云南省曲靖市数学高考复习专题04：导数及其应用

历年(2019-2024)全国高考数学真题分类(导数及其应用)汇编

考点01 导数的基本计算及其应用

1．（2020∙全国∙高考真题）设函数e

()x

fx

xa

．若(1)

4e

f



，则a= ． 

考点02 求切线方程及其应用

1．（2024∙全国甲卷∙高考真题）设函数

2e2sin

1x

x

fx

x



，则曲线

yfx

在点

0,1

处的切线与两坐标轴所

围成的三角形的面积为（

） 

A．1

6 B．1

3 C．1

2 D．2

3 

2．（2023∙全国甲卷∙高考真题）曲线e

1x

y

x

在点e

1,

2



处的切线方程为（

） 

A．e

4yx

 B．e

2yx

 C．ee

44yx

 D．e3e

24yx

3．（2022∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）曲线ln||yx

过坐标原点的两条切线的方程为 ， ． 

4．（2022∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）若曲线()ex

yxa

有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围

是 ． 

5．（2021∙全国甲卷∙高考真题）曲线2x1

y

x2



在点

1,3

处的切线方程为 ． 

6．（2021∙全国新Ⅱ卷∙

高考真题）已知函数

12()1,0,0x

fxexx

，函数()fx

的图象在点

11,Axfx

和

点

22,Bxfx

的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则||

||AM

BN取值范围是 ． 

7．（2021∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）若过点

,ab

可以作曲线

ex

y的两条切线，则（

） 

A．

eb

a B．

ea

b 

C．

0eb

a D．

0ea

b 

8．（2020∙全国∙高考真题）若直线l与曲线y

=

x和x2

+y2=1

5都相切，则l的方程为（

） 

A．y=2x+1 B．y=2x+1

2 C．y=1

2x+1 D．y=1

2x+1

2 

9．（2020∙全国∙高考真题）函数43

()2fxxx的图像在点(1(1))f，

处的切线方程为（

） 

A．21yx

 B．21yx

C．23yx

导数及其应用

．设函数＝ ＋ 的图象在点处切线的斜率为()，则函数＝()的图象一部分可以是(

)

答案

．已知函数()＝＋－))，若＝是函数()的唯一极值点，则实数的取值范围是( )

答案

解析 由函数()＝＋－))，

可得′()＝＋＝(>)，

∵()有唯一极值点＝，

∴′()＝有唯一根＝，

∴－＝无根或有且仅有一个根为＝，

设()＝，

则′()＝，

由′()>得，()在[，＋∞)上单调递增，

由′()

∴()＝()＝，

∴≤，即实数的取值范围是.

．已知定义在上的可导函数()的导函数为′()，满足′()<()，且()＝，则不等式()－

．(－∞，)

答案

．若函数()＝－－(其中是自然对数的底数)的图象在＝处的切线方程为＝＋，则函数()＝在(，＋∞)上的最小值为( )

．－ ． ．－ ．

答案

解析 因为′()＝－－，

所以′()＝－.

由题意知－＝，解得＝－，

因此()＝－＋，而()＝，

于是＝×＋，解得＝，

因此()＝＝＝，

所以′()＝，

令′()＝得＝，

故()在＝处取得极小值，

即()在(，＋∞)上的最小值为()＝－.

．若曲线＝－ 与曲线＝＋＋在公共点处有相同的切线，则实数等于( )

．－ ．－

答案

高考数学最新真题专题解析—导数及其应用（新高考卷）

【母题来源】2022年新高考I卷

【母题题文】已知函数𝑓(𝑥)=𝑥3−𝑥+1，则( )

A. 𝑓(𝑥)有两个极值点

B. 𝑓(𝑥)有三个零点

C. 点(0,1)是曲线𝑦=𝑓(𝑥)的对称中心

D. 直线𝑦=2𝑥是曲线𝑦=𝑓(𝑥)的切线

【答案】𝐴𝐶

【分析】

本题考查利用导数研究函数的极值与零点以及曲线上一点的切线问题，函数的对称性，考查了运算能力以及数形结合思想，属于中档题．

【解答】

解： 𝑓(𝑥)=𝑥3−𝑥+1⇒𝑓′(𝑥)=3𝑥2−1 ，令 𝑓′(𝑥)=0 得： 𝑥=±√33 ，

𝑓′(𝑥)>0⇒𝑥<−√33 或 𝑥>√33 ； 𝑓′(𝑥)<0⇒−√33<𝑥<√33 ，

所以 𝑓(𝑥) 在 (−∞,−√33) 上单调递增，在 (−√33,√33) 上单调递减，在 (√33,+∞)

上单调递增，

所以 𝑓(𝑥) 有两个极值点 (𝑥=−√33 为极大值点， 𝑥=√33 为极小值点 ) ，故 A

正确 ;

又 𝑓(−√33)=−√39−(−√33)+1=1+2√39>0 ， 𝑓(√33)=√39−√33+1=1−2√39>0 ，

所以 𝑓(𝑥) 仅有 1 个零点 ( 如图所示 ) ，故 B 错 ;

又 𝑓(−𝑥)=−𝑥3+𝑥+1⇒𝑓(−𝑥)+𝑓(𝑥)=2 ，所以 𝑓(𝑥) 关于 (0,1) 对称，故 C 正确 ;

对于 𝐷 选项，设切点 𝑃(𝑥0,𝑦0) ，在 𝑃 处的切线为 𝑦−(𝑥03−𝑥0+1)=(3𝑥02−1)(𝑥−𝑥0) ，

即 𝑦=(3𝑥02−1)𝑥−2𝑥03+1 ，

若 𝑦=2𝑥 是其切线，则 {3𝑥02−1=2−2𝑥03+1=0 ，方程组无解，所以 𝐷 错．

高考数学提高题专题复习导数及其应用多选题练习题及答案

一、导数及其应用多选题

1．对于定义城为R的函数fx，若满足：①(0)0f；②当xR，且0x时，都有0xfx；③当120xx且12||||xx时，都有12()()fxfx，则称fx为“偏对称函数”.下列函数是“偏对称函数”的是（ ）

A．321fxxx B．21xfxex

C．3ln1,0()2,0xxfxxx D．4()sinfxxx

【答案】BC

【分析】

运用新定义，分别讨论四个函数是否满足三个条件，结合奇偶性和单调性，以及对称性，即可得到所求结论．

【详解】

解：经验证，1()fx，2()fx，3()fx，4()fx都满足条件①；

0()0()0xxfxfx，或0()0xfx；

当120xx且12||||xx时，等价于21120xxxx，

即条件②等价于函数()fx在区间(,0)上单调递减，在区间(0,)上单调递增；

A中，321fxxx，2132fxxx，则当0x时，由321232230xxxxfxx，得23x，不符合条件②，故1()fx不是“偏对称函数”；

B中，21xfxex，21xfxe，当0x时，e1x，20fx，当0x时，01xe，20fx，则当0x时，都有20xfx，符合条件②，

∴函数21xfxex在,0上单调递减，在0,上单调递增，

由2()fx的单调性知，当21120xxxx时，2122()fxfx，

∴22212222222()()()()2xxfxfxfxfxeex，

令()2xxFxeex，0x，()2220xxxxFxeeee，