概率论与数理统计(8)假设检验
第八章 假设检验
第一节 假设检验问题
第二节 正态总体均值的假设检验
第三节 正态总体方差的检验
第四节 大样本检验法
第五节 p值检验法
第六节 假设检验的两类错误
第七节 非参数假设检验
第一节 假设检验问题
前一章我们讨论了统计推断中的参数估计问题，本章将讨论另一类统计推断问题——假设检验.在参数估计中我们按照参数的点估计方法建立了参数 的估计公式，并利用样本值确定了一个估计值 ，认为参数真值 。由于参数 是未知的， 只是一个假设（假说，假想），它可能是真，也可能是假，是真是假有待于用样本进行验证（检验）.
下面我们先对几个问题进行分析，给出假设检验的有关概念，然后总结给出检验假设的思想和方法.
一、 统计假设
某大米加工厂用自动包装机将大米装袋,每袋的标准重量规定为10kg，每天开工时，需要先检验一下包装机工作是否正常. 根据以往的经验知道,自动包装机装袋重量X服从正态分布N( )．某日开工后，抽取了8袋，如何根据这8袋的重量判断“自动包装机工作是正常的”这个命题是否成立？
请看以下几个问题：
问题1
引号内的命题可能是真，也可能是假，只有通过验证才能确定．如果根据抽样结果判断它是真，则我们接受这个命题，否则就拒绝接受它，此时实际上我们接受了“机器工作不正常”这样一个命题．
若用H0表示“ ”，用H1表示其对立面，即“ ”，则问题等价于检验H0： 是否成立，若H0不成立，则H1：
成立．
一架天平标定的误差方差为10-4(g2)，重量为 的物体用它称得的重量X服从N( )．某人怀疑天平的精度，拿一物体称n次，得n个数据，由这些数据(样本)如何判断“这架天平的精度是10-4(g2)”这个命题是否成立？
1 假设检验的一般问题
1.1假设检验的定义
假设检验是数理统计学中根据一定假设条件由样本推断总体的一种方法。其基本原理是先对总体的特征作出某种假设，然后通过抽样研究的统计推理，对此假设应该被拒绝还是接受作出推断。
1.2 参数估计与假设检验
统计推断是由样本的信息来推测母体性能的一种方法，它又可以分为两类问题，即参数估计和假设检验，它们都是利用样本对总体进行某种推断，然而推断的角度不同。参数估计是通过样本统计量来推断总体未知参数的取值范围，以及作出结论的可靠程度，总体参数在估计前是未知的。而在假设检验中，则是预先对总体参数的取值提出一个假设，然后利用样本数据检验这个假设是否成立，如果成立，我们就接受这个假设，如果不成立就拒绝原假设。当然由于样本的随机性，这种推断只能具有一定的可靠性。
实际生产和科学实验中，大量的问题是在获得一批数据后，要对母体的某一参数进行估计和检验。
例如，我们对45钢的断裂韧性作了测定，取得了一批数据，然后要求45钢断裂韧性的平均值，或要求45钢断裂韧性的单侧下限值，或要求45钢断裂韧性的分散度(即离散系数)，这就是参数估计的问题。
又如，经过长期的积累，知道了某材料的断裂韧性的平均值和标准差，经改进热处理后，又测得一批数据，试问新工艺与老工艺相比是否有显著差异，这就是假设检验的问题。
这样可以看出，参数估计是假设检验的第一步，没有参数估计，也就无法完成假设检验。
1.3假设检验的基本思想
假设检验的基本思想是小概率反证法思想。小概率思想是指小概率事件（P<0.01或P<0.05）在一次试验中基本上不会发生。反证法思想是先提出假设(检验假设H0)，再用适当的统计方法确定假设成立的可能性大小，如可能性小,则认为假设不成立，若可能性大，则还不能认为假设不成立。
1.4假设检验的基本概念
1.4.1原假设和备择假设
为了对假设检验的基本概念有一个直观的认识，不妨先看下面的例子。
数理统计学的例证教学法 以假设检验为例 蒋青松 （河南财经政法大学统计学系 河南・郑州４５（）００２） 中图分类号：Ｇ６４２．４ 文献标识码：Ａ 文章编号：１ ６７２—７８９４（２０１ ０）２７—０４０—０２
１例证教学法简述 例证教学法是按照一定的教学目的，对于学科中比较难 于理解的基本原理，采用日常生活中的人们都可以理解的生 活实例作为比较和说明，以引导和加深对基本原理的理解的 一种课堂教学法。与传统的概念、定理、证明的教学模式相 比，例证教学法具有以学生为主体，以启发和比较为方式等 特点，是一种极好的教学方式。本人在近一阶段的数理统计 学课程教学中积极探索和尝试例证教学法，对于其中的譬如 假设检验原理、最大似然原理、贝叶斯估计、方差分析等统计 思想采用例证教学法，得到同学们的好评，取得了很好的效 果。现在以假设检验原理为例，谈谈例证教学法。 ２例证教学法讲授假设检验原理 根据从未知总体中抽取的随机样本，对未知总体的分 布特征进行统计推断是数理统计学的基本课题之一。它通 常基于以下两种情况： 第一，当总体的分布形式（例如总体为正态分布形式） 已知的情况下，根据样本数据对总体分布的统计参数（例如 均值、方差等）进行推断。如正态总体的均值是否与某个具 体数值有显著差异，两个正态总体的方差是否存在显著差 异等。这类问题通常采用参数检验（包括估计和假设检验） 的方法来解决。 第二，事实上，大多数隋况下，人们很难对总体的分布形式 作出较为适当的假设，此时往往不假定总体的分布形式，直接 对总体分布的某些假设（例如对称性、分位数大小等等假设） 作统计检验。这时采用的统计推断方法称为非参数检验。 那么假设检验的统计思想是什么呢？人们该怎样进行 假设检验的工作呢？下面通过一些生活中的常见实例进行 介绍。 在一个掷色子的游戏中，连续抛掷６００次只有一次掷得 所要的点数。对这样一件事情，该怎么看呢？（１）虽然平均应当 掷得１００次，但是运气实在太差，竟然只掷得一次。（２）要么 ４０｜｜ｆ缸 ｃ‘ 色子有问题，要么庄家出老千，这里面肯定有鬼。虽然第一种 情况不是不可能，但是我想ｌ０个人有９个人都会持第二种 想法，这正是假设检验基本思想的朴素用法。 假设检验的基本思想是先建立一个关于样本所属总体 的假设（色子是好的，庄家也没有出老千），然后利用样本告 知的信息（连续抛掷６００次只有一次掷得所要的点数）去验 证先前提出的假设。若在先前的假设下样本数据提供的信 息是一个小概率事件，则怀疑假设成立有悖于样本数据提 供的信息，则拒绝假设条件成立；否则，没有理由认为假设 有问题，我们就接受它。这个验证过程所依据的原理我们称 为小概率事件原理，即小概率事件在一次随机抽样中不会 发生。当然，事实上小概率事件在一次随机抽样中还是可能 发生的，只是发生的概率很小，若正好碰上了，假设检验的 结论就是错误的。 近年来的大规模调查表明我国某地婴儿出生体重均数 为３．１０千克，随机抽取的６６名难产儿其平均体重为３．３５ 千克，标准差０．３９千克，难产儿的体重是否不同于一般婴 儿？我们假设难产儿体重与一般婴儿无异（能建立相反的假 设吗？），难产儿平均体重３．３５千克，一般婴儿３．１０千克，此 时能否立即拒绝原假设呢？不能。因为引起差距的原因有两 个来源：一是系统误差，就是难产儿与一般婴儿确实有差 距；二是抽样误差，就是采取随机抽样方法造成的误差，对 同一个总体不同样本的计算也会得到不同的数值。我们需 要判断这０．２５千克的差距到底是什么造成的，依据的原理 便是小概率事件原理。它首先计算在原假设成立的条件下， 样本数据或者更极端数据发生的概率。如果难产儿体重确 实与一般婴儿一样是３．１０千克，那么一次抽取６６名难产儿 其平均体重是３．３５千克或者更大的概率是多大？如果发生 的概率很大，则没有理由认为难产儿的体重不同于一般婴 儿；如果概率很小，依据小概率事件原理，我们就不能同意 原假设，从而认为难产儿体重确实不同于一般婴儿。 从上面的分析可以看到假设检验过程中有三个问题： 第一，如何建立原假设？第二，如何计算在原假设成立的条 件下样本数据或者更极端数据发生的概率？第三，如何确定 小概率事件的小概率值？回答了以上三个问题，假设检验的 工作也就完成了，可以确定下面四个步骤来进行假设检验 的程序化操作。 ３假设检验的步骤
概率论与数理统计教案-假设检验
第一章：假设检验概述
1.1 假设检验的定义与作用
引导学生理解假设检验的基本概念
解释假设检验在统计学中的重要性
1.2 假设检验的基本步骤
介绍假设检验的基本步骤，包括建立假设、选择显著性水平、计算检验统计量、确定决策规则和给出结论
1.3 假设检验的类型
解释单样本假设检验、两样本假设检验和方差分析等不同类型的假设检验
第二章：单样本假设检验
2.1 单样本Z检验
介绍单样本Z检验的适用场景和条件
解释Z检验的计算方法和步骤
2.2 单样本t检验
介绍单样本t检验的适用场景和条件
解释t检验的计算方法和步骤
2.3 单样本秩和检验
介绍单样本秩和检验的适用场景和条件
解释秩和检验的计算方法和步骤
第三章：两样本假设检验
3.1 两样本t检验 介绍两样本t检验的适用场景和条件
解释两样本t检验的计算方法和步骤
3.2 两样本秩和检验
介绍两样本秩和检验的适用场景和条件
解释两样本秩和检验的计算方法和步骤
3.3 配对样本t检验
介绍配对样本t检验的适用场景和条件
解释配对样本t检验的计算方法和步骤
第四章：方差分析
4.1 方差分析的适用场景和条件
解释方差分析的适用场景和条件，包括完全随机设计、随机区组设计和析因设计等
4.2 方差分析的计算方法
介绍方差分析的计算方法，包括总平方和、组间平方和和组内平方和的计算
4.3 方差分析的判断准则
解释F检验的判断准则和显著性水平的确定
第五章：假设检验的扩展
5.1 非参数检验
介绍非参数检验的概念和适用场景
解释非参数检验的计算方法和步骤
5.2 假设检验的优化方法
介绍自助法和贝叶斯方法等假设检验的优化方法 5.3 假设检验的软件应用
介绍使用统计软件进行假设检验的方法和技巧
第六章：卡方检验
6.1 卡方检验的基本概念
介绍卡方检验的定义和作用
解释卡方检验在分类数据分析中的应用
6.2 拟合优度检验
解释拟合优度检验的概念和计算方法
