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任意角的三角函数(二)

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任意角的三角函数⑵

任意角的三角函数⑵

1.任意角的三角函数的(代数表示)-----定义 设 为任意角, p ( x , y )是 终边与单位圆的交点。
y
P (x, y) 正弦： sin
1 余割： csc y

o
x
1 余弦： cos x 正割： sec x 正切： tan y 余切： cot x
y o x
α在第二象限如何？其它象限如何？
五.任意角的三角函数的 (几何表示)----三角函数线
y T P(x,y)

sin y MP
o M A(1,0) x
cos x OM
MP AT tan AT OM OA
1.设的终边与单位圆交于点P(x,y),
2.过点P作x轴的垂线，垂足为M
0
k Z
转化为求00 到3600 角的三角函数值。 可把求任意角的三角函数值，
练习：1.求值 9 1) cos 4

2) sin1470

19 4) sin( 1050 ) 5) tan 3
11 3) tan( ) 6 31 6) tan( ) 4
五.任意角的三角函数的 (几何表示)----三角函数线
y x y tan cos sin x r r
2.若角
3.角
求
的终边上一点P的坐标为 4a, 3a a 0
2sin cos 的值；
3 8 的终边过点P a， cos 则 a ______ 5
，
4.角的终边在直线3 x 4 y 0上, 求2sin cos
y T P(x,y)

sin y MP
o M A(1,0) x

三角函数任意角2

三角函数任意角2

第一章三角函数1.1.1任意角（2）学习目标：要求学生掌握用“旋转”定义角的概念，理解任意角的概念，学会在平面内建立适当的坐标系来讨论角；并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义。

学习重点：理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义学习难点：“旋转”定义角课堂探究：一、复习回顾任意角的概念，角可以分为正角、负角和零角；象限角的概念及所有与α角终边相同的角的集合的表示法S={β|β=α+k×3600，k∈Z}.我们将进一步学习并运用任意角的概念，解决一些简单问题。

二、例题选讲例1写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式-3600≤β<7200的元素β写出来：（1）600；（2）-210；（3）363014，解：（1）S={β|β=600+k×3600，k∈Z}S中适合-3600≤β<7200的元素是600+（-1）×3600=-3000 600+0×3600=600 600+1×3600=4200.（2）S={β|β=-210+k×3600，k∈Z} S中适合-3600≤β<7200的元素是-210+0×3600=-210 -210+1×3600=3390 -210+2×3600=6990说明：-210不是00到3600的角，但仍可用上述方法来构成与-210角终边相同的角的集合。

（3）S={β|β=363014，+k×3600，k∈Z} S中适合-3600≤β<7200的元素是363014，+（-2）×3600=-356046，363014，+（-1）×3600=3014，363014，+0×3600=363014，说明：这种终边相同的角的表示法非常重要，应熟练掌握。

例2写出终边在下列位置的角的集合(1)x轴的负半轴上；（2）y轴上分析：要求这些角的集合，根据终边相同的角的表示法，关键只要找出符合这个条件的一个角即α，然后在后面加上k×3600即可。

任意角的三角函数(第二课时)PPT课件

任意角的三角函数(第二课时)PPT课件
于第一或第三象限。 因为① ②式都成立，所以角θ的终边只能位于第
三象限。 于是角θ是第三象限角。
2020年10月2日
12
（1）. 若sinα=1/3，且α的终边经过点p（—1，y）， 则α是第几象限的角？并求secα，tanα的值。
（答案：α为第二象限的角，sec3 2,tan2 2)
4
（2）下列四个命题中，正确的是 A．终边相同的角都相等 B．终边相同的角的三角函数相等 C．第二象限的角比第一象限的角大 D．终边相同的角的同名三角函数值相等
练习P19-4、5、6
2020年10月2日
10
例3 （1）
解： ①因为2500是第三象限的角，
所以cos 2500 <0。
②因为tan(11π/3)=tan(5π/3+2π)
=tan(5π/3)，
而5π/3是第四象限角，所以
（2）
tan(11π/3)<0。
解： ①cos(9π/4)=cos(π/4+2π)
值的问题，可以转化为求0°～360° (0～2π)间角的三角函数值的问题。
2020年10月2日
9
应用举例 例 3 （1） 确定下列三角函数值的符号：
① cos2500
② tan（11π/3）
（2）求下列三角函数值： ① cos (9π/4) ② tan (－11π/6)
例4 求证，θ为第三象限角的充分必要条件是： sinθ<0 ① 且 tanθ>0 ②
2020年10月2日
1
温故知新
正弦函数、余弦函数、正切函数的定义? 正弦：sinα =MP =y/r 余弦：cosα =OM =x/r 正切：tanα=AT =y/x

1.2.1任意角的三角函数(二)

1.2.1任意角的三角函数(二)

茅盾中学 沈晓强
茅盾中学

新课
首页 例2、若0 , 试比较 sin , tan ,的 2 教学过程 大小.
引入 进行 小结 作业
G S P
EXIT
2014年7月7日星期一
茅盾中学小结 作业
教学过程
EXIT
2014年7月7日星期一
茅盾中学 沈晓强
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作业
首页
引入 进行 小结 作业
教学过程
EXIT
2014年7月7日星期一
茅盾中学 沈晓强
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结束
首页
引入 进行 小结 作业
教学过程
EXIT
2014年7月7日星期一
2014年7月7日星期一
茅盾中学 沈晓强
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新课
首页 例1、作出下列各角的正弦线, 余弦线, 正 切线 : 教学过程 5 (1) ; ( 2) ; 引入 3 6 进行 2 13 小结 (3) ; ( 4) ; 3 6 作业
EXIT
2014年7月7日星期一
引入 进行 小结 作业
2、求下列三角函数值 :
(1) sin( 1050 );
0
19 ( 2 ) tan . EXIT 3
2014年7月7日星期一
茅盾中学 沈晓强
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首页 三角函数的几何意义 :
引入 进行 小结 作业
教学过程
三角函数线
G S P G S P
EXIT
茅盾中学 沈晓强
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引入 进行 小结 作业
教学过程
§ 1.2.1 任意角的三角函数 (二)

1.2.1任意角的三角函数(2)

1.2.1任意角的三角函数(2)
其中
kz
利用公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为 求 0到2
或0到360 角的三角函数值 .
例1 确定下列三角函数值的符号：
解： （1）因为 250 是第三象限角，所以cos 250 0 ；
（2）因为 tan(672 ) = tan(48 2 360 ) tan 48， 而 48是第一象限角，所以 tan(672 ) 0 ； sin 0 . （3）因为 是第四象限角，所以 4 4
y
T M O P
α的终边
y
A(1, 0) x
M A(1, 0) O PT
x
α的终边
因 P(x，y)，所以线段OM的长度为 | x | ， 线段MP的长度为 | y | .
|MP|=|y|=|sinα|;
|OM|=|x|=|cosα|
思考:为了去掉上述等式中的绝对值符号,能否 给线段OM,MP规定一个适当的方向,使他们的 取值与P点的坐标一致? 以坐标轴的方向来规定OM,MP的方向，以 使他们与P点的坐标联系起来。
p15练习(7)题
11 练习：求值 cos 3
71 sin 6
19 tan 3
11 解： cos 3
71 sin 6
19 tan 3
由正弦、余弦、正切函数的定义有：
y y sin y MP r 1
p17练习(2)题
cos x x x OM r 1
y MP AT tan AT x OM OA
我们把这三条与单位圆有关的有向线段 MP、OM、 AT，分别叫做角α的正弦线、余弦线 、正切线．

1.2.1任意角的三角函数(二)

1.2.1任意角的三角函数(二)
2.诱导公式
终边相同的角三角函数值相同
讲授新课
2.诱导公式
终边相同的角三角函数值相同
sin(2k ) sin ( k Z) cos(2k ) cos ( k Z) tan(2k ) tan ( k Z)
讲授新课
3. 例题与练习
例3. 求下列三角函数的值：
1.2.1任意角的 三角函数
复习引入
1. 三角函数的定义
阅读教材P.13，完成探究.
复习引入
1. 三角函数的定义 练习. 已知角的终边上一点P( 3, 1)，
求 cos ，sin , tan 的值.
复习引入
2. 三角函数的符号
讲授新课
1. 例题与练习 例1. 求证：若sin＜0且tan＞0 ，则
(1) sin( ); 4 9 (3) cos 4

(2) tan(3 ).
练习. 教材P.15练习第7题第⑵、⑷.
课堂小结
1．任意角的三角函数的定义；
2．三角函数的定义域、值域； 3．三角函数的符号及诱导公式.
课后作业
1. 阅读教材P.11-P.17；
2. 《学案》P..
角是第三象限角，反之也成立.
讲授新课
1. 例题与练习 例1. 求证：若sin＜0且tan＞0 ，则
角是第三象限角，反之也成立.
练习. 教材P.15练习第6题.
讲授新课
1. 例题与练习
cos x tan x 例2. 求函数 y cos x tan x
的值域.
讲授新课
2.诱导公式
讲授新课

1.2.1 任意角的三角函数(2)

课件演示
例1.作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线 .
（1）
3
；
（2）
2
3
.
解：
y
的终边
T3
y
T
P
O M A(1, 0) x
M
O A(1, 0) x
2 的终边 P
3
（1）
3
正弦线是
MP，
（2）
2
3
正弦线是 MP，
余弦线是 OM，
余弦线是 OM，
正切线是 AT .
正切线是 AT .
例2. 求证：当 为锐角时，sin tan ．
3 ，y），且sin
2 4
y，
求cos、tan 的值。
解：由已知得 r （ 3）2 y2 3 y2
sin y y ，又 sin 2 y
r 3 y2
4
y 3 y2
2y 4
即
y 0或
3 y2 2 2
解得 y 0 或 y 5.
(1) 当 y 0时，P（ 3 ，0），r 3 ,
作 业：
1. 教材 P22 习题4.3 1 ~ 2 2. 步步高：P9~12
高活页：§4.3 任意角的三角函数第一课时
练习1：若角α的终边落在射线 y 3x (x 0) 上，
求 sin ，cos ，tan .
解：在 射线 y 3x (x 0) 上取一点 P(1，3)，
则 r 12 32 10 ，
α的终边
y
P
y
T α的终边 P
MO
A(1, 0) x
T
O M A(1, 0) x
y
y
T
α的终边
M O
P
A(1, 0) x

人教版数学必修四：1.2.1任意角的三角函数(2)(学生版)

【重点难点】
学习重点：三角函数线的定义
学习难点：利用三角函数线解决问题
【学习过程】
一、自主学习与交流反馈
问题1：研究任意角的三角函数定义时，将角放置在平面直角坐标系内有何规定？若角的终边上任意一点P(x，y),到原点的距离为r，则角的正弦、余弦、正切值如何表示？它们在四个象限内的符号有何规律？
问题2：何为有向线段？有向线段MO与OM相同吗？若有向线段MO= - 2，则有向线段
cos=OM,tan=AT ?
二、知识建构与应用：
1.（1）有向线段：。
有向线段的数量：。
（2）单位圆：。
2.请在下边作出终边在不同象限时的三角函数线:
三、例题
例1作出下列各角的三角函数线
（1） （2）
例2利用三角函数线比较下列各组数的大小：
（1） 与 （2)tan 与tan
例3利用单位圆寻找适合下列条件的0到360的角的范围。
（ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ）sinα=，（2）sin≥；(3)tan
思考:
1．根据单位圆上的三角函数线，探究：
（1）正弦函数、余弦函数、正切函数的值域；
（2）正弦函数、余弦函数在 上的单调性；
（3）正切函数在区间 上的单调性。
2．当角 , 满足什么条件时有sin =sin ？
3．若sin >cos ,则 的取值范围是.
四、巩固练习
OM=,有向线段的数值由什么来确定，其中的负号意味着什么？
问题3：什么是单位圆？设任意角的终边与单位圆交于点P(x，y)，则OP=;过点P作x轴的垂线，垂足为M,过点A(1,0)作单位圆的切线，这条切线必然与y轴平行，设它与角的终边或其反向延长线相交于点T，请说明为什么OM = x,MP = y ?为什么sin=MP,

§1.2.1-2 任意角的三角函数(二)

即 ： M P = s in , O M = co s ,
O P=1
在 O M P中 ， O M +M P>O P
y

P M x
o
即 ： s in + c o s > 1
2013-1-11
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
12
§1.2.1-2 任意角的三角函数(二)

4
MP是正弦线 OM是余弦线
P
y
o
AT是正切线
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
o M
A x T
8
2013-1-11
§1.2.1-2 任意角的三角函数(二)
练习： 不查表，比较大小
(1) sin 2 3 和 sin 4 5 (2) cos 2 3 和 cos 4 5 (3) ta n 2 3 和 ta n 4 5
2013-1-11
§1.2.1-2 任意角的三角函数(二)
例 1 .作 出 下 列 各 角 的 三 角 正 弦 线 , 余 弦 线 , 正 切 线 , 并 根 据 三 角 函 数 线 求 它 的 正 弦 值 ,余 弦 值 ,正 切 值 . (1)

4

(2)
4 3
y
T P A M x

4 3

2

s in 1 cos

1 cos s in

证 明 ： 如 图 连 接 AP 在 直 角 CPA中 ，
PCA APM
y

P x MA

2
C
2
o
在 直 角 AM P中 ， MA OA OM 1 cos ta n A P M MP MP s in

山东省滕州市第一中学人教版高中数学新教材必修第一册课件：5.2.1任意角的三角函数2(共13张PPT)

注意：它们的主要作用是将任意角的三角函数 化简到0～2π的三角函数。
讲 课 人
其特征是：等号两边是同名函数，且符号都为正.
：
邢
启 强
7
典型例题 山东省滕州市第一中学人教版高中数学新教材必修第一册课件：5.2.1任意角的三角函数2(共13张PPT)
例1 求下列三角函数值：
（1）tan(－ 11
6
)；
r
r
讲 课 人 ： 邢 启 强
③比值 y 叫做 的正切，记作tan，即 tan y ．
x
x 2
复习引入
三角函数值的符号问题
正弦为正 余弦为负 正切为负 正弦为负 余弦为负 正切为正
y
三角函数全为正
o 正弦为负 x 余弦为正 正切为负
Ⅰ全正，Ⅱ正弦，Ⅲ正切，Ⅳ余弦
意为：第一象限各三角函数均为正,第二象限只有正弦及与正
＝ 3 3 1 1 1 0 2 2 22
(2)原式＝sin 0 1
6
2
讲 课 人 ： 邢 启 强
山东省滕州市第一中学人教版高中数 学新教 材必修 第一册 课件：5 .2.1任 意角的 三角函 数2(共 13张PP T)
10
巩固练习 山东省滕州市第一中学人教版高中数学新教材必修第一册课件：5.2.1任意角的三角函数2(共13张PPT)
巩固练习 山东省滕州市第一中学人教版高中数学新教材必修第一册课件：5.2.1任意角的三角函数2(共13张PPT)
求值：
(1) sin(1320 ) cos1110 cos(1020 ) sin 750 tan 495
(2)sin( 11 ) cos 12 tan 4
6
5
解：(1)原式＝sin120 cos30 cos60 sin 30 tan135
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1.2.1 任意角的三角函数(二)
【编写时间】2015年12月7日
【学习目标】 1.了解三角函数线的定义和意义。

2.会用三角函数线表示一个角的正余弦和正切。

3.掌握三角函数线的简单应用。

【预习范围】课本P15-P17
【思维导引】
1.三角函数线
三角函数线是表示三角函数值的有向线段，线段的方向表示了三角函数值的
如上图，α终边与单位圆交于P，过P
垂
直x轴，有向线段______即为正弦线
如上图，有向线段______即为余弦线
【思维碰撞】
1. 作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线．
(1)－π
4
； (2)
17π
6
； (3)
10π
3
.
2 如图在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是( )
A．正弦线PM，正切线A′T′
B．正弦线MP，正切线A′T′
C．正弦线MP，正切线AT
D．正弦线PM，正切线AT
3．sin 1、cos 1、tan 1的大小关系为( )
A．sin 1>cos 1>tan 1 B．sin 1>tan 1>cos 1
C．tan 1>sin 1>cos 1 D．tan 1>cos 1>sin 1
4．在单位圆中画出适合下列条件的角α终边的范围，并由此写出角α的集合．
(1)sin α≥
3
2
； (2)cos α≤－
1
2
.。