2任意角的三角函数、同角三角函数的基本关系含答案
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2任意角的三角函数、同角三角函数的基本关系
1.任意角三角函数的定义
设角α终边上任意一点的坐标为(x ,y ),它与原点的距离为r ,则sin α=________,cos α=________,tan α=________.
2.正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号
3.诱导公式一
终边相同的角的同一三角函数的值________,即:
sin(α+k ·2π)=______,cos(α+k ·2π)=________,tan(α+k ·2π)=________,其中k ∈Z .
4.三角函数的定义域
正弦函数y =sin x 的定义域是______;余弦函数y =cos x 的定义域是______;正切函数y =tan x 的定义域是_______________________________.
5.同角三角函数的基本关系式
(1)平方关系:____________________.
(2)商数关系:____________(α≠k π+π2
,k ∈Z ). 6.同角三角函数基本关系式的变形
(1)sin 2α+cos 2α=1的变形公式:
sin 2α=________;cos 2α=________;
(sin α+cos α)2=____________________;
(sin α-cos α)2=________________;
(sin α+cos α)2+(sin α-cos α)2=______;
sin α·cos α=______________________=________________________.
(2) tan α=sin αcos α
的变形公式:sin α=________________;cos α=______________.
知识梳理
1. y r x r y x
3.相等 sin α cos α tan α
4.R R {x |x ∈R 且x ≠k π+π2
,k ∈Z } 5.(1)sin 2α+cos 2α=1 (2)tan α=sin αcos α
6.(1)1-cos 2α 1-sin 2α 1+2sin αcos α 1-2sin αcos α 2 (sin α+cos α)2-12
1-(sin α-cos α)22 (2)cos αtan α sin αtan α
一、选择题
1.sin 780°等于( )
A.32 B .-32 C.12 D .-12
2.点A (x ,y )是300°角终边上异于原点的一点,则y x
的值为( ) A. 3 B .- 3 C.33 D .-33
3.若sin α<0且tan α>0,则α是( )
A .第一象限角
B .第二象限角
C .第三象限角
D .第四象限角
4.若α是第一象限角,则sin α+cos α的值与1的大小关系是( )
A .sin α+cos α>1
B .sin α+cos α=1
C .sin α+cos α<1
D .不能确定
5.若sin α+sin 2α=1,则cos 2α+cos 4α等于( )
A .0
B .1
C .2
D .3
6.若sin α=45
,且α是第二象限角,则tan α的值等于( ) A .-43 B.34 C .±34 D .±43
二、填空题
7.若角α的终边过点P (5,-12),则sin α+cos α=______.
8.在[0,2π]上满足sin x ≥12
的x 的取值范围为________. 9.已知tan θ=2,则sin 2θ+sin θcos θ-2cos 2θ=________.
三、解答题
10.求下列各式的值.
(1)cos ⎝⎛⎭⎫-233π+tan 174
π; (2)sin 630°+tan 1 125°+tan 765°+cos 540°.
11.已知角α终边上一点P (-3,y ),且sin α=34
y ,求cos α和tan α的值.
12.求证:1-2sin 2x cos 2x cos 2 2x -sin 2 2x =1-tan 2x 1+tan 2x
.
作业设计
1.A
2、B
3.C [∵sin α<0,∴α是第三、四象限角.又tan α>0,
∴α是第一、三象限角,故α是第三象限角.]
4.A [设α终边与单位圆交于点P ,sin α=MP ,cos α=OM ,
则|OM |+|MP |>|OP |=1,即sin α+cos α>1.]
5、B
6、A
7.-713
8、.⎣⎡⎦⎤π6,5π6
9、45 解析 sin 2θ+sin θcos θ-2cos 2θ=sin 2θ+sin θcos θ-2cos 2θsin 2θ+cos 2θ=tan 2θ+tan θ-2tan 2θ+1
, 又tan θ=2,故原式=4+2-24+1=45.
10.解 (1)原式=cos ⎣⎡⎦⎤π3+(-4)×2π+tan ⎝⎛⎭⎫π4+2×2π=cos π3+tan π4=12+1=32
. (2)原式=sin(360°+270°)+tan(3×360°+45°)+tan(2×360°+45°)+cos(360°+180°) =sin 270°+tan 45°+tan 45°+cos 180°=-1+1+1-1=0.
11.解 sin α=y 3+y 2=34
y . 当y =0时,sin α=0,cos α=-1,tan α=0.
当y ≠0时,由y 3+y 2
=3y 4,解得y =±213. 当y =213时,P ⎝
⎛⎭⎫-3,213,r =433. ∴cos α=-34,tan α=-73
. 当y =-213时,P (-3,-213),r =433
, ∴cos α=-34,tan α=73
. 12.证明 左边=cos 2 2x +sin 2 2x -2sin 2x cos 2x cos 22x -sin 22x
=(cos 2x -sin 2x )2(cos 2x -sin 2x )(cos 2x +sin 2x )
=cos 2x -sin 2x cos 2x +sin 2x =1-tan 2x 1+tan 2x
=右边.
∴原等式成立.