第四章 可测函数
习题4-1-P108
P108
1、证明E 上的两个简单函数的和与乘积都还是E 上的简单函数. 证明：设∑==
i
i k
m k E i k
i x c
x 1
)()()()(χψ,2,1=i ,为E 上的两个简单函数,
那么∑∑∑∑=======
12
1
1
11
)1()1(1
)2(1
)1(m i m j j i m k k
m k k
E E E
E
E ,于是
∑∑==+=+2
)2(1
)1(1
)2(1
)1(21)()()()(m j E j m i E i x c x c x x j
i
χχψψ
∑∑∑∑====+=2
1
)2()
1(1
2
)2()
1(1
1
)2(1
1)1()()()()(m j m i E E j
m i m j E E i
x x c
x x c
j
i j
i χχ
χχ
∑∑==+=12)2()1(11
)2()1()()()(m i m j E E j
i
x x c c j
i
χχ∑∑==+=12
)2()1(11
)2()1()()(m i m j E E j i x c c j
i χ,
∑∑===2
)2(1)1(1
)2(1
)1(21)()()()(m j E j m i E i x c x c x x j
i
χχψψ
∑∑∑∑======12
)2()1(12)2()1(11
)2()1(11
)2()1()()()(m i m j E E j i m i m j E E j
i x c c x x c c j
i j
i
χχχ,
所以)()(21x x ψψ+与)()(21x x ψψ都是E 上的简单函数.
2、证明当)(x f 既是1E 上又是2E 上的非负可测函数时,)(x f 也是21E E Y 上的非负可测函数. 证明：由条件知
R ∈∀a ,n E x a x f x E M ∈∈>],)(;[1,n E x a x f x E M ∈∈>],)(;[2,
于是
],)(;[21E E x a x f x E Y ∈>
n E x a x f x E E x a x f x E M ∈∈>∈>=],)(;[],)(;[11Y
所以)(x f 也是21E E Y 上的非负可测函数.
3、设+∞ε,都有闭集E F ⊂,使ε<-)(F E m ,而在F 上)(x f 是有界的. 证明：显然M ↓⊂>=])(;[m x f x E D m ,E D
x f x E D m m
⊂=
+∞==∞
=Y 1
])(;[,
由于+∞lim 1
===∞
=∞
→mD D
m mD m m
m m Y ,
于是 0>∀ε,+∈∃N M ..t s 2
ε
<
M mD ,
对于M ∈-=M M D E E ,∃闭集E E F M ⊂⊂..t s 2
)(ε<
-F E m M , 有ε<-+=-+-=-)()()()(F E m mD F E m E E m F E m M M M M , 显然在c
M M D E F ⊂⊂上, M x f ≤≤)(0.
4、设)}({x f m 是可测集合E 上的非负可测函数序列,证明：如果对任意0>ε,都有
+∞<>∑∞
=1
])(;[m m
x f
x mE ε,则必有0)(lim =∞
→x f m m ..e a E .又问这一命题
的逆命题是否成立？
证明：(1)} , 0)(lim |{E x x f x D x m m ∈≠=∈∀∞
→,00>∃ε,+
∈∀N N ,N m >∃
..t s 0)(ε>x f m , 即 Y ∞
=>⊂
N
m m
x f
x E D ])(;[0ε,
因
+∞<>∑∞
=1
0])(;[m m
x f
x E ε,有
0])(;[0→>≤
∑∞
=N
m m
x f
x mE mD ε,∞→N , 即0=mD ,
所以0)(lim =∞
→x f m m ..e a E .
(2)取非负M ∈=-)()(],1[x x f m m m χ,R =E ,
显然0)(lim =∞
→x f m m ,当然0)(lim =∞
→x f m m ..e a E ,由于
1],1[]1)(;[=-=>m m m x f x m m ,有+∞=>∑∞
=1
]1)(;[m m x f x mE ,
可见逆命题不成立.
