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[精选]高等数理统计 假设检验--资料

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概率论与数理统计课件：假设检验

概率论与数理统计课件：假设检验

假设检验
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五、假设检验的两类错误
由于样本具有随机性，因此，当我们利用样本判断时， 可能会犯两类错误：
所作决策
真实情况
(未知)
样本未落入拒绝域 样本落入拒绝域
接受H0
拒绝H0
H0为真
正确
第一类错误
H0不真
第二类错误
正确
第一类(弃真): 第二类(取伪):
假设检验
P{拒绝H0|H0为真}= , P{接受H0|H0不真}= .
(α=0.05)
解：正态总体X~N(μ，σ2)，已知σ=2
要检验的假设为
H0 : 40, H1 : 40
选择检验统计量
Z X 0 ~ N (0,1) / n
假设检验
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解：正态总体X~N(μ，σ2)，已知σ=2
要检验的假设为
H0 : 40, H1 : 40
选择检验统计量
由样本数据计算，得 x 100.104 计算统计量Z的观测值，得
Z 100.104 100 0.658 1.96 0.5 / 10
没有落入 拒绝域
结论：不拒绝原假设，认为内径的值符合设计要求.
假设检验
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要检验的假设为
H0 : 100, H1 : 100
（2）未知σ2 ，选择检验统计量
没有落入 拒绝域
结论：不拒绝原假设，认为内径的值符合设计要求.
假设检验
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例2 某厂生产的固体燃料推进器的燃烧率服从正态分 布X~N(40，22)，现在采用技术研发部设计的新方法 生产了一批推进器，随机测试25只，测得燃烧率的 样本均值为 x 41.25 ，假设在新方法下σ=2，问用 新方法生产的推进器的燃烧率是否有显著的提高？

概率论与数理统计-假设检验

概率论与数理统计-假设检验
设
14
若
取伪的概率较大.
15
/2
0.12 0.1
0.08 0.06 0.04 0.02
/2 H0 真
60 62.5 65 67.5 70 72.5 75
0.12 0.1
0.08 0.06 0.04 0.02
H0 不真
67.5 70 72.5 75 77.5 80 82.5
16
现增大样本容量,取n = 64, = 66,则
41
两个正态总体
设 X ~ N ( 1 1 2 ), Y ~ N ( 2 2 2 )
两样本 X , Y 相互独立, 样本 (X1, X2 ,…, Xn ), ( Y1, Y2 ,…, Ym ) 样本值 ( x1, x2 ,…, xn ), ( y1, y2 ,…, ym )
显著性水平
42
(1) 关于均值差 1 – 2 的检验
原假设 备择假设 检验统计量及其在
H0
H1
H0为真时的分布拒绝域 Nhomakorabea1 – 2 = 1 – 2
1 – 2 1 – 2 <
1 – 2 1 – 2 > ( 12，22 已知)
43
原假设 备择假设 检验统计量及其在
H0
H1
H0为真时的分布
1 – 2 = 1 – 2
拒绝域
1 – 2 1 – 2 <
1 – 2 1 – 2 >
12, 22未知
12
=
2 2
其中
44
(2)
关于方差比
2 1
/
2 2
的检验
原假设 备择假设 检验统计量及其在
H0
H1
H0为真时的分布

数理统计：假设检验(课件)

数理统计：假设检验(课件)

1.1 假设检验中的小概率原理
小概率原理:指发生概率很小的随机事件在一次试验中是几乎不可能发生的。通常小概率指p<5%。 假设检验的基本思想是应用小概率原理进行逻辑推理。例如:某厂产品合格率为99%,从一批(100件)产品中随机抽取一件,恰好是次品的概率为1%。随机抽取一件是次品几乎是不可能的, 但是这种情况发生了,我们有理由怀疑该厂的合格率为99%.这时我们犯错误的概率是1%。
2 总体均值的检验
2.1 Z－检验2.2 T-检验2.3 配对样本的检验（成对样本）
2.1 Z－检验
1、当总体分布为正态分布，总体标准差为已知时，检验原假设。当H0成立时，由于总体 ；所以样本均值 。从而统计量为：
假ห้องสมุดไป่ตู้检验中的单侧检验示意图
拒绝域 拒绝域 (a)右侧检验 (b)左侧检验
3.15
(3）Z的分布：Z～N(0,1)
(4)对给定的 ＝0.05确定临界值。因为是双侧备择假设所以查表时要注意。因概率表是按双侧排列的，所以应查1-0.05＝0.95的值，查得临界值 ＝1.96。
病人号码
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
增加睡眠（小时）
0.7
-1.1
-0.2
1.2
0.1
3.4
3.7
0.8
1.8
2.0
=2.57
(3)确定统计量分布。本例中， 。
(4)对于给定的显著性水平0.05，查自由度为9的t分布表，单侧临界值为1.833。
[例1]某市历年来对7岁男孩的统计资料表明，他们的身高服从均值为1.32米、标准差为0.12米的正态分布。现从各个学校随机抽取25个7岁男学生，测得他们平均身高1.36米，若已知今年全市7岁男孩身高的标准差仍为0.12米，问与历年7岁男孩的身高相比是否有显著差异(取 ＝0.05)。

《数理统计》第三章 假设检验

《数理统计》第三章 假设检验
一个正态总体均值假设检验( 检验 检验) 一个正态总体均值假设检验(t检验)
P328
P329
第三章 1.2 参数假设检验Parameter hypothesis testing
一个正态总体方差的假设检验
第三章 1.2 参数假设检验Parameter hypothesis testing
一个正态总体方差的假设检验
两个正态总体方差比的假设检验 两个正态总体方差比的假设检验 方差比
两个正态总体方差比的假设检验 两个正态总体方差比的假设检验 方差比
P393
P393
第三章 1.2 参数假设检验Parameter hypothesis testing
两个正态总体均值,方差的假设检验举例 两个正态总体均值,方差的假设检验举例
第三章 1.2 参数假设检验Parameter hypothesis testing
一个正态总体均值的假设检验( 检验 检验) 一个正态总体均值的假设检验(U检验)
第三章 1.2 参数假设检验Parameter hypothesis testing
一个正态总体均值的假设检验( 检验) 一个正态总体均值的假设检验(U检验)表示
两个正态总体均值差假设检验举例 两个正态总体均值差假设检验举例
第三章 1.2 参数假设检验Parameter hypothesis testing
两个正态总体均值差假设检验举例 两个正态总体均值差假设检验举例
两个正态总体方差比的假设检验
第三章 1.2 参数假设检验Parameter hypothesis testing
总体分布函数的假设检验
1.3 非参数假设检验(Non-Parameter hypothesis testing) 非参数假设检验 Parameter

高等数理统计 假设检验

高等数理统计 假设检验

Bernoulli实验：掷一个硬币，以概率p得正面 （记为1)，以概率1-p得反而（记为0)。得到 下面的结果:
110000111100
称连在一起的0或者1为游程（run），则上面这 组数中有3个0游程，2个1游程，总共有5个游程 (R=5)。0的总个数m=13,1的总个数为n=10。记 总的实验次数为N,N=m+n。
n
^
p (xi; )
(x)
i1 n
p (xi; 0 )
i1
原假设成立时
2ln(X) n 2(k)
其中， ^ 是参数 的MLE。
例题3.16(P225)
例题
样本 X i1 , ,X im ,iid ., N (i,i2 ),1 i m 且
全部样本独立.要检验假设
H 0 :1 2 m 2H 1 :1 2 m 2 不 成 立
由常识得知，如果这个实验是随机的，则不 大可能出出太多的1或0的游程。
P(R
2k)
2C C k1 k1 m1 n1 CNn
P(R
2k
1)
C C k1 k m1 n1
Cmk1Cnk11
CNn
原假设成立时，算出 P(R r)或 P(R r) 的值，也就 可以做检验了
在m或n不大时，可直接计算得出。
前述各种检验方法基本上适用于参数统计结 构，这些方法往往要求总体分布族的密度函 数的数学形式已知，且只含有限个未知参数， 但有些时候，人们难于由经验或某种理论得 到总体的参数统计结构，而只能得到非参数 统计结构。因此有必要寻求非参数统计结构 的检验方法。
游程检验
检验随机性的一个重要方法。
H0: 随机性 H1: 没有随机性(有聚类倾向)
在水平为 时，构造似然比统计量

概率论与数理统计课件 假设检验

概率论与数理统计课件 假设检验
H0：=0；H1：0
X 0 P u n
或 H0：=0；H1：0
拒绝域为
U u
X 0 P u 拒绝域为 n
U u
单个正态总体方差未知的均值检验
问题：总体 X~N（，2），2未知 假设 H0：=0；H1：≠0
3、显示k1,k2，分析结果
MTB>Print k1 k2 否则，拒绝原假设。 如果 k1 k 2 ，则接受原假设；
P142例5的计算机实现步骤
1、输入样本数据，存入C2列 2、选择菜单Stat>Basic Statistics>1-Sample T 3、在Variables栏中，键入C2，在Test Mean栏中 键入750，打开Options选项，在Confidence level 栏中键入95，在Alternative中选择not equal，点击 每个对话框中的OK即可。
引
言
统计假设——通过实际观察或理论分析对总体分布形式 或对总体分布形式中的某些参数作出某种 假设。 假设检验——根据问题的要求提出假设，构造适当的统 计量，按照样本提供的信息，以及一定的 规则，对假设的正确性进行判断。
基本原则——小概率事件在一次试验中是不可能发生的。
基本概念
引例：已知某班《应用数学》的期末考试成绩服从 正态分布。根据平时的学习情况及试卷的难易程度，估 计平均成绩为75分，考试后随机抽样5位同学的试卷， 得平均成绩为72分，试问所估计的75分是否正确？ “全班平均成绩是75分”，这就是一个假设 根据样本均值为72分，和已有的定理结论，对EX=75 是否正确作出判断，这就是检验，对总体均值的检验。
T检验
双边检验
构造T统计量 T

假设检验的基础知识


假设检验
假设检验的基础知识
1.3 两类错误
在假设检验中，根据样本中所含信息可以作出是接受 H0 还是拒绝 H0 的判断，但由于样本的随机 性，这样作出的判断可能会犯错误．
当原假设 H0 为真时，却作出拒绝 H0 的判断，此类错误称为第一类错误（或弃真错误）．犯第一类 错误的可能性可由条件概率
P{拒绝H0 | H0为真} 来描述，称之为犯第一类错误的概率，或弃真概率．
49.6，48.8，51.3，49.4，49.3，48.5， 50.2，48.9，49.1，48.5，50.2，50.1． 试问这台包装机工作是否正常？
分析 每袋大米的质量 X ~ N(50，0.52 ) ，经计算 12 袋大米的平均质量为 x 49.492 ，
即 x 0 (0 50) 则可能有以下两种情况： （1）包装机工作正常，但由于抽样的随机性导致样本均值与总体均值有一定差异，
真实情况
所做判断
原假设 H0 为真
原假设 H0 为假
表 7-1 接受原假设 H0
正确（ 1 ） 第二类错误（ ）
接受备择假设 H1 第一类错误（ ）
X 0 ~ N (0 ，1) ， / n
衡量 | x 50 | 的大小可归结为衡量 x 0 的大小．也就是说，要选取一个适当的常数 k ，使得 / n
x 50 / n
k 是一个小概率事件．当 x 满足 x 50 / n
k 时，拒绝 H0 ；反之，若
x 50 / n
k ，接受 H0 ．
假设检验
例 1 中，如何检验 H0 ： 50 是否成立呢？我们知道，样本均值 X 是 的无偏估计，自然希望用
X 这一统计量来进行判断．在 H0 为真的条件下，X 的观测值 x 应在 50 附近，即 x 50 一般不应太大．若

【精品】概率论与数理统计PPT课件第八章 假设检验

错误，我们记犯该错误的概率为。
16
假设检验的两类错误
所作判断 真实情况 H0 为真 H0 为假
接受 H0
拒绝 H0
正确
第一类错误
(弃真)
第二类错误
(取伪)
正确
犯第一类错误的概率通常记为
犯第二类错误的概率通常记为
17
如在例2中, 如果第一起交通事故发生后, 就 断定隧道南更容易发生交通事故, 犯第一类错 误的概率是0.35. 当第二起交通事故发生后, 断 定隧道南更容易发生交通事故, 犯第一类错误 的概率是0.352=0.1225. 如果第四起交通事故又 发生在隧道南, 否定p=0.35时犯第一类错误的概 率是0.354=0.015.
24
假设检验步骤(三部曲) 根据实际问题所关心的内容,建立H0与H1。
在H0为真时,选择合适的统计量T, 并确定
拒绝域。 根据样本值计算,并作出相应的判断.
25
提出 假设
总 结
抽取 样本
P(T W)=
-----犯第一 类错误的概率， W为拒绝域
根据统计调查的目的, 提出 原假设H0 和备择假设H1
P= 0.353 ≈ 0.043.
这是一个很小的概率, 一般不容易发生.
7
所以我们否定H0, 认为隧道南的路面发生交 通事故的概率比隧道北大.
做出以上结论也有可能犯错误。这是因为 当隧道南北的路面发生交通事故的概率相同, 而3起交通事故又都出现在隧道南时, 我们才犯 错误。这一概率正是P=0.043.
4
这是 小概率事件, 一般在一次试验中是不会发 生的, 现一次试验竟然发生, 故可认为原假设不 成立, 即该批产品次品率p>0.04 , 则该批产品不 能出厂.

统计培训教材1.6-假设检验


(0.5)18k
0.004
k 15
这看来又走到另一个极端了. 如果我们在选择一个方案时,只 敢冒 0.4% 的风险, 未免太胆小, 太怯懦了, 对某先生也未免 太苛刻了.
事实上, 虽然此时我们错误地相信该先生的可能性大大的减 少, 但我们冤枉他的可能性却大大地增加了!
假设检验-7
那么，临界值究竟应取多大合适呢？当然要具体问题具体分 析。事关重大，后果严重的，理应把风险控制的小一点；无 伤大雅，错了可以再来的决策则不妨大胆一点。
80.0 82.5 85.0 87.5 90.0 92.5
假设检验-18
假设检验的前提假设
– 如果数据是连续的，我们假设基本分布是正态。 • 您可能需要转换非正态数据（如周期）。
– 当比较不同总体的子群时，我们假设： • 独立样本。 • 通过随机抽样实现。 • 样本是总体的代表（没有偏差）。
– 当比较不同过程的子群时，我们假设： • 每个过程都是稳定的。 • 没有特殊原因或随时间的变化 （没有与时间相关的差异）。 • 样本是过程的代表（没有偏差）。
假设检验-8
假设检验概要
※工业案例的启示
在工业生产中，我们经常希望能够确定某个分布的参数是否就是某个具体 数值或是否与其有什么关系。也就是说，我们可能希望要检验这样一个假设， 即：某个分布的均值或标准差是否是某些数值，或者两个均值之差是否是零。 这些检验就需要使用假设检验方法。实际工作中的例子有：
假设检验-19
假设(Hypothesis)
一个假设通常是关于总体特性的一个陈述.
待检假设包括两部分:
1) 零假设(null hypothesis) (记为H0)是关于总体参数值的一 个陈述.
2) 备择假设(alternative hypothesis) (记为H1), 也叫对立假 设, 是关于总体参数值的一个与零假设相对立的陈述, 即 若零假设不成立, 则备择假设必定成立.

中科院 高等数理统计


:
0
v.s. H1
:


，
0
本定理结论仍然成立。
5
2013-10-24
3）对检验问题 H 0
:
0
v.s. H1
:


或检
0
验问题 H0 : 0 v.s.H1 : 0 只要将本定 理中 1)的不等号反向，2）中的“严格增”
改为“严格减”，3)中的“ 0”改为 0， 则相应结论都成立。
0 T ( X ) k
此处k, 由E0*( X ) 确定，则*( X )为水 平 的 UMP 检验；
2) * ( ) 为 集 合 0 * ( ) 1 上 的
严格增函数；
3 ） 对 任 满 足 E0( X ) 的 检 验 ， 以 及
期望一个检验 犯错的概率越小越好。但 这是一个 trade-off。难以使得两类错误 同时小。 例 3.1.2 ： 设 两 个 检 验 函 数 1,2 ， 记
Ri X i ( X ) 1 。设 R1 R2 ，这意味着
E1( X ) E2 ( X ) ， 。 因 此 1 E1( X ) 1 E2 ( X )， 。这表明， 当 0时，欲减少犯第 I 类错误概率，在 1是就会增加犯第 II 类错误概率。
0， ，E*( X ) E( X )。
注：1)通常 UMP 检验在水平 的约束下，犯 第 II 类错误的概率一致的小，未涉及犯第 I 类错误概率的大小(只要 即可)。本定理的 3)表明对 MLR 族，它也使得犯第 I 类错误的 概率一致的小(不超过 )。
2）对检验问题 H 0
( ) , 0。 为了在理论上处理方便(实际应用中较少)，
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假设检验相关概念
定义1、设（Ω，F，P ）为一统计结构，则P的非空子集称
为假设，在参数分布族中 P {P : }时,
的非空子集称为假设。
定义2、在一个假设检验问题中常涉及两个假设。 所要检验的问题称为原假设。与原假设不相容 的假设称为备择假设。
Ho : P P0 H1 : P P1
例题
设样本来自Poisson分布族
H0 : 1, H1 : 1 (1 1)
在水平为 时，构造似然比统计量
n
p(xi ; 1)
n
{x : (x) k}实施随机化。MPT函数可取为
P0 {( X ) k} P0 {( X ) k} 1 P0 {( X ) k}
例题
设样本是来自正态总体，考虑如下的假设：
H0 : 0, H1 : 1 (1 0)
第三章
学习目的和要求 学习重点 学习难点 教学方法 授课时数 基本内容
假设检验
学习目的和要求
目的和要求： 假设检验的基本概念，理解Neyman-Pearson 基本思想。在此基础上，掌握一致最优势检 验、一致最优势无偏检验的数学方法、掌握 多参数指数型分布族的假设检验、似然比检 验、U统计量检验和秩检验。
(x) p(x;1) p(x;0 )
注2
在似然比函数具有连续分布函数时，MPT检验函 数可以取为非随机化的形式
(x)

1 0
(x) k (x) k
其中k由 E0( X ) P0 {(x) k} 确定
若似然比函数为离散型随机变量时，可在集合
（2）满足该条件的检验函数(x)是水平为 的
MPT，反之，如果(x)是水平为 的MPT，则一
定存在常数k,使得 (x) 满足上式.
注1
满足该定理条件的检验函数 (x) 通常称为似然比 检验函数（或称为概率比检验函数）。如
H0 : 0, H1 : 1
定义似然检验比函数
E1 (x) E1 1(X )
则称检验 (x) 是水平为 的最优势检验，记为
MPT(most powerful test)
定理（N-P基本引理）
设 P0 和 P1 是可测空间 (, F) 上两个不同的
概率测度，关于某个 有限的测度 ，有
p(x;0 )

dP0
学习重点
1 、 Neyman-Pearson基本思想 2、几种类型的假设检验的基本思想。
学习难点
秩检验
教学方法
讲授Βιβλιοθήκη 讨论授课时数8学时
基本内容
第一节 基本概念 第二节 Neyman-Peason引理 第三节 一致最优势检验 第四节 一致最优势无偏检验 第五节 多参数指数型分布族的假设检验
在参数分布族中,原假设和备择假设分别为：
Ho : 0 H1 : P 1
定义3、在检验问题中，所谓检验法则（或 称检验法、或检验）就是设法把样本空间划 分成不相交的两个可测集。
——
P W W
W称为检验的拒绝域
定义4、
在参数统计结构中
( ) P (X W ), 0
( ) P (X W ) 1 P(X W ), 1
定义5 称样本值落在拒绝域的概率为检验的势 函数，记为
g( ) P ( X W ),
在 0时，g( ) ( ) ，g()是检验犯第一类错 误的概率。
在 1 时，g( ) 1 ( ) ，1 g( ) 是检验犯第二类错误的概率。
定义8 设(x) 是定义在P上的可测函数，(x) 满足条
件 0 (x) 1 ，则称 (x)为随机化检验函数。
其势函数为
g( ) P ( X W ) E (( X ))
第二节 Neyman-Pearson基本引理
定义（MPT）：在检验问题 (0 , 1) 中， 设 是(水x) 平为 的检 验，如果对任意一个 水平为 的检 验 ，1(x都) 有
定义6 检验的水平
g( ) P ( X W )
Neyman-Pearson假设检验理论的基本思想， 就是使得犯第一类错误的概率在某一个范围 内，然后寻找使犯第二类错误的概率尽可能 小的检验。
定义7 检验函数

(
x)

1 0
x W x W
其势函数为
g( ) P ( X W ) E (( X ))
d
,
p( x;1 )

dP1
d
设原假设和备择假设分别为:
H0 : 0, H1 : 1
则
（1）对给定的水平 存在一个检验函数 (x)及常
数k,使得
E0 ( X )
(x)

1 0
p(x;1) kp(x;0 ) p(x;1) kp(x;0 )
在水平为 时，构造似然比统计量
n
p(xi ; 1)
_
(x)
i 1 n
exp{n1 x 0.5n12}
p(xi ; 0)
i 1
则MPT的拒绝域具有形式
_
W {x : (x) k} {x : x c}
令
c U1 n
即可
此题中若 1 0 呢?
第六节 似然比检验、U统计量检验、秩检 验
什么是假设检验?
在很久以前的一次有各方人士参加的社交聚 会中,一位女士为活跃气氛,声称她能区分在熬 好的咖啡中，是先加奶还是先放糖。众人不 信，于是有爱凑热闹的人弄来8杯加了奶，放 了糖的咖啡请该女士鉴别，结果该女士判断 正确7杯，错误1杯。
于是很多人都承认该女士的鉴别能力，但是 也有一些人却固执地认为该女士既然有鉴别 能力，应该都说对，不应该猜错1杯，7对1错 的结果完全是瞎蒙出来的。两派人争执不下， 正好也出席联欢会的一位统计学者，他认为 该问题很有意思，思索良久，写出了推理思 路。