数理统计之假设检验

❖ 3 给定显著性水平 ，按分布写出小概率事件及其
概率表达式； ❖ 4 由样本计算出需要的数值； ❖ 5 判断小概率事件是否发生，是则拒绝，否接受
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二 单个正态总体参数的假设检验
一、总体均值 的假设检验
1. 2 已知时， 的检验 H0 : 0 -----原假设（零假设） H1 : 0 -----备选假设（对立假设）
决定
H0为真
H0不真
拒绝H0 第一类错误 正确
接受H0 正确
第二类错误
犯两类错误的概率:
P{拒绝H0|H0为真}= ,
P{接受H0|H0不真}= . 显著性水平 为犯第一类错误的概率.
当样本容量n固定时，一类错误概率的减少 导致另一类错误概率的增加.要同时降低两类错误, 必须增加样本容量.
在统计学中,通常控制犯第一类错误的概率. 一般事先选定一个数,(0<<1),要求犯第一类 错误的概率≤.
必须作一些试验，也就是抽样。
根据得到的样本观察值 x1 , x2 ,, xn 来作出决定。
假设检验问题就是根据样本的信息，检验 关于总体的某个假设是否正确。
❖ 假设检验是一种统计推断方法
为了了解总体的某些性质，首先作出某种假 设，然后进行试验，取得样本，根据样本值，构 造统计方法，判断是否接受这个假设，即检验这 种假设是否合理，合理则接受，否则拒绝。 小概率事件在一次试验中发生的概率记为α，
抽出10个样品进行检验，测得其折断力为 572 578 570 568 572 570 570 572 596 584
看在H0条件下会不会产生不合理的现象，
样本均值 X为 的无偏估计，X能较好反映 的大小.
当
H
为真时，
0
X
差异不能过大。
P{ X 有较大偏差} 较小
若差异较大，即小概率事件发生，则拒绝假设 H0 .
检验一个H0时,是根据检验统计量来判决是 否接受H0的,而检验统计量是随机的,这就有可能 判决错误.这种错误有以下两类:
H0事实上是正确的,但被我们拒绝了,称犯 了“弃真”的(或称第一类)错误.
H0事实上是不正确的,但被我们接受了,称 犯了“存伪”的(或称第二类)错误.
假设检验的两类错误 实际情况
第四步：查表确定临界值 k z /2
第五步：计算 u x 0
(x)
n
第六步：判断
z 0 | u | z / 2 则H0相容，接受H0 2
| u | z / 2 则否定H0，接受H1
2
z x
2
P(|Z|>zα/2)=α
Z检验 α/2
φ(x)
α/2
- zα/2
zα/2
X
拒绝域 接受域 拒绝域
双侧统计检验
例2 某车间用一台包装机包装葡萄糖.包得的袋装糖 重是一个随机变量X, 且 X ~ N (, 2 ) 当机器正常时,
其均值为μ=0.5公斤, 标准差σ=0.015公斤.
某日开工后为检验包装机是否正常,随机地抽取它所 包装的糖9袋,称得净重为(公斤)（: =0.05）
0.497 0.506 0.518 0.524 0.498 0.511 0.520 0.515 0.512 问机器是否正常? 解：先提出假设
0.05, 0.01, 0.1
在假设检验中,称α为显著水平、检验水平。
解决办法与基本思想
❖ 1 明确所要处理的问题，答案只能是“是”或“否” ❖ 2 取得样本，同时要知道样本的分布 ❖ 3 把“是”转化到分布上得到一个命题或假设 ❖ 4 根据样本值，按照一定的规则，作出接受或拒绝
假设的决定。 ❖ 基本思想（规则或前提）
第四章 假设检验
基本要求 理解假设检验的概念及其基本思想。 理解拒绝域、临界值、显著水平等概念。 掌握假设检验的基本步骤。 了解假设检验可能产生的两类错误。
一 假设检验基本概念
例，对某产品进行了工艺改造或研制了新产品， 要比较原产品和新产品在某一项指标上的差异， 这样我们面临选择是否接受假设
“新产品的某一项指标优于老产品”。
故拒绝H0，可以接受H1。 即认为折断力大小有差别
已知 X ~ N (, 2 ), 2 已知，检验假设
H0 : 0 H1 : 0 的过程分为六个步骤：
第一步：提出原假设和备择假设
H0 : 0 H1 : 0 第二步：选取统计量 U X
n
第三步：拒绝域为
x 0 n
z / 2
其中 0 是已知常数
在实际中，往往把不轻易否定的命题作为原假设.
例1 某车间生产铜丝，主要质量指标是折断力
X的大小。由资料可认为 X ~ N (570,82 ) 今换了一批
原料，从性能上看，估计折断力的方差不会有变化， 但不知折断力的大小有无差别。（=0.05）
解 此问题就是已知方差 2 82 检验假设 H0 : 570, H1 : 570
当 H0为真时， U
X 0 n
~
N（0，1）
衡量 u x 0 的大小 n
设一临界值 k>0，若
u x 0 k n
就认为有较大偏差；
则认为
H
不真，拒绝
0
H
0
若
u x 0 k
n
则接受 H0
显著性检验： P{拒绝H0| H0为真}
P
X
0
k
,
n
U X 0 ~ N（0，1） n
显著性检验：只对犯第一类错误的概率加以控制，
而不考虑犯第二类错误的概率。
P{拒绝H0| H0为真} 称 为显著性水平。
参数假设检验解题步骤
❖ 1 根据问题提出原假设H0，同时给出对立假设H1 （备选假设）；
❖ 2 在H0成立的前提下，选择合适的统计量，这个统 计量要包含待检的参数，并求得其分布；
小概率事件在一次试验中几乎不会发生。
带概率性质的反证法 通常的反证法设定一个假设以后,如果出现的 事实与之矛盾,(即如果这个假设是正确的话,出现 一个概率等于0的事件)则绝对地否定假设.
带概率性质的反证法的逻辑是: 如果假设H0是正确的话,一次试验出现一个 概率很小的事件,则以很大的把握否定假设H0.
k z / 2
X 0 n
Z / 2
拒绝域
572 578 570 568 572 570 570 572 596 584
由样本值求出 x 575.2
z 2 z0.025 1.96;
x 0 575.2 570 5.2 10 2.055 1.96
n
8 10
8
这说明小概率事件竟在一次试验中发生了，