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-+-++--+--++y xxy y xOO O任意角的三角函数（2）——三角函数的定义一、课前检测1.设集合M ＝{α|α＝kπ2－π3，k∈Z }，N ＝{α|－π<α<π}，则M∩N＝________.解析：由－π<kπ2－π3<π得－43<k<83，∵k∈Z ，∴k＝－1,0,1,2，故M∩N＝{－56π，－π3，π6，23π}．答案：{－56π，－π3，π6，23π}2.圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角弧度数为( )A.π3B.2π3 C. 3 D ．2 解析：选C.二、知识梳理1.1)设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点()y x P ,，那么：xyx y ===αααtan ,cos ,sin . 2)设点()00,y x A 为角α终边上任意一点，那么：（设2020y x r +=）r y 0sin =α，rx0cos =α，00tan x y =α.(解读：特殊与一般的关系)2.αsin ，αcos ，αtan 在四个象限的符号（一全二正弦，三切四余弦,简记为“全s t c ”）3.三角函数线（单位圆中）正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线： AT.4.三角函数的定义域三角函数定义域 x y sin =R x y cos = Rx y tan =⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠Z k k x x ,2ππ5. 特殊角的三角函数值α的角度︒0 ︒30 ︒45 ︒60 ︒90 ︒120 ︒135 ︒150 ︒180 ︒270 ︒360α的弧度6π 4π 3π 2π 32π 43π 65π π23π π2αsin0 21 22 23 1 23 22 21 0 1- 0 αcos123 22 2121- 22- 23- 1- 01TMA OPxy(3) 若 o<x<2,则sinx<x<tanx(2)(1)|sinx|>|cosx||cosx|>|sinx||cosx|>|sinx||sinx|>|cosx|sinx>cosxcosx>sinx16. 几个重要结论:OOxyxyαtan33 1 3 — 3- 1-33- 0 — 06.诱导公式一:终边相同的角的同一三角函数值相等。
第2课时任意角的三角函数（二）【教学目标】1、知识目标（1）理解有向线段。
（2）理解单位圆中三角函数线，会画某角的正弦线、余弦线、正切线。
2．能力目标掌握用单位圆中的线段表示三角函数值，从而使学生对三角函数的定义域、值域有更深的理解。
3、情感目标通过对三角函数线的学习，进一步理解、体会数形结合的思想在数学中的应用。
【重点难点】1、重点理解单位圆中的三角函数线。
2、难点正切线。
案例（一）教学过程案例（二）教学过程1、观察投影片图1.2-7，角的正弦、余弦值能否用线段来表示？ 学生——探究图 1.2-7中（Ⅰ）~（Ⅳ），不难得到（可能有分情况给出的，形式不同）：.cos ,sin OM x MP y ====αα教师——提问，了解情况，认可上述结论。
2、为了去掉上述等式中的绝对值符号，能否给线段OM 、MP 规定一个适当的方向，使它们的取值与点P 的坐标一致？教师——请同学们想一下，直角坐标系内的坐标的正负与谁的方向有关？学生——点的坐标与坐标轴的方向有关。
在坐标轴正方向上的为正，负方向上的为负。
教师——根据前面得出的关系如,sin MP y ==α如何规定线段的方向才能将绝对值符号同时拿掉？呈MP y ==αsin 形式？如果实现了这种形式，我们说就给了三角函数的正弦值以几何表示。
学生——观察、思考、回答。
(应该以坐标轴的方向来规定线段的方向。
) 当角α的终边不在坐标轴上时，以O 为始点、M 为终点，规定：当线段OM 与x 轴同向时，OM 的方向为正方向，且有正值x ，当线段OM 与x 轴反向时，OM 的方向为负向，且有负值x 。
其中x 为P 点的横坐标。
这样同，无论哪一种情况都有：αcos ==x OM 。
同理，当角α的终边不在坐标轴上时，以M 为始点、P 为终点，规定：当线段MP 与y 轴同向时，MP 的方向为正方向，且有正值y ；当线段MP 与y 轴反向时，MP 的方向为负方向，且有负值y 。
1 第一章三角函数1.2.1任意角的三角函数（2）
学习目的：
1.复习三角函数的定义、定义域与值域、符号、及诱导公式；
2.利用三角函数线表示正弦、余弦、正切的三角函数值；
3.利用三角函数线比较两个同名三角函数值的大小及表示角的范围。
学习重点：正弦、余弦、正切线的概念。
学习难点：正弦、余弦、正切线的利用。
课堂探究：
一、复习引入：
1．三角函数的定义及定义域、值域：
练习1已知角α
的终边上一点()P m
，且sin 4
α=
，求cos ,sin αα的值。
解：
由题设知x =y m =
，所以2222||(r O P m ==+
，得r =
从而sin 4
α
=
m r ==
，解得0m =
或2
1662m m =+⇒=
当0m =
时，r x =
=
cos 1,tan 0x y
x
αα=
=-=
=；
当m =
r x
==，
cos ,tan 4
x y x
αα=
=-
=
=-
；
当m
=r x ==，
cos ,tan 4
3
x y r x αα=
=-
=
=
．
2．三角函数的符号：
练习2：已知sin 0α<且tan 0α>，
（1）求角α的集合；（2）求角2
α终边所在的象限；（3）试判断tan ,sin cos 2
2
2
ααα
的符号。
3．诱导公式：
练习3：求下列三角函数的值：
（1）9cos 4
π， （2）11tan()
6
π-， （3）9sin 2
π
．
二、讲解新课：
当角的终边上一点(,)P x y 1=时，有三角函数正弦、余弦、正切值的几何表示——三角函数线。
1．单位圆：圆心在圆点O ，半径等于单位长的圆叫做单位圆。
2．有向线段：
坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向。
规定：与坐标轴方向一致时为正，与坐标方向相反时为负。
3．三角函数线的定义：
设任意角α的顶点在原点O ，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点
P (,)x y ，
过P 作x 轴的垂线，垂足为M ；过点(1,0)A 作单位圆的切线，它与角α的终边或其反向
2 延长线交与点T .
当角α的终边不在坐标轴上时，有向线段,OM x MP
y ==，于是有
sin 1y y y M P r α====，
c o s 1
x x x O M r α====，
tan y M P A T
A T x O M
O A
α=
===．
我们就分别称有向线段,,MP OM AT 为正弦线、余弦线、正切线。
说明：
①三条有向线段的位置：正弦线为α的终边与单位圆的交点到x 轴的垂直线段；余弦 线在x 轴上；正切线在过单位圆与x 轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中两条在单
位
圆内，一条在单位圆外。
②三条有向线段的方向：正弦线由垂足指向α的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向
垂
足；正切线由切点指向与α的终边的交点。
③三条有向线段的正负：三条有向线段凡与x 轴或y 轴同向的为正值，与x 轴或y 轴反向的 为负值。
④三条有向线段的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后面。
4．例题分析：
例1 作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线。
（1）3
π； （2）56
π； （3）23
π-； （4）136
π-．
解：图略。
例2 利用三角函数线比较下列各组数的大小：
1︒ 3
2sin π与5
4sin π 2︒ tan 3
2π与tan 4π 3︒ cot 2π与cot 5
4π
解： 如图可知： 32sin π>5
4sin π
3 tan 32π< tan
54π cot
3
2π >cot
5
4π
例3 利用单位圆寻找适合下列条件的0︒到360︒的角
1︒ sin α≥
2
1 2︒ tan α>
3
3
解：
︒
︒<α<
例4利用单位圆写出符合下列条件的角x 的范围。
（1）1sin 2
x <-
； （2）1cos 2
x >
；
（3）10,sin 2
x x π<<>且1cos 2
x <
；
（4）1|cos |2
x ≤； （5）1sin 2
x ≥
且tan 1x ≤-． 解：（1）71122,6
6
k x k k Z ππππ+<<+∈；（2）22,6
6
k x k k Z π
π
ππ-
+<<+∈；
（3）5,36
x k Z π
π<<∈；（4）,6
2
6
2
k x k k Z π
π
π
π
ππ-
+
+<<
+
+∈；
（5）
322,2
4
k x k k Z π
πππ+<<+∈．
三、巩固与练习 四、小 结：
本节课学习以下内容： 1．三角函数线的定义；
2．会画任意角的三角函数线；
3．利用单位圆比较三角函数值的大小，求角的范围。
五、课后作业：
补充：1．利用余弦线比较cos 64,cos 285
的大小；
2．若
42
π
π
θ<<
，则比较sin θ、cos θ、tan θ的大小；
3．分别根据下列条件，写出角θ的取值范围：
（1）cos 2
θ<； （2）tan 1θ>- ； （3）sin 2
θ>-
．。
