工程力学 动力学普遍定理动量矩定理.

•注意：内力不能改变质点系的动量矩。
•
例12-3 •已知：m1，r，k ，m2 ，R，
•求：弹簧被拉长s时，重物m2的加速度a2 。 •解 •选系统为研究对象,受力分析如图 •设：塔轮该瞬时的角速度为ω，则
•解得：
•
3．动量矩守恒定律
•若
，则 常矢量；
•若
，则 常量。
•
§12-3 刚体绕定轴转动的微分方程 •主动力： •约束力：
•
例12-8 •已知：l，m，θ=60°。求：1. αAB；2. FA • 解：绳子刚被剪断，杆AB作平面运
动，受力如图，根据平面运动微分 方程
• 补充运动学方 程
• 在y轴方向 投影
•
例12-9 •已知：如图r，m， m1。求：1. aA；2. FAB ；3. FS2 • 解：分别以A、B、C为研究对象
•其中： • (O为定点)
•
质点的动量矩定理
•因此 •称为质点的动量矩定理：质点对某定点的动量矩 对时间的一阶导数，等于作用力对同一点的矩。
•投影式：
•
2. 质点系的动量矩定理 •对第i个质点有 ： •对n个质点有：
• 由于
•得
•
2. 质点系的动量矩定理
•称为质点系的动量矩定理：质点系对某定点O的动量 矩对时间的一阶导数，等于作用于质点系的外力对于 同一点之矩的矢量和。 •投影式：
•2. 选轮2为研究对象
•积分
•
§12-4 质点系相对于质心的动量矩定理 •1．对质心的动量矩 •如图，以质心C为原点，取平移坐标系Cx’y’z’。 •质点系相对质心C为的动量矩为：
•由于 •得 • 质点系相对质心的动量矩，无论是以相对速度计算还是
以绝对速度计算，其结果都相同。

例13-10 如图所示均质鼓轮，半径为R，质量为m，在半径为r处沿水平方向 作用有力F1和F2，使鼓轮沿平直的轨道向右作无滑动滚动，试求轮心0点 的加速度以及使鼓轮作无滑动滚动时的摩擦力。
解 鼓轮作平面运动，其受力如图所示，建立鼓轮平面运动微分方程为
1）
2）
3）
因鼓轮沿平直轨道作无滑动的滚动，故有如下关系
§13－2 质心运动定理和质心运动守恒定律
解 选取整个机构为研究的质点系。作用在水平方向的外力有Q和FAx。 列出质心运动定理在x轴上的投影式
为了求质心的的加速度在x轴上的投影，先计算质心的坐标，然后把它对 时间取二阶导数，即得
应用质心运动定理，解得
显然，最大压力为
§13－2 质心运动定理和质心运动守恒定律
第十三章 动量定理和动量矩定理
主要研究内容
动量定理 质心运动定理和质心运动守恒 定律 动量矩定理 刚体的平面运动微分方程
§13－1 动量定理
动量和冲量
动量
I. 质点的动量 质点的质量与某瞬时质点速度的乘积称为质点在该瞬时的动量,用p表示质点的动量,
P=mv 质点的动量是矢量，其方向与该瞬时质点速度方向一致。动量的单位,在 国际单位制中为kg•m／s。
§13－1 动量定理
II. 质点系的动量定理
质点系的动量在任一时间间隔内的变化,等于在同一时间内作 用于该质点系所有外力冲量的矢量和。 上式为矢量方程，具体应用时常用投影式，将其在直角坐标轴上投影， 其投影式,得
与
§13－1 动量定理
动量守恒定律
若作用于质点系的外力的矢量和恒等于零，即∑Fi(e)=0，可得
第二阶段为从伞张开至降落速度达到秒v=5 m／s。在这个阶段中人当然不 再自由降落，他除了受重力P=mg作用外，还受降落伞绳子拉力FT的作用。 设在3 s内绳子拉力的合力之平均值为FT*取x轴向下，

r LO
=
r MO
(mivri
)
=
rri × mivri
LOz = J zω
二、动力学普遍定理
1、物理量
（4）转动惯量 ① 定义
∑ J zz = rii22mii
ii
Jz
=
mρ
2 z
回转半径
z
ri
vi
mi
ω
mO
y
x
二、动力学普遍定理
1、物理量
② 简单形体的转动惯量
● 均质细圆环 JCC = mr 22
[例 题]
两重物的质量均为m，分别系在两软绳上。此两绳又分别绕在半 径各为r与2r并固结一起的两圆轮上。两圆轮构成之鼓轮的的质量亦
为m，对轴O的回转半径为ρ0。两重物中一铅垂悬挂，一置于光滑平 面上。当系统在左重物重力作用下运动时，鼓轮的角加速度α为：
（A）
α
=
5r
2
2
g+rρ02（B）
α = 2gr 3r 2 + ρ02
置作用于物块的约束力FN大小的关系为：
y
（A）FN1 = FN0 = FN2 = W （B） FN1 > FN0 = W > FN2 （C） FN1 < FN0 = W < FN2
A
a1
0 a
2
（D） FN1 = FN2 < FN0 = W
答案：C
一、质点动力学
[例 题]
r F
已知：以上抛的小球质量为m，受空气阻力
牛顿第二定律（力与加速度之间的关系定律）
∑ m ar =
r Fii
ii
牛顿第三定律（作用与反作用定律）

mv
动量矩:动量对一点之矩。
LO r mv
A
LO r
二、质点系的动量的简化
O
m1v1
mivi
m1
mi
rCi C
mn
mnvn
以质心C为简化中心,得在点C的一 个动量,即动量系的等动量矢(质点 系的动量):
n
p mi vi mvC
i 1
等动量矢与简化中心的选择无关， 即是一个不变量。
螺栓和基础作用于电机的最大总水平力及铅直力。
y
解：1、[电动机] 受力分析如图
l aC3
2、运动分析 自由度：1 广义坐标：
aC 2
Md Q3
Q1 wt Q2
x
运动无未知量，各刚体质心的加速度
aC1 0
aC 2
l w2
2
aC3 lw 2
代入质心运动定理 maC FR
M
" x"
Q2 g
l w2
2
t1 d t
j
t2 t1
Fj
d
t
pt2 pt1
IR I j
j
令
I j
t2 t1
Fj
dt
动量守恒情况
当： Fj 0 则： p p0 j n
当： Fix 0 则：px p0x i 1
•动量的改变是由于外力对时间的积累效应 •内力只是使系统内各质点产生动量的交换， 不改变质点系的总动量
解： 受力分析
运动分析 一个自由度
v
无运动未知
[整体]：由质心运动定理 maC FR
" x" maCx Fx 0
" y"
P1 g