cosA+tanA=1，设f(A)=sinA−2cosA+tanA−1，在(0,π2)中取A=π4，得f(π4)=sinπ4−2cosπ4+tanπ4−1=−√22，在(0,π4)中取A=π6，得f(π6)=sinπ6−2cosπ6+tanπ6−1=−12，f(0)=sin0−2cos0+tan0−1=−3，f(π3)=sinπ3−2cosπ3+tanπ3−1=3√3−42，∵f(π4)f(π3)<0，∴A∈(π4,π3).故答案选：C．8.【答案】D【解析】解：因为tanα=1+sinβcosβ=sinαcosα，可得sinαcosβ−cosαsinβ=cosα，即sin(α−β)=cosα，又因为α∈(0,π2)，β∈(0,π2)，可得α−β=π2−α，即2α−β=π2．利用同角三角函数基本关系式，两角差的正弦公式化简已知等式可得sin(α−β)=cosα，结合角的范围可求得α−β=π2−α，即可得解．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角差的正弦公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．9.【答案】BCD【解析】解：sin3π2=−1，不符合题意；tan5π4=tanπ4=1，符合题意；√3−tan15°1+√3tan15∘=tan60°−tan15°1+tan60∘tan15∘=tan(60°−15°)=tan45°=1，符合题意；4sin165°sin75°=4sin15°cos15°=2sin30°=1，符合题意．故选：BCD．结合诱导公式，和差角公式，二倍角公式及特殊角的三角函数值检验各选项即可判断、本题主要考查了诱导公式，和差角公式，二倍角公式在三角化解求值中的应用，属于基础题．10.【答案】BCD【解析】【分析】依题意设y1=k1x，y2=k2x(k1≠0,k2≠0)，(x>0)，利用待定系数法求出y1和y2关于x的函数解析式，进而判断选项AB的正误，再利用基本不等式可判定选项C的正误，利用y1−y2在(0,+∞)上的单调性可判定选项D的正误．本题主要考查了函数的实际应用，考查了基本不等式的应用，是中档题．【解答】解：依题意设y1=k1x，y2=k2x(k1≠0,k2≠0)，(x>0)，∵在距离车站10km处建仓库，则y1为1万元，y2为4万元，∴k110=1，10k2=4，解得：k1=10，k2=0.4，∴y1=10x，y2=0.4x，(x>0)，∴y1+y2=10x +0.4x≥2√10x⋅0.4x=4，当且仅当10x=0.4x即x=5时，等号成立，所以选项B，C正确，选项A错误，∵y1−y2=10x−0.4x在(0,+∞)上单调递减，∴y1−y2无最小值，选项D正确，故选：BCD．11.【答案】AB【解析】解：函数f(x)=sin(4x+7π3)sin(2x+2π3)=sin(4x+π3)sin(2x+2π3)=2sin(2x+π6)cos(2x+π6)sin(2x+2π3)=2sin(2x+π6)且sin(2x+2π3)≠0，对于A：令2x+π6=kπ，可得x=12kπ−π12，∴f(x)的图象的对称中心为(12kπ−π12,0)(k∈Z)，正确；对于B，函数f(x)的最小正周期为2π2=π，正确；对于C：令π2≤2x+π6≤3π2，可得π6≤x≤2π3，∴f(x)在(−π3,π8)上不存在单调递减区间，错误；对于D：f(x)=2sin(2x+π6)存在最大值和不存在最小值，错误；故选：AB．利用三角函数公式化简，结合函数的性质即可判断．本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．12.【答案】AD【解析】解：因为当x2>x1>0时，x1x2f(x1)−x1>x1x2f(x2)−x2恒成立，即f(x1)−1x2>f(x2)−1x1恒成立，所以f(x1)+1x1>f(x2)+1x2在x2>x1>0时恒成立，即g(x)=f(x)+1x在(0,+∞)上单调递减，C错误；得g(x)也为(−∞,0)∪(0,+∞)的奇函数，且g(1)=f(1)+1=0，所以g(−1)=−g(1)=0，g(x)的图形与x轴有2个交点，D正确；由g(3)<g(2)得f(3)+13<f(2)+12，所以f(3)+f(−2)=f(3)−f(2)<16=log642，A正确；由g(x)在(0,+∞)上单调递减且g(x)为奇函数，g(1)=g(−1)=0，则g(x)>0得x<−1或0<x<1，B错误．故选：AD．f(x1)+1x1>f(x2)+1x2在x2>x1>0时恒成立，然后结合单调性及奇偶性的定义分别检验各选项即可判断．本题考查了函数单调性，奇偶性的定义及性质的综合应用，属于中档题．13.【答案】3【解析】解：由题意令y=f(x)=x a，由于图象过点(8,2)，得2=8a，a=13∴y=f(x)=x13∴f(27)=2713=3．故答案为：3．先由幂函数的定义设f(x)=x a，代入点的坐标，求出a得出幂函数的解析式，再求f(27)的值．本题考查幂函数的单调性、幂函数的概念、解析式、定义域、值域等基本知识，解题的关键是熟练掌握幂函数的性质，能根据幂函数的性质求其解析式．14.【答案】−√3【解析】【分析】本题考查两角和与差的正切函数，逆用两角和的正切是解决问题的关键，考查分析转化与运算能力，属于中档题．逆用两角和的正切tan20°+tan40°=tan(20°+40°)(1−tan20°⋅tan40°)，代入所求关系式即可．【解答】解：∵tan20°+tan40°=tan(20°+40°)(1−tan20°⋅tan40°)，∴tan20°+tan40°+tan120°tan20°tan40°=tan(20°+40°)(1−tan20°⋅tan40°)+tan120°tan20°tan40°=√3−√3tan20°tan40°+tan120°tan20°tan40°=√3−√3tan20°tan40°−√3 tan20°tan40°=−√3．故答案为：−√3．15.【答案】必要不充分【解析】解：因为12<cosθ<1，则θ∈(2kπ,2kπ+π3)∪(2kπ−π3,2kπ),k∈Z，当k=0时，θ∈(0,π3)∪(−π3,0)，所以“12<cosθ<1”是“0<θ<π3”的必要不充分条件，故答案为：必要不充分．先求出不等式12<cosθ<1的解集，然后根据四个条件的定义即可判断．本题考查了四个条件的应用，涉及到求解三角不等式的问题，考查了学生的运算能力，属于基础题．16.【答案】[−12,0]【解析】【分析】本题考查函数的定义域，考查学生分析解决问题的能力，正确转化是解题的关键，属于中档题．由题意，对定义域内任意实数x，使得f(x)>0恒成立，由此进行讨论分析可求a的取值范围．【解答】解：由题意，其定义域内任意实数x ，使得f(x)>0，f(x)=|ln(x +2)|−2ax−1，解析式要有意义，则有{x >−2ax −1≠0，①当a =0时，f(x)=|ln(x +2)|+2，定义域为(−2,+∞)，满足f(x)>0恒成立； ②当a =−12时，f(x)=|ln(x +2)|+4x+2，定义域为(−2,+∞)，满足f(x)>0恒成立； ③当a <0时，有−2ax−1>0在(−2,+∞)上恒成立，所以{a <0−2a −1<0，解得−12<a <0；④当a >0时，在x >1a 时，有f(x)<0，不符合题意． 综上，a 的取值范围是[−12,0]． 故答案为：[−12,0]．17.【答案】解：(1)∵sinα是方程5x 2−7x −6=0的根，∴sinα=−35或sinα=2(舍)．∴原式=cosα⋅(−cosα)⋅tan 2αsinα⋅(−sinα)⋅(−sinα)=−1sinα=53． (2)因为α∈[0,π2]，所以2α∈[0,π]， 又因为cos2α=35，所以sin2α=45， 因为α∈[0,π2]，β∈[π,5π4]，可得π2≤β−α≤5π4，又sin(β−α)=−513，可得cos(β−α)=−1213，而sin(α+β)=sin[2α+(β−α)]=sin2αcos(β−α)+cos2αsin(β−α)=45×(−1213)+35×(−513)=−6365．【解析】(1)把sinα代入到方程中解出即可求出sinα的值，然后把所求的式子利用诱导公式及同角三角函数间的基本关系进行化简即可求出值．(2)通过角的范围及已知的三角函数值求出sin2α和cos(β−α)，再运用正弦的两角差的公式计算即可．此题要求学生灵活运用诱导公式，两角和的正弦公式及同角三角函数间的基本关系化简求值，解这道题的思路是利用已知求出正切函数的平方，所求的式子也要化为关于正切函数平方的关系式．18.【答案】解：(1)f(x)=cosx(√3sinx−cosx)+a=√32sin2x−1+cos2x2+a=sin(2x−π6)+a−12，由2x−π6=kπ+π2(k∈Z)得x=kπ2+π3(k∈Z)，所以f(x)的对称轴方程为：x=kπ2+π3(k∈Z)；由2kπ+π2≤2x−π6≤2kπ+3π2(k∈Z)得kπ+π3≤x≤kπ+5π6(k∈Z)所以函数f(x)的单调减区间为[kπ+π3,kπ+5π6](k∈Z)；(2)x∈[0,5π12]⇒2x−π6∈[−π6,2π3]⇒sin(2x−π6)∈[−12,1]，f(x)=sin(2x−π6)+a−12∈[a−1,a+12]，由f(x)的最大值与最小值之和为2，得a−1+a+12=2，解得a=54．【解析】(1)利用三角恒等变换，化简得f(x)=sin(2x−π6)+a−12，利用正弦函数的对称性与单调性可求得函数f(x)的对称轴和单调减区间；(2)x∈[0,5π12]⇒2x−π6∈[−π6,2π3]，利用正弦函数的单调性质可求得f(x)的最大值和最小值，再根据最大值与最小值之和为2，求得a的值．本题主要考查三角恒等变换及正弦函数的图象和性质，考查转化与化归思想及运算求解能力，是中档题．19.【答案】解：(1)sin215°+cos215°−sin15°cos15°=1−12sin30°=34；(2)根据式子特点猜想：(2)三角恒等式为sin2α+cos2(30°−α)−sinα⋅cos(30°−α)=34．证明如下：sin2α+cos2(30°−α)−sinαcos(30°−α)=sin2α+(cos30°cosα+sin30°sinα)2−sinα(cos30°⋅cosα+sin30°sinα)=sin2α+34cos2α+√32sinαcosα+14sin2α−√32sinαcosα−12sin2α=34sin2α+34cos2α=34．【解析】(1)选择②式，由倍角公式及特殊角的三角函数值即可得解．(2)发现推广三角恒等式为sin2α+cos2(30°−α)−sinαcos(30°−α)=34，由三角函数中的恒等变换应用展开即可证明归纳推理一般是先根据个别情况所体现出来的某些相同的规律，然后从这些已知的相同性质规律推出一个明确的一般性规律或性质．此题是一个三角函数式，所以重点抓住角之间的关系，式子的结构特点进行归纳，得出一般性结论．20.【答案】解：(Ⅰ)投资债券类稳健型产品的收益满足函数：y=kx(x>0)，由题知，当x=1时，y=0.125，则k=0.125，即y=0.125x，投资股票类风险型产品的收益满足函数：y=k′√x(x>0)，由题知，当x=1时，y=0.5，则k=0.5，即y=0.5√x，(Ⅱ)设投资债券类稳健型产品x万元(0≤x≤20)，则投资股票类风险型产品20−x万元，由题知总收益y=0.125x+0.5√20−x(0≤x≤20)，令t=√20−x(0≤t≤√20)，则x=20−t2，y=0.125(20−t2)+0.5t=−18t2+12t+52=−18(t−2)2+3，当t=2，即x=16时，y max=3(万元)答：投资债券类稳健型产品16万元，投资股票类风险型产品4万元，此时受益最大为3万元．【解析】(Ⅰ)由投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比，结合函数图象，我们可以利用待定系数法来求两种产品的收益与投资的函数关系；(Ⅱ)由(Ⅰ)的结论，我们投资债券类稳健型产品x万元(0≤x≤20)，则投资股票类风险型产品20−x万元．这时可以构造出一个关于收益y的函数，然后利用求函数最大值的方法进行求解．函数的实际应用题，我们要经过析题→建模→解模→还原四个过程，在建模时要注意实际情况对自变量x取值范围的限制，解模时也要实际问题实际考虑．将实际的最大(小)化问题，利用函数模型，转化为求函数的最大(小)是最优化问题中，最常见的思路之一．21.【答案】解：(1)f(x)=2+sinx−cos2x−(sin x2−cos x2)2=2+sinx−cos2x−(1−2sin12xcos12x)=2+sinx−cos2x−1+sinx=sin2x+2sinx，设f(x)的图象上任一点A(x0,y0)关于原点对称的点B(x,y)，则−x=x0，−y0=y，因为A在y=f(x)上，所以−y=sin2(−x)+2sin(−x)=sin2x−2sinx，所以y=−sin2x+2sinx，即g(x)=−sin2x+2sinx；(2)ℎ(x)=g(x)−λf(x)+1=−(1+λ)sin2x+2(1−λ)sinx+1，令t=sinx(−1≤t≤1)，则ℎ(t)=−(1+λ)t2+2(1−λ)t+1(−1≤t≤1)，当λ=−1时，ℎ(t)=4t+1在[−1,1]上单调递增，符合题意；当λ≠−1时，对称轴t=1−λ1+λ，若λ<−1，则t=1−λ1+λ≤−1，此时λ<−1，若λ>−1，则t=1−λ1+λ≥1，此时−1<λ≤0，综上，λ的取值范围为(−∞,0]．【解析】(1)利用同角平方关系及二倍角公式对已知函数进行化解变形，然后结合对称性可求函数g(x)的解析式；(2)线求出g(x)的解析式，然后利用换元法后转化为二次函数的单调性对对称轴进行分类讨论可求．本题主要考查了利用对称性求解函数解析式，还考查了三角公式的应用，换元法的应用及二次函数单调性的应用，体现了转化思想及分类讨论思想的应用，属于中档题．22.【答案】解：(1)∵函数f(x)=log2(x+1)∴f(x−1)=log2x，∴f(x)+f(x−1)=log2(x+1)+log2x=log2[x(x+1)]，若f(x)+f(x −1)>0，则{x >0x +1>0x(x +1)>1，解得：x ∈(√5−12,+∞)，即x 的取值范围为(√5−12,+∞)；( 2 )∵函数g(x)为定义在R 上的奇函数， 故g(0)=0， 又∵当0⩽x ⩽1时， g(x)=f(x)=log 2(x +1)． 当x ∈[−2,−1]时，x +2∈[0,1]， ∴g(x)=−g(x +2)=−log 2(x +3)．当x ∈[−3,−2]时，x +2∈[−1,0]，−(x +2)∈[0,1]，∴g(x)=−g(x +2)=g[−(x +2)]=log 2[−(x +2)+1]=log 2(−x −1)， 故g(x)={log 2(−x −1),x ∈[−3,−2]−log 2(x +3),x ∈[−2,−1]，g(x)在[−3,−1]和[1,3]上递减，在[−1,1]上递增； (3)记u =t−2x8+2x+3=−18+t+18+2x+3， 当t +1⩾0时，u ∈(−18,−18+t+18)=(−18,t8)，由g(t−2x 8+2x+3)⩾g(−12)在R 上恒成立可得： (−18,t8)∈[−12,52]，解得：t ∈[−1,20]． 当t +1<0时，u ∈(−18+t+18,−18)=(t 8,−18)，由g(t−2x8+2x+3)⩾g(−12)在R 上恒成立可得：(t8,−18)∈[−12⋅52]，解得：t ∈[−4,−1)．综上所述实数t 的取值范围为[−4,20]．【解析】(1)由题意，列出不等式组，求得x 的范围即可，(2)利用函数为奇函数，写出g(x)的解析式，并求出单调区间即可， (3)利用换元法解不等式，并求出t 的范围即可．本题考查函数的性质及恒成立问题，考查学生的综合能力，属于难题．。