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动力学普遍定理及综合应用动力学普遍定理动 定理动 定理动 定理综合应用定理 定理 应用用 定理合 用动 定理 动 用 动定理 定 动 定理 动 定理 力动动学动[ ]AC BC P l C C hC力 F (e)=0∑x 动 定理 动 定理动 用 动 动学12W =P ⋅h ⨯2=Ph 2∑T 1=022222l ω⨯2=3g l ω1P 23g 11P T =⋅动 定理∴v C =3gh v -0=Ph 1P 3g C 2223g ∴T =1P C C v v =l ω及 A 力 1∑M B (F )=0ωB =ω0=0J B αB =0∴αB =0动[ ] P 1=60N 24cm AB P 2=150N B 用 B 2 用动 定理T 1=0T =1J ω2+1P 2v 22A22gBl ω=v B=1⋅1P 1v 2+1P 2v 2=P 1+3P 2v 223g 2g 6gBBB000P 1∑12122W =P (-cos 60)+P (l -lcos 60)=(+P )(l -l cos 60)222l lT 2-T 1=∑W 122P 1+3P 2P 1B 2v -0=(+P )(l -l 26gv B =1.58m/s 3 用动 定理 α力L =1P 1l 2ω+P 2v l =(1P 1l 2+P 2l 2)ω3g d L A 3g g )=0 α=0 ABg(e)=M (F d t A ∑a =an =l ω2↑(a t=0)BBB ω=v B =1.58=6.58rad/sl0.24=a n=l ω2↑(a t =0)2C C CC a4 动定理 力力 刚 动定理 列 用定理 相 动 定理；动 定理； 动 定理；动定理 注 果用 积 动 定理 导 则必须 ABBv BP 2ωAαC F xF yP1m a =P 1a t +P 2a t =0=F∑i ixCBAxgg=0 F Ay =401Ngg 2gF Ax m a =P 1a n+P 2a n=P 1l ω2+P 2l ω2=F-P 1-P 2∑i iyCBAygv a [ ] m r 2 用 力F 相 动mC 用v 则 v /2 ω=v /2r动T =1mv 2+2[1⋅m (v )2+1(1m r 2)(v )2]=11mv 222222222r 16动力∑P =F ⋅v =Fvd T=∑Pd t d (11mv 2)=Fvd t 16∴a =8F 11mP347.13-171 用动 定理 动动 动 T 1=0定 动 动 动T =1J ω2=1⎡1ml 2+m (l -l )2⎤=1ml 2ω22O 18232⎢⎣122⎥⎦ 力∑W =mgh =1mgl sin ϕ612[ ] m l l /3 O 动 动 及 O 力1ml 2ω2-0=1mgl sin ϕ18T 2-T 1=∑W 12ω2=3g sin ϕlω=α=3g cos ϕ2l2 用定 动微 动J O α=∑M O (F ) 定 动微003g2l ωd ω=cos ϕd ϕωϕ⎰⎰ϕω=3g sin ϕ2l 1ω22ω=1ml 2α=mg lcos ϕ96α=3g cos ϕ2lα=d ω=d ωd ϕ=ωd ωd t d ϕd t d ϕωd ω=3g cos ϕd ϕ2l力 切a t =OC ⋅α=l ⋅3g cos ϕ=g cos ϕ62l 4C n 2l 3g g a =OC ⋅ω=⋅sin ϕ=sin ϕ6l 2C a =-a t cos ϕ+a nsin ϕ=-3g (1-3sin 2ϕ)4Cy C Ct n cos ϕ=-3gsin ϕcos ϕa =-a sin ϕ-a 4Cx C C-3mg (1-3sin 2ϕ)=F -mg4Oy-3mg sin ϕcos ϕ=F 4Ox F =-3mg8sin 2ϕOx F =(1+9sin 2ϕ)4Oy mg动定理ma Cx =∑F x ma Cy =∑F y F[ ] 物块A B 别 m 1 m 2 m 1＞m 2 别 绳索 绳跨 定 轮 轮 m 并 看成是 r 假 不 绳 绳 轮 间 相 动 试 物块A O 力1 单 物 别 物块A B 轮 力 动定理 定 动 微B 1mr 2⋅α=(F '-F ')r(3)(4)(5)20=F A B2g F B B m 1a =m 1g -F Am 2a =F B -m 2g(1)(2)Ox0=F Oy -F A'-F B '-mga=2(m 1-m 2)m +2(m 1+m 2)g=0F Ox 2(m -m )2F =(m +m +m )g -1 2 gOy 1 2m +2(m 1+m 2)注a =r α 2 用动 定理 动定理 力 动 动 T =1m v 2+1m v 2+1(1mr 2)(v )2=1(m +2m +2m )v 212122222r 412d T =1(m +2m +2m )v d v2力∑δW i =(m 1-m 2)g d s =(m 1-m 2)gv d t12121(m +2m +2m )v d v =(m -m )gv d t 动 定理 2微 是2(m 1-m 2)m +2(m 1+m 2)a =gm m考虑刚 动定理是2(m -m )212m +2(m 1+m 2)F Oy =(m +m 1+m 2)g -m 2a -m 1a =F Oy -(m +m 1+m 2)g=0F Ox (e)∑m i a Cix ∑m i a Ciy =∑F x (e)=∑F y m m3 用动 定理 动定理力 动 定 动L =m vr +m vr +(1mr 2)ωO1 2122=1(m +2m +2m )vr212121(m +2m +2m )r d v =(m -m )gr2d t(F (e))dL =∑M d tO O 2(m 1-m 2)m +2(m 1+m 2)a =d v =d t g m m然后按 2 O 力 [ ] O 铅垂 内 动 m R C 结 刚性 k 弹簧 弹簧 另 固定 A CA =2R 弹簧 原 常力偶 M 用下 O 试 O 力 力-2R )2⎤122⎣=M π-2mgR -0.3431kR 2∑W =M π-2mgR +k⎡0-⎦αC A M Oω45MOC Ay xm g FF OxF OyT 1=022222T 2=1324J O ω=mR ωJ =1mR 2+mR 2=3mR2O3mR 2ω2=M π-2mgR -0.3431kR24ω=T 2-T 1=∑W 123mR 2α=M-k 2-2R )R2(M -0.5859kR 2)3mR 2α=2(M -0.5859kR 2)3mRa Cx =-R α=-a =-R ω2=-4 (M π-2mgR -0.3431kR 2)3mRCyma Cx =F Ox +F cos45ma Cy =F Oy -mg -F sin 45F =-2M -0.1953kR3ROx=3.667mg +1.043kR -4.189F Oy MRAyCxMm gF F Ox45F OyO 动微αy a Ca ωxa n Cat CCx y[ ] 细 l m 微小干 扰 倒下 刚刚 力 沿 不 力 倒下 铅 下落 动 ( 夹)2v CCP l cos θ动 2222 1 )3cos θ(1+J ω=m 211212C CC v mv +T =2θ=0 v C =3gl12动 力T 2-T 1=∑W 121m (1+ 1 )v 2=mg l (1-sin θ)3cos 2θ2Cl 3g ω=ω=v C =A Cθωv CPA a na C CA C 动 A 则Ct n a C =a A CACA+a+a沿铅垂 下a =a t(3)=l α2C CA (1)~(3)14A F =mgαm gF AωαCAA a t CA刚刚 力及 刚 动微a Ca A(1)mg -F A =ma CF l =J α=1ml 2α(2)A 212C[ ] 棱 ABC m 1 动 m 2 O 沿斜 AB 下滚动不 动 斜 倾 棱P326 综-16v D v Dα力 动 棱别 v a是 别 ω α 动 用O棱 D Ov O=v D+v ODv D=v v OD=r ωv =-v +r ωcos θOx 动P x 0=0 P x 1=-m 1v +m 2v Ox =-m 1v +m 2(-v +r ωcos θ)动 定理:P x 1=P x 0=-m 1v +m 2(-v +r ωcos θ)=0θA CBO D a v ωOxv OD OD θF N间t 导(*)-(m 1+m 2)a +m 2r αcos θ=0a α 动微22S 12m r α=F r2a cos θ+2g sin θ3r m 2g sin 2θα=3m +m +2m sin 2θ1 2 2a =m 2(r α-a cos θ)=m 2g sin θ-F SJ O α=∑M O (F )m 2a Ox '=∑F x '(*)=a r -a e cos θ=r α-a cos θa Ox -m 1v +m 2(-v +r ωcos θ)=0 ∑m iaC ix∑(e)ix=F刚OD θαa rx'y'a e F Sm g2[ ] AB 2l m ,A 内 后 力 用 动 A力 P328 综-28 力 力 用 C C 铅 动微A A 0B 0θmaC =mg -F N1m (2l )2α=F l cos θN122 3 必须 动学tCA n CAa C =a +a A +a Cθn a CA铅垂 a =a t cos θ-a nCCACAsin θ=l αcos θ-l ω2sin θmgAv θv A动 定理T 2-T 1=∑W 12v C =v A +v CAv C =v CA cos θ=l ωcos θ2211J ω=mgl sin θ22C C mv +v C 并2l ω=1+3cos 2θ6g sin θF N3cos θl α=m后4+3sin 2θF N =22mg (1+3cos θ)间 导 3cos θ(4+3sin 2θ)(1+3cos 2θ)2l α=g列动。
普遍定理综合应用举例动量定理普遍定理动量矩定理动能定理质心运动定理 分析质点系受力与质心运动的关系定轴转动刚体 的转动微分方程 相对于定 点和定轴相对于质心和质心轴描述质点系整体运动 如：平面运动刚体的运动微分方程积分形式求速度 或角速度 微分形式功率方程求加速度 或角加速度动量和动量矩动能矢量，有大小方向非负的标量，与方向无关内力不能使之改变外力能使之改变内力可以改变动能约束力是外力时对之有影响理想约束不影响当外力主矢为零时，系统动量守恒当外力对定点O 或质心的主矩为零时，系统对定点或者质心的动量矩守恒在保守系统中，机械能守恒动量定理描述质心的运动变化动量矩定理描述绕质心或绕定点的运动变化动能定理描述质心运动及相对质心运动中动能的变化研究机械运动与其他运动形式有能量转化的问题普遍定理综合应用举例均质圆轮半径为 r ，质量为m ，受到轻微扰动后，在半径为R 的 圆弧上往复滚动。
设表面足够粗糙，使圆轮在滚动时无滑动. 求:轮心Ｃ的运动微分方程.例1例题：利用平面运动刚体 运动微分方程求解功率方程求解普遍定理综合应用举例d d s P mg v mg t τ⎛⎫=⋅=⋅ ⎪⎝⎭d d s m g t τ=⋅d sin d smg tθ=-222113224C C CT mv J mv ω=+=解: ()d sin d sm g tθ=-d d T P t=d 3d 2sin 4d d C C v s m v mg t t θ⋅=-()032d d 22=-+r R gst s 22d d ts C v θrR s θ-=分析圆轮，受力如图所示。
ωr v C =2Cmr J 21=普遍定理综合应用举例例2物块和两均质轮的质量皆为m ,轮半径皆为R。
滚轮上缘绕一刚度系数为k的无重水平弹簧，轮与地面间无滑动。
现于弹簧的原长处自由释放物块。
求:重物下降h 时,v，a 及滚轮与地面的摩擦力。
可用动能定理求摩擦力可用相对质心的动量矩定理普遍定理综合应用举例1=T 解: 22222222111113222222T mv mR m mR mv ωυω⎛⎫=+⋅++= ⎪⎝⎭()222221khmgh h k mgh W -=-=∑12T T W -=∑（a ）22322mgh kh mv -=()223mg kh h v m -=将式（a ）对t 求导得 khg a 4-=动能定理，分析系统。
