第四章 可测函数
教学目的：
1.熟练掌握可测函数的定义及其基本性质，可测函数的一些重要性质.
2.掌握通过Egoroff 定理证明Lusin 定理,它表明Lebesgue 可测函数可以用性质较好的连续函数逼近.
3.掌握几乎处处收敛,依测度收敛和几乎一致收敛，以及几种收敛性之间的蕴涵关系.通过学习使学生对可测函数列的几种收敛性和相互关系有一个较全面的了解. 重点难点：
1.可测函数有若干等价的定义.它是一类范围广泛的函数,并且有很好的运算封闭性.
2.可测函数可以用简单函数逼近,这是可测函数的构造性特征.
3.引进的几种收敛是伴随测度的建立而产生的新的收敛性.一方面, L 可测集上的连续函数是可测的,另一方面,Lusin 定理表明,
Lebesgue 可测函数可以用连续函数逼近. Lusin 定理有两个等价形式.
4.依测度收敛是一种全新的收敛,与熟知的处处收敛有很大的差异.Egoroff 定理和Riesz 定理等揭示了这几种收敛之间的关
系.Riesz 定理在几乎处处收敛和较难处理的依测度收敛之间架起了一座桥梁.
§4.1 可测函数及相关性质
由于建立积分的需要，我们还必须引进一类重要的函数——
Lebesgue 可测函数，并讨论其性质和结构.
设f 是可测集D 上的函数,若对任何R ∈?α,{}α>∈)(:x f D x 记
=α
D 是可测集,则称f 是可测集D 上的可测函数.
我们知道,f 在D 上连续?R ∈?α,{}α>∈)(:x f D x 、{}α<∈)(:x f D x 都是开集.所以由可测函数的定义,区间D 上的连续函数f 是可测函数.
又如:设E 是D 的可测子集.则E 上的特征函数为
=)(x f )(x E λ?
??=01
E D x E x -∈∈
由于 {}αα>∈=)(:x f D x D
??
?
??=D E φ
0101<<≤≥ααα
是可测集,所以E λ是D 上的可测函数.即
定理4.1.1 可测集的特征函数是可测的.
今后,在不致混淆时,将{}α>∈)(:x f D x 简记为{}α>f .类似, {}α≥f 、
{}α≥f 、{}α 定理4.1.2 设函数f 定义在可测集D 上,则下面四件事等价. (i)f 在D 上可测; (ii)对任何R ∈α,{}α≥f 可测; (iii)对任何R ∈α,{}α 其证明就是利用集合的运算. 证明: (i)?(ii) {}α≥f ? ??? ??->=∞ =n f n 11 α ,由(i), ? ??? ?? ->n f 1α可测,从而?????? ->∞ =n f n 11α 可测,即{}α≥f 可测. (ii)?(iii){}α (iii)?(iv){}α≤f ? ????? +<=∞=n f n 11α (iv)?(i) {}α>f -=D {}α≤f 定理4.1.3 设函数f 和g (i){}λ=f 、{}βα< 证明: (i)先设λ是实数,则{}λ=f {}λ≥=f {}λ>-f 是可测集; 若∞=λ,则{}∞=f {}n f n >=∞ =1 可测; 若-∞=λ,则{}-∞=f {}n f n -<=∞ =1 可测. 可见, 对任何广义实数λ,{}λ=f 是可测集. 对于其它集的可测性由定理3.1.2与集合的运算立即可得. (ii)分析:?>g f x ?,使)()(x g x f >,若∞=)(x f ,则∞≠)(x g ,可∞-,不管怎样,f 、g 之间可以插进有理数.即:若{}1≥n n r 是有理数全体,则 {}g f >{}{}{}g r r f n n n >>=∞ = 1 再利用函数f 和g 都是可测函数,可得右侧为可测集,即{}g f >是可测集. 在数学分析中,我们已经知道连续函数对于极限运算不封闭,即连续函数的极限可能不是连续函数,只有一致收敛的连续函数列的极限 函数连续,否则未必. 如:n n x x f =)(,]1,0[∈x . )()(x f x f n →? ??=01 101<≤=x x 不连续.而可测函数对于极限运算是封闭的,这点也体现了它的优越性. 定理 4.1.4 设{}1)(≥n n x f 是可测集D 上的一列可测函数,则函数)(sup 1 x f n n ≥、)(inf 1x f n n ≥、)(lim x f n n ∞ →、)(lim x f n n ∞ →都是可测函数. 证明:任取R ∈α,则})({sup 1 α>≥x f n n })({1 α>=∞ =x f n n 可测.(此等式表明 至少有一个α>)(x f n ,否则都α≤,就说明α为上界,由上确界是最小上界,便会得出α≤≥)(sup 1 x f n n ) })(inf {1 α<≥x f n n })({1 α<=∞ =x f n n 可测. (至少有一个α<)(x f n ,否则都α≥,α为下界,其最大下界α≥≥)(inf 1 x f n n ) 再由)(l i m x f n n ∞→)(s u p i n f 1x f k n k n ≥≥=、)(lim x f n n ∞ →)(inf sup 1 x f k n k n ≥≥=知)(lim x f n n ∞→、)(lim x f n n ∞ →都是可测函数. (n x 的上极限k n k n n n x x ≥≥∞→=s u p i n f l i m 1 ,k n k x ≥sup ↓;n x 的下极限k n k n n n x x ≥≥∞ →=i n f s u p lim 1,k n k x ≥inf ↑) 实变函数的第一个“差不多”是可测集与开集、闭集差不多;第 二个“差不多”就是可测函数与连续函数差不多. 为研究实变函数中的第二个“差不多”,前述内容中最重要的是定理4.1.4—可测函数对极限运算封闭. §4.2 可测函数的其它性质 设D 是可测集,)(x p 是一个与D 中每一点有关的命题.若除了D 的一个零测子集E 外,使)(x p 对每一E D x -∈都成立,则称)(x p 在D 上几乎 1 x y 处处成立,用a.e.表示.(即almost everywhere). 例如,{}x n sin 在R 上几乎处处收敛于0或说0sin lim =∞→x n n a.e.在R(因为只有2 π π+=k x 时,极限不为0,其为可数集,当然为零测集);Cantor 集 上的特征函数0)(=x C λ a.e.在]1,0[(因为Cantor 集为零测集). 若说)(x f 在R 上a.e.有限,意即)(x f 不有限的点的集合为零测集. 为讲第二个“差不多” ,先讲连续函数, 数学分析中求R 积分时,把曲的变成直的, 并称其为阶梯函数,此处我们称为简单函数, 它是由特征函数决定的. 设f 是可测集D 上的一个函数,若)(D f 是由有限个实数1a ,2a ,…,n a 组成,并且 {}k k a x f D x E =∈=)(: n k ,,2,1 = 都是可测集,则我们称f 是D 上的一个简单函数.由此f 可以表示为 )()(1x a x f K E k n k λ=∑= 其中)(x k E λ可记作)(x k λ,为k E 上的特征函数. 由可测函数定义,简单函数都是可测的.(定理3.3.4至多可数个可测集之并可测). 易知,若f 、g 都是简单函数,则f λ、||f 、fg 、g f +、g f -等都是简单函数(因其值域是有限个实数),当然都是可测的. 下面说明可测函数一定是简单函数的极限. 定理4.2.1 设f 是可测集D 上的可测函数,则有D 上的简单函数列{}1≥k k ?,使对每一D x ∈,)()(x f x k →?,此外 (i)当0≥f 时,可使上述{}1≥k k ?满足对每一D x ∈,{}1≥k k ?单增收敛于)(x f ; (ii)当f 有界时, 可使上述{}1≥k k ?在D 上一致收敛于f . (即对任何0>ε,有K ,K k >?,有ε?<-|)()(|x f x k ) 提问:试举例说明,一列函数在每一点都收敛于)(x f ,但不一致收敛. 答:如k k x x f =)( ]1,0[=D ,则???=0 1)(x f 1 01 <≤=x x ,这时)(x f k 在每一 点都收敛,但不一致收敛.其原因是极限函数不连续. 上述定理说明,可测函数和简单函数“差不多”.通过上图,我们形象地描述一下上述定理的证明思路. 第一次:在-1和1之间取阶梯函数,每段长2 1; 第二次:在-2和2之间取阶梯函数,每段长 2 21 ,其中-1和1之间是将第一次的段分一半,分细了,这段的一部分向上移了,所以-1和1之间的第二个阶梯函数部分比第一个大……,即 )(1x ????? ???--=1 2111k 1 )(2)(211 )(11-<<≤-≥x f k x f k x f 2,1,0,1-=k (k 的取法可由中间一段得出,因此时)(x f 必在-1和1之间,左等右不等,由 1211-=-k 得1-=k ,由12 1 =k 得2=k ,所以2,1,0,1-=k .第二次k 的取法类似). )(2x ????? ???--=2 2122k 2 )(2)(212 )(22-<<≤-≥x f k x f k x f 8,,6,7 --=k 证明:对每一1≥n ,令 )(x n ????? ???--=n k n n 2 1 n x f k x f k n x f n n -<<≤-≥)(2)(21)(若若若 n n n n k 2,,12?+?-= (i)显然{}1≥n n ?是一列简单函数,现固定D x ∈. 若∞=)(x f ,则对每一1≥n ,有n x n =)(?,从而)()(x f x n →?; 若-∞=)(x f ,则对每一1≥n ,有n x n -=)(?,从而)()(x f x n →?; 最后,若)(x f 是一个实数,则当n 充分大时,存在唯一的n k ,使得 n n n n k n 212?≤≤+?-,并且 n n n n k x f k 2)(21<≤- 于是)(x n ?n n k 21-=,n n x x f 21 )()(0<-≤?.令∞→n ,即得)()(x f x n →?. 特别,设f 非负.由)(x n ?的构造方法(如图x 轴上方),易知:)(x n ?单 增. (ii)最后若f 有界,M 是||f 的一个上界,则当M n >时,{}n f ≥及 {}n f -<都是空集,从而对一切D x ∈,有n n x f x 21 )()(< -?,故{}1)(≥n n x ?一致收敛于)(x f . 注1.由可测函数的定义,f 在可测集D 上是否可测,与f 在D 上的一个零测子集上的值无关. f 可测?{}α>∈)(:x f D x R ∈?α 是可测集. 若0)(=E m ,D E ?,即使f 在E 上乱动,对{}α>∈)(:x f D x 可测没有影响.即只要f 在E D -上可测,就说f 在D 上可测(在E 上无定义也可). 说明:若)(1x f )(2x f = a.e.D ,则当1f ,2f 中有一个可测时,另一个也可测.而连续函数斤斤计较,动一点则不连续. 注 2.设是D 上的可测函数列, 0)(=E m ,D E ?.若对每一个E D x -∈, )()(x f x f n →,由定理4.1.4知f 在E D -上可测,从而由注1, f 在D 上可测.这个结论也可以说成“可测函数列{}1≥n n f 在D 上几乎处处收敛的极 限f 在D 上可测”. 注 3.设f 和g 都是D 上的可测函数,若对某D x ∈,∞=)(x f ,且-∞=)(x g 或-∞=)(x f 且∞=)(x g ,则)()(x g x f +就没有意义.但如果所有使)()(x g x f +没有定义的点x 的全体是零测集,则我们同样可以讨论g f +的可测性,对g f -也如此. 定理4.2.2 设f 和g 都是可测集D 上的可测函数,λ是实数,则f λ、f 、 fg 都是可测函数.此外若g f +和g f -几乎处处有定义,则它们也是可测的. 证明思路.以f 为例.因f 是可测集D 上的可测函数,从而有简单函数列)()(x f x f n →,进而简单函数列)()(x f x f n →,所以极限函数f 可测.再如证fg 可测,由已知,因)()(x f x f n →,)()(x g x g n →,)(x f n 、)(x g n 为简单函数列,所以)(x f n )(x g n 也是简单函数列,且)(x f n )(x g n )()(x g x f →,因此极限函数)()(x g x f 可测. 一定注意:可测与否与零测集无关. 例题4.2.1 ]1,0[上的实函数是否一定可测? 答:不一定.找]1,0[中的不可测子集E ,其上的特征函数不可测.即:取不可测集合]1,0[?E ,令 ? ??==01 )()(x x f E λ E x E x -∈∈]1,0[ 则{}α>∈)(:]1,0[x f x ?? ? ??=]1,0[E φ 0101<<≤≥ααα ——→不可测. 所以)(x E λ在]1,0[上不可测. 例题4.2.2 零测集上的实函数是否一定可测? 答:因{}E x f E x ?>∈α)(:,故也是零测集,从而零测集上的实函数一定可测. 例题 4.2.3 设D E ?,其中D 可测,0)(=E m .若f 在E D -上可测,是否f 在D 上可测? 答:{}α>∈)(:x f D x ={}α>-∈)(:x f E D x {}α>∈)(:x f D x 可测. 复述定理4.2.1 f 在D 上可测?有D 上的简单函数列)()(x f x f n →,D x ∈?且 (i)0≥f 时,)()(x f x f n ↑→ (ii)当f 有界时, )(x f n )(x f . 之后三个“注”说明可测函数与零测集无关.这样,若可测函数列)()(x f x f n → a.e.,则)(x f 是可测函数.可见,对可测函数来说,总的要求是宽的. 重复定理4.2.2 设f 和g 都是可测集D 上的可测函数,λ是实数,则f λ、f 、fg 都是可测函数.此外若g f +和g f -几乎处处有定义,则它们也是可测的. 什么叫g f +几乎处处有定义? 即{}( ∞=)(x f {})-∞=)(x g {}( -∞=)(x f {})∞=)(x g 是零测集. 其证明思路: ①可测函数一定是一列简单函数列处处收敛的极限. ②也可用定义.如{}αλ>f 由)0}({>>λλαf 或)0}({<<λλ αf 来证. 此处用方法①最清楚. 简单函数)()(x f x f n →,)()(x g x g n →,则)()(x f x f n λλ→,)()(x f x f n →, )(x f n )(x g n )()(x g x f →,)(x f n +)(x g n )()(x g x f +→ a.e.D (简单函数是处处有定义的,有限个实数是其值域,无∞±的情况,简单函数不允许取∞±)g f +在E D -可测,0)(=E m ,由注1, g f +在D 可测(即例题3). 例题4.2.4 f 在D 上可测,f sin 在D 上是否可测? 答:因f 可测,则有简单函数列)()(x f x f n →D x ∈? 所以 )(sin )(sin x f x f n → 由于n f 是简单函数,取有限个实数,当然)(sin x f n 也取有限个实数,因而n f sin 也是简单函数,所以f sin 可测. 由此可见,不光可测函数的“＋、－、×、数乘、绝对值”可测,还有些复合函数也可测,但复合函数比较复杂.sin 连续故必可测.但若随便问))((x f g 可测吗?一下子说不清楚. f 、 g 可测,则有简单函数f f n →、g g n →,这时))((x f g n n 也是简单函数,但))((x f g n n →))((x f g ? g 若连续,有))(())((x f g x f g n → g 若不连续,则没有))(())((x f g x f g n →,更不用说))((x f g n n →))((x f g 了. 所以,连续函数的复合还连续,而可测函数的复合却不一定可测. 要点: 1.可测函数与零测集无关. 2.可测函数是简单函数列处处收敛的极限. §4.3 可测函数用连续函数来逼近 称F 是一个紧集,若F 的任何开覆盖存在有限子覆盖.其充分必要 条件是F 是有界闭集. 定理 4.3.1 设F 是一个紧集,{}1≥n n f 是一列沿F 连续的函数.若 {}1≥n n f 在F 上一致收敛于f ,则f 也沿F 连续(F x ∈?,)()(lim 00 x f x f F x x x =∈→). 前面曾提到n x →???01 1 01 <≤=x x ]1,0[∈x ,由极限函数不连续?n x 不一 致收敛.定理的证明思路与数学分析同. 问: 数分怎样证明“连续函数)(x f n 在],[b a 一致收敛?)(x f 连续?” 证明:],[0b a x ∈?,0>?ε,0>?δ,?),(0δx x ∈ =-)()(0x f x f )()()()()()(000x f x f x f x f x f x f n n n n -+-+- )()(x f x f n -≤+)()(0x f x f n n -+)()(00x f x f n - 3 ε < 3 ε + 3 ε + ε= 若改为),(b a 也一样. 本节中非常重要的一个结果: 定理4.3.2(Egoroff)设f 和n f )1(≥n 都是测度有限的集D 上几乎处处有限的可测函数.若n f 在D 上几乎处处收敛于f ,则对任何0>ε,有D 的闭子集F,使ε<-)(F D m ,并且n f 在F 上一致收敛于f .(也称基本上一致收敛,有点象数分中的内闭一致收敛) 证明:令{} )()(lim )()(:1x f x f x f x f D x D n n n =∈=∞ →都有限且和,则由条件知,1D 是可测集且0)(1=-D D m .令 )(r n A 1D =??? ??????? ??<-∞=r x f x f k n k 1)()( ,2,1,=r n ()(r n A 是1D 里那样的点: ? ?? ???<-r x f x f k 1)()(与r k ,有关, r 不动,取 ∞+= ,1,n n k ,现在看这种集合有什么性质) 对每一1≥r ,{}↑→≥1) (n r n A 1D ,且每一个)(r n A 都可测.(首先,每一个) (r n A 都是1D 子集,由{} ↑≥1 ) (n r n A 知)(1 ) (lim r n n r n n A A ∞ =∞ ←= ,也就是要证1)(1 D A r n n =∞ = ),易见 )(1 r n n A ∞= 1D ?，这是因为每个1)(D A r n ?,现在对1D x ∈?,取 01 >r ,由) ()(lim x f x f n n =∞ →知N ?,N k >?,有 r x f x f k 1)()(< -,说明 }1)()({r x f x f x k N n <-∈∞ = ,当然1D x ∈}]1)()({[r x f x f k N n <-∞= ) (r N A =.所以) (1 r n n A x ∞=∈ ,因此?1D )(1 r n n A ∞= ,于是得到1) (1 D A r n n =∞ = .即1)(lim D A r n n =∞ ←. 由测度性质(定理3.3.6(i)) )(lim )(r n n A m ∞ →)lim () (r n n A m ∞ →=)(1D m = (1) 又∞<=)()(1D m D m ,所以对每一1≥r ,有r n ,使 )()()(1r n r A m D m -)() (1r n r A D m -=1 2+ (2) (对 (1)式利用极限定义,再根据测度的减法,∞ <)(A m 时,)()()(A m B m A B m -=-) 此时n f 在)(1 r n r r A E ∞ == 上一致收敛于f . (即0>?ε有N ,N n ≥?,E x ∈?,有ε<-)()(x f x f n (下证) 0>?ε ,有00>r ,使 ε<0 1r ,从而当0r n n >时,对一切) (00 r n r A x ∈,有ε<< -0 1)()(r x f x f n .显然) (00 r n r A E ?所以上述结论对E x ∈?都成立.即n f 在) (1 r n r r A E ∞ == 上一致收敛于f .) )(E D m -)(1E D m -= )() (1 1r n r r A D m ∞ =-= ))(()(11r n r r A D m -=∞ = (由 ) (1 1r n r r A D ∞ =- )() (11 r n r r A D -=∞ = ) )() (11r n r r A D m -∑<∞ = 1 1 2+∞ =∑ 2 ε = 此时有E 的闭子集F ,使2 )(ε <-F E m ,则n f 在F 上一致收敛于f 且 )]()[()(F E E D m F D m --=- )()(F E m E D m -+-≤ε<. 思路是:几乎处处收敛→处处收敛→一致收敛→闭集上 ↑ ↑ ↑ ↑ D ? 1D ? E ? F 注:上述定理中要求D 测度有限即∞<)(D m .此条件非常重要.若∞=)(D m ,则没有上述定理. 如:)()(),(x x f n n +∞=λ,)(0)(x f x f n =→)(∞→n .问:是否有闭集F 使1)(<-F R m ?而且n f 在F 上一致收敛于0? 这是不可能的.因为{}∞=≥∈1:n f R x m 做不到0→n f a.e.R 引理4.3.1 设F 是R 中的闭集,函数f 沿F 连续,则f 可以开拓成 R 上的连续函数*f ,并且)(sup *x f R x ∈)(sup x f F x ∈=. R 证明:此时),(1 n n n c b a F ∞ == ,其中(){}n n b a ,两两不交.(f 在F 上有定义, 不妨设在c F 上没有定义,故f 在端点n a ,n b 上有定义,在其内部无定义,重新定义:将端点连成线段即可) .(可能f 在c F 有定义不连续,同样重新定义) 今定义 ????? ??=) ()()()(*n n b f a f x f x f 线性 -∞ =∈∞=∈∈∈n n n n n n n n n n a b a x b b a x b a b a x F x 其中其中有限其中),,(),,(,),,( ???? ??---+)() ()()(n n n n n n a x a b a f b f a f f* a n n n b n 1 12 2k k 显然*f 是R 上的连续函数.它是f 的开拓,且=∈)(sup *x f R x )(sup x f F x ∈. 引理 4.3.2 设f 是可测集D 上的简单函数,则对任何0>ε,有沿D 连续的函数*f ,使{}()ε<≠*f f m . (是说简单函数和连续函数“差不多”,为可测函数与连续函数“差不多”作准备) 证明:设{}n k k a D f ≤≤=1)((因f 为简单函数),其中k a 都是实数且两两不同.令 {}k k k a f E == n k ,,2,1 =,则k E 可测,其中{}n k k E ≤≤1两两不相交,k n k E D 1== . 对每一k ,有闭集k k E F ?,使 F E m k k ε <-)((因可测集与闭集“差不多”) 则f 沿F F k n k ==1 连续. (对k n k F F x 1 0==∈? ?0 0k F x ∈ ?x 充分接近0x 时即 ?<),(0x x d ),(min 0,,2,10 k k k n k F x d ≠= ?0 k k E F x ?∈所以0 )(k a x f =. ?从而)()(lim 00x f x f F x x x =∈→. ?即f 沿F 连续.) 由引理4.3.1,f 可以开拓成D 上的连续函数*f . {}())(*F D m f f m -≤≠ )(1 1k n k k n k F E m ==-= )]([1 k k n k F E m -≤= )(1 k k n k F E m -∑≤= ε< (由第一章习题:-∞=n n A 1 n n B ∞=1 -?∞ =n n A (1 )n B ,由于在F 上,f f =*,所以可能不等的地方在F 外,即{}F D f f -?≠*). 定理 4.3.3(Lusin)设f 是可测集D 上几乎处处有限的可测函数,则对任何0>ε有沿D 连续的函数*f 使{}()ε<≠f f m *,并且≤∈)(s u p *x f D x )(s u p x f D x ∈. 证明:不妨设f 处处有限. 先设∞<)(D m (为了应用Egoroff 定理),此时有简单函数列{}n f ,使对任何D x ∈,)()(x f x f n →.现对每一个1≥n ,由引理4.3.2,存在沿D 连续的函数*n f ,使 {}() 1 *2+< ≠n n n f f m ε ,2,1=n 令{}*1 n n n f f E ≠=∞ = ,则 )(E m ∞ =∑≤1n { }()1 1 *2+∞ =∑ <≠n n n n f f m ε 2 ε = 此时对每一E D x -∈(即{}*1 n n n f f =∞= ),有 )()(*x f x f n n = ,2,1=n 从而对每一E D x -∈, )()(*x f x f n → (因∞<-)(E D m 故可用Egoroff 定理) 由Egoroff 定理,,有有界闭集E D F -?使 2 )(ε < --F E D m 而且*n f 在F 上一致收敛于f .由定理 4.3.1,f 在F 上连续,再由引理4.3.1,f 可以开拓成D 上的连续函数*f .此时 {}()f f m ≠*)(F D m -≤ ()[]E F E D m --= )()(E m F E D m +--≤ ε< 这样我们在∞<)(D m 即D 有界的条件下证明了定理. 若∞=)(D m ,令 )1,[+=n n D D n ,2,1,0±±=n 则∞<)(n D m . 由已证,对每一n ,有n D 的闭子集n F ,使f 沿n F 连续,而且 2 ||2)(+< -n n n F D m ε ,2,1,0±±=n 此时,n n F F +∞-∞ == 是闭集而且f 沿n F 连续. (一般,可数个闭集的并不一定是闭集,称σF 集.如:]2,1[1n n ∞ = ]2,0(=.开集 是σF 集是由于]1 ,1[),(1n b n a b a n -+=∞ = .此处n n F F +∞ -∞== 是闭集是因 F x n ∈?,x x n →有F x ∈(下证)由于R x ∈,故)1,[00+∈n n x .现x x n →,故又 由F x n ∈,当n 充分大时0 n n F x ∈.由0 n F 闭且x x n →知F F x n ?∈0 .) 由引理4.3.1,f 作为F 上函数可以开拓成D 上的连续函数*f ,并且 {}()*f f m ≠)(F D m -≤ )(n n n n F D m ∞ -∞ =∞-∞=-= )]([n n n F D m -≤∞ -∞ = 2 ||2 +∞ -∞ =∑ ε< 对于)(sup *x f D x ∈)(sup x f D x ∈≤,由引理4.3.1)(sup *x f D x ∈)(sup x f F x ∈=)(sup x f D x ∈≤而得 (因D F ?). 记住:只有Egoroff 定理限定∞<)(D m . 推论:若f 是],[b a 上几乎处处有限的可测函数,则对任何0>ε,有],[b a 上的连续函数*f ,使{}()ε<≠*f f m ,并且)(max *] ,[x f b a x ∈)(sup ] ,[x f b a x ∈≤. 例:???=0 1)(x D 无理数 有理数x x 处处不连续.令0)(*≡x D ,则 {}() ε<=≠0)()(*x D x D m . 这提供了一种方法,研究可测函数命题可以先研究连续函数,二者“差不多”. 000 §4.4 测度收敛 )()(x f x f n D n ∞ →?→?已经学过三种,即 ()()()()?? ? ?? ? ?测度收敛一致收敛几乎处处收敛 逐点收敛4321 {}()ε δεδε<≥-?>??>?>???∈?>??>?=-∈?∈?f f m N n N f f D x N n N E m E D x D x n n ,,0,0,,,00 )(, 第四种即今天要学习的测度收敛. 设f 和n f )1(≥n 都是D 上几乎处处有限的可测函数.若对任何0>δ, {}()0→≥-δf f m n ()∞→n ,则称n f 在D 上测度收敛于f .记为f f n ?. 例 4.4.1.对每一1≥n ,把]1,0[n 等分,得到n 个小区间 ],1[ n k n k -,n k ,,2,1 =.令 0≡f 1)()(]1,0[1≡=x x f λ )()(]2 1,0[2x x f λ = )()(]1,2 1[3x x f λ= )()(]3 1,0[4x x f λ = )()(]3 2,31[5x x f λ= )()(]1,3 2[6x x f λ= ………………图形见演示文稿《测度收敛反例》 此时对任何0>δ {}()δ≥-f f m n {}()δ≥=n f m 0?→? ()∞→n .(因n 越大,n f 等于1的区间越小)即f f n ?.但对任何]1,0[∈x ,{}1)(≥n n x f 中有无穷项为1,无穷项为0,可见n f 不收敛. 例 4.4.2.对每一1≥n ,令)()(),[x x f n n ∞=λ,0)(≡x f ,R x ∈.此时对 ?R x ∈,)()(x f x f n →,但对 2 1= δ,})21|({|≥-f f m n })21 ({≥=n f m )),((∞=n m ∞=.所以n f ?f . 以上二例说明:测度收敛与几乎处处收敛和逐点收敛没有因果关 系.但还是有关系的.即 定理 4.4.1(Riesz)设f 和)1(≥n f n 都是可测集D 上的几乎处处有限的可测函数,则(i)若f f n ?,则{}1≥n n f 中有子列{}1≥k n k f 几乎处处收敛于f . (ii)若∞<)(D m ,并且n f 几乎处处收敛于f ,则f f n ?. 证明: (i)此时对每一1≥k ,})2 1 |({|k n f f m ≥ -)(0∞→→n ,因此有k n 使 k k n f f m k 21})21|({|<≥ - ,2,1=k <<< 1 f 1 f 2f 3 f 4 f 5f 6f 7 f 8f 9 f 10 令})2 1 |{|(1k n p k p f f E k ≥ -=∞ =∞= (即集合序列的上极限) 则对每一1≥p })2 1|{|()(k n p k f f m E m k ≥ -≤∞ = })2 1 |({|k n p k f f m k ≥-∑≤∞ = k p k 21∞=∑ < 12 1-=p 令∞→p 得0)(=E m .即E 为零测集. 此时 c E E D -=})2 1|{|(1k n p k p f f k ≥ -=∞ =∞ = 从而对每一E D E x c -=∈,必有10≥p 使∈x }2 1 |{|0 k n p k f f k < -∞ = ,即0p k ≥?有 k n x f x f k 21|)()(|< -. 也即)()(x f x f k n → )(∞→k . 说明k n f 在c E 上处处收敛于f ,也就是说k n f 在D 上几乎处处收敛于f . (ii) (注意条件∞<)(D m ,否则即使n f 处处收敛于f ,也未必f f n ?) 任给0>δ,0>ε,由于∞<)(D m ,由Egoroff 定理,有D 的可测子集E 使 ε<-)(E D m 并且n f 在E 上一致收敛于f .于是有N,使 δ<-|)(|f x f n E x ∈? N n >? 此时 {}δ≥-)()(x f x f n E D -? 故 {}()δ≥-)()(x f x f m n ()E D m -≤ε< N n > 即f f n ?. 例 4.4.3.设)()(x f x f n ?,)()(x g x f n ?,则)()(x g x f =在E 上几乎处处成立. 证明:由于 )()(x g x f -)()()()(x g x f x f x f k k -+-≤, 故对任何自然数 n ,}1 |:|{n g f E x ≥-∈?}21|:|{n f f E x k ≥ -∈ }21|:|{n g f E x k ≥-∈, 从 而 })1|:|({n g f E x m ≥-∈≤})21|:|({n f f E x m k ≥-∈})21 |:|({n g f E x m k ≥-∈+ 令∞→k ,即得})1|:|({n g f E x m ≥-∈0=. 但是 }:{g f E x ≠∈}1 |:|{1n g f E x n ≥-∈=∞ = 故0}):({=≠∈g f E x m ,即)()(x g x f = a.e.于E. 讲可测函数最重要的一条是其与连续函数“差不多”,即Lusin 定理.我们所说的“差不多”是{}()ε<≠f f m *而不是f f =* a.e . 不要混同. 第三章 可测函数的知识要点与复习自测 一、可测函数的定义的知识要点： ◇ 体会可测函数从简单到一般的定义思想，并能根据这一思想，按可测集上的简单函数到非负可测函数再到一般可测函数的程序，正确写出可测函数的定义。 ◇ 掌握简单函数的四则运算性和复合运算性，并理解复合运算性中为什么必须要求内层函数是简单函数，才能保证复合之后的函数是简单函数。 ◇ 掌握非负可测函数与简单函数的极限关系（即非负可测函数的定义），仔细体会刻画非负可测函数的测度特征的特征定理的证明过程，掌握此定理证明中通过 对值域区间作不交区间分解（即21 01 [0,]{[ ,)}[,]22 m m m m k k k m -=++∞=??+∞），再借助逆象集导出可测集E 的有限不交可测分解的方法，即 2101 [0()][()][()]22m m m m k k k E E x f x E x f x E x f x m -=+=≤≤+∞=?≤ 函数的连续性 分段函数的极限和连续性 例 设???????<<=<<=) 21( 1)1( 21 )10( )(x x x x x f （1）求）x f (在点1=x 处的左、右极限，函数）x f (在点1=x 处是否有极限？ （2）函数）x f (在点1=x 处是否连续？ （3）确定函数）x f (的连续区间． 分析：对于函数）x f (在给定点0x 处的连续性，关键是判断函数当0x x →时的极限是否等于)(0x f ；函数在某一区间上任一点处都连续，则在该区间上连续． 解：（1）1lim )(lim 1 1 ==- - →→x x f x x 11lim )(lim 1 1 ==++→→x x x f ∴1)(lim 1 =→x f x 函数）x f (在点1=x 处有极限． （2）)(lim 2 1)1(1 x f f x →≠= 函数）x f (在点1=x 处不连续． （3）函数）x f (的连续区间是（0，1），（1，2）． 说明：不能错误地认为)1(f 存在，则）x f (在1=x 处就连续．求分段函数在分界点0x 的左右极限，一定要注意在分界点左、右的解析式的不同．只有)(lim ),(lim )(lim 0 x f x f x f x x x x x x →→→+ - =才存在． 函数的图象及连续性 例 已知函数2 4)(2 +-= x x x f ， （1）求）x f (的定义域，并作出函数的图象； （2）求）x f (的不连续点0x ； （3）对）x f (补充定义，使其是R 上的连续函数． 分析：函数）x f (是一个分式函数，它的定义域是使分母不为零的自变量x 的取值范围，给函数）x f (补充定义，使其在R 上是连续函数，一般是先求)(lim 0 x f x x →，再让)(lim )(0 0x f x f x x →=即可． 解：（1）当02≠+x 时，有2-≠x ． 因此，函数的定义域是()()+∞--∞-,22, 当2≠x 时，.22 4)(2 -=+-=x x x x f 其图象如下图． （2）由定义域知，函数）x f (的不连续点是20-=x ． （3）因为当2≠x 时，2)(-=x x f 所以4)2(lim )(lim 2 2 -=-=-→-→x x f x x 因此，将）x f (的表达式改写为 ?? ? ??-=--≠+-=)2(4)2(2 4 )(2x x x x x f 则函数）x f (在R 上是连续函数． 说明：要作分式函数的图象，首先应对函数式进行化简，再作函数的图象，特别要注意化简后的函数与原来的函数定义域是否一致． 利用函数图象判定方程是否存在实数根 例 利用连续函数的图象特征，判定方程01523 =+-x x 是否存在实数根． 一次函数测试卷 一、选择题： 1．正比例函数y=kx 过（2，-4），则k 为( ) A.2 B.-2 C. 0.5 D. -0.5 2. 使分式2-x x 有意义的x 的取值范围是（ ） A. 2x = B.2x ≠ C.2x =- D.2x ≠- 3．一次函数y=-5x+3的图象经过的象限是（ ） A ．一、二、三 B ．二、三、四 C ．一、二、四 D ．一、三、四 4．若一次函数y=（3-k ）x-k 的图象经过第二、三、四象限，则k 的取值范围是（ ） A ．k>3 B ．0 第12章一次函数 一、选择题（每小题4分，共40分） 1．函数y＝中自变量x的取值范围是（） A．x≠﹣4B．x≠4C．x≤﹣4D．x≤4 2．下列四个点中，恰好与点（﹣2，4）在同一个正比例函数图象上的是（）A．（4，﹣2）B．（2，﹣4）C．（﹣4，2）D．（2，4） 3．在下列各图象中，y是x的函数有（） A．1个B．2个C．3个D．4个 4．若点A（x1，﹣3），B（x2，﹣2），C（x3，1）在一次函数y＝3x﹣b的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（） A．x1＜x2＜x3B．x2＜x1＜x3C．x3＜x2＜x1D．x1＜x3＜x2 5．在平面直角坐标系中，若将一次函数y＝﹣2x+6的图象向下平移n（n＞0）个单位长度后恰好经过点（﹣1，﹣2），则n的值为（） A．10B．8C．5D．3 6．将直线y＝2x+1向右平移2个单位．再向上平移2个单位后，得到直线y＝kx+b．则下列关于直线y＝kx+b的说法正确的是（） A．与x轴交于（2，0）B．与y轴交于（0，﹣1） C．y随x的增大而减小D．经过第一、二、四象限 7．已知y是x的一次函数，下表中列出了部分对应值，则m等于（） x﹣101 y1m﹣5 A．﹣1B．0C．﹣2D． 8．若点A（﹣2，a），B（b，）在同一个正比例函数图象上，则的值是（） A．B．﹣3C．3D．﹣ 9．两条直线y1＝ax﹣b与y2＝bx﹣a在同一坐标系中的图象可能是图中的（）A．B． C．D． 10．如图①，在矩形ABCD中，动点P从A出发，以恒定的速度，沿A→B→C→D→A方向运动到点A处停止．设点P运动的路程为x．△P AB面积为y，若y与x的函数图象如图②所示，则矩形ABCD的面积为（） A．36B．54C．72D．81 二、填空题（每小题5分，共20分） 11．（5分）函数y＝﹣2x+6，当函数值y＝4时，自变量x的值是． 12．（5分）请写出一个一次函数满足以下条件：（1）y随x的减小而减小；（2）图象与x轴交在负半轴上． 13．（5分）已知：一次函数y＝（a+1）x﹣（a﹣2）中，该函数的图象不过第四象限，则a 的范围是． 14．（5分）某市出租车白天的收费起步价为14元，即路程不超过3公里时收费14元，超过部分每公里收费2.4元．如果乘客白天乘坐出租车的路程x（x＞3）公里，乘车费为y 元，那么y与x之间的关系式为． 三、解答题（本答题共两小题，每题8分，满分16分） 15．（8分）已知直线m与直线y＝2x+1平行，且经过（1，4）． 1.5 可测集与可测函数 1.5.1 可测集与可测函数 定义1.5.1 设X 是基本空间，R 是X 上的σ-代数，且 E X E ∈= R ， 则称(,)X R 是可测空间(measurable space)，R 中的元素E 是(,)X R 上的可测集(measurable set)。 特别地， 当1X =R ，=R L 时，称1(,)R L 是Lebsgue 可测空间；Lebsgue 可测空间上的可测集称为Lebsgue 可测集； 当1X =R ，()==0R S R B 时，称1(,)R B 是Borel 可测空间；Borel 可测空间上的可测集（即：Borel 集）称为Borel 可测集. 注 定义可测空间、可测集时，严格地说，并不要求在σ-代数R 上已经具有某个测度，即把可测空间、可测集的概念本质上当作集合论范畴的概念，这已是通行的看法。 定义1.5.2 设(,)X R 是可测空间，E X ?，f 是定义在E 上的有限实函数。若对一切实数c ，集 (){(),}E c f x c f x x E ≤=≤∈ 都是(,)X R 上的可测集（即：()E c f ≤∈R ），则称f 是E 上关于R 的可测的函数，简称E 上的可测函数(measurable function)。特别地， 当1(,)(,)X =R R L 时，称f 是E 上关于L 的Lebsgue 可测函数； 当1(,)(,)X =R R B 时，称f 是E 上关于B 的Borel 可测函数。 定理 1.5.1 设(,)X R 是可测空间，f 是定义在E X ?上的有限实函数。则f 是E 上的可测函数的充分必要条件是：对任意实数,c d ，集 ()E c f d ≤< 是可测集。 证 设f 是可测函数，由于 ()()()E c f d E c f E d f ≤<=≤-≤，而()E c f ≤和()E d f ≤都是可测集，所以 ()E c f d ≤<是可测集。 函数与极限测试题（一） 一、 填空题 1、若1ln 1 1ln x f x x +??= ?-??，则()f x =_____。 2、函数()f x 的定义域为[],a b ，则()21f x -的定义域为_____。 3、若0x →时，无穷小2 21ln 1x x -+与2sin a 等价，则常数a =_____。 4、设()()2 1lim 1 n n x f x nx →∞ -=+，则()f x 的间断点为x =_____。 二、 单选题 1、当0x →时，变量 2 11 sin x x 是（ ） A 、无穷小 B 、无穷大 C 、有界的，但不是无穷小 D 、无界的，也不是无穷大 2、设函数()bx x f x a e =+在(),-∞+∞上连续，且()lim 0x f x →-∞=，则常数,a b 满足（ ） A 、0,0a b << B 、0,0a b >> C 、0,0a b ≥< D 、0,0a b ≤> 3、设()232x x f x =+-，则当0x →时（ ） A 、()f x 与x 是等价无穷小 B 、()f x 与x 是同阶但非等价无穷小 C 、()f x 是x 的高阶无穷小 D 、()f x 是x 的低阶无穷小 4、设对任意的x ，总有()()()x f x g x ?≤≤，且()()lim 0x g x x ?→∞ -=????， 则()lim x f x →∞ 为（ ） A 、存在且等于零 B 、存在但不一定等于零 C 、一定不存在 D 、不一定存在 例：()()()11 ,,22 1 x x f x x g x x x x ?==+ =+ ++ 三、 求下列极限 1 、 lim x 2、()2 21212lim 1x x x x x -→?? ?+?? 四、 确定,a b 的值，使() 32 2ln 10 011ln 0 1ax x f x b x x x x x x x ?+<==??-+?>++?? 在(),-∞+∞内连续。 五、 指出函数()1 11x x x e e f x e e --= -的间断点及其类型。 六、 设1234,,,a a a a 为正常数，证明方程 31240123 a a a a x x x x +++=---有且仅有三个实根。 七、 设函数()(),f x g x 在[],a b 上连续，且满足()()()(),f a g a f b g b ≤≥，证明： 在[],a b 内至少存在一点ξ，使得()()f g ξξ=。 函数与极限测试题答案（一） 一、1、 11x x e -+； 2、 11, 2 2a b ++?? ???? ； 3、 4-； 4、0 ； 二、1—4、DCBD 三、1 、解：原式lim 3x ==； 第四章一次函数达标测试卷 一、选择题(每题3分，共30分) 1．正比例函数y＝2x的大致图象是() 2．若直线y＝kx＋b经过第二、三、四象限，则() A．k>0，b>0 B．k>0，b<0 C．k<0，b>0 D．k<0，b<0 3．一次函数y＝2x＋4的图象与y轴交点的坐标是() A．(0，－4) B．(0，4) C．(2，0) D．(－2，0) 4．对于函数y＝－3x＋1，下列结论正确的是() A．它的图象必经过点(－1，3) B．它的图象经过第一、二、三象限 C．当x>1时，y<0 D．y的值随x值的增大而增大 5．一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象如图所示，当y>0时，x的取值范围是() A．x<0 B．x>0 C．x<2 D．x>2 (第5题) (第6题) (第10题) 6．如图是小明从学校到家行进的路程s(m)与时间t(min)的函数图象，观察图象，从中得到如下信息，其中不正确的是() A．学校离小明家1 000 m B．小明用了20 min到家 C．小明前10 min走了路程的一半 D．小明后10 min比前10 min走得快 7．点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是一次函数y＝－4x＋3图象上的两个点，且x1 8．为了建设社会主义新农村，某市积极推进“村村通客车工程”．张村和王村之间的道路需要进行改造，施工队在工作了一段时间后，因暴雨被迫停工几天，不过施工队随后加快了施工进度，按时完成了两村之间道路的改造．下面能反映该工程尚未改造的道路里程y(km)与时间x(天)的函数关系的大致图象是() 9．小聪在画一次函数的图象时，当他列表后，发现题中一次函数y＝◆x＋◆中的k和b看不清了，则() A.k＝2，b＝3 B．k＝－2 3，b＝2 C．k＝3，b＝2 D．k＝1，b＝－1 10．一次函数y1＝kx＋b与y2＝x＋a的图象如图所示，则下列结论：①k<0；②a>0；③当x<3时，y1 基本初等函数是实变量或复变量的指数函数、对数函数、幂函数、三角函数和反三角函数经过有限次四则运算及有限次复合后所构成的函数类。 函数的极限与连续训练题 1、已知四个命题：（1）若在点连续，则在点必有极限 )(x f 0x )(x f 0x x →（2）若在点有极限，则在点必连续 )(x f 0x x →)(x f 0x （3）若在点无极限，则在点一定不连续 )(x f 0x x →)(x f 0x x =（4）若在点不连续，则在点一定无极限。 )(x f 0x x =)(x f 0x x →其中正确的命题个数是（ B ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、42、若，则下列说法正确的是（ C ） a x f x x =→)(lim 0A 、在处有意义 B 、)(x f 0x x =a x f =)(0 C 、在处可以无意义 D 、可以只从一侧无限趋近于)(x f 0x x =x 0 x 3、下列命题错误的是（ D ） A 、函数在点处连续的充要条件是在点左、右连续 0x 0x B 、函数在点处连续，则)(x f 0x )lim ()(lim 00x f x f x x x x →→=C 、初等函数在其定义区间上是连续的 D 、对于函数有)(x f )()(lim 00 x f x f x x =→4、已知，则的值是（ C ）x x f 1)(= x x f x x f x ?-?+→?)()(lim 0A 、 B 、 C 、 D 、21x x 21x -x -5、下列式子中，正确的是（ B ）A 、 B 、 C 、 D 、1lim 0=→x x x 1)1(21lim 21=--→x x x 111lim 1=---→x x x 0lim 0=→x x x 6、，则的值分别为（ A ）51lim 21=-++→x b ax x x b a 、A 、 B 、 C 、 D 、67和-67-和67--和6 7和7、已知则的值是（ C ）,2)3(,2)3(-='=f f 3)(32lim 3--→x x f x x A 、 B 、0 C 、8 D 、不存在4-8、（ D ） =--→33lim a x a x a x 2019沪科版八年级上册数学第12章《一次函数》检测试题 一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,满分40分) 1.下列函数中,自变量x 的取值范围是x ≥3的是 A.y= - B.y= - C.y=x-3 D.y= - 2.一次函数y=-2x-6的图象不经过 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.已知整数x 满足0≤x ≤5,y 1=x+2,y 2=-2x+5,对任意一个x ,y 1,y 2中的较大值用m 表示,则m 的最小值是 A.3 B.5 C.7 D.2 4.点A (-5,y 1)和B (-2,y 2)都在直线y=- x-3上,则y 1与y 2的关系是 A.y 1≤y 2 B.y 1=y 2 C.y 1 C. D. 7.直线y=kx+b经过点(0,-3),且与两坐标轴构成直角三角形的面积是6,则k的值为 A. B.- C. D.± 8.李师傅一家开车去旅游,出发前查看了油箱里有50升油,出 发后先后走了城市路、高速路、山路最终到达旅游地点,下面 的两幅图分别描述了行驶里程及耗油情况.下面的描述中错 误的是 A.此车一共行驶了210公里 B.此车高速路一共用了12升油 C.此车在城市路和山路的平均速度相同 D.以此车在这三个路段的综合油耗判断50升油可以行驶约525公里 9.将一个盛有部分水的圆柱形小水杯放入事先没有水的大圆柱形容器内,现用一个注水管沿大容器内壁匀速注水(如图所示),则小水杯内水面的高度h(cm)与注水时间t(min)的函数图象大致为 10.如图,矩形ABCD的顶点坐标分别为A(1,1),B(3,1),C(3,4),D(1,4),一次函数 y=2x+b的图象与长方形ABCD的边有公共点,则b的取值范围是 A.b≤-2或b≥-1 B.b≤-5或b≥2 C.-2≤b≤-1 D.-5≤b≤2 1、函数 ()12 ++=x x x f 与函数()11 3--=x x x g 相同． 错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。 ∴()12 ++=x x x f 与()113--=x x x g 函数关系相同，但定义域不同，所以 ()x f 与()x g 是不同的函数。 2、如果()M x f >（M 为一个常数），则()x f 为无穷大． 错误 根据无穷大的定义，此题是错误的。 3、如果数列有界，则极限存在． 错误 如：数列()n n x 1-=是有界数列，但极限不存在 4、a a n n =∞ →lim ，a a n n =∞ →lim ． 错误 如：数列()n n a 1-=，1)1(lim =-∞→n n ，但n n )1(lim -∞ →不存在。 5、如果()A x f x =∞ →lim ，则()α+=A x f （当∞→x 时，α为无穷小）． 正确 根据函数、极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。 6、如果α～β，则()α=β-αo ． 正确 ∵1lim =α β ，是 ∴01lim lim =?? ? ??-=-αβαβα，即βα-是α的高阶无穷小量。 7、当0→x 时，x cos 1-与2x 是同阶无穷小． 正确 ∵2122sin 412lim 2sin 2lim cos 1lim 2 02 2 020=????? ? ?? ??==-→→→x x x x x x x x x 8、 01sin lim lim 1 sin lim 0 00=?=→→→x x x x x x x ． 错误 ∵x x 1sin lim 0 →不存在，∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。 9、 e x x x =??? ??+→11lim 0 ． 错误 ∵e x x x =?? ? ??+∞ →11lim 10、点0=x 是函数x x y =的无穷间断点． 错误 =-→x x x 0 0lim 1lim 00-=--→x x x ，=+→x x x 00lim 1lim 00=+→x x x ∴点0=x 是函数x x y = 的第一类间断点． 11、函数()x f x 1 =必在闭区间[]b a ,内取得最大值、最小值． 错误 ∵根据连续函数在闭区间上的性质，()x f x 1 =在0=x 处不连续 ∴函数()x f x 1=在闭区间[]b a ,内不一定取得最大值、最小值 二、填空题： 1、设()x f y =的定义域是()1,0，则 （１）()x e f 的定义域是（ (,0)-∞ ）； （２）()x f 2sin 1-的定义域是（ ,()2x x k x k k Z πππ?? ≠≠+∈??? ? ） ； （３）()x f lg 的定义域是（ (1,10) ）． 答案：（1）∵10< 八年级上学期单元检测卷 第12章 一次函数 （数学考试时间:90分钟 满分:120分) 学校： 班级： 姓名： 一、选择题 (本大题共12小题，每小题3分，共36分. 在每小题给出的四个选项中只有一项 是符合要求的，请将正确答案填涂在答题卡上.) 1、下列各图中，不能表示y 是x 函数是（ ） 2、下列函数，y 是x 的一次函数的是（ ） A.6 y x = B. y 1007x =-+ C. 2y 2x = D. y 3=+ 3、如果2 17y (4)m m x -=+是正比例函数，那么m 的值是（ ） A. 4 B.-4 C .±4 D.以上都不对 4、直线y 63x =-在y 轴上的截距是（ ） A. 3 B.-6 C .-3 D.6 5、关于x 的一次函数2y (1)m x m =+-的图像可能是（ ） 6、直线y 3x =-向上平移a 个单位长度后，与直线 y 36x =- +的交点在第二象限，则a 的取值范 围是（ ） A. a>6 B. 1 7、关于一次函数y 32x =-+，下列结论正确的是（ ） A. 图象经过一、三、四象限 B. y 随x 的增大而增大 C . 图象必经过点（-2，2） D. 当x<0时，y>2 8、如图，直线AB 对应的函数表达式是（ ） Ａ．3 y 62x =-+ Ｂ．3 y 62 x =+ C. 2y 63x =-+ D.2 y 63 x =+ 9、已知3x =是方程60x m +=的解，则y 6x m = +一定经过点（ ） A.（0，3） B.（-3，0） C.（0，-3） D.（3，0） 10、如图，已知函数1y 23x =-+和2y 4x =-的图象相交于一点P ，且P 点 横坐标为 73，则不等式234x x -+<-的解集为（ ） A. 73x > B. 3x < C. 27x > D. 7 3 x < 11、小刚给手机卡充值30元话费，若通话时每分钟的话费是0.5元，则手机卡上的余额y(元) 与通话时间x （分钟）之间的函数图象是（ ） 12、某农作物种子的价格为5元/千克，如果一次购买2千克以上的种子，超过2千克部分的 种子的价格打6折，设购买种子数量为x 千克，付款金额为y 元，则y 与x 的函数关系的图象大致是（ ） ニ、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分.) 13、已知2y 2m 3)m x -= -（是正比例函数且图象经过第二、四象限，则m 的值为 . 14、将直线y 2x =-向右平移3个单位，并向下平移5个单位，则得到的这条直线的函数表达式为 第10题图 第8题图 A C B D A B C D 数学·八年级（上册） 第2页 （共4页） 第一章 函数与极限 （A ） 一、填空题 1、设x x x f lg lg 2)(+-= ，其定义域为 。 2、设)1ln()(+=x x f ，其定义域为 。 3、设)3arcsin()(-=x x f ，其定义域为 。 4、设)(x f 的定义域是[0，1]，则)(sin x f 的定义域为 。 5、设)(x f y =的定义域是[0，2] ，则)(2 x f y =的定义域为 。 6、43 2lim 23=-+-→x k x x x ，则k= 。 7、函数x x y sin = 有间断点 ，其中 为其可去间断点。 8、若当0≠x 时 ，x x x f 2sin )(= ，且0)(=x x f 在处连续 ，则=)0(f 。 9、=++++++∞→)21(lim 222n n n n n n n n 。 10、函数)(x f 在0x 处连续是)(x f 在0x 连续的 条件。 11、=++++∞→352352) 23)(1(lim x x x x x x 。 12、3) 2 1(lim -∞ →=+e n kn n ，则k= 。 13、函数2 31 22+--=x x x y 的间断点是 。 14、当+∞→x 时， x 1 是比3-+x 15、当0→x 时，无穷小x --11与x 相比较是 无穷小。 16、函数x e y 1=在x=0处是第 类间断点。 17、设1 1 3 --= x x y ，则x=1为y 的 间断点。 18、已知33=?? ? ??πf ，则当a 为 时，函数x x a x f 3sin 31sin )(+=在3π=x 处连续。 19、设?? ???>+<=0)1(02sin )(1x ax x x x x f x 若)(lim 0 x f x →存在 ，则a= 。 20、曲线2sin 2 -+=x x x y 水平渐近线方程是 。 21、1 14)(2 2-+ -= x x x f 的连续区间为 。 22、设?? ?>≤+=0 ,cos 0 ,)(x x x a x x f 在0=x 连续 ，则常数 a= 。 二、计算题 1、求下列函数定义域 （1）2 11 x y -= ； （2）x y sin = ； （3）x e y 1= ； 2、函数)(x f 和)(x g 是否相同？为什么？ （1）x x g x x f ln 2)(,ln )(2 == ； （2）2)(,)(x x g x x f == ； （3）x x x g x f 22tan sec )(, 1)(-== ； 3、判定函数的奇偶性 （1）)1(2 2 x x y -= ； （2）3 2 3x x y -= ； 第 12 章一次函数单元测试 一、选择题 1.在某个变化过程中，数值保持不变的量，叫做（） A. 函数B变.量C常.量D自.变量 【答案】 C 2.当 x=0 时，函数y=2x2+1 的值是（） A. 1 B. 0 C. 3 D. -1 【答案】 A 3.在函数 y=中，自变量x 的取值范围是（） A. x＞ 0Bx. ≠0 C.＞x 1Dx. ≠1 【答案】 B 4.一次函数的图象不经过的象限是（）. A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】 D 5.某航空公司规定，旅客乘机所携带行李的质量x（ kg）与其运费y（元）由如图所示的一次函数图象确定，那么旅客可携带的免费行李的最大质量（） A. 20kg B. 25kg C. 28kg D. 30kg 【答案】 A 6.当 x＞ 0 时， y 与 x 的函数解析式为y=2x，当 x≤0时， y 与 x 的函数解析式为y=﹣ 2x，则在同一直角坐标系中的图象大致为（） A. B. C. D. 【答案】 C 7.已知正比例函数y=kx（k≠0）的函数值y 随 x 的增大而减小，则一次函数y=x+k 的图象大致是（） A. B. C. D. 【答案】 B 8.方程组没有解，因此直线y=﹣ x+2 和直线 y=﹣ x+在同一平面直角坐标系中的位置关系是（） A. 重合 B. 平行 C. 相交 D. 以上三种情况都有可能 【答案】 B 9.直线 y=kx+2 过点（ 1，﹣ 2），则 k 的值是（） A. 4 B. -4 C. -8 D. 8 【答案】 B 10.如图是护士统计一位甲型H1N1 流感疑似病人的体温变化图，这位病人在16 时的体温约是（） A. 37.8℃ B. 38℃ C. 38℃.7 D. 39.℃1 【答案】 C 11.已知一次函数y=mx+n﹣ 2 的图象如图所示，则m、 n 的取值范围是（） A. m＞ 0， n＜ 2 B. m＞ 0， n＞ 2 C. m＜ 0， n＜ 2 D. m＜ 0， n＞2 【答案】 D 12.体育课上， 20 人一组进行足球比赛，每人射点球 5 次，已知某一组的进球总数为49 个，进球情况记录如下表，其中进 2 个球的有x 人，进 3 个球的有y 人，若（ x，y）恰好是两条直线的交点坐标，则这两条直线的解析式是（） 进球数012345 可测函数与连续函数 实变大作业 2011/4/27 可测函数与连续函数 【摘要】：主要介绍几乎可测函数的定义与性质，及几乎处处有限的可测函数与连续函数的关系。由于连续函数不是本章所学的内容，故不对其介绍。 【关键词】：可测函数、连续函数、关系 这一章中主要学习了可测函数，这是一类新的函数，所以搞清它的性质及其与其它函数之间的关第是十分重要与必要的。特别是我们十分熟悉的函数之间的关系。 一、基本概念 1、几乎处处： 给定一个可测集E，假如存在E的一个子集E1，m E?E1=0，且使得性质P 在E1上处处成立，则称性质P在E上几乎处处成立。 2、可测函数： 设E??是Lebesgue可测集，f是E上的实值函数。假如对于任意实数C E f>C=x∈E:f x>C 都是可测集，则称f是E上的Lebesgue可测函数（简称f是E上的可测函数）。 3、几乎处处有限的可测函数： 设E??是Lebesgue可测集，给定一个可测集E，存在E的一个子集E1， m E?E1=0，f在E1上有限，假如对于任意实数C E f>C=x∈E:f x>C 都是可测集，则称f是E上几乎处处有限的的Lebesgue可测函数 4、连续函数： 设D??，f是定义于D的函数，x∈D，假如 lim y→x,y∈D f y=f x 则称f沿D在x连续；假如f沿D内任意一点都连续，则称f沿D连续。 5、预备定理、引理 定理2.2设 f 是一个紧集， { f n}n≥1是一列沿 F连续的函数。若f n在 F上一致收敛于 f，则 f 也沿 F 连续。 定理2.3（Egoroff）设 f 和f n(n≥1)都是测度有限的集 D 上的几乎处处有限的可测函数。若f n在 D 上几乎处处收敛于 f，则对任何 ε>0，有 D 的闭子集 F，使 m D? F <ε，并且f n在 F 上一致收敛于 f。 引理2.1设 F 是 R中的闭集，函数 f 沿 F 连续，则 f 可以开拓成 R 上的连续函数f?，并且sup x∈R| f?x|=sup x∈R| f x|。 引理2.2设 f是可测集 D 上的简单函数。则对任何ε>0，有沿 D连续的函数f?使 m {f≠f?} <ε。 二、可测函数和连续的关系 1、连续函数的可测性 定理1可测集上的连续函数都是可测函数。 证明:对任意a∈R，设x∈E f>a，则由连续性假设，存在x的某邻域U x，使U x∩E?E f>a。因此，令G=U(x) x∈E(f>a)，则： G∩E=U(x) x∈E(f>a)∩E=U(x) x∈E(f>a) ∩(f>a) 反之，显然有E f>a?G，因此： E f>a?G∩E f>a?G∩E 从而： E f>a=G∩E f>a 但G是开集（因为它是一族开集这并），而E为可测集，故其交G∩E仍为可测集，即E f>a为可测集，由定义知：f(x)是可测函数。 但可测函数不一定连续例例： 可测函数Dirichlit函数在0,1上处处间断 2、用连续函数逼近可测函数，可测函数的连续性 引理1：设F是R中的闭集，函数f没F连续，则f可以开拓成R的连续函数f?，并且： sup x∈R f?(x)=sup x∈R f(x) 证明：此时F c=(a n,b n)是开集，其中开区间族(a n,b n)两两不相交。今定义 C 3H 8C 2H 6CH 4 H H H H H H H H H H H H H H C C C C C H H H H C 第十九章 《一次函数》单元测试题 一、精心选一选，慧眼识金！(每小题3分,共24分) 1.被誉为“沙漠之舟”的骆驼，其体温随着气温的变化而变化.在这个问题中,自变量是( ) A.骆驼 B.沙漠 C.气温 D.体温 2.下列函数（1）y=3πx (2)y=8x －6 (3)y=1x (4)y=1 2 －8x (5)y=5x 2－4x+1中， 是一次函数的有（ ） A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 3.函数28 2 -+--= x x x y 的自变量x 的取值范围为（ ） A ．x ≥2且 x ≠8 B ．x ＞2 C ．x ≥2 D ．x ≠8. 4.若ab ＞0，mn ＜0，则一次函数n m x b a y += 的图象不经过的象限是（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 5.在下列各图象中，y 不是x 函数的是（ ） 6.已知点（－ 6，y 1）， （8，y 2）都在直线y= － 1 2 x －6上，则y 1 y 2大小关系是( ) A.y 1 >y 2 B.y 1 =y 2 C.y 1 第四章 可测函数 教学目的： 1.熟练掌握可测函数的定义及其基本性质，可测函数的一些重要性质. 2.掌握通过Egoroff 定理证明Lusin 定理,它表明Lebesgue 可测函数可以用性质较好的连续函数逼近. 3.掌握几乎处处收敛,依测度收敛和几乎一致收敛，以及几种收敛性之间的蕴涵关系.通过学习使学生对可测函数列的几种收敛性和相互关系有一个较全面的了解. 重点难点： 1.可测函数有若干等价的定义.它是一类范围广泛的函数,并且有很好的运算封闭性. 2.可测函数可以用简单函数逼近,这是可测函数的构造性特征. 3.引进的几种收敛是伴随测度的建立而产生的新的收敛性.一方面, L 可测集上的连续函数是可测的,另一方面,Lusin 定理表明, Lebesgue 可测函数可以用连续函数逼近. Lusin 定理有两个等价形式. 4.依测度收敛是一种全新的收敛,与熟知的处处收敛有很大的差异.Egoroff 定理和Riesz 定理等揭示了这几种收敛之间的关系.Riesz 定理在几乎处处收敛和较难处理的依测度收敛之间架起了一座桥梁. §4.1 可测函数及相关性质 由于建立积分的需要，我们还必须引进一类重要的函数—— Lebesgue 可测函数，并讨论其性质和结构. 设f 是可测集D 上的函数,若对任何R ∈?α,{}α>∈)(:x f D x 记 =α D 是可测集,则称f 是可测集D 上的可测函数. 我们知道,f 在D 上连续?R ∈?α,{}α>∈)(:x f D x 、{}α<∈)(:x f D x 都是开集.所以由可测函数的定义,区间D 上的连续函数f 是可测函数. 又如:设E 是D 的可测子集.则E 上的特征函数为 =)(x f )(x E λ???=0 1 E D x E x -∈∈ 函数与极限测试题（一） 一、 填空题 二、 1、若1ln 1 1ln x f x x +??= ?-??，则()f x =_____。 三、 2、函数()f x 的定义域为[],a b ，则()21f x -的定义域为_____。 四、 3、若0x →时，无穷小221ln 1x x -+与2sin 2a 等价，则常数a =_____。 五、 4、设()()2 1lim 1 n n x f x nx →∞ -=+，则 ()f x 的间断点为x =_____。 六、 单选题 七、 1、当0x →时，变量 211 sin x x 是（ ） 八、 A 、无穷小 B 、无穷大 九、 C 、有界的，但不是无穷小 D 、无界的，也不是无穷大 十、 2、设函数()bx x f x a e = +在(),-∞+∞上连续，且()lim 0x f x →-∞=，则常数,a b 满足（ ） 十一、 A 、0,0a b << B 、0,0a b >> 十二、 C 、0,0a b ≥< D 、0,0a b ≤> 十三、 3、设()232x x f x =+-，则当0x →时（ ） 十四、 A 、()f x 与x 是等价无穷小 B 、()f x 与x 是同阶但非等价无穷小 十五、 C 、()f x 是x 的高阶无穷小 D 、()f x 是x 的低阶无穷小 十六、 4、设对任意的x ，总有()()()x f x g x ?≤≤，且()()lim 0x g x x ?→∞ -=????，则 ()lim x f x →∞ 为（ ） 十七、 A 、存在且等于零 B 、存在但不一定等于零 十八、 C 、一定不存在 D 、不一定存在 十九、 例：()()()11 ,,22 1 x x f x x g x x x x ?==+=+ ++ 二十、 求下列极限 二十一、 1、 2 241lim sin x x x x x +-+、()2 21212lim 1x x x x x -→?? ?+??第三章可测函数的知识要点与复习自测
第二章极限习题及答案：函数的连续性
一次函数章节测试题
沪科新版八年级上册《第12章 一次函数》 单元测试卷 解析版
1.5 可测集与可测函数(讲义)
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