高一数学任意角的三角函数_2

高一数学三角函数知识点三角函数是高中数学中的重要内容，它在数学和其他科学领域中都有着广泛的应用。

对于高一的同学来说，掌握好三角函数的知识点是非常关键的。

接下来，让我们一起深入了解一下高一数学中三角函数的相关知识。

一、角的概念的推广在平面内，一条射线绕着它的端点旋转所形成的图形叫做角。

按逆时针方向旋转形成的角为正角，按顺时针方向旋转形成的角为负角。

如果一条射线没有作任何旋转，那么就称它形成了一个零角。

为了更方便地研究角，我们将角的概念进行了推广。

角可以是任意大小的正角、负角和零角。

而且，角的终边相同的角（包括角本身）可以用集合来表示。

例如，与角α终边相同的角（连同α在内）可以表示为：｛β ｜β ＝α ＋ k×360°，k∈Z}。

二、弧度制度量角的大小有两种制度，一种是角度制，另一种是弧度制。

我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角。

用弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制。

在弧度制下，弧长公式为 l ＝｜α|r，其中 l 表示弧长，α 表示圆心角的弧度数，r 表示半径。

扇形面积公式为 S ＝ 1/2lr 或 S ＝1/2|α|r² 。

角度与弧度的换算关系为：180°＝π 弧度，1°＝π/180 弧度，1 弧度＝（180/π）°。

三、任意角的三角函数设角α是一个任意角，它的终边上任意一点 P（x，y），r ＝√（x²＋ y²) ，那么角α的正弦、余弦、正切分别为：正弦：sinα ＝ y/r余弦：cosα ＝ x/r正切：tanα ＝ y/x （x ≠ 0）三角函数值在各象限的符号：第一象限：sinα、cosα、tanα 均为正；第二象限：sinα 为正，cosα、tanα 为负；第三象限：tanα 为正，sinα、cosα 为负；第四象限：cosα 为正，sinα、tanα 为负。

四、同角三角函数的基本关系同角三角函数有两个基本关系：平方关系：sin²α ＋cos²α ＝ 1商数关系：tanα ＝sinα/cosα （cosα ≠ 0）这两个关系式在三角函数的化简、求值和证明中经常用到。

新高考人教版(2019)必修第一册
§5.2.1 三角函数的概念(第二课时)
一 情景引入
三角函数推广的定义：一般地，对于任意角α，角α终边上的任意一点
P的坐标为(x,y),它到原点O的距离为r=OP= 2 + 2 =






那么 = , = , = .
2 + 2,
；
练一练
例5 求下列三角函数值：
9
11
)
（3）tan(
4
6



解：（1） sin 1480 10 sin (40 10 4 360 ) sin 40 10 0.645

sin
1480
10(精确到 0.001 );（2） cos
（1）
9


2
（2）cos cos( 2 ) cos

sin 0 .
4
（3）因为 tan(672) = tan(48 2 360) tan 48 ，
而 48是第一象限角，所以 tan(672) 0 ；
（4）因为 tan 3 = tan( 2 ) tan
，
而 的终边在 x 轴上，所以 tan 0


求 0到2 或0到360 角的三角函数值 .
练一练
例4 确定下列三角函数值的符号：
解：

（1）cos 250 （2）sin （3）tan(672) （4） tan 3
4
（1）因为 250 是第三象限角，所以 cos250 0；
（2）因为

4
是第四象限角，所以

高一数学任意角的三角函数试题答案及解析1.已知角的终边过点，且，则___________.【答案】【解析】根据三角函数的定义可知：,所以,,【考点】三角函数的定义2.下列命题正确的是（）A．、都是第二象限角，若，则B．、都是第三象限角，若，则C．、都是第四象限角，若，则D．、都是第一象限角，若，则【答案】C【解析】如果、都是第二象限角，所以，所以，所以A不正确，同理可以判定B,D均不正确，C正确.【考点】本小题主要考查不同象限内角的三角函数值的符号的判断和同角三角函数基本关系式的应用，考查学生的推理能力和转化问题的能力.点评：要特别注意三角函数值符号的判断：一全正，二正弦，三正切，四余弦.3.若，则 .【答案】【解析】所以【考点】本小题主要考查同角三角函数基本关系式的应用和二倍角的正切公式的应用，考查学生的运算求解能力.点评：本小题中用到的求的方法在解题时要注意灵活应用.4.若sinα＋sin2α＝1，则cos2α＋cos4α＝()A．0B．1C．2D．3【答案】B【解析】sinα＝1－sin2α＝cos2α，∴原式＝sinα＋sin2α＝1.5.若α∈[0,2π)且＋＝sinα－cosα，则α的取值范围是()A．B．C．D．【答案】B【解析】∵＋＝|sinα|＋|cosα|＝sinα－cosα，∴，故选B.6.化简sin2α＋sin2β－sin2αsin2β＋cos2αcos2β＝______.【答案】1【解析】原式＝sin2α(1－sin2β)＋sin2β＋cos2αcos2β＝sin2αcos2β＋cos2αcos2β＋sin2β＝cos2β(sin2α＋cos2α)＋sin2β＝1.7.已知sinθ＝，cosθ＝，则tanθ＝________.【答案】－或－【解析】由sin2θ＋cos2θ＝1得，m＝0或8，m＝0时，sinθ＝－，cosθ＝，tanθ＝－，m＝8时，sinθ＝，cosθ＝－，tanθ＝－.本题易错点为直接由tanθ＝给出一个关于m的表达式或者求解关于m的方程时，将零因子约掉只得出m＝8.8.已知sinθ＋cosθ＝，θ∈(0，π)，求值：(1)tanθ；(2)sin3θ＋cos3θ.【答案】(1)tanθ＝－，(2)sin3θ＋cos3θ＝.【解析】∵sinθ＋cosθ＝，θ∈(0，π)，平方得：sinθcosθ＝－<0，∴sinθ>0，cosθ<0，且sinθ，cosθ是方程x2－x－＝0的两根．解方程得x1＝，x2＝－，∴sinθ＝，cosθ＝－.∴(1)tanθ＝－，(2)sin3θ＋cos3θ＝.9.利用正弦线比较sin1，sin1.2，sin1.5的大小关系是()A．sin1>sin1.2>sin1.5B．sin1>sin1.5>sin1.2C．sin1.5>sin1.2>sin1D．sin1.2>sin1>sin1.5【答案】C【解析】因为，1.5，那么利用结合三角函数线可知sin1.5>sin1.2>sin1，选C10.若α是三角形的内角，且sinα＋cosα＝，则这个三角形是()A．等边三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．钝角三角形【答案】D【解析】当0<α≤时，由单位圆中的三角函数线知，sinα＋cosα≥1，而sinα＋cosα＝，∴α必为钝角．11.利用单位圆写出满足sinα<，且α∈(0，π)的角α的集合是__________________________．【答案】∪【解析】作出正弦线如图．MP＝NQ＝，当sinα<时，角α对应的正弦线MP、NQ缩短，∴0<α<或<α<π.12.如果α的终边过点P(2sin30°，－2cos30°)，则sinα的值等于()A．B．－C．－D．－【答案】C【解析】∵P(1，－)，∴r＝＝2，∴sinα＝－.13.函数y＝＋＋的值域是()A．{－1,1,3}B．{1,3}C．{－1,3}D．R【答案】C【解析】∵该函数的定义域是{x|x∈R且x≠，k∈Z}，∴当x是第一象限角时，y＝3；当x是第二象限角时，y＝1－1－1＝－1；当x是第三象限角时，y＝－1－1＋1＝－1；当x是第四象限角时，y＝－1＋1－1＝－1.综上，函数的值域是{－1,3}．14. (08·全国Ⅱ)若sinα<0且tanα>0，则α是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角【答案】C【解析】因为sinα<0故α是第一二象限，且tanα>0，α是第一三象限，则同时成立时为第三象限角，故选C15.若sinθ<cosθ，且sinθ·cosθ<0，则θ在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解析】由条件可知：cosθ>0>sinθ，则θ为第四象限角，故选D.16.α是第二象限角，P(x，)为其终边上一点，且cosα＝x，则sinα的值为() A．B．C．D．－【答案】A【解析】∵|OP|＝，∴cosα＝＝x又因为α是第二象限角，∴x<0，得x＝－∴sinα＝＝，故选A.17.设a<0，角α的终边经过点P(－3a,4a)，那么sinα＋2cosα的值等于()A．B．－C．D．－【答案】A【解析】∵a<0，角α终边经过点P(－3a,4a)，∴r＝－5a，sinα＝－，cosα＝，∴sinα＋2cosα＝，∴选A.18.y＝的定义域为()A．2kπ≤x≤2kπ＋B．2kπ<x<2kπ＋C．2kπ<x<(2k＋1)πD．2kπ－<x<2kπ＋(以上k∈Z)【答案】B【解析】∵，∴2kπ<x<2kπ＋，k∈Z.19.使得lg(cosθ·tanθ)有意义的角θ是第______象限角．【答案】要使原式有意义，必须cosθ·tanθ>0，即需cosθ、tanθ同号，∴θ是第一或第二象限角【解析】要使原式有意义，必须cosθ·tanθ>0，即需cosθ、tanθ同号，∴θ是第一或第二象限角【题型】填空题20.设θ是第三象限角，且满足＝－sin，试判断所在象限．【答案】为第四象限角【解析】∵θ是第三象限角，∴2kπ＋π<θ<2kπ＋π，k∈Z.∴kπ＋<<kπ＋π，k∈Z.∴在第二、四象限内．又∵＝－sin，∴sin≤0.∴为第四象限角．。

专题02第一章 三角函数(知识梳理)学习目标1.了解任意角、弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化.2.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.3.能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性.4.理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]的性质(如单调性、最大值和最小值以及图象与x 轴的交点等)，理解正切函数在区间⎝⎛⎭⎫－π2，π2的单调性. 5.同角三角函数的关系⎝⎛⎭⎫sin 2x ＋cos 2x ＝1，sin x cos x ＝tan x . 6.了解函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的实际意义；函数y ＝A sin(ωx ＋φ)图象的变换(平移变换与伸缩变换). 7.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单的实际问题.1.任意角三角函数的定义在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么： ①y 叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y ； ②x 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x ； ③y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝yx (x ≠0). 2.同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1.(2)商数关系：tan α＝sin αcos α ⎝⎛⎭⎫α≠k π＋π2，k ∈Z . 3.诱导公式六组诱导公式可以统一概括为“k ·π2±α(k ∈Z )”的诱导公式.当k 为偶数时，函数名不改变；当k 为奇数时，函数名改变；然后前面加一个把α视为锐角时原函数值的符号.记忆口诀为“奇变偶不变，符号看象限”.4.正弦函数、余弦函数和正切函数的性质函数y ＝sin xy ＝cos xy ＝tan x图象定义域RR{x |x ∈R ，且x ≠⎭⎬⎫k π＋π2，k ∈Z值域 [－1,1][－1,1]R对称性对称轴：x ＝k π＋π2(k ∈Z )；对称中心：(k π，0)(k ∈Z )对称轴：x ＝k π(k ∈Z )；对称中心：⎝⎛⎭⎫k π＋π2，0(k ∈Z )对称中心⎝⎛⎭⎫k π2，0(k ∈Z )，无对称轴奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 周期性最小正周期：2π 最小正周期：2π最小正周期：π单调性在[－π2＋2k π，π2＋2k π] (k ∈Z )上单调递增；在⎣⎡π2＋2k π，3π2 ＋2k π] (k ∈Z )上单调递减 在[－π＋2k π，2k π](k ∈Z )上单调递增；在[2k π，π＋2k π](k ∈Z )上单调递减在开区间⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )内递增最值在x ＝π2＋2k π(k ∈Z )时，y max ＝1；在x ＝－π2＋2k π(k ∈Z )时，y min ＝－1在x ＝2k π(k ∈Z )时，y max ＝1；在x ＝π＋2k π(k ∈Z )时，y min ＝－1无最值5.A ，ω，φ对函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象变化的影响 (1)φ对函数y ＝sin(x ＋φ)，x ∈R 的图象的影响：(2)ω(ω＞0)对y ＝sin(ωx ＋φ)的图象的影响：(3)A (A ＞0)对y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的影响：类型一 三角函数的概念例1 已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴.若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝ . 答案 －8解析 r ＝x 2＋y 2＝16＋y 2，且sin θ＝－255，所以sin θ＝y r ＝y 16＋y 2＝－255，所以θ为第四象限角，解得y ＝－8.反思与感悟 1.已知角α的终边在直线上时，常用的解题方法有以下两种：(1)先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正弦、余弦函数的定义求出相应三角函数值.(2)在α的终边上任选一点P (x ，y )，P 到原点的距离为r (r ＞0).则sin α＝y r ，cos α＝xr .已知α的终边求α的三角函数值时，用这几个公式更方便.2.当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论. 跟踪训练1 若角α的终边在直线y ＝3x 上，且sin α＜0，又P (m ，n )是α终边上一点，且|OP |＝10，求sin α，cos α，tan α.解 ∵sin α＜0，且角α的终边在直线y ＝3x 上，∴角α的终边在第三象限，又∵P (m ，n )为终边上一点，∴m ＜0，n ＜0.又∵⎩⎪⎨⎪⎧ n ＝3m ，n 2＋m 2＝10，∴⎩⎪⎨⎪⎧n ＝－3，m ＝－1，∴sin α＝n |OP |＝－310＝－31010，cos α＝m |OP |＝－110＝－1010，tan α＝sin αcos α＝－31010－1010＝3.类型二 同角三角函数的基本关系式及诱导公式的应用例2 已知关于x 的方程2x 2－(3＋1)x ＋m ＝0的两根为sin θ，cos θ，θ∈(0,2π).求：(1)cos 2⎝⎛⎭⎫3π2－θcos ⎝⎛⎭⎫π2－θ＋cos (－π－θ)＋sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ1＋tan (π－θ)；(2)m 的值；(3)方程的两根及此时θ的值. 解 由根与系数的关系得： sin θ＋cos θ＝3＋12，sin θcos θ＝m2. (1)原式＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－tan θ＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－sin θcos θ＝sin 2θsin θ－cos θ－cos 2θsin θ－cos θ ＝sin θ＋cos θ＝3＋12. (2)由sin θ＋cos θ＝3＋12， 两边平方可得：1＋2sin θcos θ＝4＋234，1＋2×m 2＝1＋32，m ＝32. (3)由m ＝32可解方程： 2x 2－(3＋1)x ＋32＝0， 得两根12和32.∴⎩⎨⎧sin θ＝12，cos θ＝32， 或 ⎩⎨⎧sin θ＝32，cos θ＝12.∵θ∈(0,2π)， ∴θ＝π6或π3.反思与感悟 1.牢记两个基本关系式sin 2α＋cos 2α＝1及sin αcos α＝tan α，并能应用两个关系式进行三角函数的求值、化简、证明.在应用中，要注意掌握解题的技巧.比如：已知sin α±cos α的值，可求cos αsin α.注意应用(cos α±sin α)2＝1±2sin αcos α.2.诱导公式可概括为k ·π2±α(k ∈Z )的各三角函数值的化简公式.记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限.跟踪训练2 已知f (α)＝sin 2(π－α)·cos (2π－α)·tan (－π＋α)sin (－π＋α)·tan (－α＋3π).(1)化简f (α)；(2)若f (α)＝18，且π4<α<π2，求cos α－sin α的值；(3)若α＝－47π4，求f (α)的值.解 (1)f (α)＝sin 2α·cos α·tan α(－sin α)(－tan α)＝sin α·cos α.(2)由f (α)＝sin α·cos α＝18可知，(cos α－sin α)2＝cos 2α－2sin α·cos α＋sin 2α＝1－2sin α·cos α＝1－2×18＝34，又∵π4<α<π2，∴cos α<sin α，即cos α－sin α<0，∴cos α－sin α＝－32. (3)∵α＝－474π＝－6×2π＋π4，∴f ⎝⎛⎭⎫－474π＝ cos ⎝⎛⎭⎫－474π·sin ⎝⎛⎭⎫－474π＝cos ⎝⎛⎭⎫－6×2π＋π4·sin ⎝⎛⎭⎫－6×2π＋π4 ＝cos π4·sin π4＝22×22＝12.类型三 三角函数的图象及变换例3 某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f (x )的解析式；(2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动π6个单位长度，得到y ＝g (x )图象，求y ＝g (x )的图象离原点O最近的对称中心.解 (1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6.数据补全如下表：ωx ＋φ 0 π2 π 3π2 2π x π12 π3 7π12 5π6 1312π A sin(ωx ＋φ)5－5且函数表达式为f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. (2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6， 因此，g (x )＝5sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6－π6＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 令2x ＋π6＝k π，k ∈Z ，解得x ＝k π2－π12，k ∈Z .即y ＝g (x )图象的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2－π12，0，k ∈Z ，其中离原点O 最近的对称中心为⎝⎛⎭⎫－π12，0. 反思与感悟 本题是“五点法”作图的具体体现，对于已知图象用“五点法”确定初相，这五点一定要在同一周期内；第二、第四点应分别为图象的最高点和最低点，第二、第四两点之间的图象与x 轴的交点为第三点，而第五点则是最低点后面最靠近最低点的图象与x 轴的交点. 跟踪训练3 如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k (A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的一段图象.(1)求此函数解析式；(2)分析一下该函数是如何通过y ＝sin x 变换得来的？ 解 (1)由图象知A ＝－12－⎝⎛⎭⎫－322＝12，k ＝－12＋⎝⎛⎭⎫－322＝－1，T ＝2×⎝⎛⎭⎫2π3－π6＝π， ∴ω＝2πT ＝2.∴y ＝12sin(2x ＋φ)－1.当x ＝π6，2×π6＋φ＝π2，∴φ＝π6.∴所求函数解析式为y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1. (2)把y ＝sin x 向左平移π6个单位得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，然后纵坐标保持不变、横坐标缩短为原来的12，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，再横坐标保持不变，纵坐标变为原来的12得到y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，最后把函数y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象向下平移1个单位，得到y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1的图象. 类型四 三角函数的图象与性质例4 函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的部分图象如图所示. (1)写出f (x )的最小正周期及图中x 0，y 0的值； (2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π2，－π12上的最大值和最小值.解 (1)f (x )的最小正周期为π，x 0＝7π6，y 0＝3.(2)因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，－π12，所以2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－5π6，0，于是，当2x ＋π6＝0，即x ＝－π12时，f (x )取得最大值0；当2x ＋π6＝－π2，即x ＝－π3时，f (x )取得最小值－3.反思与感悟 研究y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调性、最值问题，把ωx ＋φ看作一个整体来解决. 跟踪训练4 已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋a ＋1(其中a 为常数). (1)求f (x )的单调区间；(2)若x ∈[0，π2]时，f (x )的最大值为4，求a 的值；(3)求f (x )取最大值时x 的取值集合.解 (1)由－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－π3＋k π≤x ≤π6＋k π，k ∈Z ，∴函数f (x )的单调增区间为[－π3＋k π，π6＋k π](k ∈Z )，由π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z ，∴函数f (x )的单调减区间为[π6＋k π，2π3＋k π](k ∈Z ).(2)∵0≤x ≤π2，∴π6≤2x ＋π6≤7π6，∴－12≤sin(2x ＋π6)≤1，∴f (x )的最大值为2＋a ＋1＝4，∴a ＝1， (3)当f (x )取最大值时，2x ＋π6＝π2＋2k π，∴2x ＝π3＋2k π，∴x ＝π6＋k π，k ∈Z .∴当f (x )取最大值时，x 的取值集合是{x |x ＝π6＋k π，k ∈Z }.类型五 转化与化归思想在三角函数中的应用 例5已知函数f (x )＝－sin 2x －a sin x ＋b ＋1的最大值为0，最小值为－4，若实数a >0，求a 、b 的值.解 令t ＝sin x ，则g (t )＝－t 2－at ＋b ＋1＝－⎝⎛⎭⎫t ＋a 22＋a 24＋b ＋1，且t ∈[－1,1]. 下面根据对称轴t 0＝－a2与区间[－1,1]的位置关系进行分类讨论.①当－a2≤－1，即a ≥2时，⎩⎪⎨⎪⎧ y max ＝g (－1)＝a ＋b ＝0，y min ＝g (1)＝－a ＋b ＝－4.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2.②当－1<－a2<0，即0<a <2时，⎩⎪⎨⎪⎧y max ＝g ⎝⎛⎭⎫－a 2＝a 24＋b ＋1＝0，y min ＝g (1)＝－a ＋b ＝－4.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝－10.都不满足a 的范围，舍去. 综上所述，a ＝2，b ＝－2.反思与感悟 转化与化归的思想方法是数学中最基本的数学思想方法.数学中一切问题的解决都离不开转化与化归.上述解答将三角函数问题转化为熟悉的二次函数在闭区间上的最值问题.跟踪训练5 已知定义在(－∞，3]上单调减函数f (x )使得f (1＋sin 2x )≤f (a －2cos x )对一切实数x 都成立，求a 的取值范围.解 根据题意，对一切x ∈R 都成立，有： ⎩⎪⎨⎪⎧1＋sin 2x ≤3，a －2cos x ≤3，a －2cos x ≤1＋sin 2x ，⇔⎩⎪⎨⎪⎧sin 2x ≤2，a ≤2cos x ＋3，a ≤1＋sin 2x ＋2cos x ，⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ≤(2cos x ＋3)min ，a ≤(1＋sin 2x ＋2cos x )min ， ⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，a ≤[－(cos x －1)2＋3]min ， ⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，a ≤－1， ∴a ≤－1.。