高一下学期期末考试数学试题(广东省,含参考答案)

2022-2023学年广东省广州市越秀区高一（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）复数（2+i ）2的实部是（ ） A ．2B ．3C ．4D ．52．（5分）已知向量a →，b →满足|a →|=2，|b →|=1，|2a →−b →|=5，则a →⋅b →=（ ） A ．﹣2B ．﹣4C ．﹣5D ．﹣103．（5分）在△ABC 中，A =π4，cosB =35，则sin C ＝（ ）A ．√210B ．−√210C ．7√210D ．−7√2104．（5分）为了得到函数y =3sin(2x −π5)的图象，只要把y =3sin(2x +π5)图象上所有的点（ ）A ．向右平行移动π5个单位长度B ．向左平行移动π5个单位长度C ．向右平行移动2π5个单位长度 D ．向左平行移动2π5个单位长度5．（5分）从3名男生和3名女生中任意抽取两人，设事件A ＝“抽到的两人都是男生”，事件B ＝“抽到1名男生与1名女生”，则（ ）A ．在有放回简单随机抽样方式下，P(A)=12B ．在不放回简单随机抽样方式下，P(B)=14C ．在按性别等比例分层抽样方式下，P(A)=13D ．在按性别等比例分层抽样方式下，P （B ）＝16．（5分）四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学各自的统计结果的数字特征，可以判断出一定没有出现点数6的是（ ） A ．中位数为3，众数为3B ．平均数为3，中位数为3C ．中位数为2，极差为2D ．平均数为2，标准差为27．（5分）三棱锥A﹣BCD中，AB⊥BD，AB⊥CD，BD⊥CD．若AB＝3，AC＝5，则该三棱锥体积的最大值为（）A．3B．4C．6D．128．（5分）在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，AD＝2BC，则下列结论中不成立的是（）A．平面P AB内任意一条直线都不与CD平行B．平面PCD内存在无数条直线与平面P AB平行C．平面PCD和平面P AB的交线不与底面ABCD平行D．平面PBC和平面P AD的交线不与底面ABCD平行二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.（多选）9．（5分）一个袋子中有标号分别为1，2，3，4的4个小球，除标号外没有其他差异．采用不放回方式从中任意摸球两次．设事件A＝“第一次摸出球的标号为2”，事件B＝“第二次摸出球的标号为3”，事件C＝“两次摸出球的标号之和为4”，事件D＝“两次摸出球的标号之和为5”，则（）A．事件A与B互斥B．事件A与C相互独立C．事件C与D互斥D．事件B与D相互独立（多选）10．（5分）已知函数f(x)=tan(12x−π4)，则下列结论正确的是（）A．f（x）的最小正周期是π2B．f（x）的图象关于点(π2，0)对称C．|f（x）|的图象关于直线x=π2对称D．f（x）在区间(−π2，π2)上单调递增（多选）11．（5分）已知i为虚数单位，则下列结论正确的是（）A．若z−z=0，则z∈RB．若z（1+i）＝2，则z=√2cos 7π4+isin7π4C．若|z1|＝|z2|＝3，z1+z2＝5+i，则|z1−z2|=√10D．若复数z满足1＜|z|＜2，则复数z在复平面内对应的点所构成的图形面积为π（多选）12．（5分）在△ABC中，AC⊥BC，将△ABC分别绕边BC，AC，AB所在直线旋转一周，形成的几何体的侧面积分别记为S a，S b，S c，体积分别记为V a，V b，V c，则（）A．S a+S b≥2S cB ．V a +V b ≥2V cC ．1S a2+1S b2=1S c2 D ．1V a2+1V b2=1V c2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知向量a →=(1，−3)，b →=(λ，5)，且(a →+b →)⊥a →，则b →在a →方向上的投影向量的坐标为 ．14．（5分）某校为了解高中学生的身高情况，根据男、女学生所占的比例，采用样本量按比例分配的分层随机抽样分别抽取了男生100名和女生60名，测量他们的身高所得数据（单位：cm ）如下：根据以上数据，可计算出该校高中学生身高的总样本方差s 2＝ ．15．（5分）如图，在扇形OPO 中，半径OP ＝1，圆心角∠POQ =π3，矩形ABCD 内接于扇形OPQ ，其中点B ，C 都在弧PQ 上，则矩形ABCD 的面积的最大值为 ．16．（5分）已知四边形ABCD 是正方形，将△DAC 沿AC 翻折到△D 1AC 的位置，点G 为△D 1AC 的重心，点E 在线段BC 上，GE ∥平面D 1AB ，GE ⊥D 1A ．若CE ＝λEB ，则λ＝ ，直线GB 与平面D 1AC 所成角的正切值为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出．某市政府为了减少水资源的浪费，计划对居民生活用水费用实施阶梯式水价制度，即确定一个合理的居民生活用水量标准a （单位：t ），使得用户月均用水量不超过a 的部分按平价收费，超过a 的部分按议价收费．通过随机抽样，获得了该市100户居民生活月均用水量（单位：t ）的数据，整理得到如下的频率分布直方图． （1）求这100户居民生活月均用水量在区间[1.5，2）内的频率；（2）若该市政府希望85%的居民生活月均用水量不超过标准at ，试估计a 的值，并说明理由．18．（12分）如图是函数f （x ）＝cos （ωx +φ）（ω＞0，0＜φ＜π）在一个周期上的图象，点A 是函数f （x ）图象与x 轴的交点，点B ，C 分别是函数f （x ）图象的最低点与最高点，且AB →⋅AC →=2． （1）求f （x ）的最小正周期T ；（2）若f(2)−f(43)=1，求f （x ）的解析式．19．（12分）11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10：10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两人进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.6，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．在某局双方10：10平后，乙先发球，两人又打了X 个球该局比赛结束．（1）求事件“X ＝2”的概率；（2）求事件“X ＝4且乙获胜”的概率．20．（12分）如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ⊥BC ． （1）证明：平面ABC 1⊥平面BCC 1；（2）若直线AC 与平面ABC 1所成的角为θ，二面角C 1﹣AB ﹣C 的大小为φ，试判断θ与φ的大小关系，并说明理由．21．（12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且√3sinB+cosB=b+c a．（1）求A；（2）若点D在边BC上，且AD＝BD＝3，CD＝2，求b．22．（12分）如图，在棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为CC1的中点，经过A，D1，E三点的平面记为平面α，点P是侧面BCC1B1内的动点，且A1P∥α．（1）设平面BCC1B1∩α＝l，求证：AD1∥l；（2）平面α将正方体ABCD﹣A1B1C1D1分成两部分，求这两部分的体积之比V1V2（其中V1≤V2）；（3）当A1P最小时，求三棱锥P﹣AA1D1的外接球的表面积．附：参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

2018—2019学年度第二学期期末教学质量监测高中一年级数学试卷—、选择题.(一)单项选择题：1—10题每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的 1.集合{|22}A x x =-<<，{|13}B x x =-<<那么A B = ( )A. {|21}x x -<<-B. {|12}x x -<<C. {|21}x x -<<D. {|23}x x -<<【答案】D 【解析】 【分析】根据并集定义计算． 【详解】由题意{|23}A B x x =-<<．故选D ．【点睛】本题考查集合的并集运算，属于基础题．2.己知x 与y 之间的几组数据如下表：则y 与x 的线性回归直线ˆˆˆybx a =+必过点（ ） A. (2,5) B. (5,9)C. (0,1)D. (1,4)【答案】A 【解析】 【分析】分别求出,x y 均值即得．【详解】013424x+++==，146954y+++==，因此回归直线必过点(2,5)．故选A．【点睛】本题考查线性回归直线方程，线性回归直线一定过点(,)x y．3.如图，随机地在图中撒一把豆子，则豆子落到阴影部分的概率是（）A. 12B.34C.18D.38【答案】D【解析】【分析】求出阴影部分的面积，然后与圆面积作比值即得．【详解】圆被8等分，其中阴影部分有3分，因此所求概率38P=．故选D．【点睛】本题考查几何概型，属于基础题．4.已知数列{a n}为等差数列，S n是它前n项和．若1a＝2，S3＝12，则S4＝( )A. 10B. 16C. 20D. 24 【答案】C【解析】【分析】根据等差数列的前n项和公式，即可求出.【详解】因为S 3＝31a ＋322d ＝6＋3d ＝12，解得d ＝2，所以S 4＝41a ＋432⨯ d ＝20. 【点睛】本题主要考查了等差数列的前n 项和公式，属于中档题.5.已知锐角△ABC 的面积为33，BC=4，CA=3，则角C 的大小为（ ）A. 75°B. 60°C. 45°D. 30°【答案】B 【解析】试题分析：由三角形的面积公式，得，即，解得，又因为三角形为锐角三角形，所以.考点：三角形的面积公式.6.设342334333log ,,224a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（ ）A. a b c >>B. b c a >>C. c a b >>D.a cb >>【答案】B 【解析】 【分析】不难发现0,1,01,a b c <<从而可得.b c a >>【详解】34233433333log 0,,22244a b c b c a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫===∴> ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,故选B. 【点睛】本题考查利用指数函数和对数函数的单调性比较数大小．7.已知函数()()()()121,23,2x x f x f x x ⎧⎪+≥=⎨+<⎪⎩，则f （1）- f （9）=（ ） A. ﹣1 B. ﹣2 C. 6 D. 7【答案】A 【解析】 【分析】利用分段函数，分别求出()1f 和()9f 的值，然后作差得到结果.【详解】依题意得()()1214413f f ==+=，()129914f =+=，所以()()191f f -=-，故选A .【点睛】本小题主要考查利用分段函数求函数值，只需要将自变量代入对应的函数段，来求得相应的函数值.属于基础题.8.设a R ∈，函数()f x 在区间()0,+∞上是增函数，则（ ） A. ()2724f a a f ⎛⎫++>⎪⎝⎭B. ()2724f a a f ⎛⎫++<⎪⎝⎭ C. ()2724f a a f ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭D. ()2724f a a f ⎛⎫++≤⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】利用二次函数的性质，配方后可得2724a a ++≥，由函数的单调性可得结果. 【详解】因为221772244a a a ⎛⎫++=++≥ ⎪⎝⎭， 函数()f x 在区间()0,+∞上增函数，所以()22f a a ++ 74f ⎛⎫≥⎪⎝⎭.故选C. 【点睛】本题主要考查二次函数的性质、函数单调性的应用，属于简单题. 函数单调性的应用比较广泛，是每年高考的重点和热点内容．归纳起来，常见的命题探究角度有：（1）求函数的值域或最值；（2）比较两个函数值或两个自变量的大小；（3）解函数不等式；（4）求参数的取值范围或值．9.己知3sin 5a =，则cos(2)a π-=( ) A.45B.725C. 725-D. 45-【答案】C 【解析】 【分析】先用诱导公式，再由二倍角余弦公式可求． 【详解】2237cos(2)cos 2(12sin )(12())525πααα-=-=--=--⨯=-． 故选C ．【点睛】本题考查诱导公式，二倍角的余弦公式．三角函数的公式较多，要根据题意选取恰当的公式才能做到事半功倍，为此常常研究“已知角”和“未知角”之间的关系，从而确定选用的公式．10.函数()22f x x x m =--的零点有两个，求实数m 的取值范围（ ）A. 10m -<<B. 0m >或1m =-C. 0m >或10m -≤<D.01m <<【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得，22y x x =-的图象（红色部分）和直线y m =有2个交点，数形结合求得m 的范围．【详解】由题意可得22y x x =-的图象(红色部分)和直线y m =有2个交点，如图所示：故有0m >或1m =-， 故选：B.【点睛】已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数()(),y g x y h x ==的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为(),y a y g x ==的图象的交点个数问题 .(二）不定项选择题：11—13题每小题给出的四个选项中，有一项或多项是符合题目要求的. 11.若干个人站成排，其中不是互斥事件的是（ ） A. “甲站排头”与“乙站排头” B. “甲站排头”与“乙不站排尾” C. “甲站排头”与“乙站排尾” D. “甲不站排头”与“乙不站排尾”【答案】BCD 【解析】 【分析】互斥事件是不能同时发生的事件，因此从这方面来判断即可．【详解】排头只能有一人，因此“甲站排头”与“乙站排头”互斥，而B 、C 、D 中，甲、乙站位不一定在同一位置，可以同时发生，因此它们都不互斥． 故选BCD ．【点睛】本题考查互斥事件的概念，判断是否是互斥事件，就是判断它们能否同时发生，能同时发生的就不是互斥事件，不能同时发生的就是互斥事件．12.设函数()sin(2)6f x x π=+的图象为C ，则下列结论正确的是（ ）A. 函数()f x 的最小正周期是2πB. 图象C 关于直线6x π=对称C. 图象C 可由函数()sin 2g x x =的图象向左平移3π个单位长度得到 D. 函数()f x 在区间(,)122ππ-上是增函数 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数的周期判断A 的正误；通过x=6π函数是否取得最值判断B 的正误；利用函数的图象的平移判断C 的正误, 利用函数的单调区间判断D 的正误． 【详解】对于A ，f （x ）的最小正周期为π,判断A 错误；对于B ，当x=6π，函数f （x ）=sin （2×6π+6π）=1，∴选项B 正确； 对于C ，把()sin2g x x =的图象向左平移3π个单位，得到函数sin[2（x+3π）]=sin(2x+()2)3f x π≠，∴选项C 不正确． 对于D ，由222262k x k πππππ-≤+≤+，可得36k x k ππππ-≤≤+，k∈Z，所以在,122ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上不恒为增函数，∴选项D 错误； 故选：B ．【点睛】本题考查三角函数的基本性质的应用，函数的单调性、周期性及函数图象变换，属于基本知识的考查．13.设*{}()n a n N ∈是等差数列，n S 是其前项的和，且56S S <，678S S S =>，则下列结论正确的是（ ） A. 0d < B. 70a =C. 95S S >D. 6S 与7S 均为n S 的最大值【答案】ABD 【解析】 【分析】根据前n 项和的定义进行判断．【详解】6565S S a S =+>，则60a >，7676S S a S =+=，则70a =，则760d a a =-<，8787S S a S =+<，80a <．6859720a a a a a +=+==，∴59S S =，由760,0a a =>知67,S S 是{}n S 中的最大值． 从而ABD 均正确． 故选ABD ．【点睛】本题考查等差数列的前n 项和，考查前n 项和n S 的性质．解题时直接从前n 项和的定义寻找结论，这是一种最基本的方法，简单而实用．二、填空题.将正确答案填在题中橫线上.14.某校选修“营养与卫生”课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法从这70名学生中抽取一个样本，已知在高二年级的学生中抽取了8名，则在该校高一年级的学生中应抽取的人数为________． 【答案】6 【解析】 【分析】利用分层抽样的定义求解.【详解】设从高一年级的学生中抽取x 名，由分层抽样的知识可知83040x =，解得x ＝6. 故答案为：6.【点睛】本题主要考查分层抽样，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.15.设a ＞0，b ＞0，若3是3a 与3b 的等比中项，则11a b+的最小值是__． 【答案】 【解析】由已知0,0a b >>, 3是3a 与b 的等比中项，则()233,1a b ab =⋅∴=则111111122ab a b ab a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=+⨯=+⨯=+≥= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当1a b ==时等号成立 故答案为2【点睛】本题考查基本不等式的性质、等比数列的性质，其中熟练应用“乘1法”是解题的关键．16.设函数()()sin ,0,0,2f x A x x R πωϕωϕ⎛⎫⎛⎫=+∈>∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的部分图象如图所示，则()f x 的表达式______．【答案】()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】根据图象的最高点得到1A =，由图象得到34884T πππ=-=，故得2T πω==，，然后通过代入最高点的坐标或运用“五点法”得到4πϕ=，进而可得函数的解析式．【详解】由图象可得31,4884T A πππ==-=， ∴T π=， ∴2ω=，∴()()sin 2f x x ϕ=+．又点,18π⎛⎫⎪⎝⎭在函数的图象上，∴sin 14πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， ∴2,42k k Z ππϕπ+=+∈，∴2,4k k Z πϕπ=+∈．又0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴4πϕ=．∴()sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭． 故答案为()sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭． 【点睛】已知图象确定函数()()sin f x A x ωϕ=+解析式的方法 （1）A 由图象直接得到，即最高点的纵坐标． （2）由图象得到函数的周期，进而得到ω的值． （3）ϕ的确定方法有两种．①运用代点法求解，通过把图象的最高点或最低点的坐标代入函数的解析式求出ϕ的值； ②运用“五点法”求解，即由函数()()sin f x A x ωϕ=+最开始与x 轴的交点(最靠近原点)的横坐标为ϕω-(即令0x ωϕ+=，x ϕω=-)确定ϕ．17.已知ABC ∆中，,,A B C ∠∠∠的对边分别为,,a b c ，若1,2cos 2a C c b =+=，则ABC ∆的周长的取值范围是__________． 【答案】(2,3] 【解析】ABC △中，由余弦定理可得2222cos a b c C ab +-=，∵12cos 2a C c b ，=+= ，∴2212b c c b b+-+= ，化简可得()213b c bc +-= ．∵22b c bc +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，∴()22132b c b c +⎛⎫+-≤⨯ ⎪⎝⎭，解得2b c +≤ （当且仅当b c = 时，取等号）．故3a b c ++≤ ．再由任意两边之和大于第三边可得 1b c a +>= ，故有 2a b c ++> ，故ABC △的周长的取值范围是(]2,3，故答案为(]2,3．点睛：由余弦定理求得cos C ，代入已知等式可得()213b c bc +-=，利用基本不等式求得2b c +≤，故3a b c ++≤．再由三角形任意两边之和大于第三边求得2a b c ++> ，由此求得△ABC 的周长的取值范围．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

广东高一高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.设全集，集合，则（）A．B．C．D．2.函数的定义域是（）A．B．C．D．3.若且，那么函数与的图象关于（）A．原点对称B．直线对称C．轴对称D．轴对称4.若直线与直线垂直，则的值为（）A．3B．-3C．D．5.直线和平面，下面推论错误的是（）A．若，则B．若，则C．若，则或D．若，则6.正方体中与垂直的平面是（）A．平面B．平面C．平面D．平面7.已知函数，那么等于（）A．B．C．D．8.如图，点分别是正方体的面对角线的中点，则异面直线和所成的角为（）A．B．C．D．9.将棱长为的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为（）A．B．C．D．10.函数的图象如图，则满足的的取值范围是（）A．B．C．D．11.若定义在上的函数满足：对任意，有，则下列说法一定正确的是（）A．为奇函数B．为偶函数C．为奇函数D．为偶函数12.设方程的两个根分别为，则（）A．B．C．D．二、填空题1.计算：__________．2.一几何体的三视图如图，则它的体积为__________．3.已知直线过定点，则点的坐标为__________．4.已知函数和，若存在实数使得，则实数的取值范围为__________．三、解答题1.已知三角形的三个顶点.求（1）过点且平行于的直线方程；（2）边上的高所在的直线方程.2.已知函数，.（1）若函数在上不具有单调性，求实数的取值范围；（2）若.（ⅰ）求实数的值；（ⅱ）设，，，当时，试比较，，的大小．3.如图，已知四棱锥的底面是菱形，平面，点为的中点.（1）求证：∥平面；（2）求证：.4.函数是定义域为的奇函数.（1）求的值；（2）若，试分析判断的单调性（不需证明），并求使不等式恒成立的的取值范围.5.在三棱锥中，.（1）证明：面面；（2）求点到平面的距离；（3）求二面角的平面角的正弦值.6.已知函数在上有最大值和最小值，设（为自然对数的底数）.（1）求的值；（2）若不等式在上有解，求实数的取值范围；（3）若方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围.广东高一高中数学期末考试答案及解析一、选择题1.设全集，集合，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为 ,所以,故选C.2.函数的定义域是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】 ,解得且,故选C.3.若且，那么函数与的图象关于（）A．原点对称B．直线对称C．轴对称D．轴对称【答案】B【解析】根据同底的指数函数和对数函数的图像可得,关于对称,故选B.4.若直线与直线垂直，则的值为（）A．3B．-3C．D．【答案】B【解析】直线的斜率为，直线的斜率为，因为两直线垂直所以，解得。

广东高一高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.角θ的终边过点P（﹣1，2），则sinθ=（）A．B．C．﹣D．﹣2.已知向量，，则与（）A．垂直B．不垂直也不平行C．平行且同向D．平行且反向3.=（）A．B．C．D．4.函数的零点所在的区间是（）A．B．C．D．5.在△ABC中，已知D是AB边上一点，若=2，=，则λ=（）A．B．C．﹣D．﹣6.若函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0）的部分图象如图，则ω=（）A．5B．4C．3D．27.设向量，满足||=2，在方向上的投影为1，若存在实数λ，使得与﹣λ垂直，则λ=（）A．B．1C．2D．38.将函数的图象上各点的横坐标变为原来的π倍，将所得图象向右平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象，则函数y=g（x）的解析式是（）A．B．C ．D ．9.设向量与的夹角为θ，定义与的“向量积”：是一个向量，它的模，若，则=（ ）A ．B ．2C ．D ．410.下列函数中，在（﹣∞，0）上为减函数的是（ ） A ． B ． C ． D ．11.函数y=sinx||（0＜x ＜π）的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．12.已知函数f （x ）=（）x ﹣log 2x ，实数a 、b 、c 满足f （a ）f （b ）f （c ）＜0（0＜a ＜b ＜c ），若实数x 0是方程f （x ）=0的一个解，那么下列不等式中，不可能成立的是（ ）A ．x 0＜aB ．x 0＞bC ．x 0＜cD ．x 0＞c二、填空题1.函数的单调递减区间是 ．2.若x=log 43，（2x ﹣2﹣x ）2= ．3.已知f （x ）=asin （πx+α）+bcos （πx+β）+4，（a ，b ，α，β为非零实数），f （2015）=5，则f （2016）= ．4.给出下列命题： ①若，则； ②若A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则；③已知是三个非零向量，若；，则；④已知λ1＞0，λ2＞0，是一组基底，=λ1+λ2，则与不共线，与也不共线；⑤与共线⇔． 其中正确命题的序号是 ．三、解答题1.已知，与的夹角为120°， 求：（1）； （2）．2.设函数f （x ）=﹣x 2+2x+a （0≤x≤3，a≠0）的最大值为m ，最小值为n ． （1）求m ，n 的值（用a 表示）；（2）若角θ的终边经过点P （m ﹣1，n+3），求的值．3.已知，且．（1）求sinα+cosα的值； （2）若，且5sin （2α+β）=sinβ，求角β的大小．4.某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表：xxxx（1）请写出上表的x 1、x 2、x 3，并直接写出函数的解析式；（2）将f （x ）的图象沿x 轴向右平移个单位得到函数g （x ）的图象，P 、Q 分别为函数g （x ）图象的最高点和最低点（如图），求∠OQP 的大小；（3）求△OQP 的面积．5.由于浓酸泄漏对河流形成了污染，现决定向河中投入固体碱．1个单位的固体碱在水中逐步溶化，水中的碱浓度y 与时间x 的关系，可近似地表示为y=．只有当河流中碱的浓度不低于1时，才能对污染产生有效的抑制作用．（1）判断函数的单调性（不必证明）；（2）如果只投放1个单位的固体碱，则能够维持有效抑制作用的时间有多长？（3）当河中的碱浓度开始下降时，即刻第二次投放1个单位的固体碱，此后，每一时刻河中的碱浓度认为是各次投放的碱在该时刻相应的碱浓度的和，求河中碱浓度可能取得的最大值．6.设a 为实数，函数的最大值为g （a ）． （1）求函数f （x ）的定义域； （2）设，把函数f （x ）表示为t 的函数h （t ），并写出定义域； （3）求g （a ）．广东高一高中数学期末考试答案及解析一、选择题1.角θ的终边过点P（﹣1，2），则sinθ=（）A．B．C．﹣D．﹣【答案】B【解析】由条件利用任意角的三角函数的定义，求得sinθ的值．解：由题意可得，x=﹣1，y=2，r=|OP|=，∴sinθ===，故选：B．【考点】任意角的三角函数的定义．2.已知向量，，则与（）A．垂直B．不垂直也不平行C．平行且同向D．平行且反向【答案】D【解析】利用向量共线定理即可得出．解：∵6×10﹣（﹣5）×（﹣12）=0，∴，故选：D．【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．3.=（）A．B．C．D．【答案】D【解析】原式中的角度变形后，利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．解：sin=sin（670π+π+）=sin（π+）=﹣sin=﹣sin（π﹣）=﹣sin=﹣，故选：D．【考点】运用诱导公式化简求值．4.函数的零点所在的区间是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】令函数f（x）=0得到，转化为两个简单函数g（x）=2x，h（x）=，最后在同一坐标系中画出g （x），h（x）的图象，进而可得答案．解：令=0，可得，再令g（x）=2x，，在同一坐标系中画出g（x），h（x）的图象，可知g（x）与h（x）的交点在（，1），从而函数f （x ）的零点在（，1），故选：B ．【考点】函数零点的判定定理．5.在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若=2，=，则λ=（ ）A ．B ．C ．﹣D ．﹣【答案】A【解析】本题要求字母系数，办法是把表示出来，表示时所用的基底要和题目中所给的一致，即用和表示，画图观察，从要求向量的起点出发，沿着三角形的边走到终点，把求出的结果和给的条件比较，写出λ． 解：在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点 ∵=2，=，∴=，∴λ=，故选A ．【考点】向量加减混合运算及其几何意义．6.若函数y=sin （ωx+φ）（ω＞0）的部分图象如图，则ω=（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】B【解析】利用函数图象已知的两点的横坐标的差值，求出函数的周期，然后求解ω． 解：由函数的图象可知，（x 0，y 0）与，纵坐标相反，而且不是相邻的对称点，所以函数的周期T=2（）=，所以T==，所以ω==4．故选B ．【考点】由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式；y=Asin （ωx+φ）中参数的物理意义．7.设向量，满足||=2，在方向上的投影为1，若存在实数λ，使得与﹣λ垂直，则λ=（ ） A ．B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】利用向量投影的意义可得，再利用向量垂直与数量积的关系即可得出．解：∵向量，满足||=2，在方向上的投影为1，∴==2×1=2．∵存在实数λ，使得与﹣λ垂直，∴==0，∴22﹣2λ=0，解得λ=2．故选：C．【考点】平面向量数量积的运算．8.将函数的图象上各点的横坐标变为原来的π倍，将所得图象向右平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象，则函数y=g（x）的解析式是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．解将函数的图象上各点的横坐标变为原来的π倍，可得y=sin（+）的图象；将所得图象向右平移个单位，可得y=sin[（x﹣）+]=sin的图象；再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）=sin+1的图象，则函数y=g（x）的解析式位 g（x）=sin+1，故选：B．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．9.设向量与的夹角为θ，定义与的“向量积”：是一个向量，它的模，若，则=（）A．B．2C．D．4【答案】B【解析】设的夹角为θ，由向量的数量积公式先求出cosθ==﹣，从而得到sinθ=，由此能求出．解：设的夹角为θ，则cosθ==﹣，∴sinθ=，∴=2×2×=2．故选B．【考点】平面向量的综合题．10.下列函数中，在（﹣∞，0）上为减函数的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】可对函数求导数，根据导数在（﹣∞，0）上的符号便可判断函数在（﹣∞，0）上的单调性，从而可判断选项A，B，C的正误，而选项D中的函数显然在（﹣∞，0）上不存在，这样便可找出正确选项．解：A.；∵x＜0；∴；∴y′＜0；∴该函数在（﹣∞，0）上为减函数，∴该选项正确；B.；∵x＜0；∴；∴y′＞0；∴该函数在（﹣∞，0）上为增函数，∴该选项错误；C.；∵x＜0；∴；∴y′＞0；∴该函数在（﹣∞，0）上为增函数，∴该选项错误；D．x＜0时，函数无意义，∴该选项错误．故选：A．【考点】函数单调性的判断与证明．11.函数y=sinx||（0＜x＜π）的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】对函数去掉绝对值符号，再结合余弦函数的图象，进而画出函数y=sinx||（0＜x＜π）的图象即可．解：∵函数y=sinx||（0＜x＜π），∴函数y=，∴根据余弦函数的图象可得其图象为：故选：B．【考点】函数的图象．12.已知函数f （x ）=（）x ﹣log 2x ，实数a 、b 、c 满足f （a ）f （b ）f （c ）＜0（0＜a ＜b ＜c ），若实数x 0是方程f （x ）=0的一个解，那么下列不等式中，不可能成立的是（ ） A ．x 0＜a B ．x 0＞b C ．x 0＜cD ．x 0＞c【答案】D【解析】可判断f （x ）=（）x ﹣log 2x 是（0，+∞）上的减函数，从而可得f （c ）＜0，从而可得f （c ）＜f （x 0）=0；从而解得．解：∵y=（）x 是R 上的减函数， y=log 2x 是（0，+∞）上的增函数；∴f （x ）=（）x ﹣log 2x 是（0，+∞）上的减函数； 又∵f （a ）f （b ）f （c ）＜0，且0＜a ＜b ＜c ； ∴f （a ）＜0，f （b ）＜0，f （c ）＜0； 或f （a ）＞0，f （b ）＞0，f （c ）＜0； 故f （c ）＜f （x 0）=0； 故c ＞x 0；故x 0＞c 不可能成立， 故选D ．【考点】根的存在性及根的个数判断．二、填空题1.函数的单调递减区间是 ．【答案】（2，+∞）【解析】先求函数的定义域，然后分解函数：令t=x 2﹣2x ，则y=，而函数y=在定义域上单调递减，t=x 2﹣2x 在（2，+∞）单调递增，在（﹣∞，0）单调递减，根据复合函数的单调性可知函数可求解：由题意可得函数的定义域为：（2，+∞）∪（﹣∞，0） 令t=x 2﹣2x ，则y=因为函数y=在定义域上单调递减t=x 2﹣2x 在（2，+∞）单调递增，在（﹣∞，0）单调递减 根据复合函数的单调性可知函数的单调递减区间为：（2，+∞）故答案为：（2，+∞）【考点】对数函数的单调性与特殊点．2.若x=log 43，（2x ﹣2﹣x ）2= ． 【答案】【解析】根据题目给出的x 的值，首先化为以2为底数的对数，然后代入要求的式子，运用公式计算．解：因为，所以=． 故答案为．【考点】有理数指数幂的化简求值．3.已知f （x ）=asin （πx+α）+bcos （πx+β）+4，（a ，b ，α，β为非零实数），f （2015）=5，则f （2016）= ． 【答案】3【解析】由条件利用诱导公式求得﹣asinα﹣bcosβ=1，再利用诱导公式化简 f （2010）=asinα+bcosβ+4，运算求得结果．解：∵f （2015）=asin （2015π+α）+bcos （2015π+β）+4=asin （π+α）+bcos （π+β）+4=﹣asinα﹣bcosβ+4=5， ∴﹣asinα﹣bcosβ=1，故 f （2016）=asin （2016π+α）+bcos （2016π+β）+4=asinα+bcosβ+4=﹣1+4=3， 故答案为：3．【考点】运用诱导公式化简求值．4.给出下列命题： ①若，则； ②若A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则；③已知是三个非零向量，若；，则；④已知λ1＞0，λ2＞0，是一组基底，=λ1+λ2，则与不共线，与也不共线；⑤与共线⇔． 其中正确命题的序号是 ． 【答案】①③④【解析】对5个命题分别判断；利用向量模的平方等于向量的平方判断出①的正误；利用向量的坐标公式判断出②的正误利用向量的运算律判断出③的正误；通过向量的数量积判断出⑤的正误． 解：对于①，∴∴故①正确； ②∵，故②错；对于③∵；∴∴∴故③正确；⑤当与反向时，，故⑤错． 故答案为：①③④【考点】向量的共线定理；平面向量的正交分解及坐标表示．三、解答题1.已知，与的夹角为120°， 求：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）（2）根据向量的运算性质计算即可． 解：（1）；（2）． 【考点】平面向量数量积的运算．2.设函数f （x ）=﹣x 2+2x+a （0≤x≤3，a≠0）的最大值为m ，最小值为n ． （1）求m ，n 的值（用a 表示）；（2）若角θ的终边经过点P （m ﹣1，n+3），求的值．【答案】（1）m=f （1）=1+a ，n=f （3）=﹣3+a ．（2）【解析】（1）由条件利用二次函数的性质，求得m 、n 的值．（2）由条件利用任意角的三角函数的定义求得tanα的值，再同角三角函数的基本关系，求得所给式子的值． 解：（1）根据函数f （x ）=﹣x 2+2x+a （0≤x≤3，a≠0）， 可得f （x ）=﹣（x ﹣1）2+1+a ，而0≤x≤3， ∴m=f （1）=1+a ，n=f （3）=﹣3+a ．（2）由（1）知角θ的终边经过点P （a ，a ），∴tanθ=1，所以cosθ≠0， 原式==．【考点】三角函数的化简求值；任意角的三角函数的定义． 3.已知，且．（1）求sinα+cosα的值； （2）若，且5sin （2α+β）=sinβ，求角β的大小．【答案】（1）．（2）．【解析】（1）利用二倍角的余弦公式，直接求出sinα，cosα，即可求得sinα+cosα的值． （2）根据，求出sin2α，利用两角和的正弦函数展开5sin （2α+β）=sinβ，化简可得tanβ=﹣1，即可求出角β的大小． 解：（1）由，得，所以，又，所以．因为cos 2α=1﹣sin 2α， 所以，又， 所以，所以．（2）因为，所以2α∈（0，π）， 由已知，所以，由5sin （2α+β）=sinβ，得5（sin2αcosβ+cos2αsinβ）=sinβ， 所以，即3cosβ=﹣3sinβ，所以tanβ=﹣1， 因为，所以．【考点】三角函数中的恒等变换应用．4.某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表：（1）请写出上表的x 1、x 2、x 3，并直接写出函数的解析式；（2）将f （x ）的图象沿x 轴向右平移个单位得到函数g （x ）的图象，P 、Q 分别为函数g （x ）图象的最高点和最低点（如图），求∠OQP 的大小；（3）求△OQP 的面积． 【答案】（1）f （x ）=sin （x+）．（2）．（3）2．【解析】（1）由函数的最值求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．（2）根据y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，求得g （x ）的解析式，可得P 、Q 、M 的坐标，利用两个向量的夹角公式求得∠OQP 的余弦值，可得∠OQP 的值．（3）根据根据函数图象的对称性可知线段PQ 必过点M ，由 S △OQP =S △POM +S △QOM ，求得它的值． 解：（1）由题意可得A=，•=﹣，求得ω=．再根据五点法作图可得•+ϕ=，∴ϕ=，∴f （x ）=sin （x+）．（2）将f （x ）的图象沿x 轴向右平移个单位得到 函数对应的解析式为，因为P 、Q 分别为该图象的最高点和最低点， 所以，， 所以，，，∴，所以．（3），根据函数图象的对称性可知线段PQ 必过点M （如图），∴S △OQP =S △POM +S △QOM =|y P |•OM+|y Q |•OM=|y P |•OM=2．【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换；余弦函数的图象．5.由于浓酸泄漏对河流形成了污染，现决定向河中投入固体碱．1个单位的固体碱在水中逐步溶化，水中的碱浓度y 与时间x 的关系，可近似地表示为y=．只有当河流中碱的浓度不低于1时，才能对污染产生有效的抑制作用．（1）判断函数的单调性（不必证明）；（2）如果只投放1个单位的固体碱，则能够维持有效抑制作用的时间有多长？（3）当河中的碱浓度开始下降时，即刻第二次投放1个单位的固体碱，此后，每一时刻河中的碱浓度认为是各次投放的碱在该时刻相应的碱浓度的和，求河中碱浓度可能取得的最大值． 【答案】（1）函数在[0，2]上单调递增，在（2，4]上单调递减；（2）；（3）y 有最大值14﹣8．【解析】（1）结合对勾函数和一次函数的图象和性质，可得结论； （2）分类讨论满足y≥1的x 范围，综合讨论结果，可得答案；（3）根据已知求出函数的解析式，分析其单调性后，可得函数的最值． 解：（1）函数在[0，2]上单调递增，在（2，4]上单调递减； （2）解得：解得：2＜x≤3综上可得即若1个单位的固体碱只投放一次，则能够维持有效抑制作用的时间为=（3）由（1）知，当0≤x≤2时，y=单调递增当2＜x≤4时，y=4﹣x 单调递减所以当河中的碱浓度开始下降时，即刻第二次投放1个单位的固体碱， 即2＜x≤4时， y=4﹣x+=14﹣（2x+）记，下面用单调函数的定义证明f （x ）在上单调递减，上单调递增．对任意x 1，x 2满足，，∴f （x 1）＞f （x 2）， 所以，f （x ）在上单调递减，同理可证，f （x ）在上单调递增．故当且仅当，即x=2时，，所以y 有最大值14﹣8．…（12分） 【考点】分段函数的应用．6.设a 为实数，函数的最大值为g （a ）．（1）求函数f （x ）的定义域； （2）设，把函数f （x ）表示为t 的函数h （t ），并写出定义域； （3）求g （a ）．【答案】（1）函数f （x ）的定义域为[﹣1，1]．（2），定义域为．（3）．【解析】（1）函数的定义域即使函数有意义的自变量的取值范围，根据偶次方根被开方数不小于零，列不等式组，解不等式组即可 （2）由平方得．∴，从而将函数f （x ）换元为h （t ），而h （t ）的定义域即的值域，平方后求其值域即可（3）由（2）知，可用换元法求函数的值域，函数h （t ）为含参数的二次函数，其值域与a 的取值有关，通过讨论对称轴的位置可得最大值关于a 的函数g （a ）． 解：（1）由题意得，∴函数f （x ）的定义域为[﹣1，1]．（2）由平方得．由x ∈[﹣1，1]得，t 2∈[2，4]，所以t 的取值范围是．又，∴．即，定义域为．（3）由题意知g （a ）即为函数的最大值．注意到直线是抛物线的对称轴，分以下几种情况讨论： ①当a ＞0时，函数的图象是开口向上的抛物线的一段，由知y=h （t ）在上单调递增，∴g （a ）=h （2）=a+2． ②当a=0时，h （t ）=t ，，∴g （a ）=h （2）=2．③当a ＜0时，函数的图象是开口向下的抛物线的一段，．a 若，即时，则；b 若，即时，则；c 若，即时，则g （a ）=h （2）=a+2；综上有．【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的定义域及其求法；函数的值域；函数解析式的求解及常用方法．。

广东省三校2024届数学高一第二学期期末学业水平测试试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．若变量,x y 满足约束条件20,{0,220,x y x y x y +≥-≤-+≥则2z x y =-的最小值等于 （ ）A ．52-B ．2-C ．32-D ．22．如图，设Ox ，Oy 是平面内相交的两条数轴，1e ，2e 分别是与x 轴，y 轴正方向同向的单位向量，且12,120e e =︒，若向量12OP xe ye =+，则把有序数对(),x y 叫做向量OP 在坐标系xOy 中的坐标.假设OP 在坐标系xOy 中的坐标为()2,1-，则OP =（ )A ．3B ．5C ．6D ．73．七巧板是我国古代劳动人民发明的一种智力玩具，由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成. 如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率为（ ）A ．14B ．316C ．38D ．7164．在等差数列{}n a 中，若244,8a a ==，则7a =（ ） A ．8B ．12C ．14D ．105．设R a ∈，若不等式221148x x ax x x x++-+≥-恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．[2,12]-B ．[2,10]-C ．[4,4]-D ．[4,12]-6．若a 、b 、c >0且a (a ＋b ＋c )＋bc ＝4－23，则2a ＋b ＋c 的最小值为( ) A ． 3－1 B ． 3＋1 C ．23＋2D ．23－27． 下列赋值语句正确的是 ( ) A ．S ＝S ＋i 2 B ．A ＝－A C ．x ＝2x ＋1D ．P ＝8．函数cos tan y x x =⋅（302x π≤<且2x π≠）的图像是下列图像中的（ ） A ． B ．C ．D ．9．下列函数中，既是偶函数又在(,0)-∞上是单调递减的是 A ．cos y x =-B ．lg y x =C ．21y x =-D ．x y e -=10．记max{,,}a b c 为实数,,a b c 中的最大数.若实数,,x y z 满足222363x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩则max{||,||,||}x y z 的最大值为（ ）A ．32B ．1C ．73D ．23二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

2022-2023学年广东省佛山市高一（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若tanα=43，则tan(π4+α)=（ ） A ．−35B ．35C ．﹣7D ．72．若复数z 满足（1+z ）i ＝1﹣z （i 为虚数单位），则z ＝（ ） A ．﹣iB ．iC ．1﹣iD ．1+i3．如图所示的正方形O ′A ′C ′B ′的边长为2cm ，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积为（ ）A ．4√2cm 2B ．8cm 2C ．8√2cm 2D ．16cm 24．在平面直角坐标系xOy 中，A （1，2），B （3，3）则向量AB →在向量OA →上的投影向量为（ ） A ．(−125，−125) B ．(45，85) C ．(85，45)D ．(125，125) 5．从正方体的八个顶点中任取四个点连线，在能构成的一对异面直线中，其所成的角的度数不可能是（ ） A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°6．某班12名篮球队队员的身高（单位：cm ）分别是：162，170，170，171，181，163，165，179，168，183，168，178，则第85百分位数是（ ） A ．178B ．179C ．180D ．1817．在△ABC 中，CA ＝3，CB ＝2，∠ACB ＝90°，AB 边上的高为CD ，则（ ） A ．CD →=25CA →+35CB →B ．CD →=413CA →+913CB → C ．CD →=35CA →+25CB →D ．CD →=913CA →+413CB →8．六氟化硫，化学式为SF 6，在常压下是一种无色、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．如图所示，其分子结构是六个氟原子处于顶点位置，而硫原子处于中心位置的正八面体，也可将其六个顶点看作正方体各个面的中心点．若正八面体的表面积为12√3，则正八面体外接球的体积为（ ）A ．4√2πB ．4√3πC ．12πD ．36π二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分． 9．设函数f （x ）＝sin2x ，则（ ） A ．f （x ）＝f （x +π）B ．f （x ）在[0，2π]内有3个零点C ．将y ＝f （x ）图象向左平移π2个单位，得到y ＝cos2x 的图象D ．f （x ）在[π4，3π4]单调递减 10．已知△ABC 不是直角三角形，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则（ ） A ．sin C ＝sin （A +B ） B ．cos C ＝cos （A +B ） C ．tanC =tanA+tanBtanAtanB−1D ．a ＝b cos C +c cos B11．某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短期；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险．各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得到如图所示的统计图表．则（ ）A ．丁险种参保人数超过五成B ．41岁以上参保人数超过总参保人数的五成C ．18﹣29周岁人群参保的总费用最少D ．人均参保费用不超过5000元12．在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，动点P 满足BP →=λBC →+μBB 1→，其中λ∈[0，1]，μ∈[0，1]，则（ ）A ．当λ＝1时，有且仅有一个点P ，使得PB ⊥PD 1 B ．当μ＝1时，有且仅有一个点P ，使得A 1D ⊥平面P AD 1C ．当λ+μ＝1时，三棱锥A 1﹣PDC 1的体积为定值D ．有且仅有两个点P ，使得AP ＝3三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知sin18°=√5−14，则cos36°＝ ．14．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝x ，b ＝10，cosA =35，则使该三角形有唯一解的x 的值可以是 ．（仅需填写一个符合要求的数值） 15．设复数z 1，z 2，满足|z 1|＝|z 2|＝1，z 1−z 2=√3i ，则|z 1+z 2|＝ ．16．在平面直角坐标系xOy 中，点P 为单位圆O 上的任一点，M （3，0），N （﹣1，1）．若OP →=λOM →+μON →，则3λ+μ的最大值为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）3月21日是世界睡眠日．《中国睡眠研究报告2022》指出，我国民众睡眠时长不足，每日平均睡眠时长相比十年前时间缩短近1.5小时，今年报告调查又回升0.4小时．下面是我国10个地区，50万青少年的调查数据，绘制成如图所示的频率分布直方图． （1）求直方图中的a 的值；（2）以样本估计总体，求青少年的日平均睡眠时长的众数和平均数的估计值；（3）在日平均睡眠时长为[5，6），[6，7），[7，8），[8，9）的四组人群中，按等比例分层抽样的方法抽取60人，则在日平均睡眠时长为[5，6）的人群中应抽取多少人？18．（12分）如图，在长方体木块ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝6，BC ＝5，AA 1＝4．棱A 1B 1上有一动点E ． （1）若A 1E ＝2，过点E 画一个与棱BC 平行的平面α，使得α与此长方体的表面的交线围成一个正方形EFGH （其中交线GH 在平面ABCD 内）．在图中画出这个正方形EFGH （不必说出理由），并求平面EFGH 将长方体分成的两部分的体积比；（2）若平面AEC 1交棱CD 于Q ，求四边形AEC 1Q 的周长的最小值．19．（12分）从①A =π6，②B =π6，③△ABC 的周长为6，三个条件中选择一个，补充在下面的问题中，再回答后面的问题．在锐角△ABC 中，已知BC ＝2，_____，求△ABC 面积的取值范围． 20．（12分）已知函数f （x ）＝sin （ωx +φ）在区间(2π3，π)单调，且f(π4)=−f(5π12)，其中ω∈N *，|φ|＜π2． （1）求y ＝f （x ）图象的一个对称中心； （2）求f （x ）的解析式．21．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD ＝DC ． （1）证明：平面P AC ⊥平面PBD ；（2）点H 在棱PC 上，当二面角H ﹣DB ﹣C 的余弦值为13时，求CH CP．22．（12分）地球自西向东自转，造成了太阳每天东升西落运动．因这种现象是地球自转造成的人的视觉效果，所以天文学上把这种运动称为太阳周日视运动，其实质是地球自转的一种反映．研究太阳周日视运动轨迹对分析地球气候、计算当地日出日落时间、理解昼夜长短变化现象、设计建筑物日照时长等有重要意义．太阳周日视运动轨迹与太阳直射地球点有关，也与观测者当地的纬度有关．如图为春分（或秋分）日北纬45°某地（如我国哈尔滨、松原、鸡西等地区）的太阳周日视运动轨迹图，O为当地观测者位置，圆平面ESWN是观测者所在的地平面．直线P1P2为天轴，其垂直于太阳周日视运动轨迹所在圆平面EAWC，且与直线NS在同一圆面上．两直线P1P2和NS相交于点O，夹角∠P1ON为45°．太阳早上6：00从正东方E点的地平面升起，中午12：00处于天空最高点A，傍晚6：00从正西方W点处落入地平面．（1）太阳周日视运动轨迹所在圆平面EAWC与地平面ESWN所成锐二面角的平面角为多少？（2）若图上B点为下午3：00太阳所在位置，此时阳光入射当地地平面的角度（即直线BO与地平面ESWN的夹角）为多少？2022-2023学年广东省佛山市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若tanα=43，则tan(π4+α)=（ ） A ．−35B ．35C ．﹣7D ．7解：∵若tanα=43，∴tan(π4+α)=tan π4+tanα1−tan π4tanα=1+431−43=3+43−4=−7． 故选：C ．2．若复数z 满足（1+z ）i ＝1﹣z （i 为虚数单位），则z ＝（ ） A ．﹣iB ．iC ．1﹣iD ．1+i解：（1+z ）i ＝1﹣z ，则i +zi ＝1﹣z ，即z （1+i ）＝1﹣i ，故z =1−i 1+i =(1−i)2(1+i)(1−i)=−i ．故选：A ．3．如图所示的正方形O ′A ′C ′B ′的边长为2cm ，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积为（ ）A ．4√2cm 2B ．8cm 2C ．8√2cm 2D ．16cm 2解：由于原几何图形的面积：直观图的面积＝2√2：1， 又∵正方形O ′A ′C ′B ′的边长为2cm ， ∴正方形O ′A ′C ′B ′的面积为4cm 2， 原图形的面积S ＝8√2cm 2． 故选：C ．4．在平面直角坐标系xOy 中，A （1，2），B （3，3）则向量AB →在向量OA →上的投影向量为（ ） A ．(−125，−125)B ．(45，85)C ．(85，45)D ．(125，125) 解：∵OA →=(1，2)，AB →=(2，1)， ∴OA →⋅AB →=1×2+2×1=4， |OA →|=√12+22=√5，∴向量AB →在向量OA →上的投影向量为AB →⋅OA →|OA →|⋅OA →|OA →|=√5⋅√5=(45，85)．故选：B ．5．从正方体的八个顶点中任取四个点连线，在能构成的一对异面直线中，其所成的角的度数不可能是（ ） A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解：从正方体的八个顶点中任取四个点连线中，在能构成的一对异面直线中，其所成的角的度数可能有以下几种情况：①若两异面直线为CD 和A 1D 1，此时两直线所成的角为90°．． ②若两异面直线为CD 和AB 1，此时两直线所成的角为45°． ③若两异面直线为AC 和DC 1，此时两直线所成的角为60°． 所以在能构成的一对异面直线中，其所成的角的度数不可能是30°． 故选：A ．6．某班12名篮球队队员的身高（单位：cm ）分别是：162，170，170，171，181，163，165，179，168，183，168，178，则第85百分位数是（ ） A ．178B ．179C ．180D ．181解：根据题意，将12人的身高从小到大排列：162，163，165，168，168，170，170，171，178，179，181，183，由于12×85%＝10.2，则该组数据第85百分位数为181．故选：D ．7．在△ABC 中，CA ＝3，CB ＝2，∠ACB ＝90°，AB 边上的高为CD ，则（ ） A ．CD →=25CA →+35CB →B ．CD →=413CA →+913CB → C ．CD →=35CA →+25CB →D ．CD →=913CA →+413CB →解：CA ＝3，CB ＝2，∠ACB ＝90°， 则AB =√32+22=√13， 由等面积法可知，12×CD ×AB =12×CA ×CB ，解得CD =6√13=6√1313，故AD =√AC 2−CD 2=9√13=9√1313，即AD →=913AB →，所以CD →=CA →+AD →=CA →+913AB →=CA →+913(CB →−CA →)=413CA →+913CB →．故选：B ．8．六氟化硫，化学式为SF 6，在常压下是一种无色、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．如图所示，其分子结构是六个氟原子处于顶点位置，而硫原子处于中心位置的正八面体，也可将其六个顶点看作正方体各个面的中心点．若正八面体的表面积为12√3，则正八面体外接球的体积为（ ）A ．4√2πB ．4√3πC ．12πD ．36π解：如图正八面体，连接AC 和BD 交于点O ，因为EA ＝EC ，ED ＝EB ，所以EO ⊥AC ，EO ⊥BD ，又AC 和BD 为平面ABCD 内相交直线， 所以EO ⊥平面ABCD ，所以O 为正八面体的中心，设正八面体的外接球的半径为R ，因为正八面体的表面积为8×√34AB 2=12√3，所以正八面体的棱长为√6，所以EB =EC =BC =√6，OB =OC =√3，EO =√EB 2−OB 2=√3， 则R =√3，V =43πR 3=43π×3√3=4√3π． 故选：B ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分． 9．设函数f （x ）＝sin2x ，则（ ） A ．f （x ）＝f （x +π）B ．f （x ）在[0，2π]内有3个零点C ．将y ＝f （x ）图象向左平移π2个单位，得到y ＝cos2x 的图象D ．f （x ）在[π4，3π4]单调递减解：∵f （x ）＝sin2x ，∴函数的最小正周期T =2π2=π，即f （x ）＝f （x +π）成立，故A 正确， 由f （x ）＝0得sin2x ＝0，得2x ＝k π，即x =kπ2，k ∈Z ， ∵x ∈[0，2π]，∴x ＝0或x =π2或x ＝π或x =3π2或x ＝2π，即f （x ）在[0，2π]内有5个零点，故B 错误， 将y ＝f （x ）图象向左平移π2个单位，得到y ＝sin2（x +π2）＝sin （2x +π）＝﹣sin2x ，则无法得到y ＝cos2x 的图象，故C 错误， 当x ∈[π4，3π4]，则2x ∈[π2，3π2]，此时f （x ）为减函数，故D 正确． 故选：AD ．10．已知△ABC 不是直角三角形，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则（ ） A ．sin C ＝sin （A +B ） B ．cos C ＝cos （A +B ） C ．tanC =tanA+tanBtanAtanB−1D ．a ＝b cos C +c cos B解：对于A ，因为C ＝π﹣（A +B ），所以sin C ＝sin[π﹣（A +B ）]＝sin （A +B ），所以A 正确；对于B，因为C＝π﹣（A+B），所以cos C＝cos[π﹣（A+B）]＝﹣cos（A+B），所以B错误；对于C，因为C＝π﹣（A+B），所以tan C＝tan[π﹣（A+B）]＝﹣tan（A+B）=−tanA+tanB1−tanAtanB=tanA+tanBtanAtanB−1，所以C正确；对于D，因为A＝π﹣（B+C），所以sin A＝sin[π﹣（B+C）]＝sin（B+C），所以sin A＝sin（B+C）＝sin B cos C+sin C cos B，所以由正弦定理得a＝b cos C+c cos B，所以D正确．故选：ACD．11．某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短期；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险．各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得到如图所示的统计图表．则（）A．丁险种参保人数超过五成B．41岁以上参保人数超过总参保人数的五成C．18﹣29周岁人群参保的总费用最少D．人均参保费用不超过5000元解：由险种与比例的对应关系条形图，可知丁险种的参保人数比例为1﹣（0.02+0.04+0.1+0.3）＝0.54＞0.5，故选项A正确；由参保人数比例饼状图可知，41岁以上参保人数所占比例为35%+10%＝0.45＜0.5，故选项B错误；假设保险公司调查了m位客户，则其中18～29周岁的有0.15m位，由折线图可知，18﹣29周岁人群参保的总费用小于0.15m×4000＝600m，31～42周岁和42～53周岁的占比及人均参保费用均高于18～29岁的群体，54周岁及以上的有0.1m 位，由折线图可知，参保总费用为0.1m ×6000＝600m ，大于18﹣29周岁人群参保的总费用，故选项C 正确；由饼状图和折线图可知，18～29周岁的人均参保费用和30～41周岁的人均参保费用的均值大致为4000， 42～53周岁的人均参保费用小于6000，54周岁及以上的人均参保费用大致是6000， 所以人均参保费用大致是（0.15+0.4）×4000+（0.35+0.1）×6000＝4900＜5000，故D 正确． 故选：ACD ．12．在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，动点P 满足BP →=λBC →+μBB 1→，其中λ∈[0，1]，μ∈[0，1]，则（ ）A ．当λ＝1时，有且仅有一个点P ，使得PB ⊥PD 1 B ．当μ＝1时，有且仅有一个点P ，使得A 1D ⊥平面P AD 1C ．当λ+μ＝1时，三棱锥A 1﹣PDC 1的体积为定值D ．有且仅有两个点P ，使得AP ＝3解：对于A ，当x ＝1时，BP →=BC →+μBB 1→，所以有CP →=μBB 1→， 因为μ∈[0，1]，所以点P 在线段CC 1上，设CP ＝x （0≤x ≤2），则PC 1＝2﹣x ，BP 2＝4+x 2，PD 12=(2−x)2+4，BD 12=22+22+22＝12， 若PB ⊥PD 1，BP 2+PD 12=BD 12，即4+x 2+（2﹣x ）2+4＝12，解得x ＝0或x ＝2， 当x ＝0时，P 与C 重合；当x ＝2时，P 与C 1重合， 故当λ＝1时，存在两个点P ，使得PB ⊥PD 1，故A 不正确；对于B ，当μ＝1时，由BP →=λBC →+BB 1→，得B 1P →=λBC 1→，又λ∈[0，1]，则点P 在线段B 1C 1上， 因为A 1D ⊥AD 1，A 1D ⊥AB ，AD 1∩AB ＝A ，A 1D ，ABC 平面D 1ABC 1， 所以A 1D ⊥平面D 1ABC 1，若A 1D ⊥平面P AD 1，则平面D 1ABC 1与平面P AD 1重合，此时P 必与C 1重合，即当μ＝1时，有且仅有一个点P ，使得A 1D ⊥平面P AD 1 故B 正确；对于C ，当x +μ＝1时，由于BP →=λAC →+μBB 1→且λ∈[0，1]，μ∈[0，1]，可知点P 在线段B 1C 上， 因为B 1C ∥A 1D ，B 1C ∉平面A 1DC 1，A 1D ⊂平面A 1DC 1，所以B 1C ∥平面A 1DC 1， 所以点P 到平面A 1DC 1 的距离等于B 1到平面A 1DC 1的距离， 即P 到平面A 1DC 1 的距离为定值，所以三棱锥A 1﹣PDC 1的体积为定值，故C 正确；对于D ，由BP →=λBC →+μBB 1→，以及λ∈[0，1]，μ∈[0，1]得点P 在侧面BCC 1B 1内， 易知，AB ⊥BP ，由AP ＝3，AB ＝2，得BP =√AP 2−AB 2=√9−4=√5， 所以点P 的轨迹是侧面BCC 1B 1内以B 为圆心，√5为半径的弧， 即有无数个点P 满足题意，故D 不正确．故选：BC ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知sin18°=√5−14，则cos36°＝ √5+14．解：因为sin18°=√5−14，所以cos36°＝1﹣2sin 218°=1−2×(√5−14)2=1−2×6−2√516=2+2√58=1+√54． 故答案为：1+√54．14．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝x ，b ＝10，cosA =35，则使该三角形有唯一解的x 的值可以是 8（答案不唯一） ．（仅需填写一个符合要求的数值） 解：在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝x ，b ＝10，cosA =35， 当△ABC 为直角三角形时，即B =π2时，△ABC 为唯一解； 即sinA =a 10=45，解得a ＝8． 所以x 的值为8；（答案不唯一）． 故答案为：8（答案不唯一）．15．设复数z 1，z 2，满足|z 1|＝|z 2|＝1，z 1−z 2=√3i ，则|z 1+z 2|＝ 1 ． 解：设z 1＝a +bi ，z 2＝c +di ，a ，b ，c ，d ∈R ， |z 1|＝|z 2|＝1，a 2+b 2＝1，c 2+d 2＝1， z 1−z 2=(a −c)+(b −d)i =√3i ， ∴a ﹣c ＝0，b ﹣d =√3， ∴a 2+c 2﹣2ac +b 2+d 2﹣2bd ＝0+3， 即1﹣2ac +1﹣2bd ＝3， ∴ac +bd =−12，|z 1+z 2|=√(a +c)2+(b +d)2=√a 2+c 2+b 2+d 2+2ac +2bd =√1+1−1=1． 故答案为：1．16．在平面直角坐标系xOy 中，点P 为单位圆O 上的任一点，M （3，0），N （﹣1，1）．若OP →=λOM →+μON →，则3λ+μ的最大值为 √5 ．解：∵点P 为单位圆O 上的任一点，∴设P （cos θ，sin θ）， ∴OP →=(cosθ，sinθ)，∵M （3，0），N （﹣1，1），OP →=λOM →+μON →， ∴OP →=λ(3，0)+μ(−1，1)=（3λ﹣μ，μ），∴{3λ−μ=cosθμ=sinθ， ∴{3λ=sinθ+cosθμ=sinθ， ∴3λ+μ＝2sin θ+cos θ=√5sin(θ+φ)∈[−√5，√5]，其中tanφ=12， ∴3λ+μ的最大值为 √5． 故答案为：√5．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）3月21日是世界睡眠日．《中国睡眠研究报告2022》指出，我国民众睡眠时长不足，每日平均睡眠时长相比十年前时间缩短近1.5小时，今年报告调查又回升0.4小时．下面是我国10个地区，50万青少年的调查数据，绘制成如图所示的频率分布直方图． （1）求直方图中的a 的值；（2）以样本估计总体，求青少年的日平均睡眠时长的众数和平均数的估计值；（3）在日平均睡眠时长为[5，6），[6，7），[7，8），[8，9）的四组人群中，按等比例分层抽样的方法抽取60人，则在日平均睡眠时长为[5，6）的人群中应抽取多少人？解：（1）由频率分布直方图可知，（0.05+0.12+0.36+a +0.09+0.05）×1＝1，解得a ＝0.33． （2）日平均睡眠时长的众数的估计值是6+72=6.5，日睡眠时长平均数的估计值是：4.5×0.05+5.5×0.12+6.5×0.36+7.5×0.33+8.5×0.09+9.5×0.05＝6.94．（3）根据样本[5，6），[6，7），[7，8），[8，9）的四组人群比为4：12：11：3， 则日平均睡眠时长在[5，6）的人群中应抽取60×44+12+11+3=8人．18．（12分）如图，在长方体木块ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝6，BC ＝5，AA 1＝4．棱A 1B 1上有一动点E ． （1）若A 1E ＝2，过点E 画一个与棱BC 平行的平面α，使得α与此长方体的表面的交线围成一个正方形EFGH （其中交线GH 在平面ABCD 内）．在图中画出这个正方形EFGH （不必说出理由），并求平面EFGH 将长方体分成的两部分的体积比；（2）若平面AEC 1交棱CD 于Q ，求四边形AEC 1Q 的周长的最小值．解：（1）分别在C 1D 1，AB ，CD 上取F ，H ，G 使D 1F ＝2，AH ＝DG ＝5，交线围成的正方形EFGH ，如图，因为长方体被平面α（正方形EFGH ）分成两个高为5的直棱柱， 其体积比为他们各自的底面的面积比，即S A 1EGA ：S BGEB 1=(A 1E+AG)×A 1A 2：(BG+B 1E)×B 1B 2=75，所以其体积的比值为75．（2）平面AEC 1交棱CD 于Q ，因为平面ABB 1A 1∥平面DCC 1D 1，平面ABB 1A 1∩平面AEC 1Q ＝AE ， 平面DCC 1D 1∩平面AEC 1Q ＝C 1Q ，所以C 1Q ∥AE ，同理可得C 1E ∥AQ ，所以四边形AEC 1Q 为平行四边形．其周长最小当且仅当AE +EC 1最小，将平面ABB 1A 1沿A 1B 1翻折到与平面A 1B 1C 1D 1同一水平面，当A ，E ，C 1三点共线时，AE +EC 1最小为√62+(5+4)2=3√13， 故四边形AEC 1Q 周长最小为6√13．19．（12分）从①A =π6，②B =π6，③△ABC 的周长为6，三个条件中选择一个，补充在下面的问题中，再回答后面的问题．在锐角△ABC 中，已知BC ＝2，_____，求△ABC 面积的取值范围． 解：设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ， 选择①：由正弦定理，a sinA=b sinB=c sinC，A =π6，a ＝2，可得b ＝4sin B ，c ＝4sin C ．且sin C ＝sin （A +B ）＝sin （π6+B ），所以bc ＝16sin （π6+B ）sin B ＝16（12cos B sin B +√32sin 2B ）＝4[sin2B +√3•（1﹣cos2B ）]＝4（sin2B −√3cos2B ）+4√3=8sin （2B −π3）+4√3，所以S △ABC =12bc sin A =14bc ＝2sin （2B −π3）+√3，在锐角三角形中，0＜B ＜π2，C ＝π−π6−B ＜π2，可得B ＞π3， 所以B ∈（π3，π2），所以2B −π3∈（π3，23π），所以sin （2B −π3）∈（√32，1]，所以S △ABC ∈（2√3，2+√3]；所以△ABC 的面积的取值范围为(2√3，2+√3]． 选择②：由正弦定理，asinA=b sinB=c sinC，B =π6，a ＝2，可得b =1sinA，且sin C ＝sin （A +B ）＝sin （π6+A ），因此，△ABC 的面积为S △ABC =12ab sin C =sin(A+π6)sinA =√32sinA+12cosA sinA =√32+12tanA；在锐角三角形中，0＜A ＜π2，C ＝π−π6−A ＜π2，可得A ＞π3， 所以A ∈（π3，π2），所以tan A ＞√3，所以0＜12tanA 12√3=√36，则√32+12tanA ∈（√32，23√3）． 所以△ABC 的面积的取值范围为（√32，23√3）； 选择③：依题意，A ，B ，C ∈(0，π2)，由余弦定理的推论，{cosA =b 2+c 2−a 22bc ＞0，cosB =c 2+a 2−b22ca ＞0，cosC =a 2+b 2−c 22ab＞0，将a ＝2，b ＝6﹣a ﹣c ＝4﹣c 代入，得32＜c ＜52．又△ABC 的半周长为p ＝3，故△ABC 的面积为 S =√p(p −a)(p −b)(p −c) =√3⋅1⋅(c −1)(3−c) =√3[1−(c −2)2]∈(32，√3]所以△ABC 的面积的取值范围为(32，√3]．20．（12分）已知函数f （x ）＝sin （ωx +φ）在区间(2π3，π)单调，且f(π4)=−f(5π12)，其中ω∈N *，|φ|＜π2． （1）求y ＝f （x ）图象的一个对称中心； （2）求f （x ）的解析式．解：（1）由题意，f （x ）的最小正周期T ≥2（π−2π3）=2π3， 由于5π12−π4=π6＜T 2=π3，故y ＝f （x ）图象的一个对称中心的横坐标为5π12+π42=π3，即（π3，0）是y ＝f （x ）图象的一个对称中心；（2）由（1）知T ≥2π3，故ω≤3．又因为ω∈N *，所以ω∈{1，2，3}． 由（1）知（π3，0）是y ＝f （x ）图象的一个对称中心，所以π3ω+φ=kπ，即φ＝k π−π3ω，k ∈Z ．①若ω＝1，则φ=kπ−π3，k ∈Z ，又因为|φ|＜π2，所以φ=−π3，此时f （x ）＝sin （x −π3），当x ∈(2π3，π)时，x −π3∈(π3，2π3)，此时f （x ）在(2π3，π)不单调，不合题意： ②若ω＝2，则φ=kπ−2π3，k ∈Z ，又因为|φ|＜π2，所以φ=π3，此时f （x ）＝sin （2x +π3），当x ∈(2π3，π)时，2x +π3∈(5π3，7π3)，此时f （x ）在(2π3，π)单调，符合题意： ③若ω＝3，则φ＝k π﹣π，k ∈Z ，又因为|φ|＜π2，所以φ＝0，此时f （x ）＝sin3x ， 当x ∈(2π3，π)时，3x ∈（2π，3π），此时f （x ）在(2π3，π)不单调，不合题意： 综上，ω＝2，φ=π3，故f （x ）的解析式为f （x ）＝sin （2x +π3）．21．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD ＝DC ． （1）证明：平面P AC ⊥平面PBD ；（2）点H 在棱PC 上，当二面角H ﹣DB ﹣C 的余弦值为13时，求CH CP．证明：（1）连结AC ，∵底面ABCD 是正方形， ∴AC ⊥BD又∵侧棱PD ⊥底面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， ∴PD ⊥AC ． PD ∩BD ＝D ， ∴AC ⊥平面PBD ， 又∵AC ⊂平面P AC ，∴平面P AC ⊥平面PBD ．（2）解：过H 作HE ⊥DC 交DC 于E ， 过E 作EF ⊥BD 于F ，连接HF ， 在平面PDC 中，PD ⊥DC ，HE ⊥DC ， ∴EH ∥PD ， ∴EH ⊥平面ABCD ，又BD ⊂平面ABCD ，∴HE ⊥BD ，又∵EF ⊥BD ，EF ∩EH ＝E ，∴BD ⊥平面HEF ， 又HF ⊂平面HEF ，∴BD ⊥HF ，∴∠EFH 为二面角H ﹣DB ﹣C 的平面角， 二面角H ﹣DB ﹣C 的余弦值为13，故cos ∠EFH =13，sin ∠EFH =√1−cos 2∠EFH =√1−(13)2=2√23， 故tan ∠EFH =sin∠EFHcos∠EFH=2√2313=2√2， 设CH ＝λCP ，则HE ＝λPD ，CE ＝λCD ，ED ＝（1﹣λ）CD ． 在Rt △DFE 中，∠FDE ＝45°，∴EF =√22(1−λ)CD ．在Rt △HEF 中，tan ∠EFH =HEEF =λPD 22(1−λ)DC =λ22(1−λ)=2√2，∴λ=23．所以，当二面角H ﹣DB ﹣C 的余弦值为13时，CH CP=23．22．（12分）地球自西向东自转，造成了太阳每天东升西落运动．因这种现象是地球自转造成的人的视觉效果，所以天文学上把这种运动称为太阳周日视运动，其实质是地球自转的一种反映．研究太阳周日视运动轨迹对分析地球气候、计算当地日出日落时间、理解昼夜长短变化现象、设计建筑物日照时长等有重要意义．太阳周日视运动轨迹与太阳直射地球点有关，也与观测者当地的纬度有关．如图为春分（或秋分）日北纬45°某地（如我国哈尔滨、松原、鸡西等地区）的太阳周日视运动轨迹图，O 为当地观测者位置，圆平面ESWN 是观测者所在的地平面．直线P 1P 2为天轴，其垂直于太阳周日视运动轨迹所在圆平面EAWC ，且与直线NS 在同一圆面上．两直线P 1P 2和NS 相交于点O ，夹角∠P 1ON 为45°．太阳早上6：00从正东方E 点的地平面升起，中午12：00处于天空最高点A ，傍晚6：00从正西方W 点处落入地平面．（1）太阳周日视运动轨迹所在圆平面EAWC与地平面ESWN所成锐二面角的平面角为多少？（2）若图上B点为下午3：00太阳所在位置，此时阳光入射当地地平面的角度（即直线BO与地平面ESWN的夹角）为多少？解：（1）∵平面EAWC∩平面ESWN＝EW，AO⊥EW，SO⊥EW，∴∠AOS为圆平面EAWC与地平面ESWN的锐二面角．在半圆NAS中，尖角∠P1ON为45°，∠P1OA为90°，∴∠AOS＝180°﹣45°﹣90°＝45°，故圆平面EAWC与地平面ESWN所成的锐二面角为45°．（2）过B作BG⊥平面ESWN，BG与平面ESWN交G，如图所示：∴∠BOG为直线BO与地平面的夹角．过B作BH⊥直线EW，BH与直线EW交于H，连接OG，OH．∵BG⊥平面ESWN，EW⊂平面ESWN，∴BG⊥EW，又∵EW⊥BH，BG∩BH＝B，∴EW⊥平面BGH，∴∠BHG＝45°．B点为下午3：00太阳所在位置，∠AOB＝∠BOW＝45°，∴BH=√22OB，BG=√22BH=12OB．在直角三角形BOG中，sin∠BOG=BGBO=12，即直线BO与地平面的夹角30°，故若图上B点为下午3：00太阳所在位置，此时阳光入射当地地平面的角度（即直线BO与地平面ESWN 的夹角）为30°．第21页（共21页）。

广东高一高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.集合的另一种表示法是：（）A．B．C．D．2.点P位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3.已知角的终边经过点，则角的最小正值是（）A．B．C．D．4.函数的实数解落在的区间是( )A．B．C．D．5.下列命题中正确的是（）A．B．C．D．6.将函数的图像上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是（）A．B．C．D．7.下列图形可以表示为以为定义域，以为值域的函数是（）8.给定性质：①最小正周期为，②图象关于直线对称，则下列四个函数中，同时具有性质①②的是（）A．B．C．D．9.向量，，若与平行，则等于( )A．B．C．D．10.已知函数的图象是连续不断的，有如下、的对应填表：123456则函数在区间上的零点至少有（）个A、3B、2C、4D、5二、填空题1.函数的定义域是______；值域是______.2.若=，=，则="_________"3.三个数，，的大小关系是 _4.不等式的解集是．三、解答题1.（本小题满分12分）（1）计算：（2）化简：2.（本小题满分12分）求不等式中的x的取值范围.3.（本小题满分12分）设是两个不共线的向量，，若A、B、D三点共线，求k的值.4.（本小题满分12分）（1）已知,,求；（2）求的值。

5.（本小题满分14分）已知函数(1) 求a的值；(2) 证明的奇偶性；(3)6.（本小题满分18分）知函数的图象的一部分如下图所示。

（1）求函数的解析式；（2广东高一高中数学期末考试答案及解析一、选择题1.集合的另一种表示法是：（）A．B．C．D．【答案】B【解析】集合的另一种表示法是：。

【考点】集合的表示方法。

点评：直接考查集合的表示方法：列举法，属于基础题型。

广东高一高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.集合，，则（）A．B．C．D．2.若，，，则有（）A．B．C．D．3.函数的零点所在的区间为（）A．B．C．D．4.函数则（）A．B．C．D．5.已知定义域为R的偶函数在（－∞，0]上是减函数，且，则不等式的解集为（）A．B．C．D．6.已知直线不经过第三象限，则应满足（）A．，B．，C．，D．，7.在正四面体中，若为棱的中点，那么异面直线与所成的角的余弦值等于（）A．B．C．D．8.已知是空间两条不重合的直线，是两个不重合的平面，则下列命题中正确的是（）A．，，B．，，C．，，D．，，9.已知三个顶点的坐标分别为，，，则的面积为（）A．B．C．D．10.已知圆锥的全面积是底面积的倍，那么这个圆锥的侧面积展开图扇形的圆心角为（）A．90度B．120度C．150度D．180度11.已知圆的标准方程为，直线的方程为，若直线和圆有公共点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．12.设直三棱柱的体积为，点分别在侧棱上，且，则四棱锥的体积为（）A．B．C．D．二、填空题1.计算．2.已知符号函数，则函数的零点个数为．3.已知某几何体的三视图的侧视图是一个正三角形，如图所示，则该几何体的体积等于___________4.半径为，且与圆外切于原点的圆的标准方程________________．三、解答题1.已知函数，其中为常数．（1）若，判断函数的奇偶性；（2）若函数在其定义域上是奇函数，求实数的值．2.已知函数（）．（1）若，求的单调区间；（2）若函数的定义域为，求实数的取值范围．3.如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，．平面，点为的中点．（1）求证：平面；（2）求证：．4.已知圆过点和，且与直线相切．（1）求圆的方程；（2）设为圆上的任意一点，定点，当点在圆上运动时，求线段中点的轨迹方程．5.如图，在直三棱柱中，平面侧面，且．（1）求证：；（2）若，求锐二面角的大小．6.已知圆的标准方程为，圆心为，直线的方程为，点在直线上，过点作圆的切线，，切点分别为，．（1）若，试求点的坐标；（2）若点的坐标为，过作直线与圆交于两点，当时，求直线的方程；（3）求证：经过，，三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．广东高一高中数学期末考试答案及解析一、选择题1.集合，，则（）A．B．C．D．【解析】，所以．故D正确．【考点】集合的运算．【易错点睛】本题主要考查集合的运算，属容易题．本题中集合，集合均用描述法给出，且代表元素均为点的坐标形式，即集合与集合取交集后集合中的元素也应为点的坐标形式，而不是数字的形式．解题时一定要注意，否则极易出错．2.若，，，则有（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，，即；；．．故B正确．【考点】指数函数，对数函数的单调性．【方法点睛】本题主要考查用指数函数，对数函数的单调性比较大小的问题，难度一般．比较大小常用的方法有：作差法，插入数法，单调性法，图像法等．有时几种方法可能需同时使用．3.函数的零点所在的区间为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】函数在定义域内单调递增，且为连续函数，又，且．所以函数的零点所在区间为．故C正确．【考点】零点存在性定理．4.函数则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，．故A正确．【考点】分段函数求值．5.已知定义域为R的偶函数在（－∞，0]上是减函数，且，则不等式的解集为（）A．B．C．D．【解析】为偶函数又，．为偶函数且在上单调递减，在上单调递增．所以或，即或．解得或．故A正确．【考点】1函数的奇偶性；2用单调性解不等式．6.已知直线不经过第三象限，则应满足（）A．，B．，C．，D．，【答案】B【解析】当均不为0时直线斜率存在且不为0，此时斜率，纵截距．直线不经过第三象限，所以．故B正确．【考点】直线．7.在正四面体中，若为棱的中点，那么异面直线与所成的角的余弦值等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】取中点，连接．分别为中点，且．或其补角为异面直线所成的角．令正四面体边长为2，则易得．在中．所以异面直线所成的角的余弦值为．（也可根据为等腰三角形取底边中点，在直角三角形中求的余弦值）故A正确．【考点】异面直线所成的角．【方法点睛】本题主要考查异面直线所成的角，难度一般．求异面直线所成角的主要方法为平移法，即将两条直线平移成两条相交线，平移后两条相交线所成的锐角或直角即为两异面直线所成的角．求异面直线所成角的步骤：1平移，将两条异面直线平移成相交直线．2定角，根据异面直线所成角的定义找出所成角．3求角，在三角形中用余弦定理或正弦定理或三角函数求角．4结论．8.已知是空间两条不重合的直线，是两个不重合的平面，则下列命题中正确的是（）A．，，B．，，C．，，D．，，【答案】D【解析】A不正确，也有可能；B不正确，也有可能；C不正确，可能或或；D正确，，，，．【考点】1线面位置关系；2线面垂直．9.已知三个顶点的坐标分别为，，，则的面积为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】直线的斜率，所以直线方程为，即．点到直线的距离为．，．故C正确．【考点】1直线方程；2两点间距离，点到线的距离．10.已知圆锥的全面积是底面积的倍，那么这个圆锥的侧面积展开图扇形的圆心角为（）A．90度B．120度C．150度D．180度【答案】D【解析】设圆锥底面半径为，母线长为．圆锥的侧面积，圆锥底面积．由题意可知，解得．则这个圆锥的侧面积展开图扇形的圆心角为．故D正确．【考点】1圆锥的全面积；2圆心角．11.已知圆的标准方程为，直线的方程为，若直线和圆有公共点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】圆心到直线的距离，因为直线和圆有公共点，所以解得．故B正确．【考点】直线与圆的位置关系．【方法点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系问题，难度一般．判断直线与圆的位置关系有两种方法，法一几何法，求圆心到直线的距离，若则直线与圆相交；若则直线与圆相切；若则直线与圆相离．法二代数法，将直线与圆方程联立消去（或）得关于（或）的一元二次方程，看其判别式，若则直线与圆相交；若则直线与圆相切；若则直线与圆相离．12.设直三棱柱的体积为，点分别在侧棱上，且，则四棱锥的体积为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】为直三棱柱，且，．．故C正确．【考点】棱锥的体积．二、填空题1.计算．【答案】【解析】．【考点】1对数的运算；2指数的运算．2.已知符号函数，则函数的零点个数为．【答案】3【解析】时；时；时．．．当时令，即，解得>1成立；当时令，即，解得，成立；当时令，即，解得，成立．综上可得解得或或．所以函数的零点个数为3．【考点】1新函数；2函数的零点．3.已知某几何体的三视图的侧视图是一个正三角形，如图所示，则该几何体的体积等于___________【答案】【解析】由三视图可知此几何体为一个直三棱柱被截取一角所得的几何体，其体积为．【考点】1三视图；2几何体的体积．【易错点晴】本题主要考查的是三视图和空间几何体的体积，属于容易题．解题时要看清楚是求表面积还是求体积，否则很容易出现错误．本题先根据三视图判断几何体的结构特征，再计算出几何体的体积即可．4.半径为，且与圆外切于原点的圆的标准方程________________．【答案】【解析】将圆的方程变形为，可知圆心为，．两圆外切切点为．所以直线方程为．则可设所求圆的圆心为，又所求圆的半径为，则，解得．即所求圆的圆心为，所以所求圆的方程为．【考点】1圆的方程；2两圆位置关系．【思路点睛】本题主要考查圆的方程及两圆的位置关系，难度一般．两圆外切时两圆圆心与切点三点共线，由已知圆的圆心及切点可求得三点所在直线方程，从而可设出所求圆的圆心坐标，根据圆心与切点间的距离即为半径可求得圆心，从而可求得圆的标准方程．三、解答题1.已知函数，其中为常数．（1）若，判断函数的奇偶性；（2）若函数在其定义域上是奇函数，求实数的值．【答案】（1）函数在其定义域上为奇函数；（2）或．【解析】（1）先求函数的定义域，看是否关于原点对称，若不对称则此函数为非奇非偶函数；若对称当时为偶函数，当时为奇函数．（2）因为此函数为奇函数则，根据对应系数相等可得的值．试题解析：解：（1）当时，，其定义域为R．此时对任意的，都有所以函数在其定义域上为奇函数．（2）若函数在其定义域上是奇函数，则对定义域内的任意，有：整理得：，即：对定义域内的任意都成立．所以当时，，定义域为R；当时，，定义域为．所以实数的值为或．【考点】函数的奇偶性．【方法点睛】本题主要考查函数奇偶性的定义，属容易题．判断函数奇偶性时应先看其定义域，看定义域是否关于原点对称，若不对称则此函数为非奇非偶函数；若对称当时为偶函数，当时为奇函数；当且时，为非奇非偶函数．2.已知函数（）．（1）若，求的单调区间；（2）若函数的定义域为，求实数的取值范围．【答案】（1）的单调增区间为，单调减区间为；（2）．【解析】（1）先求的定义域．再判断在区间上的单调性，又在其定义域上为增函数，根据复合函数单调性口诀：同增异减判断函数在区间上的单调性．（2）的定义域为等价于恒成立．显然时恒成立，时只需图像开口向上和轴无交点，即且．试题解析：解：（1）当时，，即，解得：所以函数的定义域为设，则关于在为增函数．由复合函数的单调性，的单调区间与的单调区间一致．二次函数的对称轴为所以在单调递增，在单调递减．所以的单调增区间为，单调减区间为．（2）当时，为常数函数，定义域为，满足条件．当时，的定义域为等价于恒成立．于是有，解得：综上所述，实数的取值范围是．【考点】1对数函数定义域；2复合函数的单调性．3.如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，．平面，点为的中点．（1）求证：平面；（2）求证：．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析．【解析】（1）连接，与相交于点，连接．由中位线易证得，由线面平行的性质定理可证得平面．（2）由已知条件可得三边间的关系，由勾股定理可证得．由平面可得，根据线面垂直的判定定理可得平面，从而可得．试题解析：（1）证明：连接，与相交于点，连接，∵是平行四边形，∴是的中点．∵为的中点，∴．∵平面，平面，∴平面．（2）证明：∵平面，平面，∴．方法1：∵，设，，过点作的垂线交于点．∵，∴∵∴∴．∴．∵，平面，平面，∴平面．∵平面，∴．方法2：∵，，∴．∴．∴．∵，平面，平面，∴平面．∵平面，∴．【考点】1线面平行；2线线垂直，线面垂直．【方法点睛】本题主要考查的是线面平行，线线垂直，线面垂直，属于中档题．证明线面平行的关键是证明线线平行，常用方法有：中位线，平行四边形，平行线分线段成比例逆定理等；证明线面垂直常用其判定定理证明，关键是证明线线垂直，证明线线垂直常用的方法有：由线面垂直得线线垂直、勾股定理证直角三角形、等腰三角形的“三线合一”和菱形、正方形的对角线．4.已知圆过点和，且与直线相切．（1）求圆的方程；（2）设为圆上的任意一点，定点，当点在圆上运动时，求线段中点的轨迹方程．【答案】（1），或；（2）或．【解析】（1）根据弦的中垂线过圆心可知圆心在线段的中垂线上，先求的中垂线，设圆心，半径．根据直线与圆相切可得圆心到直线的距离等于半径，从而可求得圆心坐标．可得圆的标准方程．（2）设点坐标为，点坐标为．由中点坐标公式可用分别表示，将点代入圆的方程从而可得关于点的轨迹方程．试题解析：解：（1）圆心显然在线段的垂直平分线上，设圆心为，半径为，则：圆的标准方程为，由点在圆上得：，又圆与直线，有．于是解得：，或所以圆的标准方程为，或（2）设点坐标为，点坐标为，由为的中点，，则，即：又点在圆上，若圆的方程为，有：，则，整理得：此时点的轨迹方程为：．若圆的方程为，有：，则，整理得：此时点的轨迹方程为：综上所述：点M的轨迹方程为，或【考点】1圆的方程；2代入法求轨迹方程．5.如图，在直三棱柱中，平面侧面，且．（1）求证：；（2）若，求锐二面角的大小．【答案】（1）详见解析；（2）．【解析】（1）取的中点，连接，由等腰三角形三线合一可得，再由面面垂直的性质定理可得，从而可得．由，可得．根据线面垂直的判定定理可得侧面，从而可得．（2）过点A作于点，连．易证得面，从而可得，由二面角的定义可知即为二面角的一个平面角，在中可求得．试题解析：解：（1）证明：如图，取的中点，连接，因，则由平面侧面，且平面侧面，得，又平面，所以．因为三棱柱是直三棱柱，则，所以．又，从而侧面，又侧面，故．（2）解：过点A作于点，连．由（1）知，则，且∴即为二面角的一个平面角且直角中：又，∴，由二面角为锐二面角∴，即二面角的大小为【考点】1线线垂直，线面垂直；2二面角．【方法点晴】本题主要考查的是线线垂直、线面垂直、二面角，属于中档题．证明线面垂直的关键是证明线线垂直，证明线线垂直常用的方法是线面垂直得线线垂直，直角三角形、等腰三角形的“三线合一”和菱形、正方形的对角线；求二面角的方法主要有定义法，垂面法等．6.已知圆的标准方程为，圆心为，直线的方程为，点在直线上，过点作圆的切线，，切点分别为，．（1）若，试求点的坐标；（2）若点的坐标为，过作直线与圆交于两点，当时，求直线的方程；（3）求证：经过，，三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．【答案】（1）或；（2）或；（3）详见解析．【解析】（1）点在直线上，设，由对称性可知，可得，从而可得点坐标．（2）分析可知直线的斜率一定存在，设其方程为：．由已知分析可得圆心到直线的距离为，由点到线的距离公式可求得的值．（3）由题意知，即．所以过三点的圆必以为直径．设，从而可得圆的方程，根据的任意性可求得此圆所过定点．试题解析：解：（1）直线的方程为，点在直线上，设，由题可知，所以，解之得：故所求点的坐标为或．（2）易知直线的斜率一定存在，设其方程为：，由题知圆心到直线的距离为，所以，解得，或，故所求直线的方程为：或．（3）设，则的中点，因为是圆的切线，所以经过三点的圆是以为圆心，以为半径的圆，故其方程为：化简得：，此式是关于的恒等式，故解得或所以经过三点的圆必过定点或．【考点】1直线与圆的位置关系问题；2过定点问题．。

广东高一高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.设全集U=,则（）A．B．C．D．2.（）A．B．C．D．3.下列函数在其定义域内，既是奇函数又是单调递增函数的是（）A．B．C．D．4.设，则=（）A．-1B．-2C．1D．25.设，，，则下列不等式成立的是（）A．B．C．D．6.为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（）A．把各点的横坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位长度；B．把各点的横坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位长度；C．把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位长度；D．把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位长度。

7.设扇形的周长为8，面积为4，则扇形的圆心角是（）radA．1B．2C．D．1或2[8.若，则的值为（）A．B．C．D．9.函数的零点个数为（）A．0B．1C．2D．310.若在上，有两个不同的实数值满足方程=，则的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题1.幂函数的图像经过点（2，），则= ．2.已知函数的图像恒过定点P，则P的坐标为．3.设，则下列结论正确的是：．①的最小正周期为；②的图像关于直线对称；③的图像关于点（，0）对称；④把图像左移个单位，得到一个偶函数的图像；⑤在上为单调递增函数。

4.函数的值域为：．三、解答题1.（本题满分12分）计算以下式子的值：（1）；（2）．2.（本小题满分12分）已知，（1）求及；（2）求的值．3.（本小题满分14分）已知（1）求的最小正周期及；（2）求的单调增区间；（3）当时，求的值域．4.（本小题满分14分）已知函数的图像如图所示，（1）求的解析式；（2）若，，求的值．5.（本小题满分14分）某租凭公司拥有汽车100辆，当每辆汽车的月租为3000元时，可全部租出，当每辆车的月租金增加50元时，未租出的车辆会增加一辆，租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每月需要维护费50元。

广东高一高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知集合，，则等于（）A．B．C．D．2.函数的定义域为（）A．B．C．D．3.若，且是第二象限角，则的值等于（）A．B．C．D．4.等于（）A．B．C．D．5.已知，则的值为（）A．B．C．D．6.为得到函数的图象，只需将函数的图象（）A．向右平移个长度单位B．向左平移个长度单位C．向右平移个长度单位D．向左平移个长度单位7.电流强度（安）随时间（秒）变化的函数（，）的图象如图所示，则当时，电流强度是（）A．安B．安C．安D．安8.方程的解所在区间是（）A．B．C．D．9.若函数在区间上的最大值比最小值大，则（）A．B．C．D．10.已知函数，，且在上是增函数，则不等式的解集为（）A．B．C．D．二、填空题1.若扇形的圆心角为，半径为，则扇形的面积为____________2.已知函数若，则实数的值等于_________3.已知，则____________4.已知是定义在上的偶函数，且满足，当时，，则___________三、解答题1.（本小题12分）已知函数（1）求的值；（2）求函数的最大值，并求取最大值时取值的集合；（3）求函数的单调增区间。

2.（本小题满分l2分）已知函数。

（1）求函数的最小正周期；（2）若，且，求的值。

3.（本小题满分l4分）已知函数（其中）的图象如下图所示。

（1）求，及的值；（2）若，且，求的值.。

4.．（本小题满分l4分）已知函数有唯一的零点.（1）求的表达式；（2）若在区间上具有单调性，求实数的取值范围；（3）若在区间上的最大值为4，求的值。

5.．（本小题满分14分）甲乙两人连续年对某县农村鳗鱼养殖业的规模(总产量)进行调查,提供了两个方面的信息,分别得到甲、乙两图：甲调查表明：每个鱼池平均产量从第年万只鳗鱼上升到第年万只。

乙调查表明：全县鱼池总个数由第年个减少到第年个。

广东高一高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.若，则A．B．C．D．2.如果，那么下列不等式成立的是A．B．C．D．3.点P（-5,7）到直线的距离是A．2B．C．D．4.已知幂函数的图像过点，则此函数是A．偶函数B．奇函数C．非奇非偶函数D．既是偶函数又是奇函数5.若直线不平行于平面，且，则下列结论成立的是：A．内的所有直线与异面B．内不存在与平行的直线C．内存在唯一的直线与平行D．内的直线与都相交6.函数的值域是A．B．C．D．7.某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的，如果某台计算机感染上这种病毒，那么它就会在下一轮病毒发作时传播一次病毒，并感染其它20台未感染病毒的计算机。

现有一台计算机被第一轮病毒感染，问被第4轮病毒感染的计算机有（）台.A． 60B． 400C． 8000D． 1600008.函数的定义域是A．（）B．（C．D．9.设集合，若，则实数的值是A．1B．-1C．D．0 或10.已知两条不同直线相交，则的取值是A．B．C．或D．且二、填空题1.直线的倾斜角为__________.2.如图1是一个圆柱的三视图，则此圆柱的侧面积是 _____.3.若，则 ______ .4.某学校举办运动会时，高一（1）班共有26名学生参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，则同时参加球类比赛和田径比赛的学生有人.三、解答题1.（本题满分12分）（1）计算：（2）计算：2.（本题满分12分）求满足下列条件的直线的方程.（1）经过点A（3，2），且与直线平行；（2）经过点B（3，0），且与直线垂直.3.（本题满分14分）如图2，正方体中，分别是棱的中点.（1）求证：直线∥平面；（2）求证：平面∥平面.4.（本题满分14分）已知矩形的周长为，面积为.（1）当时，求面积的最大值；（2）当时，求周长的最小值.5.19.（本题满分14分）如图3：在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，其它四个侧面都是侧棱长为的等腰三角形.（1）求二面角的平面角的大小；（2）求四棱锥的体积.6.（本题满分14分）如图4，是边长为2的正三角形，记位于直线左侧的图形的面积为.（1）求函数解析式；（2）画出函数的图像；（3）当函数有且只有一个零点时，求的值.广东高一高中数学期末考试答案及解析一、选择题1.若，则A．B．C．D．【答案】A【解析】所以故选A2.如果，那么下列不等式成立的是A．B．C．D．【答案】D【解析】函数是增函数，；A错误；函数是减函数，；B错误;函数是增函数，；C错误函数是减函数，D正确。

2023-2024学年广东省潮州市高一下学期7月期末数学试题❖一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知i是虚数单位，则复数的虚部为()A. B.2i C. D.2.棱长为4的正方体的内切球的体积为()A. B. C. D.3.在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若、、，则等于()A. B.C. D.4.已知某校高一、高二、高三的学生志愿者人数分别为240、160、现采用分层抽样的方法从中抽取n 名同学去某敬老院参加慈善活动，其中高一年级被抽取的人数为9，则n等于()A.21B.24C.27D.305.已知某种设备在一年内需要维修的概率为用计算器产生之间的随机数，当出现随机数1时，表示一年内需要维修，其概率为，由于有3台设备，所以每3个随机数为一组，代表3台设备一年内需要维修的情况，现产生20组随机数如下：412451312533224344151254424142435414335132123233314232353442据此估计一年内至少有1台设备需要维修的概率为()A. B. C. D.6.正四棱台中，上底面的边长为2，下底面ABCD的边长为4，棱台的高为1，则该四棱台的侧棱长为()A. B. C. D.7.如图，在中，，P是线段BD上一点，若，则实数m的值为()A. B. C.2 D.8.已知空间四边形ABCD中，E、F分别是AC、BD的中点，若，，，则EF 与CD所成的角为()A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.维生素C又叫抗坏血酸，是种水溶性维生素，是高等灵长类动物与其他少数生物的必需营养素，现从猕猴桃、柚子两种食物中测得每100克维生素C的含量单位：，得到数据如下.则下列说法正确的是()猕猴桃102104106107113116119121132134柚子109113114116117121121122131132A.每100克柚子维生素C含量的众数为121B.每100克柚子维生素C含量的分位数为122C.每100克猕猴桃维生素C含量的极差高于每100克柚子维生素C含量的极差D.每100克猕猴桃维生素C含量的平均数高于每100克柚子维生素C含量的平均数10.已知i是虚数单位，复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数m的取值可以是()A.0B.1C.3D.511.下列命题正确的是()A.若向量、满足，则或B.若向量、满足，则向量、的夹角为钝角C.若，，则向量在向量方向上的投影向量为D.设、是同一平面内两个不共线的向量，若，，则、可作为该平面的一个基底三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

广州市高一第二学期期末考试数学试题(含参考答案)广州市第二学期期末考试试题本试卷共4页，22小题，全卷满分150分，考试时间120分钟。

高一数学第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题所给的四个选项中，只有一个是正确的。

1.与-60角的终边相同的角是A.300B.240C.120D.602.不等式x-2y+4>0表示的区域在直线x-2y+4=0的A.左上方B.左下方C.右上方D.右下方3.已知角α的终边经过点P(-3,-4)，则cosα的值是A.-4/5B.-3/5C.-5/3D.5/34.不等式x-3x-10>0的解集是A.{x|-2≤x≤5}B.{x|x≥5,或x≤-2}C.{x|-25,或x<-2}5.若sinα=-3/5，α是第四象限角，则cos(π/4+α)的值是A.4/5B.7/10C.1/10D.1/76.若a,b∈R，下列命题正确的是A.若a>|b|，则a>bB.若a<b，且a≠-b，则a+b<0C.若a≠|b|，则a≠bD.若a>b，则a-b<07.要得到函数y=3sin(2x+π/5)图象，只需把函数y=3sin2x 图象A.向左平移π/5个单位B.向右平移π/5个单位C.向左平移π/2个单位D.向右平移π/2个单位8.已知M是平行四边形ABCD的对角线的交点，P为平面ABCD内任意一点，则PA+PB+PC+PD等于A.4PMB.3PMC.2PMD.PM9.已知sinα=-17/46，cosα=15/46，则sinα+cosα的值是A.-17/46B.15/46C.-7/46D.7/4610.已知直角三角形的两条直角边的和等于4，则直角三角形的面积的最大值是A.4B.2√2C.2D.2/√211.已知点(n,a_n)在函数y=2x-13的图象上，则数列{a_n}的前n项和S_n的最小值为A.36B.-36C.6D.-612.若钝角ΔABC的内角A,B,C成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为m，则m的取值范围是A.(1,2) (2,+∞)B.(0,1)C.[3,+∞)D.(3,+∞)第Ⅱ卷(非选择题共90分)本参考答案仅供参考，具体评分以考试时学校出题人和阅卷老师为准。

2022-2023学年广东省深圳市高一（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A ＝{﹣1，0，1，2}，B ＝{x |0＜x ＜3}，则A ∩B ＝（ ） A ．{﹣1，0，1}B ．{0，1}C ．{﹣1，1，2}D ．{1，2}2．（5分）设复数z 满足iz ＝1+i （i 是虚数单位），则|z |＝（ ） A ．12B ．2C ．√22D ．√23．（5分）已知tan α＝2，则cos2α＝（ ） A ．45B ．35C ．−45D ．−354．（5分）某户居民今年上半年每月的用水量（单位：t ）如下：小明在录入数据时，不小心把一个数据9.6录成96，则这组数据中没有发生变化的量是（ ） A ．平均数B ．中位数C ．极差D ．标准差5．（5分）已知m ，n 是空间两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题错误的是（ ） A ．m ∥α，m ⊂β，α∩β＝n ，则m ∥n B ．m ∥n ，m ∥α，n ⊄α，则n ∥α C ．α⊥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ⊥n D ．α⊥β，m ⊥α，n ⊥β，则m ⊥n6．（5分）在梯形ABCD 中，若AB →=2DC →，且AC →=xAB →+yAD →，则x +y ＝（ ） A ．32B ．2C ．52D ．37．（5分）已知正实数m ，n 满足m +n ＝2，则下列不等式恒成立的为（ ） A ．lnm +lnn ≥0B ．m 2+n 2≤2C ．1m+1n≥2 D ．√m +√n ≤√28．（5分）已知函数f （x ）＝e x +e ﹣x +lg |x |，则不等式f （x +1）＞f （2x ﹣1）的解集为（ ） A ．（0，2） B ．(0，12)∪(12，2)C ．（0，3）D ．(0，12)∪(12，3)二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（多选）9．（5分）已知函数f(x)=cos(2x+π6)，则（）A．f（x）的最小正周期为πB．f（x）的图象关于(−π12，0)对称C．f（x）的图象关于x=5π12对称D．f（x）在(0，π2)上单调递减（多选）10．（5分）将一枚质地均匀的骰子抛掷两次，记事件A＝“第一次出现奇数点”，事件B＝“两次点数之积为偶数”，事件C＝“两次点数之和为5”，则（）A．事件A∪B是必然事件B．事件A与事件B是互斥事件C．事件B包含事件CD．事件A与事件C是相互独立事件（多选）11．（5分）用[x]表示不超过x的最大整数，例如，[﹣1.2]＝﹣2，[1.5]＝1．已知f（x）＝x+[x]，则（）A．f(12)=12B．f（x）为奇函数C．∃x1＞x2，使得f（x1）＜f（x2）D．方程f（x）＝3x﹣1所有根的和为3 2（多选）12．（5分）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC＝90°，且AB＝BC＝CC1＝2，M为线段BC上的动点，则（）A．AB1⊥A1MB．三棱锥C1﹣AMB1的体积不变C ．|A 1M |+|C 1M |的最小值为3+√5D ．当M 是BC 的中点时，过A 1，M ，C 1三点的平面截三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1外接球所得的截面面积为269π三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．（5分）lg 2+lg 5+π0＝ ．14．（5分）母线长为3的圆锥，其侧面展开图是圆心角为2π3的扇形，则该圆锥的体积为 ．15．（5分）高中数学兴趣小组计划测量某大厦的高度，选取与底部B 在同一水平面内的两个基测点C 与D ．现测得∠BCD ＝15°，∠BDC ＝120°，CD ＝100米，在点C 测得大厦顶A 的仰角∠ACB ＝60°，则该大厦高度AB ＝ 米（精确到1米）． 参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732．16．（5分）四边形ABCD 中，点E ，F 分别是AB ，CD 的中点，AB ＝2，CD =2√2，EF ＝1，点P 满足PA →⋅PB →=0，则PC →⋅PD →的最大值为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知函数f （x ）＝sin （2x +θ），其中θ∈(0，π2)，且f(π6)=1．（1）求θ；（2）若x ∈[0，π4]，求f （x ）的值域．18．（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b ＝2c ﹣2a cos B ． （1）求A ；（2）若a =3√3，c ＝2b ，求△ABC 的面积S ．19．（12分）已知函数f （x ）＝log a x （a ＞0且a ≠1）在[1，8]上的最大值为3． （1）求a 的值； （2）当x ∈[1，8]时，2﹣f （x ）﹣f （x ）+t ⩾0，求实数t 的取值范围．20．（12分）某工厂引进了一条生产线，为了解产品的质量情况，现从生产线上随机抽取100件产品，测量其技术参数，得到如图所示的频率分布直方图．（1）由频率分布直方图，估计样本技术参数的平均数和75%分位数（精确到0.1）；（2）现从技术参数位于区间[40，50），[50，60），[60，70）的三组中，采用分层抽样的方法抽取6件产品，再从这6件产品中任选3件产品，记事件A＝“这3件产品中技术参数位于区间[40，50）内的产品至多1件”，事件B＝“这3件产品中技术参数位于区间[50，60）内的产品至少1件”，求事件A ∩B的概率．21．（12分）如图，三棱锥P﹣ABC的三个顶点A，B，C在圆O上，AB为圆O的直径，且AB＝6，PA=PC=2√2，BC=2√5，平面P AC⊥平面PCB，点E是PB的中点．（1）证明：平面P AC⊥平面ABC；（2）点F是圆O上的一点，且点F与点C位于直径AB的两侧．当EF∥平面P AC时，作出二面角E ﹣BF﹣A的平面角，并求出它的正切值．22．（12分）已知函数f(x)=|14x2−x|，g（x）＝kx，f（x）与g（x）的图象恰有三个交点．（1）求实数k的取值范围；（2）用max{α，β}表示α，β中的最大值，设函数φ（x）＝max{f（x），g（x）}（1⩽x⩽6），用M，m 分别表示φ（x）的最大值与最小值，求M，m，并求出M﹣m的取值范围．附：参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|0＜x＜3}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0，1}B．{0，1}C．{﹣1，1，2}D．{1，2}【解答】解：集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|0＜x＜3}，则A∩B＝{1，2}，故选：D．2．（5分）设复数z满足iz＝1+i（i是虚数单位），则|z|＝（）A．12B．2C．√22D．√2【解答】解：∵iz＝1+i，∴z=1+ii=(1+i)(−i)i(−i)=−i−i2−i2=1﹣i，∴|z|=√1+(−1)2=√2．故选：D．3．（5分）已知tanα＝2，则cos2α＝（）A．45B．35C．−45D．−35【解答】解：因tanα＝2，则cos2α=cos2α−sin2α=cos2α−sin2αcos2α+sin2α=1−tan2α1+tan2α=−35．故选：D．4．（5分）某户居民今年上半年每月的用水量（单位：t）如下：小明在录入数据时，不小心把一个数据9.6录成96，则这组数据中没有发生变化的量是（）A．平均数B．中位数C．极差D．标准差【解答】解：只改变了其中一个数据，根据平均数及标准差的计算公式知，平均数及标准差均发生了变化，实际数据由小到大排序为：4.0，5.9，7.7，9.0，9.6，14.9，中位数为7.7，9.0的平均数，极差为14.9﹣4.0，错误数据由小到大排序为：4.0，5.9，7.7，9.0，14.9，96，中位数为7.7，9.0的平均数，极差为96﹣4.0，所以中位数没有变化，极差变化了．故选：B ．5．（5分）已知m ，n 是空间两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题错误的是（ ） A ．m ∥α，m ⊂β，α∩β＝n ，则m ∥n B ．m ∥n ，m ∥α，n ⊄α，则n ∥α C ．α⊥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ⊥n D ．α⊥β，m ⊥α，n ⊥β，则m ⊥n 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于A ，由平面与平面平行的性质，可得A 正确； 对于B ，由直线与平面平行的判定定理，可得B 正确；对于C ，m 与n 的位置关系不确定，可以平面、相交，也可以异面，C 错误； 对于D ，由平面与平面垂直的性质，D 正确． 故选：C ．6．（5分）在梯形ABCD 中，若AB →=2DC →，且AC →=xAB →+yAD →，则x +y ＝（ ） A ．32B ．2C ．52D ．3【解答】解：∵AB →=2DC →，∴DC →=12AB →，∴AC →=AD →+DC →=AD →+12AB →，∴x =12，y ＝1，∴x +y =32．故选：A ．7．（5分）已知正实数m ，n 满足m +n ＝2，则下列不等式恒成立的为（ ） A ．lnm +lnn ≥0B ．m 2+n 2≤2C ．1m+1n≥2 D ．√m +√n ≤√2【解答】解：对于A ：∵m ＞0，n ＞0，m +n ＝2，∴由基本不等式可得m +n ≥2√mn ， ∴mn ≤1，当且仅当m ＝n ＝1时，等号成立，lnm +lnn ＝lnmn ≤ln 1＝0，故A 错误； ∵2（m ²+n ²）＝（m ²+n ²）+（m ²+n ²）≥m ²+n ²+2mn ＝（m +n ）2＝4，可得m2+n2≥2，当且仅当m＝n＝1时，等号成立，B错误．对于C：1m+1n=12（1m+1n）（m+n）=12（2+nm+mn）≥12（2+2√nm⋅mn）＝2，当且仅当nm=mn，即m＝n＝1时，等号成立，故C正确；（√m+√n）2＝m+n+2√mn≤2（m+n）＝4，因为√m+√n＞0，故√m+√n≤2，当且仅当m＝n＝1时，等号成立，D错误；故选：C．8．（5分）已知函数f（x）＝e x+e﹣x+lg|x|，则不等式f（x+1）＞f（2x﹣1）的解集为（）A．（0，2）B．(0，12)∪(12，2)C．（0，3）D．(0，12)∪(12，3)【解答】解：因为f（x）＝e x+e﹣x+lg|x|，x≠0，所以f（﹣x）＝e x+e﹣x+lg|﹣x|＝e x+e﹣x+lg|x|＝f（x），即f（x）为偶函数，当x＞0时，f（x）＝e x+e﹣x+lgx，f′（x）＝e x﹣e﹣x+1 x ，∵y＝e x与y＝﹣e﹣x在（0，+∞）上均为单调递增，∴y＝e x﹣e﹣x在（0，+∞）上单调递增，∴e x﹣e﹣x＞e0−1e0=0，即当x＞0时，f′（x）＝e x﹣e﹣x+1x＞0恒成立，∴偶函数f（x）＝e x+e﹣x+lg|x|在（0，+∞）上为增函数，∴不等式f（x+1）＞f（2x﹣1）⇔|x+1|＞|2x﹣1|，且x+1≠0，2x﹣1≠0，解得：0＜x＜12，或12＜x＜2．即不等式f（x+1）＞f（2x﹣1）的解集为(0，12)∪(12，2)．故选：B．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（多选）9．（5分）已知函数f(x)=cos(2x+π6)，则（）A．f（x）的最小正周期为πB．f（x）的图象关于(−π12，0)对称C．f（x）的图象关于x=5π12对称D．f（x）在(0，π2)上单调递减【解答】解：函数的最小正周期T=2π2=π，故A正确，f（−π12）＝cos（−π12×2+π6）＝cos0＝1≠0，即函数f（x）的图象关于(−π12，0)不对称，故B错误，f（5π12）＝cos（2×5π12+π6）＝cosπ＝﹣1，即f（x）的图象关于x=5π12对称，故C正确，当0＜x＜π2时，0＜2x＜π，π6＜2x+π6＜7π6，则f（x）不单调，故D错误．故选：AC．（多选）10．（5分）将一枚质地均匀的骰子抛掷两次，记事件A＝“第一次出现奇数点”，事件B＝“两次点数之积为偶数”，事件C＝“两次点数之和为5”，则（）A．事件A∪B是必然事件B．事件A与事件B是互斥事件C．事件B包含事件CD．事件A与事件C是相互独立事件【解答】解：事件A的基本事件有：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），事件B的基本事件有：（1，2），（1，4），（1，6），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，2），（3，4），（3，6）（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），（5，2），（5，4），（5，6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6），事件C的基本事件有：（1，4），（4，1），（2，3），（3，2），事件AC的基本事件有：（1，4），（3，2），A：事件A∪B是必然事件，故正确；B：因为A∩B≠∅，所以事件A与事件B不是互斥事件，故错误；C．因为C⊆B，所以事件B包含事件C，故正确；D．因为P(A)=186×6=12，P(C)=46×6=19，P(AC)=26×6=118，所以P（A）•P（C）＝P（AC），所以事件A与事件C是相互独立事件，故正确；故选：ACD．（多选）11．（5分）用[x]表示不超过x的最大整数，例如，[﹣1.2]＝﹣2，[1.5]＝1．已知f（x）＝x+[x]，则（）A．f(12)=12B．f（x）为奇函数C．∃x1＞x2，使得f（x1）＜f（x2）D．方程f（x）＝3x﹣1所有根的和为3 2【解答】解：对于A，由题意可得f（12）=12+[12]=12+0=12，故正确；对于B，取x＝1.2，则f（1.2）＝1.2+[1.2]＝1.2+1＝2.2，f（﹣1.2）＝﹣1.2+[﹣1.2]＝﹣1.2﹣2＝﹣3.2≠f（1.2），所以f（x）不是奇函数，故错误；对于C，由[x]的定义可知，∀x1＞x2，有[x1]≥[x2]，所以f（x1）﹣f（x2）＝x1+[x1]﹣x2﹣[x2]＝（x1+x2）+[x1]﹣[x2]＞0，即f（x1）＞f（x2），故错误；对于D，f（x）＝3x﹣1，即为x+[x]＝3x﹣1，整理得2x﹣[x]﹣1＝0，所以[x]＝2x﹣1，又因为x﹣1＜[x]≤x，所以x﹣1＜2x﹣1≤x，解得0＜x≤1，当x＝1时，满足方程，即x＝1是方程的根，当0＜x＜1时，x+[x]＝x，方程可转化为x＝3x﹣1，解得x=1 2，故根的和为32，故正确．故选：AD．（多选）12．（5分）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC＝90°，且AB＝BC＝CC1＝2，M为线段BC上的动点，则（）A．AB1⊥A1MB．三棱锥C1﹣AMB1的体积不变C．|A1M|+|C1M|的最小值为3+√5D．当M是BC的中点时，过A1，M，C1三点的平面截三棱柱ABC﹣A1B1C1外接球所得的截面面积为26 9π【解答】解：连接A1B，如图所示，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝BC＝CC1＝2，ABA1B1为正方形，AB1⊥A1B，∠ABC＝90°，BC⊥平面ABB1A1，AB1⊂平面ABB1A1，BC⊥AB1，A1B，BC⊂平面A1BC，A1B∩BC＝B，AB1⊥平面A1BC，A1M⊂平面A1BC，AB1⊥A1M，A选项正确；由直三棱柱的结构特征，V C1−AMB1=V A−B1C1M=13S△B1C1M⋅AB=13×12×B1C1⋅CC1⋅AB=43，故三棱锥C1﹣AMB1的体积为定值，B选项正确；设BM＝t，0≤t≤2，MC＝2﹣t，A1M2=A1A2+AM2=A1A2+AB2+BM2=8+t2，C1M2=C1C2+MC2=22+(2−t)2，|A1M|+|C1M|=√(2√2)2+t2+√22+(2−t)2，其几何意义是点(2√2，0)和点（2，2）到点（0，t）的距离之和，最小值为点(−2√2，0)到点（2，2）的距离，为√16+8√2，C选项错误；当M是BC的中点时，A1M=3，A1C1=2√2，C1M=√5，cos∠MA1C1=A1M2+A1C12−C1M22⋅A1M⋅A1C1=2×3×2√2=√22，sin∠MA1C1=√22，S△MA1C1=12A1C1⋅A1M⋅sin∠MA1C1=12×2√2×3×√22=3，S△CC1M =12×2×1=1，设点C到平面MA1C1的距离为h C，由V C−A1MC1=V A1−CC1M，得3ℎc=2×1，ℎc=23，直三棱柱ABC﹣A1B1C1是正方体的一半，外接球的球心为A1C的中点O，外接球的半径A1O=12A1C=√3，点O到平面MA1C1的距离为ℎO =12ℎC=13，则过A1，M，C1三点的平面截三棱柱ABC﹣A1B1C1外接球所得截面圆的半径为√(√3)2−(13)2=√263，截面面积为269π，D选项正确．故选：ABD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．（5分）lg2+lg5+π0＝2．【解答】解：lg2+lg5+π0＝lg10+1＝2．故答案为：2．14．（5分）母线长为3的圆锥，其侧面展开图是圆心角为2π3的扇形，则该圆锥的体积为2√23π．【解答】解：∵母线长为3的圆锥的侧面展开图的圆心角等于2π3，∴侧面展开图的弧长为：3×2π3=2π，侧面展开图的弧长＝底面周长，即2π＝2πr，∴r＝1，∴圆锥的高h=√9−1=2√2，∴圆锥体积V=13×π×r2×h=2√23π．故答案为：2√23π．15．（5分）高中数学兴趣小组计划测量某大厦的高度，选取与底部B在同一水平面内的两个基测点C与D．现测得∠BCD ＝15°，∠BDC ＝120°，CD ＝100米，在点C 测得大厦顶A 的仰角∠ACB ＝60°，则该大厦高度AB ＝ 212 米（精确到1米）． 参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732．【解答】解：由∠BCD ＝15°，∠BDC ＝120°，可得∠CBD ＝45°，又CD ＝100米， 由正弦定理可得CD sin∠CBD=BC sin∠BDC，即√22=√32，可得BC ＝50√6，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝60°，所以AB ＝BC •tan ∠ACB ＝50√6×√3=150√2≈150×1.414≈212米． 故答案为：212．16．（5分）四边形ABCD 中，点E ，F 分别是AB ，CD 的中点，AB ＝2，CD =2√2，EF ＝1，点P 满足PA →⋅PB →=0，则PC →⋅PD →的最大值为 2 ．【解答】解：以E 为圆心，12AB 为半径作圆，∵EF =1=12AB ，∴F 在圆上，∵PA →⋅PB →=0，∴P 在圆上，∴PC →⋅PD →=14[(PC →+PD →)2−(PC →−PD →)2]=14[(2PF →)2−DC →2]=PF →2−14×(2√2)2=PF →2−2， ∵F ，P 都在以E 为圆心，12AB 为半径的圆上，∴|PF →|max =2r =AB ＝2，∴(PC →⋅PD →)max =(PF →)2max −2=22−2=2． 故答案为：2．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知函数f （x ）＝sin （2x +θ），其中θ∈(0，π2)，且f(π6)=1．（1）求θ；（2）若x ∈[0，π4]，求f （x ）的值域．【解答】解：（1）因为f(π6)=1，代入到f （x ）＝sin （2x +θ），得f （π6）＝sin （π3+θ）＝1，其中θ∈(0，π2)，所以θ=π6；（2）x ∈[0，π4]，（2x +π6）∈[π6，23π]，此时，f （x ）∈[12，1]．18．（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b ＝2c ﹣2a cos B ． （1）求A ；（2）若a =3√3，c ＝2b ，求△ABC 的面积S ． 【解答】解：（1）因为b ＝2c ﹣2a cos B ， 由正弦定理可得2sin C ﹣2sin A cos B ＝sin B ， 而sin C ＝sin （A +B ）＝sin A cos B +cos A sin B ， 代入化简得2cos A sin B ＝sin B ， 因为B ∈（0，π），所以sin B ＞0， 所以cosA =12，因为A ∈（0，π）， 故A =π3；（2）由余弦定理a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ， 由（1）可知A =π3，又a =3√3，c ＝2b ，代入上式可得，27＝b 2+4b 2﹣2b ×2b ×12，解得b ＝3，c ＝6，所以△ABC 的面积S =12bc sin A =12×3×6×√32=9√32．19．（12分）已知函数f （x ）＝log a x （a ＞0且a ≠1）在[1，8]上的最大值为3． （1）求a 的值； （2）当x ∈[1，8]时，2﹣f （x ）﹣f （x ）+t ⩾0，求实数t 的取值范围．【解答】解：（1）当0＜a ＜1时，f （x ）＝log a x 在[1，8]上单调递减， 此时f （x ）max ＝f （1）＝0≠3，不满足题意； 当a ＞1时，f （x ）＝log a x 在[1，8]上单调递增， 此时f （x ）max ＝f （8）＝log a 8＝3， 解得a ＝2； （2）令m ＝log 2x ，因为x ∈[1，8]，所以m ∈[0，3]， 所以2﹣f （x ）﹣f （x ）+t ≥0⇔2﹣m﹣m +t ≥0⇔t ≥m ﹣2﹣m在m ∈[0，3]上恒成立，令g （m ）＝m ﹣2﹣m，m ∈[0，3]，易知g （m ）在[0，3]上为增函数， 所以g （m ）max ＝3﹣2﹣3=238， 所以实数t 的取值范围为[238，+∞）．20．（12分）某工厂引进了一条生产线，为了解产品的质量情况，现从生产线上随机抽取100件产品，测量其技术参数，得到如图所示的频率分布直方图．（1）由频率分布直方图，估计样本技术参数的平均数和75%分位数（精确到0.1）；（2）现从技术参数位于区间[40，50），[50，60），[60，70）的三组中，采用分层抽样的方法抽取6件产品，再从这6件产品中任选3件产品，记事件A ＝“这3件产品中技术参数位于区间[40，50）内的产品至多1件”，事件B ＝“这3件产品中技术参数位于区间[50，60）内的产品至少1件”，求事件A ∩B 的概率．【解答】解：（1）由频率分布直方图可知，平均数为：15×0.1+25×0.25+35×0.3+45×0.15+55×0.1+65×0.05+75×0.05＝37.5，因为0.1+0.25+0.3＝0.65＜0.75，0.1+0.25+0.3+0.15＝0.8＞0.75，所以75%分位数落在[40，50）内，设其为x，则0.65+（x﹣40）×0.015＝0.75，解得x≈46.7，即75%分位数约为46.7；（2）采用分层抽样，根据三个区间的比例关系3：2：1，依次抽取3个，2个，1个，区间[40，50）内的3件产品记为a1，a2，a3，区间[50，60）内的2件产品记为b1，b2，区间[60，70）内的1件产品记为c，从这6件产品中任选3件，所有情况为：（a1，a2，a3），（a1，a2，b1），（a1，a2，b2），（a1，a2，c），（a1，a3，b1），（a1，a3，b2），（a1，a3，c），（a1，b1，b2），（a1，b1，c），（a1，b2，c），（a2，a3，b1），（a2，a3，b2），（a2，a3，c），（a2，b1，b2），（a2，b1，c），（a2，b2，c），（a3，b1，b2，），（a3，b1，c），（a3，b2，c），（b1，b2，c），共20种，事件A∩B分为：①从[40，50）抽0个，从[50，60）里面抽2个，从[60，70）里面抽1个，包含基本事件为：（b1，b2，c），共1种，所以P1=1 20，②从[40，50）抽1个，从[50，60）里面抽1个，从[60，70）里面抽1个，包含基本事件为：（a1，b1，c），（a1，b2，c），（a2，b1，c），（a2，b2，c），（a3，b1，c），（a3，b2，c），共6种，所以P2=620=310，③从[40，50）抽1个，从[50，60）里面抽2个，从[60，70）里面抽0个，包含基本事件为：（a1，b1，b2），（a2，b1，b2），（a3，b1，b2，），共3种，所以P3=3 20，所以P（A∩B）＝P1+P2+P3=120+310+320=12．21．（12分）如图，三棱锥P﹣ABC的三个顶点A，B，C在圆O上，AB为圆O的直径，且AB＝6，PA=PC=2√2，BC=2√5，平面P AC⊥平面PCB，点E是PB的中点．（1）证明：平面P AC⊥平面ABC；（2）点F是圆O上的一点，且点F与点C位于直径AB的两侧．当EF∥平面P AC时，作出二面角E﹣BF﹣A的平面角，并求出它的正切值．【解答】解：（1）因为AB为圆O的直径，所以∠ACB＝90°，由AC2＝AB2﹣BC2，可得AC＝4．因为PA=PC=2√2，满足P A2+PC2＝AC2，所以P A⊥PC．因为平面P AC⊥平面PCB，平面P AC∩平面PCB＝PC，P A⊂平面P AC，所以P A⊥平面PCB，又BC⊂平面PCB，所以P A⊥BC．因为BC⊥AC，P A，AC⊂平面P AC，且P A∩AC＝A，所以BC⊥平面P AC，因为BC⊂平面ABC，所以平面P AC⊥平面ABC．（2）取AC的中点O1，连接O1P和O1B，再取O1B的中点M，连接ME．在平面ABC内过点M作BF的垂线，垂足为点N，连接EN，则∠ENM即为二面角E﹣BF﹣A的平面角．证明如下：因为P A＝PC，且O1是AC的中点，所以PO1⊥AC．由（1）知平面P AC⊥平面ABC，平面P AC∩平面ABC＝AC，PO1⊂平面P AC，所以PO1⊥平面ABC．因为EM是△PO1B的中位线，则EM∥PO1，所以EM⊥平面ABC．因为BF⊂平面ABC，所以BF⊥EM．因为BF⊥MN，MN，ME⊂平面ENM，且MN∩ME＝M，所以BF⊥平面ENM．又EN⊂平面ENM，所以BF⊥EN，由二面角的平面角的定义可知∠ENM即为二面角E﹣BF﹣A的平面角．连接FM，并延长FM交BC于点T．由EM是△BPQ的中位线，得EM∥PO1，PO1⊂平面P AC，EM⊄平面P AC，所以EM∥平面P AC．当EF∥平面P AC时，EM，EF⊂平面EFM，且EM∩EF＝E，所以平面EFM∥平面P AC．由平面与平面平行的性质定理可知TF∥AC．因为点M是O1B的中点，所以FT过点O，由此可知FT＝5．因为AC⊥BC，所以FT⊥BC，且BT＝CT．由FT2+BT2＝BF2，可知BF=√30，由△FTB∽△FNM得MNFM=BTBF，所以MN =23√6，EM =12PO 1=1，因此tan ∠EMM =EM MN =√64，所以二面角E ﹣BF ﹣A 的平面角的正切值为√64． 22．（12分）已知函数f(x)=|14x 2−x|，g （x ）＝kx ，f （x ）与g （x ）的图象恰有三个交点．（1）求实数k 的取值范围；（2）用max {α，β}表示α，β中的最大值，设函数φ（x ）＝max {f （x ），g （x ）}（1⩽x ⩽6），用M ，m 分别表示φ（x ）的最大值与最小值，求M ，m ，并求出M ﹣m 的取值范围． 【解答】解：（1）由题意得f(x)={ 14x 2−x ，x ＜0−14x 2+x ，0≤x ≤414x 2−x ，x ＞4，显然f （x ）≥0，且（0，0）是函数f （x ）与g （x ）图象的一个交点， 当k ＜0时，g （x ）＜0在区间（0，+∞）上恒成立，与f （x ）图象无交点； 在区间（﹣∞，0），g （x ）与f （x ） 图象至多有一个交点，不合题意．当k ＝0时，函数f （x ）与g （x ）图象有且仅有两个交点（0，0），（4，0），不合题意． 当k ＞0时，若函数f （x ）与g （x ）图象有三个交点，则方程−14x 2+x =kx ，14x 2−x =kx 均有正根，分别为x 1＝4（1﹣k ），x 2＝4（k +1），由{k ＞04(1−k)＞04(k +1)＞0，可得0＜k ＜1，所以实数k 的取值范围是（0，1）；（2）由（1）可知，当k ∈（0，1）时，f （x ）与g （x ）的图象有3个交点，两个非零交点的横坐标分别为x 1＝4（1﹣k ），x 2＝4（k +1），当x ∈（0，x 1）时，f （x ）＞g （x ），max {f （x ），g （x ）}＝f （x ）， 当x ∈（x 1，x 2）时，f （x ）≤g （x ），max {f （x ），g （x ）}＝g （x ）， 当x ∈（x 2，+∞）时，f （x ）＞g （x ），max {f （x ），g （x ）}＝f （x ），当34≤k ＜1时，x 1＜1，x 2＞6，φ（x ）＝g （x ）（1≤x ≤6），M ＝φ（6）＝6k ，m ＝φ（1）＝k ，M ﹣m ＝5k ∈[154，5）；当12≤k ＜34时，1＜x 1≤2，x 2≥6，φ（x ）={f(x)，1≤x ＜x 1g(x)，x 1≤x ≤6，f （x ）在[1，x 1）上为增函数，且g （x ）为增函数， 故φ（x ）在[1，6]上为增函数，M ＝φ（6）＝6k ， m ＝f （1）=34，M ﹣m ＝6k −34∈[94，154），当14＜k ＜12时，2＜x 1＜3，5＜x 2＜6，φ（x ）={f(x)，1≤x ＜x 1g(x)，x 1≤x ≤x 2f(x)，x 2＜x ≤6，且φ（x ）在[1，2]上为增函数，在[2，x 1）上为减函数，在[x 1，6]上为增函数，φ（1）＝f （1）=34，φ（x 1）＝f （x 1）＞f （1），φ（2）＝f （2）＝1，φ（6）＝f （6）＝3＞φ（2），故M ＝φ（6）＝3，m ＝f （1）=34，M ﹣m =94；当0＜k ≤14时，3≤x 1＜4，4＜x 2≤5，φ（x ）={f(x)，1≤x ＜x 1g(x)，x 1≤x ≤x 2f(x)，x 2＜x ≤6，且φ（x ）在[1，2]上为增函数，在[2，x 1）上为减函数，在[x 1，6]上为增函数，φ（1）＝f （1）=34，φ（x 1）＝f （x 1）≤f （1），φ（2）＝f （2）＝1，φ（6）＝f （6）＝3＞φ（2），故M ＝φ（6）＝3，m ＝f （x 1）＝f （4﹣4k ）＝﹣4k 2+4k ，M ﹣m ＝4k 2﹣4k +3∈[94，3）；综上，当34≤k ＜1时，M ＝6k ，m ＝k ；当12≤k ＜34时，M ＝6k ，m =34；当14＜k ＜12时，M ＝3，m =34；当0＜k ≤14时，M ＝3，m ＝﹣4k 2+4k ，所以M ﹣m 的取值范围为：[94，5）．。

广东省肇庆实验中学、新桥中学联考高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．sin300°的值为（）A．B．C．D．2．已知向量=（3，﹣1），向量=（﹣1，2），则（2）•=（）A．15 B．14 C．5 D．﹣53．角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，已知终边上点P（1，2），则cos2θ=（）A．﹣ B．﹣ C．D．4．已知等比数列{b n}中，b3+b6=36，b4+b7=18，则b1=（）A．B．44.5 C．64 D．1285．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知a=，b=3，cosA=，则c=（）A．3 B．C．2 D．6．设变量x，y满足约束条件，则的最大值为（）A．3 B．C．6 D．17．将函数y=sin（2x+）的图象向右平移个最小正周期后，所得图象对应的函数为（）A．y=sin（2x﹣）B．y=sin（2x﹣）C．y=sin（2x﹣）D．y=sin（2x+）8．设向量，满足||=，||=2，则=（）A．B．C．1 D．29．y=（sinx﹣cosx）2﹣1是（）A．最小正周期为2π的偶函数B．最小正周期为2π的奇函数C．最小正周期为π的偶函数D．最小正周期为π的奇函数10．公差为正数的等差数列{a n}的前n项和为S n，S3=18，且已知a1、a4的等比中项是6，求S10=（）A．145 B．165 C．240 D．60011．设D为△ABC所在平面内一点=3，则（）A．=+B．=﹣C．=﹣ D．=﹣+12．已知实数x，y满足如果目标函数z=x﹣y的最小值为﹣1，则实数m等于（）A．7 B．5 C．4 D．3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.13．已知向量=（1，2），=（1，﹣1）．若向量满足（）∥，⊥（），则=．14．△ABC面积为，且a=3，c=5，则sinB=．15．当函数f（x）=sinx+cos（π+x）（0≤x＜2π）取得最小值时，x=．16．已知正方形ABCD的边长为3，E为CD的中点，则=．三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 17．若cosα=﹣，α是第三象限的角，则（1）求sin（α+）的值；（2）求tan2α18．已知等差数列{a n}满足a2=3，a3+a5=2（1）求{a n}的通项公式；（2）求{a n}的前n项和S n及S n的最大值．19．函数（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）记△A BC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，求sin B的值．20．已知数列{a n}的各项均为正数，S n表示数列{a n}的前n项的和，且（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求数列{b n}的前n项和T n．21．已知ω＞0，0＜φ＜π，直线x=和x=是函数f（x）=sin（ωx+φ）图象的两条相邻的对称轴，则（1）求f（x）的解析式；（2）设h（x）=f（x）+．22．已知公比为正数的等比数列{a n}（n∈N*），首项a1=3，前n项和为S n，且S3+a3、S5+a5、S4+a4成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=．广东省肇庆实验中学、新桥中学联考高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．sin300°的值为（）A．B．C．D．【考点】GO：运用诱导公式化简求值．【分析】由条件利用诱导公式化简所给式子的值，可得结果．【解答】解：sin300°=sin=﹣sin60°=﹣，故选：C．2．已知向量=（3，﹣1），向量=（﹣1，2），则（2）•=（）A．15 B．14 C．5 D．﹣5【考点】9J：平面向量的坐标运算．【分析】根据向量的坐标运算和向量的数量积计算即可【解答】解：向量=（3，﹣1），向量=（﹣1，2），则2=2（3，﹣1）+（﹣1，2）=（6，﹣2）+（﹣1，2）=（6﹣1，﹣2+2）=（5，0），则（2）•=（5，0）•（3，﹣1）=5×3+0×（﹣1）=15，故选：A3．角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，已知终边上点P（1，2），则cos2θ=（）A．﹣ B．﹣ C．D．【考点】G9：任意角的三角函数的定义；GT：二倍角的余弦．【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义求得sinθ的值，再利用二倍角的余弦公式求得cos2θ的值【解答】解：∵角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，已知终边上点P（1，2），∴r==，∴sinθ=，∴cos2θ=1﹣2sin2θ=1﹣2×=﹣，故选：B4．已知等比数列{b n}中，b3+b6=36，b4+b7=18，则b1=（）A．B．44.5 C．64 D．128【考点】88：等比数列的通项公式．【分析】等比数列{b n}的公比设为q，运用等比数列的通项公式，建立方程组，解方程即可得到首项和公比．【解答】解：等比数列{b n}的公比设为q，由b3+b6=36，b4+b7=18，可得：b1q2+b1q5=36，b1q3+b1q6=18，解得b1=128，q=，故选：D．5．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知a=，b=3，cosA=，则c=（）A．3 B．C．2 D．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】利用余弦定理直接求解即可．【解答】解：∵△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．a=，b=3，cosA=，∴，即，解得c=2．故选：C．6．设变量x，y满足约束条件，则的最大值为（）A．3 B．C．6 D．1【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出不等式组表示的可行域，由z==表示可行域内的点（x，y）与原点（0，0）的斜率，求出A，B的坐标，由直线的斜率公式，结合图形即可得到所求的最大值．【解答】解：作出约束条件表示的可行域，由z==表示可行域内的点（x，y）与原点（0，0）的斜率，由解得，即有A（，），由x=1代入x+y=7可得y=6，即B（1，6），k OA=，k OB=6，结合图形可得的最大值为6．故选：C．7．将函数y=sin（2x+）的图象向右平移个最小正周期后，所得图象对应的函数为（）A．y=sin（2x﹣）B．y=sin（2x﹣）C．y=sin（2x﹣）D．y=sin（2x+）【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据函数图象平移变换规律得出．【解答】解：函数的最小正周期T==π，∴函数向右平移个单位后的函数为y=sin[2（x﹣）+]=sin（2x﹣）．故选A．8．设向量，满足||=，||=2，则=（）A．B．C．1 D．2【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】运用向量的平方即为模的平方，化简整理，即可得到所求向量的数量积．【解答】解：||=，||=2，可得（）2=10，（）2=8，即有2+2+2•=10，2+2﹣2•=8，两式相减可得，•=．故选：A．9．y=（sinx﹣cosx）2﹣1是（）A．最小正周期为2π的偶函数B．最小正周期为2π的奇函数C．最小正周期为π的偶函数D．最小正周期为π的奇函数【考点】GH：同角三角函数基本关系的运用．【分析】把三角函数式整理，平方展开，合并同类项，逆用正弦的二倍角公式，得到y=Asin （ωx+φ）的形式，这样就可以进行三角函数性质的运算．【解答】解：∵y=（sinx﹣cosx）2﹣1=1﹣2sinxcosx﹣1=﹣sin2x，∴T=π且为奇函数，故选D10．公差为正数的等差数列{a n}的前n项和为S n，S3=18，且已知a1、a4的等比中项是6，求S10=（）A．145 B．165 C．240 D．600【考点】85：等差数列的前n项和．【分析】利用公差为正数的等差数列{a n}的前n项和公式、通项公式和等比中项性质列出方程组，求出a1=3，d=3，由此能求出S10．【解答】解：公差为正数的等差数列{a n}的前n项和为S n，S3=18，且已知a1、a4的等比中项是6，∴，解得a1=3，d=3，∴S10=10×3+=165．故选：B．11．设D为△ABC所在平面内一点=3，则（）A．=+B．=﹣C．=﹣ D．=﹣+【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义．【分析】=+=+=﹣．【解答】解：如图，=+=+=﹣，故选：D．12．已知实数x，y满足如果目标函数z=x﹣y的最小值为﹣1，则实数m等于（）A．7 B．5 C．4 D．3【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数z=x﹣y的最小值是﹣1，确定m的取值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由目标函数z=x﹣y的最小值是﹣1，得y=x﹣z，即当z=﹣1时，函数为y=x+1，此时对应的平面区域在直线y=x+1的下方，由，解得，即A（2，3），同时A也在直线x+y=m上，即m=2+3=5，故选：B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.13．已知向量=（1，2），=（1，﹣1）．若向量满足（）∥，⊥（），则=（3，﹣6）．【考点】9J：平面向量的坐标运算．【分析】根据题意，设=（x，y），分析可得若（）∥，则有2（y+2）=（x+1）①，若⊥（），则有2x+y=0②，联立①②，解可得x、y的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，设=（x，y），则+=（x+1，y+2），+=（2，1），若（）∥，则有2（y+2）=（x+1），①若⊥（），则有2x+y=0，②联立①②，解可得x=3，y=﹣6，则=（3，﹣6），故答案为：（3，﹣6）．14．△ABC面积为，且a=3，c=5，则sinB=．【考点】HT：三角形中的几何计算．===．得sinB=．【分析】由s△ABC【解答】解：∵△ABC面积为，且a=3，c=5===．∴s△ABC∴sinB=．故答案为：15．当函数f（x）=sinx+cos（π+x）（0≤x＜2π）取得最小值时，x=．【考点】H2：正弦函数的图象；GI：三角函数的化简求值．【分析】化简f（x）的解析式可得f（x）=2sin（x﹣），再利用正弦函数的性质得出f（x）取得最小值时对应的x．【解答】解：f（x）=sinx﹣cosx=2sin（x﹣），∴x﹣=即x=时，f（x）取得最小值．故答案为：．16．已知正方形ABCD的边长为3，E为CD的中点，则=．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】根据题意，建立平面直角坐标系，用坐标表示出、，计算的值．【解答】解：建立平面直角坐标系，如图所示，正方形ABCD的边长为3，E为CD的中点，∴B（0，0），C（3，0），D（3，3），A（0，3）；则E（3，），∴=（3，﹣），=（3，3），∴=3×3﹣×3=．故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 17．若cosα=﹣，α是第三象限的角，则（1）求sin（α+）的值；（2）求tan2α【考点】GH：同角三角函数基本关系的运用．【分析】（1）运用同角的平方关系，可得sinα的值，再由两角和的正弦公式，计算即可得到所求值；（2）运用同角的商数关系，可得tanα的值，再由二倍角的正切公式，计算即可得到所求值．【解答】解：（1）因为cosα=﹣，α是第三象限的角，可得sinα=﹣=﹣=﹣，sin（α+）=sinαcos+cosαsin=（﹣）×+（﹣）×=﹣；（2）由（1）可得tanα===，则tan2α===．18．已知等差数列{a n}满足a2=3，a3+a5=2（1）求{a n}的通项公式；（2）求{a n}的前n项和S n及S n的最大值．【考点】85：等差数列的前n项和；84：等差数列的通项公式．【分析】（1）设数列{a n}公差为d，利用等差数列通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出{a n}的通项公式．（2）由等差数列{a n}中，a1=4，d=﹣1，a n=5﹣n，求出S n，利用配方法能求出n=4或n=5时，S n取最大值10．【解答】（本题满分12分）解：（1）设数列{a n}公差为d，∵等差数列{a n}满足a2=3，a3+a5=2，∴，…解得a1=4，d=﹣1，…∴a n=a1+（n﹣1）d=4+（n﹣1）×（﹣1）=5﹣n．…（2）∵等差数列{a n}中，a1=4，d=﹣1，a n=5﹣n，∴S n==…=﹣=﹣…∵n∈N*，∴n=4或n=5时，S n取最大值10．…19．函数（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）记△A BC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，求sin B的值．【考点】HT：三角形中的几何计算；H7：余弦函数的图象．【分析】（1）由T==π，得ω=2（2）由（1）可知，f（）=2cosA=1，得，，又，且，可得sinB=．【解答】解：（1）∵T==π，∴ω=2（2）由（1）可知，f（）=2cosA=1，∴∵0＜A＜π，∴又，且，所以sinB==20．已知数列{a n}的各项均为正数，S n表示数列{a n}的前n项的和，且（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【分析】（1）由数列的递推式：当n=1时，a1=S1，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，结合等差数列的定义和通项公式，即可得到所求通项；（2）求得b n===2（﹣），运用数列的求和方法：裂项相消求和，计算即可得到所求和．【解答】解：（1）∵2S n=a n2+a n，∴当n=1时，2a1=2S1=a12+a1，且a n＞0，可得a1=1，∵2S n=a n2+a n，∴当n≥2时，2S n﹣1=a n﹣12+a n﹣1，∴2a n=2S n﹣2S n﹣1=a n2+a n﹣a n﹣12﹣a n﹣1，∴（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣1）=0，又a n＞0，∴a n﹣a n﹣1=1，则{a n}是以1为首项，以1为公差的等差数列，故a n=a1+（n﹣1）d=n，n∈N*；（2）由b n===2（﹣）可得T n=2（1﹣+﹣+…+﹣）=2（1﹣）=．21．已知ω＞0，0＜φ＜π，直线x=和x=是函数f（x）=sin（ωx+φ）图象的两条相邻的对称轴，则（1）求f（x）的解析式；（2）设h（x）=f（x）+．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；H2：正弦函数的图象．【分析】（1）根据题意求出ω、φ的值，得出f（x）的解析式；（2）根据f（x）写出h（x）并化简，根据三角函数的图象与性质求出h（x）的单调减区间．【解答】解：（1）由题意可知函数f（x）的最小正周期为T=2×（﹣）=2π，即=2π，ω=1；…∴f（x）=sin（x+φ）；令x+φ=kπ+，k∈Z，…将x=代入可得φ=kπ+，k∈Z；∵0＜φ＜π，∴φ=；…∴f（x）=sin（x+）；…（2）∵f（x）=sin（x+），∴h（x）=f（x）+cos（x+）=sin（x+）+cos（x+）=2×[sin（x+）+cos（x+）]=2sin（x+），…令+2kπ≤x+≤+2kπ，k∈Z，解得﹣+2kπ≤x≤+2kπ，k∈Z；∵x∈[0，π]，∴h（x）的单调减区间为[0，]．…22．已知公比为正数的等比数列{a n}（n∈N*），首项a1=3，前n项和为S n，且S3+a3、S5+a5、S4+a4成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【分析】（1）设公比为q＞0，由等比数列的通项公式和等差数列中项的性质，解方程可得q，即可得到所求通项公式；（2）求得b n==n•（）n，运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简整理即可得到所求和．【解答】解：（1）依题意公比为正数的等比数列{a n}（n∈N*），首项a1=3，设a n=3q n﹣1，因为S3+a3、S5+a5、S4+a4成等差数列，所以2（S5+a5）=S3+a3+S4+a4，即2（a1+a2+a3+a4+2a5）=（a1+a2+2a3+（a1+a2+a3+2a4），化简得4a5=a3，从而4q2=1，解得q=±，因为{a n}（n∈N*）公比为正数，所以q=，a n=6×（）n，n∈N*；（2）b n==n•（）n，则T n=1•（）+2•（）2+3•（）3+…+（n﹣1）•（）n﹣1+n•（）n，T n=1•（）2+2•（）3+3•（）4+…+（n﹣1）•（）n+n•（）n+1，两式相减可得T n=+（）2+（）3+（）4+…+（）n﹣n•（）n+1 =﹣n•（）n+1，化简可得T n=2﹣（n+2）•（）n．。

2023-2024学年广东省部分学校高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知复数，则()A. B. C. D.12.已知圆锥的表面积为，它的侧面展开图是个半圆，则此圆锥的体积为()A.3B.C.9D.3.已知正方体的棱长为2，E，F分别是BC和CD的中点.则两条平行线EF和间的距离为()A. B. C. D.4.端午节吃粽子是我国的一个民俗，记事件“甲端午节吃甜粽子”，记事件“乙端午节吃咸粽子”，且，事件A与事件B相互独立，则()A. B. C. D.5.菏泽市博物馆里，有一条深埋600多年的元代沉船，对于研究元代的发展提供了不可多得的实物资料.沉船出土了丰富的元代瓷器，其中的白地褐彩龙风纹罐如图的高约为36cm，把该瓷器看作两个相同的圆台拼接而成如图，圆台的上底直径约为20cm，下底直径约为40cm，忽略其壁厚，则该瓷器的容积约为()A. B. C. D.6.人脸识别就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法.假设二维空间中有两个点，，O为坐标原点，定义余弦相似度为，余弦距离为已知，，若P，Q的余弦距离为则()A. B. C. D.7.在棱长为1的正方体中，，E是线段含端点上的一动点，则①；②面；③三棱锥的体积为定值；④OE与所成的最大角为上述命题中正确的个数是()A.1B.2C.3D.48.已知正方体的棱长为2，M 是棱的中点，空间中的动点P 满足，且，则动点P 的轨迹长度为()A.B.3C.D.二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.下列有关复数的说法正确的是()A.若，则B.C.D.若，则的取值范围为10.已知点，，则下列结论正确的是()A.与向量垂直的向量坐标可以是B.与向量平行的向量坐标可以是C.向量在方向上的投影向量坐标为D.对，向量与向量所成角均为锐角11.在正方体中，，E 是棱的中点，则下列结论正确的是()A.若F 是线段的中点，则异面直线EF 与AB 所成角的余弦值是B.若F 为线段上的动点，则的最小值为C.若F 为线段上的动点，则平面ABF 与平面CDF 夹角的余弦值的取值范围为D.若F 为线段上的动点，且与平面ABCD 交于点G ，则三棱锥的体积为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

广东高一高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.直线的倾斜角为( )A．B．C．D．2.已知向量表示“向东航行1km”，向量表示“向南航行1km”，则向量表示（）A．向东南航行km B．向东南航行2kmC．向东北航行km D．向东北航行2km3.已知全集,集合，，则等于( )A．B．C．D．4.已知等比数列中，公比，若，则的最值情况为（）A．有最小值B．有最大值C．有最小值D．有最大值5.过点与圆相交的所有直线中，被圆截得的弦最长的直线方程是（）A．B．C．D．6.若不等式的解集为或,则的值为( ）A．B．C．D．7.下列四个函数中，既是定义域上的奇函数又在区间内单调递增的是（）A．B．C．D．8.直线与圆的位置关系是（）A．相离B．相交C．相切D．不确定9.设是两个非零向量，下列选项正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则存在实数，使得D．若存在实数，使得，则10.函数的图像如图所示，在区间上可找到个不同的数，使得，则的取值范围为( )A．B．C．D．二、填空题1.已知等差数列的前三项依次为，，，则．2.已知两直线与平行，则___________．3.从中任意取出两个不同的数，其和为3的概率是________ ．4.已知角的终边过，则= ．5.在锐角中，若，则的取值范围是．6.对于定义域为的函数，若存在区间,使得则称区间M为函数的“等值区间”.给出下列三个函数：①；②；③则存在“等值区间”的函数的个数是___________．三、解答题1.设△ABC的内角所对的边分别为，已知，，（Ⅰ）求△ABC的周长；（Ⅱ）求的值．2.已知圆，直线经过点，（Ⅰ）求以线段CD为直径的圆E的方程；（Ⅱ）若直线与圆C相交于，两点，且为等腰直角三角形，求直线的方程.3.已知向量，，且的最小正周期为（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，解方程；（Ⅲ）在中，，,且为锐角，求实数的取值范围.4.某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产千件，需另投入成本为，当年产量不足80千件时，（万元）.当年产量不小于80千件时，（万元），每件商品售价为0.05万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完.（Ⅰ）写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式；（Ⅱ）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？5.若圆经过坐标原点和点，且与直线相切, 从圆外一点向该圆引切线,为切点，（Ⅰ）求圆的方程；（Ⅱ）已知点，且，试判断点是否总在某一定直线上，若是，求出的方程；若不是，请说明理由；（Ⅲ）若（Ⅱ）中直线与轴的交点为,点是直线上两动点，且以为直径的圆过点，圆是否过定点？证明你的结论.6.已知二次函数（Ⅰ）求不等式的解集；（Ⅱ）若，记为数列的前项和，且，），点在函数的图像上，求的表达式.广东高一高中数学期末考试答案及解析一、选择题1.直线的倾斜角为( )A．B．C．D．【答案】B【解析】根据题意，由于直线的方程可知，该直线的斜率为，因此可知该直线的倾斜角为=60°，选B.【考点】直线的倾斜角点评：主要是考查了直线的倾斜角的求解，属于基础题。

广东高一高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.若，且是第二象限角，则的值为（）A．B．C．D．2.与终边相同的角可表示为（）A．B．C．D．3.已知中，，则等于（）A．B．C．D．4.在中，，则的值为（）A．B．C．D．5.如果函数的图像关于点中心对称，那么的最小值为（）A．B．C．D．6.在中，，，，下列推导不正确的是（）A．若，则为钝角三角形B．，则ΔABC为直角三角形C．，则为等腰三角形D．，则为正三角形7.设向量满足，则的最小值为（）A．B．C．1D．28.在中，已知，则的值为（）A．B．C．或D．9.已知是平面上一定点,是平面上不共线的三个点，动点满足,.则点的轨迹一定通过的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心10.为了得到函数的图像，可将函数的图像向左平移个单位长度或向右平移个单位长度（均为正数），则的最小值是（）A．B．C．D．11.已知函数（），定义函数，给出下列命题：①；②函数是偶函数；③当时，若，则有成立；④当时，函数有个零点．其中正确命题的个数为（）A．1B．2C．3D．4二、填空题1.已知二次函数在区间内是单调函数，则实数的取值范围是 .2.已知，，则= .3.如图在中，则4.设函数的定义域为，若对于任意的，当时，恒有，则称点为函数图像的对称中心.研究函数的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到 .三、解答题1.已知函数.（1）求的单调增区间；（2）设，，，求的值.2.（在中，角为锐角,记角所对的边分别为设向量,且与的夹角为（1）求的值及角的大小；（2）若，求的面积．3.已知函数是二次函数，且满足；函数.（1）求的解析式；（2）若，且对恒成立，求实数的取值范围.4.已知函数（其中，）的最大值为2，直线、是图象的任意两条对称轴，且的最小值为．（1）求，的值；（2）若，求的值．5.已知函数满足条件：①；②对一切，都有．（1）求、的值；（2）若存在实数，使函数在区间上有最小值－5，求出实数的值.广东高一高中数学期末考试答案及解析一、选择题1.若，且是第二象限角，则的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，且是第二象限角，，.故选A.【考点】同角三角函数的基本关系式.2.与终边相同的角可表示为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】为的整数倍，故选C.【考点】终边相同的角的集合.3.已知中，，则等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由正弦定理得，解得，.故选D.【考点】正弦定理.4.在中，，则的值为（）A．B．C．D．【解析】，.可设.由余弦定理的推论，故选D.【考点】正弦定理、余弦定理的推论.5.如果函数的图像关于点中心对称，那么的最小值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由余弦函数的性质可知：，当时有最小值为.故选A.【考点】余弦函数的对称性.6.在中，，，，下列推导不正确的是（）A．若，则为钝角三角形B．，则ΔABC为直角三角形C．，则为等腰三角形D．，则为正三角形【答案】D【解析】A中，由可知，，得为钝角三角形；B中，由可知，，得为直角三角形；C中，由知得，，，，则为等腰三角形；D中，，总是成立，不能得到为正三角形.故选D.【考点】平面向量的数量积.7.设向量满足，则的最小值为（）A．B．C．1D．2【答案】A【解析】由已知可得夹角为，设，则的最小值为点到直线的距离，值为.故选A.【考点】向量加法的三角形法则、向量减法的三角形法则.【思路点晴】本题主要考查了平面向量的几何表示：向量加减法、数乘．由已知条件结合向量加法的三角形法则可得夹角为．在中，如何理解对的影响是本题的难点，的变化使得的大小也在变化，当时与是垂直的，此时最小．本题考查的知识点比较隐含，难度较大.8.在中，已知，则的值为（）A．B．C．或D．【解析】由得，由，得，得，故选A.【考点】同角三角函数的基本关系式、两角和的余弦公式.9.已知是平面上一定点,是平面上不共线的三个点，动点满足,.则点的轨迹一定通过的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心【答案】B【解析】是分别与同向的单位向量，则的终点在的角平分线上，由得在的角平分线上，所以点轨迹一定通过的内心.故选B.【考点】向量加法的平行四边形法则、向量的数乘的几何意义.10.为了得到函数的图像，可将函数的图像向左平移个单位长度或向右平移个单位长度（均为正数），则的最小值是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由函数的图象得到函数的图象可向左平移个单位长度，也可向右平移个单位长度，则得最小值为.故选B.【考点】函数的图象.11.已知函数（），定义函数，给出下列命题：①；②函数是偶函数；③当时，若，则有成立；④当时，函数有个零点．其中正确命题的个数为（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】①中，时有的存在，所以不成立；②中当对任意的时都有可得函数是偶函数；③中由函数可知在内为增函数，则有，即结论成立；④中的图象在轴及其上方，则有个零点，是正确的.故选C.【考点】函数的奇偶性、单调性、零点.【方法点晴】本题的难点有两个：一是如何认识函数的图象，注意的正负对函数的图象的单调性如何影响，这样不管还是都可以得到它的单调性；二是如何从奇偶性的定义上去了解函数，分段函数的奇偶性的证明是难点．解决以上两个难点，本题的各个命题就好判断了．本题考查的知识点更抽象，难度较大.二、填空题1.已知二次函数在区间内是单调函数，则实数的取值范围是 .【答案】【解析】二次函数的对称轴为，因为在区间内是单调函数，所以.【考点】二次函数.2.已知，，则= .【答案】【解析】，，，.故.【考点】二倍角公式.3.如图在中，则【答案】【解析】由正弦定理得，，，由余弦定理得：，则.【考点】正弦定理、余弦定理.【方法点晴】如果只是正弦定理、余弦定理的考查，知识比较简单．本题的难点就在于放在了两个三角形中分别运用正弦定理、余弦定理去解决．“执果索因”或是“执因索果”都用到，考虑要全面．此种情况下要考虑两个三角形的共性，即有一个公共边和一对互补的角，这样做到条件的共用解决问题就比较简单了．本题难度中等.4.设函数的定义域为，若对于任意的，当时，恒有，则称点为函数图像的对称中心.研究函数的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到 .【答案】【解析】由知当时，.，，，，，，则.【考点】函数的对称性.【方法点晴】平时我们讲得对称中心都在轴上，很容易得到为奇函数，对称中心为,由可得到该函数对称中心为，由此可得，再由值的对称性，即可求结果．本题虽然考查的知识点比较少，但内容抽象，不易理解，还要借助于数的对称，来解决问题．本题属于难题.三、解答题1.已知函数.（1）求的单调增区间；（2）设，，，求的值.【答案】(1) ；(2)．【解析】（1）由得的单调增区间为；（2）由得，可求，由得可求，代入余弦定理可求的值.试题解析：1）若单调递增，则.. 所以的增区间为.（2）.所以..所以.因为，所以，所以.【考点】正弦函数的单调性、同角三角函数的基本关系式、两角和的余弦公式.2.（在中，角为锐角,记角所对的边分别为设向量,且与的夹角为（1）求的值及角的大小；（2）若，求的面积．【答案】(1)，；(2) ．【解析】(1)由,可知，、，的值，由平面向量的数量积的定义和坐标运算可求的值进而可得的大小；（2）由余弦定理可求的值，代入面积公式可求得的面积.试题解析：（1）,，（2）(法一) ,及,, 即(舍去)或故(法二) ,及,.,,...故【考点】平面向量的坐标运算、同角三角函数的基本关系式、三角形面积公式.3.已知函数是二次函数，且满足；函数.（1）求的解析式；（2）若，且对恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1) ；(2) .【解析】（1）用待定系数法设的解析式，由已知条件可求得三个系数；(2)由的解析式可得当时的值域，由可得的解析式，由的单调性可得的最小值，由可得.试题解析：（1）设....（2）开口向上，对称轴为.在上单调递增. .【考点】二次函数的值域、指数函数的单调性.【易错点晴】本题的第一问主要考查待定系数求二次函数，由题中的条件很容易求出函数的解析式；第二问由求出的解析式，只要注意的值域和的单调性很容易求出时的值域，这样的能求.本题也是围绕着函数的性质来进行考查的，着重了值域的考查，难度中等.4.已知函数（其中，）的最大值为2，直线、是图象的任意两条对称轴，且的最小值为．（1）求，的值；（2）若，求的值．【答案】(1) ，；(2).【解析】（1）由得最大值为解得，由的最小值为可得函数周期为，解得；（2）由得，由二倍角公式得，最后由诱导公式得.试题解析：（1）.又（2）又【考点】正弦函数的性质、二倍角公式、诱导公式.5.已知函数满足条件：①；②对一切，都有．（1）求、的值；（2）若存在实数，使函数在区间上有最小值－5，求出实数的值.【答案】(1) ，；(2) 或.【解析】(1)由题意可知即函数为二次函数，由得，由②得解得，；（2）由(1)可得的解析式，进而可得的解析式，由于为二次函数，由对称轴为，可分三种情况：，，，最后可解得当或时，函数在区间上有最小值.试题解析：（1）当时，．由得：，即，∴．显然＞1时，＜0，这与条件②相矛盾，不合题意．∴，函数是二次函数．由于对一切，都有，于是由二次函数的性质可得即由得，即，代入（*）得．整理得，即．而，∴．.（Ⅱ）∵，∴．∴．该函数图象开口向上，且对称轴为．若存在实数使函数在区间上有最小值-5①当＜－1时，＜，函数在区间上是递增的，∴＝－5，即，解得＝－3或＝．∵＞－1，∴＝舍去．②当－1≤＜1时，≤＜＋2，函数在区间上是递减的，而在区间上是递增的，∴＝－5，即．解得＝或＝，均应舍去．③当≥1时，≥＋2，函数在区间上是递减的，∴＝－5，即．解得＝或＝，其中＝应舍去．综上可得，当＝－3或＝时，函数在区间上有最小值－5．【考点】二次函数.【易错点晴】本题第一问的难点是、的值的求法，也就是的解决，如何由这个条件得到、的不等式，进而由不等式的性质得到、的值．第二问虽然构建了新的函数，但也是放在了二次函数中研究的，在对称轴不定，定义域不定的前提下，如何用分类讨论思想来解决问题是本题的又一个难点．本题难度较大.。

广东高一高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知点，，则线段的长为A．B．C．D．2.的值为A．B．C．D．3.已知，则的值为A．B．C．D．4.已知函数的最小正周期为，则该函数的图象A．关于直线对称B．关于点对称C．关于点对称D．关于直线对称5.甲、乙两名学生在5次数学考试中的成绩统计如茎叶图所示，则下列结论正确的是A．甲的平均成绩高于乙的平均成绩，但乙比甲更稳定B．甲的平均成绩高于乙的平均成绩，且甲比乙更稳定C．甲的平均成绩低于乙的平均成绩，且乙比甲更稳定D．甲的平均成绩低于乙的平均成绩，但甲比乙更稳定6.用秦九韶算法计算多项式在时的函数值，需要做乘法和加法的次数分别是A．5，5B．5，6C．6，6D．6，57.分别在区间[1，6]和[1，4]内任取一个实数，依次记为和，则的概率为A．B．C．D．.8.若角的顶点在原点，始边与轴非负半轴重合，终边为射线，则的值是A．B．C．D．9.某流程图如右图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数为A．B．C．D．10.在中,，,点在上且满足,则等于A．B．C．D．二、填空题1.已知扇形的圆心角为2，半径为，则扇形的面积是．2.随机地掷一颗骰子，事件表示“小于5的偶数点出现”，事件表示“大于4的点数出现”，则事件发生的概率为____________.3.已知,,则在上的投影为_____________.4.已知圆与直线及都相切，圆心在直线上，则圆的方程为 .三、解答题1.（本小题满分13分）某零售店近五个月的销售额和利润额资料如下表：销售额 (千万元)利润额(百万元)（1）画出散点图．观察散点图，说明两个变量有怎样的相关关系；（2）用最小二乘法计算利润额关于销售额的回归直线方程；（3）当销售额为4(千万元)时，利用（2）的结论估计该零售店的利润额（百万元）.2.（本小题满分13分）已知函数.(1)求的单调递增区间；(2)函数的图象经过怎样的平移可使其对应的函数成为偶函数? 请写出一种正确的平移方法，并说明理由.3.（本小题满分13分）已知向量满足,其中.(1)求和的值；(2)若,求的值.4.（本小题满分13分）从某校高一年级参加期末考试的学生中抽出名学生，其数学成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示. （1）根据频率分布直方图估计这次考试该年级的数学平均分；(2) 已知在[90,100]内的学生的数学成绩都不相同,且都在95分以上（不含95分）,现用简单随机抽样方法,从这个数中任取个数,求这个数恰好是两名学生的数学成绩的概率.5.（本小题满分14分）如图，已知，．（1）试用向量来表示向量；（2）若向量，的终点在一条直线上，求实数的值；（3）设，当、、、四点共圆时，求的值．6.（本小题满分14分）在平面直角坐标系中，已知圆和圆.（1）若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程；（2）在平面内是否存在一点，使得过点有无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长的倍与直线被圆截得的弦长相等？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由.广东高一高中数学期末考试答案及解析一、选择题1.已知点，，则线段的长为A．B．C．D．【答案】A【解析】略2.的值为A．B．C．D．【答案】B【解析】略3.已知，则的值为A．B．C．D．【答案】B【解析】略4.已知函数的最小正周期为，则该函数的图象A．关于直线对称B．关于点对称C．关于点对称D．关于直线对称【答案】C【解析】略5.甲、乙两名学生在5次数学考试中的成绩统计如茎叶图所示，则下列结论正确的是A．甲的平均成绩高于乙的平均成绩，但乙比甲更稳定B．甲的平均成绩高于乙的平均成绩，且甲比乙更稳定C．甲的平均成绩低于乙的平均成绩，且乙比甲更稳定D．甲的平均成绩低于乙的平均成绩，但甲比乙更稳定【答案】C【解析】略6.用秦九韶算法计算多项式在时的函数值，需要做乘法和加法的次数分别是A．5，5B．5，6C．6，6D．6，5【答案】A【解析】略7.分别在区间[1，6]和[1，4]内任取一个实数，依次记为和，则的概率为A．B．C．D．.【答案】D【解析】略8.若角的顶点在原点，始边与轴非负半轴重合，终边为射线，则的值是A．B．C．D．【答案】A【解析】略9.某流程图如右图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数为A．B．C．D．【答案】D【解析】略10.在中,，,点在上且满足,则等于A．B．C．D．【答案】D【解析】略二、填空题1.已知扇形的圆心角为2，半径为，则扇形的面积是．【答案】9【解析】略2.随机地掷一颗骰子，事件表示“小于5的偶数点出现”，事件表示“大于4的点数出现”，则事件发生的概率为____________.【答案】【解析】略3.已知,,则在上的投影为_____________.【答案】【解析】略4.已知圆与直线及都相切，圆心在直线上，则圆的方程为 .【答案】【解析】略三、解答题1.（本小题满分13分）某零售店近五个月的销售额和利润额资料如下表：销售额 (千万元)利润额(百万元)（1）画出散点图．观察散点图，说明两个变量有怎样的相关关系；（2）用最小二乘法计算利润额关于销售额的回归直线方程；（3）当销售额为4(千万元)时，利用（2）的结论估计该零售店的利润额（百万元）.【答案】（1）散点图如下. …………2分两个变量呈正线性相关关系. …………4分说明：①五个点中，全对的得2分，全错的得0分，不全对的得1分；②答到正相关就给2分.（2）设回归直线的方程是：.由题中的数据可知. …………6分所以. …………8分.所以利润额关于销售额的回归直线方程为. …………10分（3）由（2）知，当时，＝2.4，…………12分所以当销售额为4(千万元)时，可以估计该店的利润额为2.4(百万元). ………13分【解析】略2.（本小题满分13分）已知函数.(1)求的单调递增区间；(2)函数的图象经过怎样的平移可使其对应的函数成为偶函数? 请写出一种正确的平移方法，并说明理由.【答案】(1)…………4分…………5分由得…………7分所以的单调递增区间为．…………8分(2)将函数的图象向左平移个单位,其对应的函数为, …………12分由于是偶函数，所以将的图象向左平移个单位,其对应的函数可成为偶函数．…………13分（说出正确的一种平移即可，但如果没有说明理由，则扣3分）【解析】略3.（本小题满分13分）已知向量满足,其中.(1)求和的值；(2)若,求的值.【答案】(1) 因为,所以.①…………2分又.②…………4分则由①②及，可解得. …………6分(2) 由,得…………7分所以，当时…………10分当时…………13分【解析】略4.（本小题满分13分）从某校高一年级参加期末考试的学生中抽出名学生，其数学成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示. （1）根据频率分布直方图估计这次考试该年级的数学平均分；(2) 已知在[90,100]内的学生的数学成绩都不相同,且都在95分以上（不含95分）,现用简单随机抽样方法,从这个数中任取个数,求这个数恰好是两名学生的数学成绩的概率.【答案】（1）根据频率分布直方图，利用组中值可得这次考试该年级的数学平均分的估计值为…………3分.所以估计这次考试该年级的数学平均分是分. …………6分（2）从中抽取2个数全部可能的结果有：,,，,，,，，，共10种．…………9分而数学成绩在内的学生有人,不妨设这人的数学成绩是．如果抽取的个数恰好是两个学生的数学成绩,则事件:“抽取的个数恰好是两个学生的数学成绩”包括的结果有：，共种．……12分所以所求的概率为. ………… 13分【解析】略5.（本小题满分14分）如图，已知，．（1）试用向量来表示向量；（2）若向量，的终点在一条直线上，求实数的值；（3）设，当、、、四点共圆时，求的值．【答案】（1）以直线为轴，为轴，如图建立直角坐标系.则. …2分令，则有即…………3分所以.…………4分（2）令，则，. …………6分由题意知：∥，所以，解得. …………8分（3）设过点、、的圆的方程为.将、、三点的坐标分别代入圆方程得…………10分所以.所以圆的方程为. …………12分又.要使、、、四点共圆，则点在过点、、的圆上，即，…………13分.解得或.所以当、、、四点共圆时，或. …………14分【解析】略6.（本小题满分14分）在平面直角坐标系中，已知圆和圆.（1）若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程；（2）在平面内是否存在一点，使得过点有无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长的倍与直线被圆截得的弦长相等？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1)若直线的斜率不存在，则过点的直线为，此时圆心到直线的距离为，被圆截得的弦长为，符合题意，所以直线为所求. (2)分若直线的斜率存在，可设直线的方程为，即，所以圆心到直线的距离. …………3分又直线被圆截得的弦长为，圆的半径为4，所以圆心到直线的距离应为，即有，解得：. …………4分因此，所求直线的方程为或，即或. …………5分(2) 设点坐标为，直线的斜率为(不妨设，则的方程分别为：即，即. …………6分因为直线被圆截得的弦长的倍与直线被圆截得的弦长相等，又已知圆的半径是圆的半径的倍.由垂径定理得：圆心到直线的距离的倍与直线的距离相等.w.w.w .m …………7分故有，…………10分化简得：，即有或.…………11分由于关于的方程有无穷多解，所以有或，…………12分解之得：或，…………13分所以所有满足条件的点坐标为或. …………14分【解析】略。