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理论力学动力学普遍定理

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动力学普遍定理综合应用(理论力学I,10学时)页PPT文档

动力学普遍定理综合应用(理论力学I,10学时)页PPT文档
在运动过程中，系统所受外力对z轴之矩为零，故系统对z轴 的动量矩守恒。
H1 J
H 2JBm B rr
H1 H2
B

J
J
mr2
VB
2grr22
J(2Jm2r) (Jm2r)2
同理可得 C VC 2 gr
综合3：均质细杆AB的质量是M，长2L，放在铅直平面内，两端
动力学普遍定理的综合应用
质点系的动量定理(质心运动定理)、动量矩定理和 动能定理统称为动力学普遍定理(general theorems of dynamics)。动力学普遍定理给出了描述质点系整体运 动特征的物理量(动量、动量矩和动能)与度量力对系统 的作用效应的物理量(力系的主矢和主矩、力的冲量和 力的功)之间的定量关系。动量定理(质心运动定理)和 动量矩定理为矢量形式，而动能定理为标量形式。
aC aO aCnO
O aO y
C mg
an CO
aCy aCnO2e2gC2e2
轮O受力如图
N x
Nm gmCaym(g12eC 22)
综合5：均质半圆盘的质量是m，半径是r，在水平面上作无滑动 的摆动。现把半圆盘由直径AB铅直时的位置无初速地释放，求 当直径水平时半圆盘的角速度，以及这时半圆盘对平面的正压力。
aC
B
C
a aA
an
τ AC AC
A

0

mg
解：绳切断后AB受力如图。 质心加速度铅直向下，AB杆的角
加速度为。
以C为基点，研究A的加速度为 aA aACaC
投影到铅直向下方向
0aACcosaC
N
aC
2 l
4
aC
aC

第4章 动力学普遍定理(动量定理)

第4章 动力学普遍定理(动量定理)

dK = ΣF ( e ) dt
K = 常矢量
——质点系动量守恒 质点系动量守恒 ——质点系在 方向上动量守恒 质点系在x方向上动量守恒 质点系在
ΣF ( e ) = 0 ΣX ( e ) = 0
K x = 常量
问题：为何不这样说？ 问题 动量定理积分形式： K 2 − K1 = ΣS (e )
ΣS ( e ) = 0 ( ΣS x e ) = 0
dK = ΣF ( e ) dt
K = Mv理 质心运动定理
注：①此定理与动量定理完全等价，都反映质系随质心平动部分与所受外
力主矢之间的关系，但形式和所用物理量不同。质心运动定理已不再使用 动量和冲量的概念； ②形式与牛二定律（动力学基本方程）相同，但含义不同； ③适于任意质点系； ④对刚体系，由于 MaC = Σmi aCi ，式中 mi、aCi 表示每个刚体的质量和 质心的加速度，则质心运动定理又可写为
K 2 x = K1x = 常量
质点系动量守恒 K = K = 常矢量 ——质点系动量守恒 2 1 ——质点系在 方向上动量守恒 质点系在x方向上动量守恒 质点系在
反例：①光滑水平面上由绳拉住绕定点作匀速圆周运动的小球； 反例 ②圆锥摆
4
§4 质心运动定理
质心运动定理是动量定理的另一种表达形式，重要而实用。 一、质心运动定理 动量定理微分形式：
§3 动量定理
一、质点的动量定理
d( mv ) = F 或 d( mv ) = dS dt
动量定理的微分形式 二、质点系的动量定理 微分形式： 微分形式
mv2 − mv1 = S
动量定理的积分形式 有限形式） （有限形式） 积分形式： 积分形式
(e K 2 − K 1 = Σ S (e )

22第6章第二十二讲 动力学普遍定理-动量定理

22第6章第二十二讲 动力学普遍定理-动量定理

第六章动力学普遍定理质点系整体运动状态的物理量（质点系的动量、动量矩和动能）力系特征量（主矢、主矩）和功动量定理动量矩定理动能定理质点是很理想的模型，更一般的模型是质点系，由质点到质点系是动力学走向实用的关键环节1. 动量定理2. 变质量质点动力学3. 动量矩定理4. 动能定理太空拔河，谁胜谁负会不会上下跳动?蹲在磅秤上的人跳起时磅秤指示数发生什么变化扇工作时，会发生什么现象抽去隔板后将会发生什么现象1. 动量定理1.1 动量定理与动量守恒1.2 质心运动定理1.3 应用举例1.4 结论与讨论1. 动量定理1.1 动量定理与动量守恒1.2 质心运动定理1.3 应用举例1.4 结论与讨论1.1 动量定理与动量守恒子弹入墙坦克入墙引入质量和速度的乘积——动量（1）质点系的动量vv m →小知识：惯性的度量——质量（惯性质量，欧拉1736《力学》）概念晚于动量（16~17世纪，笛卡儿、牛顿）质量经典三层含义：物质的量、惯性质量、引力质量近代：电磁质量、质速方程、质能方程动量守恒更具有普适性质点的动量vK m =质点的动量是矢量，单位为kg·m/s 。

（更多的书上采用符号p ）表示质点运动强弱和方向，是质点机械运动的一种度量。

1.1 动量定理与动量守恒（1）质点系的动量质点系的动量（质点系动量的主矢）质点系中各质点动量的矢量和。

∑∑====ni ii ni i m 11v K K 质点系的动量是质点系整体运动的一种度量。

在直角坐标系的投影形式为∑∑∑======ni izi z ni iy i y ni ix i x v m ,K v m ,K v m K 111可各类比于力系主矢1.1 动量定理与动量守恒（1）质点系的动量1根据质点系质心定义ymm m m ii ii i C ∑∑∑==r r r ii C m m v v ∑=Ci i m m v v K ==∑1.1 动量定理与动量守恒（1）质点系的动量1.1 动量定理与动量守恒（1）质点系的动量质点系的动量等于质点系的总质量与质心速度的乘积。

理论力学之动力学普遍定理

理论力学之动力学普遍定理

分方程得:

O
l
A
T sin=0.366
2clos=0.931
A´
BAB
P
N

P
T

P g
aCy
N
P
(T N )l cos 1 P (2l)2 12 g
联立解得: T = 0.846P N = 0.654P
25
阅读材料和作业
• 1.阅读材料 – (1)P164---P170
O
l
A
2l
A´
B´
B
P
21
解:取杆AB为研究对象进行运动分析.
O
l T
A
OB = 1.732l A´B = 0.732l
当绳索OA运动到铅垂位置时,
N
2l
杆AB作瞬时平动.
B´
vA = vB = v
A´
B
P
对杆AB进行受力分析.
约束力T和N不作功, P是有势力,系统机械能守恒.
0.866 Pl 0.366 Pl 1 P v2 v gl
(3)
联立(1)(2)(3)式解得:
O

m1 ( R
m1g(R r) r)2 m2 (R2
O2 )
aA

(R

r)O

m1(R
m1g(R r)2 r)2 m2 (R2

O2 )
D A
aA
28
O
13-31解.分别取木板和圆柱O为研究对 象画受力图.
aO
O
F Ff FO m1a
=1500.24(1- sin30o)
+600.12(1-sin30o)

理论力学-第13章 动力学普遍方程和第二类拉格朗日方程

理论力学-第13章 动力学普遍方程和第二类拉格朗日方程
需要指出的是，上述各式适用于任何理想、双侧约束系统， 不论约束是否完整、是否定常，也不论作用力是否有势。
*第13章 动力学普遍方程和第二类拉格朗日方程
第二类拉格朗日方程
返回
第二类拉格朗日方程
在动力学普遍方程中，由于系统存在约束，一般情形下，各 质点的虚位移并不完全独立，应用时须建立各虚位移与广义坐标 之间的关系。
第二类拉格朗日方程
N
(Qk Qk*) δ qk 0
k 1
其中Qk为对应于广义所标qk的广义力（generalized forces）; Qk*为广义惯性力（generalized inertia forces）
Qk
n i 1
Fi
ri qk
Qk*
n i 1
miai
ri qk
由于在完整约束下，δq1， δq2，…， δqN 相互独立，
Qk*
n i 1
miri
ri qk
d dt
n
(
i 1
miri
ri qk
)
n i 1
miri
d dt
( ri qk
)
d dt
n i1
mi
ri
ri qk
n i1
mi
ri
ri qk
d dt
qk
n
(
i 1
1 2
miri2 )
qk
n
(
i 1
1 2
miri2 )
d dt
(
T qk
理论力学
第3篇 工程动力学基础
第3篇 工程动力学基础
*第13章 动力学普遍方程 和第二类拉格朗日方程
*第13章 动力学普遍方程和第二类拉格朗日方程

理论力学 第8章 动力学普遍定理

理论力学 第8章 动力学普遍定理

xC

mi
M
xi
,
yC

mi
M
yi
,
zC

mi
M
zi
10
在均匀重力场中，质点系的质心与重心的位置重合。可采 用静力学中确定重心的各种方法来确定质心的位置。但是，质 心与重心是两个不同的概念，质心比重心具有更加广泛的力学 意义。 二、质点系的内力与外力 外力：所考察的质点系以外的物体作用于该质点系中各质点的力。 内力：所考察的质点系内各质点之间相互作用的力。
应用质点运动微分方程，可以求解质点动力学的两类问题。
6
1.第一类：已知质点的运动，求作用在质点上的力（微分问题） 2.第二类：已知作用在质点上的力，求质点的运动（积分问题） 已知的作用力可能是常力, 也可能是变力。变力可能是时间、 位置、速度或者同时是上述几种变量的函数。
7
例1 曲柄连杆机构如图所示.曲柄OA以匀角速度 转
只有外力才能改变质点系的动量，内力不能改变整个质点系 的动量，但可以引起系统内各质点动量的传递。
20
[例3] 质量为M的大三角形柱体, 放于光滑水平面上, 斜面上另 放一质量为m的小三角形柱体,求小三角形柱体滑到底时,大三角 形柱体的位移。
解：选两物体组成的系统为研究对象。
受力分析， Fx(e) 0, 水平方向 Px 常量。
l2 r2 l
得 F mr2 2 l 2 r 2
9
质点系的质心，内力与外力
一.质点系的质心 质点系的质量中心称为质心。是表征质点系质量分布情况的 一个重要概念。
质心 C 点的位置： (M mi )
rC

mi
M
ri
或 MrC mi ri

理论力学动力学普遍定理与普遍方程

理论力学动力学普遍定理与普遍方程
描述了物体运动的基本 规律和原理。
2 质点的运动定理
用于描述单个质点的运 动和力学特征。
3 系统动力学定理
用于描述系统的整体运 动及其相互作用。
普遍方程
运动方程的一般形式
描述物体运动的数学方程。
欧拉-拉格朗日方程
描述质点和系统的力学行为。
哈密顿方程
用于描述力学系统中的能量 和动力学特征。
应用案例
理论力学动力学普遍定理 与普遍方程
在这个演示中，我们将介绍理论力学动力学的普遍定理与普遍方程，并探讨 它们在应用中的重要性和实际应用。欢迎加入我们的学习旅程！
基本概念介绍
力学动力学的定义和作用
解释为物体的运动提供了理论和数学工具。
理论力学的概念
研究力、运动和力学原理的科学分支。
普遍定理
1 动力学的基本定理
1
常见力学动力学问题
探索常见力学问题背后的原理。
2
基于普遍定理与普遍方程的分析
通过应用普遍定理和方程，解决复杂的力学问题。
3
实际应用与工程中的应用实例
展示力学动力学在实际工程中的应用案例。
总结
重点回顾普遍定理和普遍方程
强调普遍定理和方程在理论力学动力学中的重要性。

理论力学动力学普遍定理

理论力学动力学普遍定理

1、积分法（具有规则几何形状的均匀刚体可采用）
[例]均质细直杆长为l ，质量为m。求杆对z轴的转动惯量Jz
及对z1 轴的转动惯量Jz1 。
z
O
解：
l
Jz 0
x2mdx1ml2 l3
x
x
dx
l
Jz1
l
2 l
2
x2 mdx1ml2 l 12
z1
x
C x dx
l
l
2
2
理论力学
中南大学土木工程学院
4
均质薄圆环对于中心轴的转动惯量
drvCdt0
r r rr d W F S d r F S v C d t 0
wR O
圆轮沿固定面作纯滚动时， 摩擦力是静摩擦力，不作功!
P
FS C FN
理论力学
中南大学土木工程学院
13
5、质d 点W 系 内F r r力d 的r r rA 功 F rrd r r rB F rdrA rF rdrB F rd(rrArB) FdrBA
理论力学
中南大学土木工程学院
21
[例]已知均质圆盘质量为m，半径为R，摩擦因数为 f ，斜面倾角为j 。求
纯滚动时盘心的加速度。
解：取系统为研究对象，假设圆盘中心向下
产生位移 s 时速度达到vC。
T1 0
T2
3 4
m
v
2 C
力的功： W 12mgssinj
由动能定理得：
w
s
vC
C
FS
mg
j
FN
34mvC 2 0mgssinj
理论力学
1
§10-1 质点系的质心 内力与外力
一、质点系的质心

理论力学三大类问题的基本求解方法

理论力学三大类问题的基本求解方法

理论⼒学三⼤类问题的基本求解⽅法理论⼒学三⼤类问题的基本求解⽅法2009-121 求解静⼒平衡问题的基本⽅法（平⾯问题为重点）（1）选取研究对象，进⾏受⼒分析，并画受⼒图。

⼀般针对所求，先对整体进⾏初步的受⼒分析，若所求未知量⼩于或等于独⽴平衡⽅程的个数，则只研究整体即可；反之，若所求未知量个数⼤于独⽴平衡⽅程的个数，则必须取分离体进⾏受⼒分析。

可以采取整体＋分离体的解决⽅案，也可采取分离体＋分离体的解决⽅案；另外，若所求的未知量有系统内⼒，也必须取分离体研究，以暴露出所要求的内⼒；画受⼒图注意将各⼒画在原始的作⽤点处，分布⼒原样画出，待列⽅程计算时，再作简化处理。

再有，注意⼆⼒杆的判别，及摩擦⼒⽅向的判定。

（2）列平衡⽅程求解。

⾸先根据受⼒图，判断是何种⼒系的平衡问题。

再针对所求⽤尽可能少的平衡⽅程得出所求。

（3）结果校核——利⽤多余的平衡⽅程校核所得的结果。

对⽤符号表⽰的结果，可采⽤量纲分析的⽅法进⾏校核。

2 求解运动学问题的基本⽅法（以平⾯运动为重点）⾸先正确判断问题类型，尤其注意正确区分点的合成运动问题与刚体平⾯运动问题。

判断的依据是，点的合成运动的问题中，运动机构的不同构件之间有相对滑动。

⽽刚体平⾯运动理论⽤来分析同⼀平⾯运动刚体上两个不同点间的速度和加速度的关系。

此时，运动机构的不同构件之间有相对转动，却⽆相对滑动。

另外，注意点的合成运动与刚体平⾯运动的综合问题。

2．1 点的运动学问题——注意在⼀般位置建⽴点的运动⽅程；2．2 点的合成运动问题（1）⾸先是机构中各构件的运动分析；（2）再针对所求，正确选择动点、动系和定系。

注意动点相对于动系和定系都要有相对运动，即动点、动系、定系要分属于不同的构件。

同时，尽可能使动点的相对轨迹清楚易判断；求解加速度时，尽量将动系固连在平动的物体上，避免求科⽒加速度；（3）分析三种运动及其相应的三种速度和加速度，正确画出速度⽮量图或加速度⽮量图。

注意速度合成的平⾏四边形关系；（4）利⽤速度或加速度合成定理进⾏求解。

理论力学动力学普遍定理与普遍方程

理论力学动力学普遍定理与普遍方程

从本章起, 将要讲述解答动力学问题的其它方法, 而首先要讨论
的是动力学普遍定理(包括动量定理、动量矩定理、动能定理及由此
推导出来的其它一些定理)。
1
2
它们以简明的数学形式，明确的物理意义， 表明两种量 — — 一种是运动特征量(动量、动量矩、动能等)，一种是力的作 用量(冲量、力 矩、功等) —— 之间的关系，从不同侧面对物体 的机械运动进行深入的研究。在一定条件下，用这些定理来解 答动力学问题非常方便简捷 。
由微分形式： dP Fiedt dIie
质点系动量的微分等于作用在质点系上所有外力元冲量的矢量和。
P2 P1 Iie
在某一时间间隔内，质点系动量的改变量等于作用在质点系上 的所有外力在同一时间间隔内的冲量的矢量和．
1
11
③ 投影形式：
dKx
dt
Xi e
dKy
dt
Yi e
dKz
积分：
t2
mv2 mv1 F dt S
即：在某一时间间隔内，动t1量的增量等于力在该时间内的冲量。
1
9
③投影形式： d ( mv ) X
dt x
t2
mv2x mv1x Ix Xdt
对x、y轴同样有。
t1
④质点的动量守恒
若 F 0 ，则 mv 常矢量，质点作惯性运动
若 XFx 0 ，则 mvx 常量，质点沿 x 轴的运动是惯性运动
系，则质心坐标：
xC
mi
M
xi
,
yC
mi
M
yi
,
zC
mi
M
zi
1
21①Βιβλιοθήκη 点系运动时，xi、yi、zi是变量，因而xC、yC、zC一般也是 变量；

理论力学 第9章 动力学普遍定理的综合应用

理论力学 第9章 动力学普遍定理的综合应用
广义坐标选定后， 质点系中每一质点的直 角坐标都可表示为广义 坐标的函数。
11
例如：双锤摆。设只在铅直平面内摆动。
( x1, y1 ) , ( x2 , y2 ) x12 y12 a 2
( x2 x1 )2 ( y2 y1 )2 b2
两个自由度
取广义坐标，
x1 asin , y1 acos x2 asin bsin , y2 acos bcos
2 (Rk 2RF M )
3mR2
vB
F B
Fk C vC
M
mg aC
D
FDS FDN

[例9.10] 如图曲柄滑块机构在铅垂面内，均质曲柄OA长度为r，质量为m，
在未知变化的力偶矩M作用下，以匀角速度转动；均质连杆AB长度为2r
，质量为m。已知滑块的工作阻力为F，不计滑块B的质量，忽略所有阻碍
x2 y2 l2
曲柄连杆机构 xA2 yA2 r2
(xB xA)2 ( yB yA)2 l2 , yB 0
3
二、约束的分类 根据约束的形式和性质，可将约束划分为不同的类型，通
常按如下分类： 1、几何约束和运动约束
限制质点或质点系在空间几何位置的条件称为几何约束。 当约束对质点或质点系的运动情况进行限制时，这种约 束条件称为运动约束。
T1 0
T2

1 2
mv 2

1 2
mv 2

1 2

1 2
mr 2 2
运动学关系：v r
T2

5 4
mv 2
由动能定理：5mv2 0mgS(2sin f cos ) 对ｔ求导，得
4

动力学普遍定理综合应用(理论力学I,10学时)

动力学普遍定理综合应用(理论力学I,10学时)
动力学普遍定理的优越性主要体现在研究比较复 杂的系统动力学问题。
在求解比较复杂的动力学问题时，往往不可能仅用 一个定理解决全部问题，需要综合应用几个定理来求解。 而且这种应用，并不存在一个固定的模式，必须具体问 题具体分析，综合考虑，灵活应用。但是一般说来，下 列原则仍有一定的参考价值。
(1)求解速度、角速度问题往往首先考虑应用动能定 理的积分形式, 且尽可能以整个系统为研究对象, 避免拆开系统。 (2)应用动能定理的积分形式，如果末位置的速度或 角速度是任意位置的函数，则可求时间导数来得到 加速度或角加速度。仅求加速度(角加速度)的问题, 应用动能定理的微分形式也很方便。
根据质心运动定理
n C
n N D G m aC
64 N D m a G [1 ]m g 3π(9π 16)
综合6：半径为R的滚轮A，质量为mA ，对质心A的转动惯量为 JA=0.5mAR2 。轴半径为r=0.5R，滚轮在=30的足够粗糙的斜面 上纯滚动，细绳绕过无重量的定滑轮B后，挂一质量为mC的物块。 不计B轮系摩擦。求：(1)A轮轮心的加速度aA和C的加速度aC；(2) 当mA=4.5mC时候，斜面给A轮的摩擦力。
O
aO
n aCy aCO 2 e
2 ge2
2 C
n a CO C mg
轮O受力如图
N x
N mg maCy mg(1
2e 2

2 C
)
综合5：均质半圆盘的质量是m，半径是r，在水平面上作无滑动 的摆动。现把半圆盘由直径AB铅直时的位置无初速地释放，求 当直径水平时半圆盘的角速度，以及这时半圆盘对平面的正压力。
A 4r

由动能定理的积分形式 T2 T1

理论力学教学材料-8动力学普遍定理2

理论力学教学材料-8动力学普遍定理2

1 2
(J x J y J z )
8
即：刚体对点的转动惯量等于刚体对通过该点的三个垂直轴
的转动惯量之和的一半。 对于平面薄板：zi=0，∴
J x mi yi
J y m i xi
2
2
J z m i ri m i ( x i y i ) J x J y J O
右手螺旋法则。 大小：hO=2△OAM。单位： kg· 2/s=N· s ｍ m· ②质点对轴 z 的动量矩：对固定轴z
h z m z ( m v ) m O ( m v ' ) mv ' d 2 OA ' M '
2
代数量，由右手螺旋法则确定正负。 同力矩关系式一样：动量对一点的矩在过该点的任一轴上的
一点Mi：mi，（xi，yi，zi），则
由定义：
J x mi ( yi zi )
2 2
J y m i ( zi xi )
2 2
J z m i ( xi yi )
2 2
J O m i ri m i ( x i y i z i )
2 2 2 2
2 2 2
xi ' xi , yi ' yi d J z'

m i[ xi ( yi d ) ]
2
2
m i ( xi yi ) ( m i )d
2
2
2
m i M , m i y i My
C
0 J z ' J z Md
当量长度：假象地将刚体的质量集中在一个点上，如果这个点 对某轴的转动惯量等于这个刚体对该轴的转动惯量，则这个点

《理论力学 动力学》 第十六讲 变质量质点的动力学普遍定理

《理论力学 动力学》 第十六讲 变质量质点的动力学普遍定理

3、变质量质点的动力学普遍定理(1) 变质量质点的动量定理设变质量质点在任一瞬时的动量p =m v ，其中m =m (t )是时间的函数，将动量对时间求导，得到：d d()d d d d d d m m m t t t t==+p v v v 而，代入上式得：d d d d r mm t tf =+=+v F F F v d d d d d d r m m t t t =++p v F v 记并入或放出质量的绝对速度为v 1, 则：1=+rv v v 则动量对时间的导数等于：1d d d d m t t =+p F v 记1d d a m tf =F v 称F ϕa 为由于并入或放出质量的绝对速度引起的反推力，它具有力的量纲且能改变质点的动量。

于是有：d d a tf =+pF F —变质量质点动量定理的微分形式变质量质点的动量对时间的导数，等于作用其上的外力与由于并入或放出质量的绝对速度而引起的反推力的矢量和。

设t=0时质点质量为m 0、速度为v 0，积分上式得：00a 10d d d d tttmm m m t t t mf -=+=+òòòòv v F F F v 3、变质量质点的动力学普遍定理如果并入或放出质量的绝对速度v 1=0，则积分形式变为：000d tm m t-=òv v F 即使F =0，v 也不是常量，v =m 0v 0/m .(2) 变质量质点的动量矩定理变质量质点对任一定点O 的动量矩为：O m =´L r v对时间t 求导，得到：d d d d d ()()()d d d d d O m m m m t t t t t=´=´+´=´L r r v v r v r v 代入变质量质点动量定理的微分形式得到：d()d a m tf =+v F F d d()d d O a m t tf =´=´+´L r v r F r F —变质量质点的动量矩定理变质量质点对某定点的动量矩对时间的导数，等于作用于质点上外力的合力对该点之矩与由于并入或放出质量的绝对速度引起的反推力对该点力矩的矢量和。

理论力学第8章动力学普遍定理3

理论力学第8章动力学普遍定理3


W 得
i
2Q 9 P 2 2 l 0 M 12 g
——（*）

2 l
3 gM 2Q 9 P
将（*）式对t 求导数，得
2Q 9 P 12 g l 2
2
d dt
M
d dt


d dt
T 1 2 mv
2

1 2
J A
2

1 2
mv
2
JA
1 2
mr , v r
2
T
5 4
mv
2
当圆盘A质心沿斜面向下运动dS时：
δW
5 4
i
2 mg d S sin f mg d S cos mg d S ( 2 sin f cos )
由动能定理的微分形式dT=∑Wi得：
δ W F d s F r d m z ( F ) d
2
W
1

m z ( F )d
若 m z ( F ) 常量，则
W m z ( F )( 2 1 )
7
如果作用力偶m , 且力偶的作用面垂直转轴，则
W md
1 2
W 若m = 常量, 则 注意：功的符号的确定。
注意：圆轮作纯滚动时摩擦力F不做功
( d r 0 )
(2) 滚动摩擦阻力偶m的功 若m = 常量则 6．约束反力的功 约束反力元功为零或元功之和为零的约束称为理想约束。
W m m s R
即：理想约束的约束反力做功为零。
9
（1）光滑支承面
N dr δW N dr 0
2
——质点动能定理的微分形式

理论力学：动力学普遍定理的应用 (2)

理论力学：动力学普遍定理的应用 (2)

13
理论力学
动力学普遍定理的应用
三个阶段杆的角速度和角加速度随 的变化规律
/ rad • s-1 / rad • s-2
L 1.0m
分离时杆质心C到O点的距离为：0.204 m
2020/12/9
/ rad
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理论力学
动力学普遍定理的应用
例：长为L质量为m的均质杆AB悬挂在天花板上，如图所示，当
LrA J A J A m( 2 R2 e2 )
2020/12/9 aA R02 FI maA
e(g R02 ) 2 e2 R2
5
理论力学
动力学普遍定理的应用
方法四：应用动能定理 T2 T1 W12 (mg)
T1 C
C
O
mg
T2
1 2
mvC2
1 2
JC2
T2 ( ,)
vC2 (R esin )2 (e cos )2
1
理论力学
动力学普遍定理的应用
例：图示偏心圆盘在水平面上纯滚动，已知偏心圆盘对质心
的回转半径为 ，图示瞬时偏心圆盘的角速度为0 ，求该
瞬时圆盘的角加速度。
解决问题的基本步骤
•受力分析与运动分析
R
aO C
•判断有几个未知量
O
e
mg
A
F
•有几种求解方法 •用什么方法求最简单
•用最简单的方法求解
FN
未知量：自由度1个,未知力2个
A
aA
O
B
B aB
A: 摩擦力向左 B：摩擦力向右 C: 摩擦力大小为零
2020/12/9
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动力学普遍定理的应用
思考题：均质正方形板被铅垂吊起，绳与水平线的夹角均为
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理论力学
[例]均质细杆长为l，质量为m1，上端B靠在光滑的墙上，下端A用铰链 与质量为m2、半径为R且放在粗糙地面上的均质圆柱中心相连，圆柱作 纯滚动，杆与水平线的夹角为 ，若圆柱中心速度为vA，求系统的动能。
解：
T TA TAB 3 2 TA m2 v A 4
P wAB
C
B
P 为AB杆的瞬心
A
vA
j
vCA v C vA
B
C
w
2 1 J w2 则杆的动能 T 1 mvC 2 2 C 2 1 l 2w 2 lw v cos j ) 1 ( 1 ml 2 )w 2 1 m ( v A A 2 4 2 12 2 1 l 2w 2 lw v cos j ) 1 m ( v A A 2 3
O yC x
rC
ri
zC xC
i y
mi xi mi yi mi zi xC ，yC ，zC m m m
在均匀重力场中，质点系的质心与重心的位置重合。可采用确定重心 的各种方法来确定质心的位置。但是，质心与重心是两个不同的概念，质 心比重心具有更加广泛的力学意义。
z1
z2
x
质点系
W Wi mi g( zi1 zi 2 ) mg( zC1 zC 2 )
质点系重力的功，等于质点系的重量与其在始末位置重心 高度差的乘积，而与各质点运动的路径无关。
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10
2、弹性力的功 (指有限变形下弹性力的功，与弹簧两端点位置无关) 弹簧原长l0 ，作用点的轨迹为图示曲线A1A2。在弹性极限内F k (r l0 )r0 k—弹簧的刚性系数，表示使弹簧发生单位变形时所需的力(N/m)。
1 1 1 1 2 T mi vi2 ( mi )v 2 mv 2 mvC 2 2 2 2
2、定轴转动刚体 T 1 mi vi2 1 ( mi ri 2 )w 2 1 J zw 2 2 2 2 3、平面运动刚体
T 1 J Pw 2 2
（P为速度瞬心）
质心C
w
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1
§10-1
一、质点系的质心
质点系的质心 内力与外力
z C
质点系的质量中心称为质心。是表示 质点系质量分布情况的一个重要概念。 质心C点的位置：rC
rC xC i yC j zC k
mi ri mi ri mi m (m mi )
刚体对通过质心轴的转动惯量具有最小值。
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动能定理用能量法研究动力学问题。能量法不仅在机械运 动的研究中有重要的应用，而且是沟通机械运动和其它形式运 动的桥梁。动能定理建立了与运动有关的物理量—动能和作用 力的物理量—功之间的联系，这是Hale Waihona Puke 种能量传递的规律。§ 12-1
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2
二、质点系的内力与外力 外力：质点系以外的物体作用于该质点系中各质点的力。
内力：质点系内各质点之间相互作用的力。
对整个质点系来讲，内力系的主矢恒等于零， 内力系对任一点（或轴）的主矩恒等于零。即：
(i) (i) F 0 ； M ( F i O i )0
W
M2
M1
F dr
M2
M1
k (r l0 )r0 dr
r 1 1 r0 dr dr d(r r ) d(r 2 ) dr r 2r 2r r2 r2 k W k (r l0 )dr d (r l0 ) 2 r1 r1 2 k [( r1 l0 ) 2 ( r2 l0 ) 2 ] A1 2 d1 r1 l0 初变形

l
0
x2
l 2
m 1 dx ml 2 l 3
2
O
x
x
l
dx
J z1
l 2
m 1 2 x dx ml l 12
l 2
z1
C x x
l 2
dx
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4
均质薄圆环对于中心轴的转动惯量
设细圆环的质量为m，半径为R。则
z
R
J z mi ri2 R2 mi mR2
T 1 m v2 2
瞬时量，恒为正，具有与功相同的量纲，单位也是J(焦耳)。
1 2 T mi vi 二、质点系的动能 2 对于任一质点系：（viC 为第i个质点相对质心的速度）
1 2 1 2 T mvC mi viC 2 2
柯尼希定理
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三、刚体的动能 1、平移刚体
有限变形下弹性力的功只与 弹簧的初始变形和末变形有 关，与力作用点的路径无关。
F
A0
A dr
d
r1 l0
r
r0
O
d 2 r2 l0 末变性
k 2 k 2 2 W (d 初 d 末 ) (d1 d 22 ) 2 2
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r2
A2
11
3、作用于定轴转动刚体上的力的功，力偶的功
(i) (i) (i) M ( F ) 0 ， M ( F ) 0 ， M ( F x i y i z i )0
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3
转动惯量的计算 1、积分法（具有规则几何形状的均匀刚体可采用）
[例]均质细直杆长为l ，质量为m。求杆对z轴的转动惯量Jz 及对z1 轴的转动惯量Jz1 。 z 解： J z
5
2、回转半径 由 z
Jz m
所定义的长度z称为刚体对 z 轴的回转半径。
J z mz2
对于均质刚体，z仅与几何形状有关，与密度无关。对 于几何形状相同而材料不同（密度不同）的均质刚体，其回 转半径是相同的。 在机械工程设计手册中，可以查阅到简单几何形状或已 标准化的零件的转动惯量和回转半径。书中列出几种常见均质
FN
dr FR F' R
3、刚体沿固定面作纯滚动
dWN (FN FS ) drC 0
4、柔性约束（不可伸长的绳索） 拉紧时，内部拉力的元功之和恒等于零。
C
FS FN
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§12-2
动强弱的又一种度量。 一、质点的动能
动
能
物体的动能是由于物体运动而具有的能量，是机械运
W
M1
( Fx dx Fy dy Fz dz)
直角坐标法表示的功的计算公式，也称为功的解析表达式。
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三、常见力的功 1、重力的功
z M1 M
Fx 0， Fy 0， Fz mg
代入功的解析表达式得
z1
O
mg
M2 y
z2
W12 (mg)dz mg( z1 z2 )

A
Ft
W12 M z dj
j1
j2
作用面垂直转轴的常力 偶M，则力偶作的功为
理论力学
W12 M (j2 j1 )
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4、摩擦力的功
(1) 动滑动摩擦力的功
W
M2
M1
Fds
M2
M1
f FNds
FN=常量时，W= －f FNs，与质点的路径有关。 (2) 圆轮沿固定面作纯滚动时，静滑动摩擦力的功。
A
vA
解：AB杆作平面运动，其质心C的速度为
j w
B
vC v A vCA
速度合成矢量图如图，由余弦定理有：
2 2 2 vC vA vCA 2v AvCA cos(180 j ) 2 2 1 lw cos j vA (1 l w ) 2 v A 2 2 2 2 2 vA 1 l w lw v A cos j 4
均质圆板对于中心轴的转动惯量
设圆板的质量为 m ，半径为 R 。将圆板分为无数 同心的薄圆环，任一圆环的质量为dm= · 2rdr， =m/R2，于是圆板转动惯量为
y
dr
r
R
x
Jz r d m
2
R
0
1 r 2r d r mR 2 2
2
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法向力FN，静摩擦力FS作用于瞬心C处，而瞬心的位移
dr vC dt 0
dW FS dr FS vC dt 0
圆轮沿固定面作纯滚动时， 摩擦力是静摩擦力，不作功!
w
O
R
P
FS
C
FN
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5、质点系内力的功
dW F drA F drB F drA F drB F d(rA rB ) F drBA
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四、理想约束力的功
约束力元功为零或元功之和为零的约束称为理想约束。 1、光滑固定面约束
dr
dW FN dr 0
(FN dr )
2、联接刚体的光滑铰链（中间铰）
dr FR dr FR dr 0 dW FR dr FR
w
vC
C
vC v
1 2 1 T mvC J Cw2 2 2
1 J C mR 2 ， vC Rw 2
1 2 1 T mvC J Cw2 2 2
vC Rw v
1 1 2 T m(v rw ) J Cw 2 2 2