9455高二期中考试数学试题

42
2 y
22
4
，化
为 (x 2)2 ( y 1)2 1，故选 A.
考点：1、圆的标准方程；2、“逆代法”求轨迹方程.
【方法点晴】本题主要考查圆的标准方程、“逆代法”求轨迹方程，属于难题.求轨迹方程的常见方法有:①直
接法，设出动点的坐标
x,
y
，根据题意列出关于
x,
y
的等式即可；②定义法，根据题意动点符合已知曲
y 1 mx 2m R
5. 在平面直角坐标系中，动圆
与直线
相切，则面积最
大的圆的标准方程为（ ）
x 12 y 12 4
A.
x 12 y 12 5
B.
x 12 y 12 6
C. 【答案】B
x 12 y 12 8
D.
【解析】
【分析】据题意分析可知直线经过定点 P ；圆的圆心到直线距离的最大时，圆的半径最大，即可得到面积
当直线 x ay 1 0 与直线 ax y 1 0 相互垂直时， a 1 不一定成立，所以“ a 1 ”是“直线
x ay 1 0 与直线 ax y 1 0 相互垂直”的非必要条件.
所以“ a 1 ”是“直线 x ay 1 0 与直线 ax y 1 0 相互垂直”的充分非必要条件.
2023~2024 学年第一学期期中高二数学试题
（选择性必修一检测） 2023.11
说明：本试卷满分 150 分，分为第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，第 I 卷为 第 1 页至第 3 页，第 II 卷为第 3 页至第 4 页.试题答案请用 2B 铅笔或 0.5mm 签字笔填涂到 答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效.考试时间 120 分钟.

阜阳2024—2025学年高二年级（上）月考试卷（答案在最后）说明：1．考试时间：120分钟试卷满分：150分考试时间：2024．112．答题前请把答题卷上的所有信息填写完整，并把所有答案填写在答题卷上.一、选择题Ⅰ（本大题共8题，每题5分，共计40分.在每小题列出的四个选项中，只有一项最符合题目要求.）1.直线11y x y x --=的倾斜角是（）A.π4B.π3 C.3π4D.不存在【答案】A 【解析】【分析】将直线方程转化为y x =且0x ≠，结合斜率与倾斜角的关系确定角的大小.【详解】由11(1)(1)y x x y y x y x y x --=⇒-=-⇒=且0x ≠，易知斜率为1，直线倾斜角为π4.故选：A2.已知圆()()2221x a y r -+-=关于直线y x b =+对称，则a b +=（）A.2rB.1C.rD.0【答案】B 【解析】【分析】根据题意知直线过圆心，将圆心坐标代入即得答案.【详解】由题意直线y x b =+过圆心(,1)a ，则1a b +=.故选：B3.已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的一个短轴端点与两个焦点构成的三角形的内切圆半径为3b ，则椭圆的离心率为（）A.12 B.13C.14D.15【答案】A 【解析】【分析】根据椭圆的性质确定焦点三角形的周长和面积，再应用等面积法得到齐次式，即可求离心率.【详解】由题设，焦点三角形的周长为2()a c +，面积为bc ，又其内切圆半径为3b ，所以()()11222332b ac b bc a c c a e +=⨯⨯+=⇒=⇒=.故选：A4.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为11C D 的中点，则1AE AC ⋅=（）A.272AB B.23ABC.252AB D.22AB【答案】C 【解析】【分析】根据空间向量加法的几何意义及数量积的运算律整理化简，即可得答案.【详解】由题设，易知1111111111,,AA A D AA D C A D D C ⊥⊥⊥ ，且11111||||||||AA A D D C AB ===，1111111111()()AE AC AA A D D E AA A D D C ⋅=++⋅++11111111111()()2AA A D D C AA A D D C =++⋅++ 2221111111111111111332222AA A D D C AA A D AA D C A D D C =+++⋅+⋅+⋅ 2221111112AA A D D C =++ 252AB = .故选：C5.从点(),P a b 向圆()()222:12O x y r -+-=引两条切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ，且四边形OAPB的面积为2，则不满足条件的P 点所在区域的面积为（）A.πB.4πC.16πD.64π【答案】B 【解析】【分析】根据圆切线的性质有222||||||OA PA OP +=，||||2S OA PA ==，结合基本不等式、满足条件的P 点所在圆的半径范围，进而确定不满足条件的P 点所在区域的半径范围，即可得答案.【详解】由题设，易知222||||||OA PA OP +=，||||2S OA PA ==，且r OA =，所以2||2||||4OP OA PA ≥=，即||2OP ≥，当且仅当||||OA PA ==所以满足条件的P 点所在区域以O 为圆心，半径范围为[2,)+∞，则不满足条件P 点所在区域以O 为圆心，半径范围为(0,2)，故面积为4π.故选：B6.已知O 为坐标原点，抛物线2:4E y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 与E 交于A ，B 两点，若OAB S =△AB 中点的横坐标为（）A.3 B.4C.5D.6【答案】B 【解析】【分析】设:1l x ty =+联立抛物线并应用韦达定理、面积公式列方程得232t =，进而求线段AB 中点的横坐标.【详解】由题设(1,0)F ，令:1l x ty =+，联立抛物线得2440y ty --=，显然0∆>，所以4A B y y t +=，4A B y y =-，则||A B y y -==，所以1||||2OAB A B S OF y y =-== ，可得232t =，又2()2428A B A B x x t y y t +=++=+=，故线段AB 中点的横坐标为4.故选：B7.如图，在三棱锥P ABC -中，“2222PB AC PA BC +=+”是“PC AB ⊥”的（）A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】若,O D 分别是,AB PC 中点，连接,,OP OC OE ，应用空间向量数量积的运算律，将2222PB AC PA BC+=+ 、0PC AB ⋅= 作转化，结合充分、必要性定义判断条件间的关系.【详解】若,O E 分别是,AB PC 中点，连接,,OP OC OE ，若2222PB AC PA BC +=+，则2222PB AC PA BC +=+ ，可得2222PB PA BC AC --= ，所以()()()()PB PA PB PA BC AC BC AC +⋅=-⋅-+，即()()PB PA AB BC AC BA +⋅=⋅+，所以()0AB BC AC PB PA ⋅+++= ，即2()20AB OC PO AB PC ⋅+=⋅=，所以AB PC ⊥，充分性成立；若PC AB ⊥，则()PC AB OC OP AB OC AB OP AB⋅=-⋅=⋅-⋅11()()()()22AC BC AC BC AP BP PB PA =+⋅--+⋅-11()()()()22AC BC AC BC PA PB PB PA =+⋅-++⋅-22221()02AC BC PB PA =-+-=，所以2222PB AC PA BC +=+ ，即2222PB AC PA BC +=+，必要性成立，故选：B8.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右顶点分别为1A 、2A ，左、右焦点分别为1F 、2F ．现有如下命题：①右支上存在点P 满足12PA A △为等腰三角形，22π3PF A ∠=，且2124PF A S =△；②右支上不存在点P 满足12PA A △为等腰三角形，1||4PF a =，且3e =．那么下列判断正确的是（）A.①②都是真命题B.①是真命题，②是假命题C.①是假命题，②是真命题D.①②都是假命题【答案】D 【解析】【分析】由①中22π3PF A ∠=，21234PF A S =△求得2||PF c a =-，即2,P A 重合，即可判断真假；由②1||4PF a =，且3e =求得222||||2PF A F a ==，即2,P A 重合，即可判断真假.【详解】若22π3PF A ∠=，且12A F a c =+，设2||PF m =，则1||2PF a m =+，由2121π()sin 234PF AS m a c m c a =+=⇒=- ，则1||PF a c =+，此时P 为双曲线的右顶点，即2,P A 重合，与12PA A △为等腰三角形矛盾，①为假命题；若1||4PF a =，则2||2PF a =，又3ce a==，即3c a =，则22||2A F c a a =-=，此时222||||PF A F =，结合双曲线的性质知2,P A 重合，与12PA A △为等腰三角形矛盾，②为假命题；故选：D二、选择题Ⅱ（本大题共3题，每题6分，共计18分.在每小题列出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.）9.已知直线:2l ax y a +=，圆()22:12C x y -+=，则（）A.l 不过定点B.l 与C 相交C.圆心C 到l 的距离的最大值为1D.(),1p a =是l 的一个方向向量【答案】BC 【解析】【分析】根据直线方程确定定点坐标判断A ；定点坐标代入圆，判断点圆位置关系判断B ；根据直线斜率写出一个方向向量，判断是否与(),1p a =平行判断D ；数形结合判断C.【详解】由:2l ax y a +=过定点(2,0)M ，()22:12C x y -+=圆心(1,0)C ，而()221012-+=<，即(2,0)M 在圆内，A 错，B 对，如下图，当CM l ⊥时，圆心C 到l 的距离的最大值为1，C 对；由l k a =-，故(1,)a -是l 的一个方向向量，显然(),1p a =不与向量(1,)a -平行，所以(),1p a =不是l 的一个方向向量，错.故选：BC10.如图，在四棱锥P ABCD -，PB ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是平行四边形，AC 与BD 交于点O ，则（）A.()14PO PA PB PC PD =+++B.22PD AC AD CD⋅=-C.点C 到OP 的距离为()222PC PO PC PO⋅- D.cos BCAB ABC PA BC∠=⋅【答案】ABD 【解析】【分析】由向量加法的几何意义判断A ；利用向量加减的几何意义及数量积运算律化简判断B ；利用向量法求点线距离判断C ；由向量夹角的定义及数量积运算律判断D.【详解】A ：由题意有2PO PB PD PA PC =+=+，所以()14PO PA PB PC PD =+++ ，对；B ：()()PD AC PB BD AB BC PB AB BD AB PB BC BD BC ⋅=+⋅+=⋅+⋅+⋅+⋅ ，由PB ⊥平面ABCD ，,AB BC ⊂平面ABCD ，则PB AB ⊥，PB BC ⊥，所以2222()()()PD AC BD AB BC CD AD DC AD AD CD AD CD ⋅=⋅+=+⋅+=-=- ，对；C ：由cos ,PC PO = ||PC PO PC PO ⋅ ，则sin ,PC PO =，所以点C 到OP 的距离为||sin ,PC PC PO =，错；D ：由()cos ||||||||||BA BC BA BC BP PA BC BP BC PA BCAB ABC AB BA BC BC BC BC ⋅⋅+⋅⋅+⋅∠=⋅===⋅，由PB BC ⊥，则cos ||PA BCAB ABC BC ⋅∠=，对.故选：ABD11.已知曲线223Γ:x y xy x ++=，其中1y <，则（）A.曲线Γ关于原点对称B.曲线Γ上存在横坐标大于1的点C.若0xy ≥，曲线Γ与x 轴围成的面积大于π4D.510,2y ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦【答案】ACD 【解析】【分析】A 将(,)x y --代入曲线方程验证；B 根据对称性，研究0x >部分曲线，有232(1)0x y x y +-+=，结合二次函数性质知方程在(1,)+∞上有解，推出矛盾；D 分析研究0x >部分曲线，有332221(1)()24y y x y ---+=，知3102y x -=>时，3max 102y y -=≠或3min 102y y -=≠，化为求y x =、y x =-与曲线交点纵坐标判断，C 结合圆2211()24x y -+=，判断其上下左右边界与曲线在0x >且1y <部分的位置关系即可.【详解】A ：曲线任取一点(,)x y ，其关于原点对称的点(,)x y --，代入曲线，得223()()()()x y x y x -+-+--=-，即223x y xy x ++=，所以曲线Γ关于原点对称，对；B ：由对称性，只需研究0x >部分曲线，此时223Γ:0x y xy x +-+=，所以232(1)0x y x y +-+=，对应关于x 的二次函数开口向上，对称轴31(0,1)2yx -=∈，若存在横坐标大于1的点，即方程在(1,)+∞上有解，所以323221(1)0(1)0y y y y y y +-+<⇒+=+<，即1y <-，与1y <矛盾，错；D ：结合对称性，只需研究0x >部分332222231(1)()24(1)0y y x y x y y x --+⇒-==--+，且1y <，当3102y x -=>时，3max 102y y -=>或3min 102y y -=<，所以max y 为y x =与曲线交点纵坐标，min y 是y x =-与曲线交点纵坐标，联立0y x =>与曲线Γ，得3(021)y y y +-=，即3021y y +-=，将512y -=代入左侧，得3021y y +->，即max 12y -<；联立0y x =-<与曲线Γ，得3(021)y y y --=，即3021y y --=，将12y -=-代入左侧，得3021y y --=，即min 12y =-，综上，10,2y ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，对；C ：由对称性，只需研究0x >且1y <的曲线部分，其上界满足3021y y +-=，当0.45y =时330.450.1021y y -+-=<，当0.46y =时330.460.08021y y --+=>，所以max 10.450.462y <<<，而min 1122y =<-，显然max min 112||||222y y -<--=，对于圆2211()24x y -+=，其面积为π4，上界12高于曲线的上界，下界12-高于曲线的下界，且max min 11||||22y y -<--，上述圆与已知曲线均过()()0,0,1,0，即它们的左右边界重合，易知该部分曲线围成的图形面积大于π4，对；故选：ACD【点睛】关键点点睛：对于D 选项，注意在0x >情况下332221(1)()24y y x y ---+=，得3max 102y y -=≠或3min102y y -=≠，问题化为求y x =、y x =-与曲线交点纵坐标范围.三、填空题（本大题共3题，每题5分，共计15分.）12.将直线y x =绕点()1,1顺时针旋转75︒得到的直线方程是______．【答案】330y +-=【解析】【分析】根据倾斜角与斜率的关系，先确定所求直线的斜率，在用点斜式写出直线方程，化简即可.【详解】因为直线y x =的斜率为1，所以其倾斜角为45︒.将其顺时针旋转75︒，所得直线的倾斜角为4575180150︒-︒+︒=︒，所以所求直线的斜率为：tan1503︒=-.所以所求直线方程为：()113y x -=--330y +-=.故答案为：330y +-=13.空间中()0,1,2P ，()2,,1Q y ，()1,1,1R ，(),1,1S y ，()0,1,0T -，且//ST 平面PQR ，则y =______．【答案】【解析】【分析】先求出平面PQR 的一个法向量，再根据线面平行得出线线垂直,计算数量积即可求参.【详解】因为()0,1,2P ，()2,,1Q y ，()1,1,1R ，(),1,1S y ，()0,1,0T -，，所以()()(),2,1,1,0,1,1,1,0ST y PR QR y =---=-=--；设平面PQR 的一个法向量为(),,n a b c =，则()010PR n a c QR n a y b ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩ ，令1a y =-，可得1,1b c y ==-，可得法向量()1,1,1n y y =--，由//ST 平面PQR 可得()1210n ST y y y ⋅=----+=，即可得y =.故答案为：.14.已知曲线Γ:xy =与圆()222Ω:0x y r r +=>交于A ，B ，C ，D 四个点，且四边形ABCD 的面积为4，则圆Ω的面积为______．【答案】4π【解析】【分析】根据Γ:y x =，结合圆的对称性画示意图，设(,),(,)A a B b a b且,0a b >，利用,A C 、,B D 分别关于原点对称，且四边形ABCD 为矩形，列方程求参数，最后由2223r a a=+及圆的面积公式求面积.【详解】由Γ:y x=，即为过一、三象限的双曲线，如下图示，根据对称性，,A C 、,B D 分别关于原点对称，且四边形ABCD 为矩形，不妨令(,),(,)A a B b a b 且,0a b >，则(,(,C a D b a b----，则22222233311AB BCb a b a b a k k b a b a b a a b -=⋅==-⇒=-+-，故3b a =，所以(,(,),(,A a B a C a a a a--，又||||4AB BC =，223|||2||4a a a a a a-+=-=，即223||2a a -=，所以42|3|2a a -=，若42422322301a a a a a -=-⇒+-=⇒=（负值舍），此时1a =，则22234r a a =+=，圆的面积为4π；若42422322303a a a a a -=⇒--=⇒=（负值舍），此时a =则22234r a a=+=，圆的面积为4π；综上，圆Ω的面积为4π.故答案为：4π四、解答题（本大题共5题，共计77分.）15.已知向量()1,2,1p = ，(),,1q a b =- ，()1,1,r a = ，且q r q r -=+．（1）求b ；（2）若向量p与2q r + 垂直，求2q r -．【答案】（1）0b =；（2）3.【解析】【分析】（1）根据向量加减及模长的坐标运算，结合q r q r -=+列方程求参数；（2）由向量加减、垂直的坐标运算求得13a =-，再应用向量减法和模长坐标运算求结果.【小问1详解】由q r q r -=+，即(1,1,1)(1,1,1)a b a a b a ----=++-+，所以222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)a b a a b a -+-++=++++-，整理得0b =；【小问2详解】由2(2,0,2)(1,1,)(21,1,2)q r a a a a +=-+=+- ，又向量p与2q r +垂直，所以1212203a a a +++-=⇒=-，所以12712|(,0,1)(2,2,)||(,2,)|33333q r -=----=---=.16.已知直线1:l y kx b =+，2:l x ky b =+，()0,1k ∈，0b ≠．（1）证明：1l 与2l 的交点不在x 轴上；（2）已知1l 与2l 交于A 点，1l ，2l 分别与x 轴交于B ，C 点，记ABC V 的面积为S ，求2Sb的取值范围．【答案】（1）证明见解析；（2）2322[,)2S b +∈+∞.【解析】【分析】（1）联立直线求交点纵坐标，即可证；（2）首先求得1A b y k =-、B bx k=-、C x b =，应用三角形面积公式可得21(1)||2(1)S k k k b =+-，结合对勾函数性质、基本不等式求范围.【小问1详解】联立y kx b x ky b=+⎧⎨=+⎩，可得2()(1)y k ky b b k y b k =++=++，又()0,1k ∈，0b ≠，所以2(1)011b k by k k+==≠--，即1l 与2l 的交点不在x 轴上；【小问2详解】由（1）知，1A by k=-，由y kx b =+，令0y =，有B b x k=-，由x ky b =+，令0y =，可得C x b =，则||||b BC b k=+，所以21(1)||||||212(1)b b b k S b k k k k +=+=--，故21(1)||2(1)S k k k b =+-，令1(1,2)t k =+∈，则2111||||22(1)(2)23t t t S b t t=-=---+，对于22()y t t t t =--=-+≤-=-，当且仅当t =，即1k =-时取等，所以(3,y ∈--，故23(0,3t t--+∈-，则21322S b +=≥.所以23[,)2S b +∈+∞.17.已知点()1,0A ，()1,0B -，动点()(),0,0x P x y y ≥≥满足2PA PB +=，记其轨迹为Γ，Γ与y 轴交于C 点，过P （异于C 点）作直线PC 的垂线l ．（1）求曲线Γ的方程；（2）记A 到l 的距离为1d ，B 到l 的距离为2d ，证明：2122d d PC +为定值．【答案】（1）221x y +=且0,0x y ≥≥；（2）证明见解析；【解析】【分析】（1）利用向量加法、模长的坐标运算，即可求曲线方程；（2）根据题设:1l y kx =-，且[1,)k ∈+∞，应用点线距离公式求1d 、2d ，并求出P 的坐标，得到2122d d PC +关于k 的表达式，即可证结论.【小问1详解】由题设(1,),(1,)PA x y PB x y =--=---，则22|(2,2)|2|(,)|21x y x y x y --==⇒+=，所以所求曲线方程为221x y +=且0,0x y ≥≥.【小问2详解】由题设及圆的性质，显然直线l 斜率必存在，如下图，不妨设:1l y kx =-，且[1,)k ∈+∞，则A 到l 的距离为1d =，B 到l 的距离为2d =，令(,1)P x kx -且0x ≠，则2222(1)1(1)20x kx k x kx +-=⇒+-=，故221kx k=+，所以22221(,)11k k P k k -++，则2222222214||()(1)111k k PC k k k -=+-=+++，综上，2212222(1)42211k d d PC k k -+=+=++，为定值.18.如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为等腰梯形，四边形BCEF 为矩形，G 为AD 上一点，且122AB BC CD AD ====，2EF DG = ．（1）证明：平面BCEF ⊥平面CEG ；（2）若二面角D EF C --为直二面角，当三棱锥E CDG -的体积最大时，求：①多面体ABCDEF 的体积；②平面ABF 与平面CDE 所成锐二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）①2；②15【解析】【分析】（1）根据面面垂直的判定定理证明即可；（2）①根据组合体的体积将多面体分为三棱锥和三棱柱求解；②建立空间直角坐标系，用法向量求解二面角的余弦值.【小问1详解】取AD 中点为M ，连接CM ，因为122AB BC CD AD ====，2EF DG = ．所以2AM DM ==，1DG =，又因为四边形ABCD 为等腰梯形，所以//BC AM ，又因为BC AM =，所以四边形ABCM 为平行四边形，所以2AB CM ==，又因为2CM CD ==，所以三角形CMD 为等腰三角形，又因为1DG =，2DM =，G 为DM 中点，所以CG AD ⊥，又因为四边形ABCD 为等腰梯形，所以//BC AD ，所以CG BC⊥又因为四边形BCEF 为矩形，所以BC CE ⊥，又因为CE CG C ⋂=，,CE CG ⊂面CEG ，所以⊥BC 面CEG ，又因为⊂BC 面BCEF ，所以平面BCEF ⊥平面CEG【小问2详解】①过点B 作//BN CG 与AD 交于点N ，连接FN ，由（1）知，⊥BC 面CEG ，EG ⊂面CEG ，所以BC EG ⊥，又因为//BC EF ，所以⊥EF EG ，又因为四边形BCEF 为矩形，所以CE EF ⊥，所以CEG ∠为二面角D EF C --的平面角，因为二面角D EF C --为直二面角，所以90CEG ∠=︒，所以2232CE EG CE EG +=≥⋅，所以32CE EG ⋅≤，当且仅当2CE EG ==时等号成立，所以三棱锥E CDG -的体积最大时，2CE EG ==，所以多面体ABCDEF的体积11112223222222BNF CGE D CEG A BNF V V V V ---=++=⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=.②取CG 中点为O ，过O 作BC 的平行线为x 轴，OG 为y 轴，OE 为z 轴，建立空间直角坐标系，所以3333333,,0,2,,0,2,0,,0,,0,1,,0,0,0,222222A B F C D E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则()1,AB =-，1,,22AF ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，()CD =-，0,,22CE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭设面ABF 的法向量为()111,,m x y z = ，则111110022m AB x m AF x y z ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=--+=⎪⎩，令11y =，则111x z ==-，则()1m =-，设面CDE 的法向量为()222,,n x y z =，则22220022n CD x n CE y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令21y =，则221x z ==-，则)1n =-，所以平面ABF 与平面CDE 所成锐二面角的余弦值为1cos ,5m n m n m n⋅===，所以平面ABF 与平面CDE 所成锐二面角的余弦值为15.19.如图，已知抛物线()2Γ:20y px p =>，直线1:l x ky a =+依次与Γ，x 轴交于点,,A B E ，直线2:l x ky b =+依次与Γ，x 轴交于点,,C D F ，其中0k >，0b a >>．（1）若22b a p ==，且32ACE ACF S S =△△，求k ；（2）若AB DC =，点C 关于y 轴的对称点为G ，证明：①AC BD ⊥；②CE DG AF BG ⋅=⋅．【答案】（1）2（2）①证明见解析；②证明见解析【解析】【分析】（1）利用平行关系，将面积比ACEACF S S 转化为线段比AE CF，分别联立两直线与抛物线方程，利用弦长公式用参数k 分别表达弦长,AE CF ，建立k 的方程求解可得；（2）①由AB DC =转化为坐标等量关系，结合抛物线方程证明,A C 横坐标相等即可得证；②设11223344(,),(,),(,),(,)A x y E x y C x y F x y ，由直线AE 与抛物线相交于,A E 可用11,x y 表示E 点坐标，结合①可得11(,)C x y -，由对称关系可得11(,)G x y --，由直线CF 与抛物线相交于,C F ，可用C 点坐标表示F 坐标，即也可用A 点表示F 坐标，由此分别表示,CE DG AF BG ⋅⋅，从而证明相等关系即可.【小问1详解】由直线1:l x ky a =+，直线2:l x ky b =+，可知12//l l ，如图，设两平行线之间的距离为d，则点A 到边CF 的距离与点C 到边AE 的距离都等于d .所以1212ACE ACFAE d AE S S CF CF d == ，由22b a p ==，得,2a p b p ==.联立直线1:l x ky a =+与抛物线()2Γ:20y px p =>，设1122(,),(,)A x y E x y ，由22x ky ay px=+⎧⎨=⎩，消x 得2220y kpy ap --=，22222484(2)4(2)k p ap p k p a p k ∆=+=+=+，由0p >，可知0∆>.由韦达定理知121222y y kpy y ap+=⎧⎨=-⎩，则12AE y =-=2===由直线2:l x ky b =+，2b p =，同理可得CF ==2=，则2ACE ACF AE S S CF== ，解得24k =，又0k >，则2k =.【小问2详解】设3344(,),(,)C x y F x y ，由题意可得(,0),(,0)B a D b ，①由AB DC =，得1133(,)(,)a x y x b y --=-，则1313a x x b y y -=-⎧⎨-=⎩，即1313x x a b y y +=+⎧⎨=-⎩，所以2213y y =，由,A C 都在抛物线22(0)y px p =>上，得1322px px =，13x x =，故AC BD ⊥；②由①知，132a bx x +==，由0b a >>，则130x x =>，且130y y =-≠.由（1）可知，122y y ap =-，22222121224224y y a p x x a p p p=⋅==，则221a x x =，212ap y y =-；同理可得22431b b x x x ==，43122bp bp y y y =-=.所以()()222222232311112a ap CEx x y y x y x y ⎛⎫⎛⎫=-+-=-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()2222222211111221111222a x a x px ap a x ap y x y x y +--⎛⎫⎛⎫--+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()()()22222111111221112222a x a x px ap a x a x px x px x +---⎡⎤=+=++⎣⎦由点33(,)C x y 即11(,)x y -关于y 轴的对称点G 的坐标为11(,)G x y --，则()()222211112GB x a y x a px =--+=++，故()222121a x CEGB x -=；同理可得，()22112GD x b px =++，()222121b x AFGD x -=；所以()()222222112211b x a x CE GD AF GB x x --⋅⋅=⋅.又由12a bx +=，则()()222112211a x b x a b x x a b ---⎛⎫== ⎪+⎝⎭，所以2222CE GD AF GB ⋅=⋅，则CE GD AF GB ⋅=⋅，得证.【点睛】关键点点睛：解决此题的关键在于转化，一是第（1）问中将面积比转化为长度比，再通过联立直线与抛物线的方程，利用韦达定理与弦长公式，将长度坐标化用参数k 表示出来，利用已知建立方程求解k ；二是理清,A E 之间，,C F 之间，及,,A C G 之间的对称关系，从而将所有长度问题都统一化归到A 点坐标来表示，使得式子两边的相等关系清晰化.。

江苏省扬州中学2024-2025学年第一学期期中试卷高 二 数 学 2024.11一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．圆的圆心和半径分别是（ ）A ．，1B ．，3C ．，2D ．，22．经过两点，的直线的斜率为（ ）A ．B ．C ．D ．3．椭圆x 225+y 216=1的焦点为为椭圆上一点，若，则（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知双曲线的离心率大于实轴长，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D．5．两平行直线与之间的距离为（ ）ABCD6．已知圆关于直线对称，则实数（ ）A ．1或B ．1C ．3D ．或37．已知抛物线C :y 2=2px (p >0)的焦点为，若抛物线上一点满足|MF |=2，∠OFM =60°，则（ ）A ．3B ．4C ．6D ．88．如图，双曲线的左右焦点分别为、，过的直线与该双曲线的两支分别交于、两点（在线段上），⊙与⊙分别为与的内切圆，其半径分别为、，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．(0，+∞)二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9．下列说法正确的是（ ）A ．若，且直线不经过第二象限，则，.()()22232x y +++=()2,3-()2,3-()2,3--()2.3-(2,7)A (4,6)B 12-2-12212,,F F P 13PF =2PF =435722:1y C x m -=m (3,)+∞)+∞(0,3)320mx y --=4670x y --=22:330C x y mx y +-++=:0l mx y m +-=m =3-1-F M p =2218y x -=1F 2F 1F l A B A 1F B 1O 2O 12AF F △2ABF △1r 2r 12r r 1132⎛⎫ ⎪⎝⎭，1233⎛⎫⎪⎝⎭，1223⎛⎫ ⎪⎝⎭，0abc ≠0ax by c ++=0ab >0bc <B ．方程（）表示的直线都经过点.C ．，直线不可能与轴垂直.D ．直线的横、纵截距相等.10．已知曲线．点，，则以下说法正确的是（ ）A ．曲线C 关于原点对称B ．曲线C 存在点P，使得C ．直线与曲线C 没有交点D ．点Q 是曲线C 上在第三象限内的一点，过点Q 向作垂线，垂足分别为A ，B ，则.11．已知集合.由集合中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分形如美丽的“水滴”.给出下列结论，正确的有（ ）A ．白色“水滴”区域（含边界）任意两点间距离的最大值为B ．在阴影部分任取一点，则到坐标轴的距离小于等于3.C ．阴影部分的面积为.D ．阴影部分的内外边界曲线长为.三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12．若双曲线的离心率为2，则其两条渐近线所成的锐角的大小为 .13．已知椭圆的左、右焦点分别为F 1、F 2，过点的直线交椭圆于A 、B 两点，若，则该椭圆的离心率为 .14．已知为曲线y =1+4―x 2上的动点，则的最大值为 .四、解答题:本题共5小题，共77分.解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知△ABC 的顶点坐标是为的中点.(1)求中线的方程；(2)求经过点且与直线平行的直线方程.16．已知双曲线C :x 2a2―y 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率为为双曲线的右焦点，且点到直线的()()21250x y λλ++--=R λ∈()2,1m ∈R 220m x y ++=y 3310x y +-=:44C x x y y =-1F 2(0,F 124PF PF -=2y x =2y x =±45QA QB ⋅=(){}22,(cos )(sin )4,0πP x y x y θθθ=-+-=≤≤∣P 1M M 8π8π()222210,0y x a b a b -=>>22221(0)x y a b a b+=>>2F 1AB F B ⊥，14sin 5F AB ∠=(),P a b 223a b a b --++()()()2,0,6,2,2,3,A B C M --AB CM B AC ()5,,03F c F 2a x c=距离为.(1)求双曲线的方程；(2)若点，点为双曲线左支上一点，求的最小值.17．已知，是抛物线：上的两点．(1)求抛物线的方程；(2)若斜率为的直线经过的焦点，且与交于，两点，求的最小值．18．椭圆与椭圆：有相同的焦点，且经过点.(1)求椭圆的方程；(2)椭圆的右焦点为，设动直线与坐标轴不垂直，与椭圆交于不同的，两点，且直线和的斜率互为相反数.①证明：动直线恒过轴上的某个定点，并求出该定点的坐标.②求△OMN 面积的最大值.19．定义：M 是圆C 上一动点，N 是圆C 外一点，记的最大值为m ，的最小值为n ，若，则称N 为圆C 的“黄金点”；若G 同时是圆E 和圆F 的“黄金点”，则称G 为圆“”的“钻石点”.已知圆165C ()12,0A P C PA PF +()6,2A m +()24,8B m +C ()221y px p =>C ()0k k ≠l C C P Q 2PQ k +C 1C 2212x y +=31,2Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭C C B l l C M N BM BN l x MN MN 2m n =E F -A ：，P 为圆A 的“黄金点”(1)求点P 所在曲线的方程.(2)已知圆B ：，P ，Q 均为圆“”的“钻石点”.①求直线的方程.②若圆H 是以线段为直径的圆，直线l ：与圆H 交于I ，J 两点，对于任意的实数k ，在y 轴上是否存在一点W ，使得y 轴平分？若存在，求出点W 的坐标；若不存在，请说明理由.()()221113x y +++=()()22221x y -+-=A B -PQ PQ 13y kx =+IWJ ∠江苏省扬州中学2024-2025学年第一学期期中试卷高二数学（参考答案）2024.11参考答案：题号12345678910答案C A D A C C A C BD CD 题号11 答案ABD8．【详解】设，∴S △AF 1F 2=12r 1(8+2m )=(4+m )r 1，S △ABF 2=12r 2(2m +2p )=(m +p )r 2，.在△与△中：，即，，当双曲线的斜率为正的渐近线时，取最大，此时，，当与轴重合时，取最小，此时，经上述分析得：，.故选：C.10．【详解】当时，曲线，即；当时，曲线，即；不存在；时，曲线，即；时，曲线，即；画出图形如右：对于A ，由图可得A 错误，故A 错误；对于B ，方程是以为上下焦点的双曲线，当时，曲线C 存在点P ，使得，故B 错误；对于C ，一三象限曲线的渐近线方程为，所以直线与曲线C 没有交点，故C 正确；对于D ，设，设点在直线上，点在直线，11222,,6,2,2AF m BA p F F AF m BF m p ====+=+-()()11224m r S m S p m p r +∴==+12AF F 2AF B 122cos cos F AF F AB ∠=-∠()()()()()2222222262222224m m m p m p m p m m m pm++-++-+-=-⇒=⋅⋅+⋅+⋅-32212324444444m m r m mp m m m r p mp m m m++-∴===+++--//l m p →+∞404m m ∴-=⇒=l x m 2m =()2,4m ∈1212,23r r ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭0,0x y ≥>22:44C x y =-2214y x -=0,0x y ≥<22:44C x y =--2214y x +=-0,0x y ≤≥22:44C x y -=-2214y x +=0,0x y <≤22:44C x y -=--2214y x -=2214y x -=12,F F 0,0x y ≥>214PF PF -=2y x =2y x =()00,Q x y A 2y x =B 2y x =-又点Q 是曲线C 上在第三象限内的一点，代入曲线方程可得，故D 正确；故选：CD.11．【详解】对于A ，由于，令时，整理得，解得，“水滴”图形与轴相交，最高点记为A ，则点A 的坐标为，点，白色“水滴”区域（含边界）任意两点间距离的最大值为，故A 正确；对于B ，由于，整理得：，所以，所以到坐标轴的距离为或，因为，所以，，所以到坐标轴的距离小于等于3，故B正确；对于C ，由于，令时，整理得，解得，因为表示以为圆心，半径为的圆，则，且，则在x 轴上以及x 轴上方，故白色“水滴”的下半部分的边界为以为圆心，半径为1的半圆，阴影的上半部分的外边界是以为圆心，半径为3的半圆，根据对称可知：白色“水滴”在第一象限的边界是以以为圆心，半径为2的圆弧，设，则，即AN 所对的圆心角为，同理AM 所在圆的半径为2，所对的圆心角为，阴影部分在第四象限的外边界为以为圆心，半径为2的圆弧，设，可得，DG 所对的圆心角为，同理DH 所在圆的半径为2，所对的圆心角为，故白色“水滴”图形由一个等腰三角形，两个全等的弓形，和一个半圆组成，22004455x y QA QB -⋅==22(cos )(sin )4x y θθ-+-=0x =[]32sin 0,2y yθ=-∈[1]y ∈- y (0,1)B -||1AB =22(cos )(sin )4x y θθ-+-=2cos cos 2sin sin x y αθαθ=+⎧⎨=+⎩2cos cos ,2sin sin )(M αθαθ++M ||2cos cos αθ+|2sin sin |αθ+cos [1,1],sin [0,1]θθ∈-∈2cos cos ||2cos ||cos |213|αθαθ+≤+≤+=|2sin sin ||2sin ||sin |213αθαθ+≤+≤+=M 22(cos )(sin )4x y θθ-+-=0y =[]32cos 2,2y yθ=-∈-[3,1][1,3]x ∈-- 22(cos )(sin )4x y -+-=θθ()cos ,sin Q θθ2r =13r OQ OP OQ r =-≤≤+=0πθ≤≤()cos ,sin Q θθO O ()1,0M -()1,0N 2AN AM MN ===π3π3()1,0N ()()3,0,3,0G H -π1,3ON OD OND ==∠=2π32π3所以它的面积是.轴上方的半圆（包含阴影和水滴的上半部分）的面积为，第四象限的阴影和水滴部分面积可以看作是一个直角三角形和一个扇形的面积的和，且等于所以阴影部分的面积为C 错误；对于D ，轴上方的阴影部分的内外边界曲线长为，轴下方的阴影部分的内外边界曲线长为，所以阴影部分的内外边界曲线长为，故D 正确.故选：ABD.12．13【详解】如图，设，因为，所以．由椭圆定义可知，，由，可得，所以．在Rt △F 1BF 2中，由，可得，即得，故得14．【详解】曲线，由于在曲线上，令，则，（其中），，又，，当时取得最大值15．【详解】（1）因为，所以，212π111π2π1222326S S S S ⎛=++=⨯⨯+⨯+⨯=⎝V 弓形半圆x 219π3π22⨯=2114π21π323⨯⨯+=941116π2(πππ2363++-=+x 1π4132π3223πππ2333⨯⨯+⨯⨯=+=x 111112π1(2π2π2)2π2233⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯=13π11π8π33+=π314BF t =1AB F B ⊥，14sin 5F AB ∠=15,3AF t AB t ==21212=25,224AF a AF a t BF a BF a t =--=-=-22493AB AF BF a t t =+=-=13t a =1242,33BF a BF a ==2221212||||||F F BF BF =+222424(()33a a c =+2295c a =c e a ==9+1y =()()22141x y y +-=≥(),P a b ()2cos ,0π12sin a b θθθ=⎧≤≤⎨=+⎩()()222232cos 12sin 32cos 12sin a b a b θθθθ--++=---+++2cos 2sin 454sin 42sin 2cos 54sin θθθθθθ=--++=+-++()96sin 2cos 9θθθϕ=+-=+-sin ϕ=cos ϕ=π0,2ϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭[][]0,π,πθθϕϕϕ∈∴-∈-- π,02ϕ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭ππ,π2ϕ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭∴π2θϕ-=223a b a b --++9+()()2,0,6,2A B -()4,1M -故的方程是，即；（2）因为直线的斜率，所以经过点且与直线平行的直线方程为，即.16．【详解】（1）由题意知，解得，则，所以双曲线的方程为.（2）记双曲线的左焦点为，则，可得，当三点共线时，最小，且最小值为.故的最小值为.17．【详解】（1）∵，是抛物线C ：上的两点，∴，则，整理得，解得， 当时，，解得，不合题意；当时，，解得．故抛物线C 方程为y 2=6x ．（2）由（1）知C 的焦点为，故直线l 的方程为，联立，得，必有，设，，则，∴， ∴，即所以的最小值为18．【详解】（1）椭圆：的焦点坐标为，所以椭圆的焦点坐标也为，即得焦距为，∵椭圆过点，∴，CM 143124y x +-=+--2350x y +-=AC 303224ACk -==---B AC ()3264y x +=--34100x y +-=253165c a a c c ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩35a c =⎧⎨=⎩4b ==C 221916x y -=C 0F ()05,0F -0026PA PF PA PF a PA PF +=++=++0,,P F A 0PA PF +017AF =PA PF +17623+=()6,2A m +()24,8B m +()221y px p =>()()22212,848m p m p⎧+=⎪⎨+=⎪⎩()()22842m m +=+216m =4m =±4m =-()21224p m =+=113p =<4m =()212236p m =+=31p =>3,02⎛⎫⎪⎝⎭32y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭2632y xy k x ⎧=⎪⎨⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭⎩()222293604k x k x k -++=0∆>()11,P x y ()22,Q x y 212236k x x k ++=2122236636k PQ x x p k k+=++=+=+222666PQ k k k +=++≥+226k k=2k =2PQ k +6+1C 2212x y +=()1,0±C ()1,0±22c =C 31,2Q ⎛⎫⎪⎝⎭24a +=∴，，∴椭圆的标准方程为.（2）①设直线：（），由，得，设M (x 1,y 1)，N (x 2,y 2)，所以，，所以，因为直线和的斜率互为相反数，所以，所以，所以，所以.即，所以，因为，所以，所以动直线恒过轴上的定点②由①知，，且，即，又S △OMN =12⋅|OT |⋅|y 1―y 2|=12⋅4⋅(y 1+y 2)2―4y1y 2令，则，∴S △OMN=24⋅n (3n +16)2≤24⋅n (2⋅3n⋅16)2=24⋅n 4⋅3n ⋅16=3（当且仅当时取“＝”）∴(S △OMN )max =3.19．【详解】（1）因为点P 为圆A 的“黄金点”，即，所以点P的轨迹是以AP 所在曲线的方程为（2）①因为P 为圆B 的“黄金点”，则所以，即点P 在圆上，则P 是圆和的交点.因为P ，Q 均为圆“”的“钻石点”，所以直线即为圆和的公共弦所在直线，2a =b =22143x y +=l x my t =+0m ≠223412x my t x y =+⎧⎨+=⎩()2223463120m y mty t +++-=122634mt y y m +=-+212231234t y y m -=+()()()()1221121212111111MF NF y x y x y yk k x x x x -+-+=+=----()()()()1221121111y my t y my t x x +-++-=--BM BN 0MB NB k k =+()()()()12211211011y my t y my t x x +-++-=--()()1221110y my t y my t +-++-=()()1212210my y t y y +-+=()22231262103434t mtm t m m --⨯+-⨯=++()640m t -=0m ≠4t =l x ()4,0T 1222434m y y m +=-+1223634y y m =+()()22Δ24434360m m =-+⋅>24m >224==240n m =->24m n =+316n ==PA =()()2211 3.x y +++=()121PB PB +=-||3PB =()()22229x y -+-=()()22113x y +++=()()22229x y -+-=A B -PQ ()()22113x y +++=()()22229x y -+-=两圆方程相减可得，故直线的方程为.②设的圆心为的圆心为，半径为.直线的方程为，得的中点坐标为，点S 到直线，则，所以圆H 的方程为.假设轴上存在点满足题意，设，.若轴平分，则，即，整理得又，所以代入上式可得，整理得①，由可得，所以x 1+x 2=―23k k 2+1,x 1x 2=―89k 2+1，代入①并整理得，此式对任意的都成立，所以.故轴上存在点，使得轴平分.0x y +=PQ 0x y +=22(1)(1)3x y +++=(11),S --()()22229x y -+-=(2,2)T 3ST y x =PQ (0,0)0x y +==12PQ ==221x y +=y (0),W t ()()1122,,,I x y J x y 120x x ≠y IWJ ∠0IM JW k k +=12120y t y tx x --+=()()21120.x y t x y t -+-=11223,113y kx y kx =+=+211211)33(()0x kx t x kx t +-++-=()12121203kx x t x x ⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭22131y kx x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩()22281039k x kx ++-=2203k kt -+=k 3t =y ()0,3W y IWJ ∠。

2024-2025学年上期期中考试高二年级数学试题卷注意事项：1.试题卷共4页，四大题19小题，满分150分，作答时间120分钟.2答题前，先将自己的姓名､班级､考场号､坐位､准考正号正确填写在答题卡上.再将条形码貼在答题卡的“贴条形码区”.3.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案标号涂黒；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.作答填空题和解答题时，用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列直线中倾斜角为45的是（）A.y x =-B.y x =-C.1x =D.1y =【答案】B 【解析】【分析】分析可知倾斜角为45 ，等价于斜率为1，结合选项分析判断即可.若直线的倾斜角为45 ，等价于斜率为1，对于A ：斜率为1-，不合题意；对于B ：斜率为1，符合题意；对于C ：斜率不存在，不合题意；对于D ：斜率为0，不合题意；故选：B.2.向量()()2,1,2,1,2,1a b x =-=- ，若a b ⊥ ，则实数x =（）A.14B.14-C.2D.2-【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，利用空间向量垂直关系的坐标表示列式计算即得.向量()()2,1,2,1,2,1a b x =-=- ，由a b ⊥ ，得2220a b x ⋅=++= ，所以2x =-.故选：D3.直线1x y a b +=与椭圆()222210+=>>x y a b a b的公共点个数为（）A.0个B.1个C.2个D.无数个【答案】C 【解析】【分析】分析可知直线1x y a b +=和22221x y a b +=均过()(),0,0,a b ，结合图象即可判断.直线1x y a b +=和22221x y a b+=均过()(),0,0,a b ，结合图象可知直线1x y a b +=与椭圆()222210x y a b a b+=>>的公共点个数为2个.故选：C.4.“0a =”是“直线210x ay -+=与直线0(1)1a x ay -+-=平行”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合两直线平行问题判断即可.当0a =时，直线210x ay -+=为10x +=，直线0(1)1a x ay -+-=为10x +=，两直线重合；当直线210x ay -+=与直线0(1)1a x ay -+-=平行时，2(1)0a a a +-=，解得0a =或12a =，而0a =时，两直线重合，当12a =时，直线210x ay -+=为10x y -+=，直线0(1)1a x ay -+-=为20x y -+=，两直线平行，因此直线210x ay -+=与直线0(1)1a x ay -+-=平行时，2(1)0a a a +-=，则12a =，所以“0a =”是“直线210x ay -+=与直线0(1)1a x ay -+-=平行”的既不充分也不必要条件.故选：D5.0y +-=与圆22:1O x y +=相交于,A B 两点，则AOB ∠=（）A.π6B.π3C.π2D.2π3【答案】B 【解析】【分析】根据题意求得1=AB ，可得AOB V 为等边三角形，即可得结果.由题意可知：圆22:1O x y +=的圆心为0,0，半径1r =，则圆心0,00y +=的距离为32d ==，可知1AB ==，即AOB V 为等边三角形，所以AOB ∠=π3.故选：B.6.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，1111,A D AD E CD C D F == ，则下列结论中正确的是（）A.1//BB 平面1ACDB.平面1BDC ⊥平面1ACD C.⊥EF 平面11BDD B D.平面11ABB A 内存在与EF 平行的直线【答案】C 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，结合线面平行的判定定理，线面垂直，面面垂直的判定定理，逐项判定计算即可．因为1111ABCD A B C D -为正方体，设正方体边长为2，以1D 为原点，11D A 为x 轴，11D C 为y 轴，1D D 为z 轴建立空间直角坐标系，则()()()()()()()110,0,0,2,0,2,0,2,2,2,2,2,2,2,0,1,0,1,0,1,1D A C B B E F ，设平面1ACD 的法向量为(),,n x y z =，则110220,2200n D A x z y z n D C ⎧⋅=+=⎧⎪⎨⎨+=⋅=⎩⎪⎩，令1x =，则()1,1,1n =- ，同理解得平面1BDC 的法向量()1,1,1m =-，()110,0,2,20BB BB n =-⋅=≠，故A 不正确；10m n ⋅=-≠，故B 不正确；()()()1111,1,0,0,0,2,2,2,0EF D D D B =-==，1110,0EF D D EF D B ⋅=⋅=，所以111,EF D D EF D B ⊥⊥，又1111D D D B D = ，所以⊥EF 平面11BDD B ，C 正确；平面11ABB A 的一个法向量为()1,0,0p =u r，10EF p ⋅=-≠，故D 不正确；故选：C7.在ABC V 中，()()()1,0,1,1,1,1,0,1,2A B C ---，则点B 到直线AC 的距离为(). A.33B.3C.1D.【答案】B 【解析】【分析】由坐标运算求出AB ，AC ，进而求出AB 在AC方向上的投影，然后即可求出点B 到直线AC 的距离.由题意可知因为()0,1,0AB =，()1,1,1AC =-- ，所以1AB =，AC =所以AB 在AC方向上的投影为3cos ,3AB AC AB AB AC AC⋅===，所以点B 到直线AC 的距离为3d =.故选：B.8.已知点12,F F 分别为椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左､右焦点，()0,B b ，若经过2F 的弦AB 满足1AB AF =，则椭圆C 的离心率为（）A.33B.C.3D.66【答案】A 【解析】【分析】根据椭圆的定义可得213,22a a AF AF ==，由1212cos cos 0AF F BF F ∠+∠=，根据余弦定理可得223a c =，再由离心率公式求解即可.由题可知12BF BF a ==，所以12212AF AF a AF a AF ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，解得21232a AF aAF ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，因为1221cos cos 0AF F BF F ∠+∠=，即2222223(2)(2)22022222a a c a c a a a c c ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭+=⨯⨯⨯⨯，整理得223a c =，所以2233c c e a a ===.故选：A.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对1个得3分；若只有3个正确选项，每选对1个得2分.9.下列关于空间向量的命题中，正确的是（）A.若向量,a b 满足a b = ，则a b=± B.若{},,OA OB OC 是空间的一组基底，且111333OD OA OB OC =++，则,,,A B C D 四点共面C.若向量,,a b c满足,a b b c ⊥⊥ ，则a //cD.若{},,a b c 是空间的一组基底，则{},,a b b c c a +++也是空间的一组基底【答案】BD 【解析】【分析】举例判断AC ，利用共面向量基本定理的推论判断B ，利用空间向量基本定理判断D .对于A ，正方体共点的两条棱对应的向量，它们的模相等，而这两个向量不共线，A 错误；对于B ，向量,,OA OB OC不共面，由111333OD OA OB OC =++ ，得1)13()(3OD OA OB OA OC OA -=-+-，即1133AD AB AC =+ ，则向量,,AD AB AC共面，又它们有公共点A ，因此,,,A B C D 四点共面，B 正确；对于C ，正方体共点的三条棱对应的向量，其中一个向量都垂直于另两个向量，而另两个向量不共线，C 错误；对于D ，若向量,,a b b c c a +++共面，则存在实数对,x y 使得()()a b x b c y c a +=+++，而向量,,a b c，则110x y x y =⎧⎪=⎨⎪+=⎩，此方程组无解，即向量,,a b b c c a +++不共面，D 正确.故选：BD10.已知圆224x y +=与圆226890x y x y ++-+=，则下列结论正确的是（）A.两圆相切B.两圆的公共弦所在的直线方程为68130x y -+=C.两圆的公切线有两条D.两圆的公共弦长为135【答案】BC 【解析】【分析】根据圆心距与两圆半径的关系判断两圆的位置关系，进而判断两圆相切是否正确；通过两圆方程相减得到公共弦所在直线方程；根据两圆位置关系判断公切线的条数；再利用弦长公式计算公共弦长.对于圆224x y +=，其圆心坐标为1(0,0)O ，半径12r =.对于圆226890x y x y ++-+=，其圆心坐标为2(3,4)O -，半径24r =.根据两点间距离公式，圆心距5d ===.12246r r +=+=，12|||24|2r r -=-=，而26d <<，所以两圆相交，故A 选项错误.两圆方程相减可得公共弦所在直线方程，即2222(689)(4)0x y x y x y ++-+-+-=，化简得68130x y -+=，故B 选项正确.因为两圆相交，所以公切线有两条，故C 选项正确.先求圆心1(0,0)O 到公共弦68130x y -+=的距离1d ，11310d ==.根据弦长公式L =，则弦长135L ==≠，故D 选项错误.故选：BC.11.如图，造型为“∞”的曲线C 称为双纽线，其对称中心为坐标原点O ，且曲线C 上的点满足：到点()12,0F -和()22,0F 的距离之积为定值a .若点(),P m n 在曲线C 上，则下列结论正确的是（）A.m ≤B.PO ≤∣C.12PF F 面积的最大值为2D.12PF F 周长的最小值为6【答案】ABC 【解析】【分析】根据给定条件，求出曲线C 的方程，结合曲线过原点求出a ，再结合基本不等式及二次函数逐项求解判断.依题意，12PF PF a ⋅=a =，由曲线C 过原点O ，得4a =，对于A ，24|2||2||4|m m m =≥+⋅-=-，当且仅当0n =时取等号，解得m -≤≤m ≤，A 正确；对于B ，2222[(2)[(6]2)]1m n m n ++⋅-+=，即2222(4)1616m n m ++-=，解得224n m =--，因此||PO ==≤=，B 正确；对于Ct =，由||m ≤13t ≤≤，则22243(2)11n t t t =--=--+≤，当且仅当2t =时，2n 有最大值1，1214||2||22PF F S n n =⨯⨯=≤ ，C 正确；对于D，124PF PF +≥=，当且仅当122PF PF ==，即()0,0P 时取等号，因此在12PF F 中，12PF PF ≠，其周长B 1+B 2+12>4+4>6，D 错误.故选：ABC【点睛】关键点点睛：解题关键在于数形结合思想的运用，既要化简曲线方程，又要结合图形，关注图形经过的定点，区域范围，以及对称性等特点，常运用基本不等式或函数的最值求解范围、最值问题.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.椭圆2241x y +=的焦距为__________.【解析】【分析】将方程化为标准形式，进而可得22,,a b c ，即可得焦距.因为2241x y +=，即22114x y +=，可知2211,4a b ==，则32c ==，所以椭圆2241x y +=的焦距为2c =.13.已知空间中一个静止的物体用三根绳子悬挂起来，若三根绳子上的拉力大小都为1N ，且三根绳子中任意两根绳子的夹角均为60o ，则该物体的重量为______N .【答案】【解析】【分析】根据给定条件，利用空间向量数量积求出三根绳子上拉力的合力大小即得答案.设三根绳子上的拉力分别为123,,F F F ，则123||||||1F F F === ，122331,,60,F F F F F F 〈〉=〈〉=〈〉=，122331111cos 602F F F F F F ⋅=⋅=⋅=⨯⨯=，令物体的重力为F ，则123F F F F -=++ ，因此123||||F F F F =++==所以该物体的重量.14.已知()()4,0,1,0A B --，动点M 满足2MA MB =，则点M 的轨迹方程为__________.若动点M 的轨迹上有且只有两个点到直线0x b +=的距离等于1，试写出符合条件的实数b 的一个值为__________.【答案】①.224x y +=②.3（答案不唯一，62b -<<-或26b <<）【解析】【分析】根据给定条件，列出方程并化简得答案；求出圆心到直线距离，再由已知列出不等式求出b 的范围即可.设点(,)M x y ，由2MA MB =，得2222(4)4(1)4x y x y ++=++，化简题得224x y +=，所以点M 的轨迹方程为224x y +=；点M 的轨迹是以原点(0,0)O 为圆心，2为半径的圆，圆心到直线0x b +=的距离||2b d =，由点M 的轨迹上有且只有两个点到直线0x b +=的距离等于1，得|2|1d -<，解得13d <<，即||132b <<，解得62b -<<-或26b <<，取3b =.故答案为：224x y +=；3四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1,2,3AB AC AB AC AA ⊥===，,E F 分别为1,CA AB 的中点.（1）若11111EF xB C yB A zB B =++，求x y z ++的值；（2）求1EF B C⋅【答案】（1）0（2）12【解析】【分析】（1）根据向量的运算法则，化简得到1111122EF B B BC =- ，结合11111EF xB C yB A zB B =++，即可求解；（2）可得1111B C B C B B =+uuu r uuuu r uuu r，结合数量积运算求解即可..【小问1】由向量的线性运算法则可得()11122EF AF AE AB AA AC =-=-+ ()11111111111222222AA AB AC B B CB B B B C =-+-=+=-uuur uuu r uuu r uuu r uur uuu r uuuu r ，又因为11111EF xB C yB A zB B =++ ，则11,0,22x y z =-==，所以0x y z ++=.【小问2】由题意可知：1112,3B C B B ==uuuu r uuu r，又因为1111B C B C B B =+uuu r uuuu r uuu r ，所以()()()()1111122111111119822122B B BC B B B C EF B C B C B B ⋅=⋅+==---=uuu r uuu r uuu r uuuu r uuuu r uuu r uuu r uuuu r .16.已知圆C 经过()()2,0,1,3A B -两点，且圆心C 在直线210x y +-=上.（1）求圆C 的方程；（2）若过点)1P-的直线与圆C 相切，求直线的方程.【答案】（1）22(1)5x y +-=（2）x =0x --=【解析】【分析】（1）先求出线段AB 的垂直平分线方程，再联立已知直线方程求出圆心坐标，然后根据圆心与点A 或B 的距离求出半径.（2）先设出直线方程的点斜式，然后根据圆心到直线的距离等于半径来求解斜率.【小问1】首先求线段AB 的斜率30112AB k -==+,则AB 垂直平分线的斜率为1-.AB 中点坐标为210313(,(,2222-++=-.根据点斜式可得AB 垂直平分线方程为31()22y x -=-+，即1y x =-+.联立1210y x x y =-+⎧⎨+-=⎩将1y x =-+代入210x y +-=得2(1)10x x +-+-=，即0x =.把0x =代入1y x =-+得1y =，所以圆心(0,1)C .半径r ==.则圆C 的方程为22(1)5x y +-=.【小问2】当直线的斜率不存在时，直线的方程为x =此时圆心(0,1)C 到直线x =，等于半径，所以x =C 的切线.当直线的斜率存在时，设直线的方程为1(y k x +=-，即10kx y --=.=.即|2|-=两边平方解得520k =.此时直线的方程为51(20y x +=，即0x --=.综上所得，直线的方程为x =0x --=.17.已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为菱形，且2π,3DAB PAD ∠=为等边三角形，且2PA AD ==.（1）求证：AD PC ⊥；（2）请从以下两个条件中选择一个作为已知条件，求二面角D PA C --的余弦值.①四棱锥P ABCD -的体积为2；②向量BA 与CP所成角的余弦值为4.注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）证明见（2）55【解析】【分析】（1）取AD 的中点M ，可得,AD CM AD PM ⊥⊥，结合线面垂直关系证明；（2）根据面面垂直的性质可知点A 在底面ABCD 内的投影O CM ∈.若选①：求得PM =，可知点O 与点M 重合，建系，利用空间向量求二面角；若选②：可知cos 4PCD ∠=，求得PC =O 与点M 重合，建系，利用空间向量求二面角.【小问1】取AD 的中点M ，连接,,AC CM PM ，由题意可知：π,3AD DC ADC =∠=，可知ACD 为等边三角形，且PA AD =，则,AD CM AD PM ⊥⊥，且CM PM M = ，,CM PM ⊂平面PCM ，可知AD ⊥平面PCM ，且PC ⊂平面PCM ，所以AD PC ⊥.【小问2】由（1）可知：AD ⊥平面PCM ，且AD ⊂平面ABCD ，可得平面ABCD ⊥平面PCM ，且平面ABCD 平面PCM CM =，由面面垂直的性质可知：点A 在底面ABCD 内的投影O CM ∈.若选①：四棱锥P ABCD -的体积112222322PO ⨯⨯⨯⨯⨯⨯=，解得PO =，注意到PAD △是边长为2的等边三角形，则PM =，可知点O 与点M 重合，以M 为坐标原点，,,MA MC MP 分别为,,x y z轴，建立空间直角坐标系，则()()(1,0,0,0,,0,0,A C P ，可得((),1,AP AC =-=-，设平面PAC 的法向量(),,n x y z =，则0n AP x n AC x ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，设x =1y z ==，可得)n =，由题意可知：平面PAD 的法向量()0,1,0m =，则cos ,5n m n m n m ⋅===⋅，由题意可知：二面角D PA C --为锐二面角，所以二面角D PA C --的余弦值为5；若选②：因为BA CD =，可知向量BA 与CP 所成角即为PCD ∠，则cos 4PCD ∠=，由余弦定理可得2222cos PD CD PC CD PC PCD =+-⋅∠，即244224PC PC =+-⨯⨯，解得PC =，又因为PM CM ==，则222PM CM PC +=，可得PM CM ⊥，可知点O 与点M 重合，以M 为坐标原点，,,MA MC MP 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，则()()(1,0,0,0,,0,0,A C P ，可得((),1,AP AC =-=-，设平面PAC 的法向量(),,n x y z =，则0n AP x n AC x ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，设x =1y z ==，可得)n =，由题意可知：平面PAD 的法向量()0,1,0m =，则5cos ,5n m n m n m ⋅===⋅，由题意可知：二面角D PA C --为锐二面角，所以二面角D PA C --的余弦值为55.18.已知椭圆G 22+22=1>>0的左焦点为F ，短轴长为P 在椭圆C 上且B 的最大值是最小值的73倍.（1）求椭圆C 的方程；（2）若不经过点()5,0A -的直线与椭圆C 相交于,M N 两点，且直线AM 与直线AN 的斜率之积是2125-，求证：直线恒过定点.【答案】（1）2212521x y +=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据短轴长求出b ，再结合的B 最值关系求出a 和c ，从而得到椭圆方程；（2）设出直线方程和交点坐标，代入椭圆方程，利用韦达定理和斜率公式求出直线所过定点.【小问1】已知短轴长为，根据椭圆的性质，b =.设椭圆C 的半焦距为c ，已知B 的最大值是最小值的73倍，即7()3a c a c +=-.展开可得3377a c a c +=-，即52a c =.又因为22221b ac =-=，把52a c =代入可得225()212c c -=.即2225214c c -=，解得2c =，那么5a =.所以椭圆C 的方程为2212521x y +=.【小问2】当直线的斜率不存在时，设直线的方程为x m =，1(,)M m y ,1(,)N m y -.因为M ，N 在椭圆2212521x y +=上，代入可得22112521y m +=，22121(25)25m y -=.已知(5,0)A -，则15AMy k m =+，15AN y k m -=+，212(5)AM AN y k k m ⋅=-+.把22121(25)25m y -=代入AM AN k k ⋅得2221(25)25(5)AM AN m k k m -⋅=-+，其值不为2125-，所以直线的斜率存在.设直线的方程为y kx n =+，11(,)M x y ，22(,)N x y .联立直线与椭圆方程2212521y kx nx y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22()12521x kx n ++=.展开可得22222125(2)2521x k x knx n +++=⨯，整理得222(2125)50255250k x knx n +++-=.根据韦达定理，122502125kn x x k +=-+，2122255252125n x x k-=+.因为(5,0)A -，所以115AM y k x =+，225AN y k x =+，2125AM AN k k ⋅=-.即121221(5)(5)25y y x x =-++，121221()()(5)(5)25kx n kx n x x ++=-++展开得221212121221()(5(25)25)k x x kn x x n x x x x +++=-+++.将122502125kn x x k +=-+，2122255252125n x x k-=+代入上式并化简可得2422100n kn -=.即2(5)0n n k -=，解得0n =或5n k =.当0n =时，直线的方程为y kx =，经过原点.当5n k =时，直线的方程为5(5)y kx k k x =+=+，所以直线恒过定点(5,0)-，不合题意.综上所得，直线恒过定点原点.19.已知点12(2,0),(2,0)F F -分别为椭圆222:112x y C a +=的左､右焦点，经过点1F 且倾斜角为π(0)2θθ<<的直线与椭圆C 交于,A B 两点（其中点A 在x 轴上方）.如图，将平面xOy 沿x 轴向上折叠，使二面角12A F F B --为直二面角，折叠后,A B 在新图形中对应点记为,A B ''.（1）当π3θ=时，①求证：A O '⊥平面12B F F '；②求直线2A F '与平面1A B F ''所成角的正弦值；（2）是否存在π(0)2θθ<<，使得折叠后2A B F '' 的周长为15？若存在，求tan θ的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）①证明见解析；②155；（2）存在，tan 14θ=.【解析】【分析】（1）①求出椭圆方程及直线的方程，联立求出点,A B 的坐标，进而求出点,A B ''的坐标，再利用面面垂直的性质推理得证；②建立空间直角坐标系，求出平面1A B F ''的法向量，再利用线面角的向量法求解.（2）设折叠前1122()A x y B x y ,,(,)，表示折叠后点,A B ''的坐标，设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理结合1AB A B ''-=建立关系，求出22845m =，即得tan θ的值.【小问1】①依题意，椭圆C 的半焦距2c =，则2212216a =+=，椭圆C 的方程为2211612x y +=，直线:2)l y x =+，由222)3448y x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩消去y 得215480x x +=，解得0x =或165-，而点A 在x 轴上方，则16(,)55A B --，12AO F F ⊥，折叠后有12A O F F '⊥，而二面角12A F F B --为直二面角，即平面12A F F '⊥平面12F F B '，平面12A F F ' 平面1212F F B F F '=，A O '⊂平面12A F F '，所以A O '⊥平面12B F F '②以O 为坐标原点，折叠后的y 轴负半轴为x 轴，原x 轴为y 轴，原y 轴正半轴为z 轴，建立空间直角坐标系，则126316(0,2,0),(0,0,23)(,,0),0,2,055(F A B F -''-，121636(0,2,23),(,,0),(0,2,23)55A FB F A F '=-=-=''-- ，设平面1A B F ''的法向量为(,,)n x y z =，则112230636055n A F y n B F x y ''⎧⋅=--=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令3y =，得3,1)n =- ，直线2A F '与平面1A B F ''所成角的正弦值为2224315|cos ,5||||5|4||n A F n A F n A F 〉'⋅'〈==='⋅.小问2】假定存在符合条件的θ，设折叠前1122()A x y B x y ,,(,)，折叠后11220,,),,,0)((A x y B y x '-'，设直线方程为2my x =+，由2223448x my x y =-⎧⎨+=⎩消去x 得22(34)12360m y my +--=，则1212221236,3434m y y y y m m -+==++，折叠前221212()()AB x x y y =-+-2221212||()A B x x y y ='-+'+，由2215A F B F A B ++''=''，2216AF BF AB ++=，则1AB A B ''-=，即2222212121212()()()1AB A B x x y y x x y y -=-+-++'-='，()()()1222222121212121x x y y x x y y=-+-+-++，222221212121212(())()2x x y y x x y y y y -+--++=-，221212121()()2x x y y y y -+-=-，则221212121(11)()2my my y y y y --++-=-，1212y y =-2363412m ++=，整理得2237624(1)2m m ++=，解得22845m =，由π02θ<<，得1tan 14m θ==所以存在π(0)2θθ<<，使得折叠后2A B F '' 的周长为15，tan 14θ=.【点睛】思路点睛：在解决图形的翻折问题时，应找出其中变化的量和没有变化的量，包括位置关系和数量关系，通常翻折后还在同一平面上的元素之间的位置关系不发生变化，不在同一平面上的元素之间的位置关系发生变化，解题时应抓住不变量，利用平面几何知识或建立空间直角坐标系进行求解.。