3-第三章-辨识方法-1-相关函数法

第三章模态参数辨识的频域方法在系统辨识中，模态参数是描述系统特性的重要指标，通过模态参数的辨识可以揭示系统的固有振动频率、阻尼比和模态形态等信息。

频域方法是一种常用的模态参数辨识方法，可以通过对系统在不同频率下的响应数据进行分析，得到系统的模态参数。

本文将介绍频域方法的原理和具体实施步骤。

频域方法的基本原理是在频域内拟合系统的频率响应函数，从而得到系统的模态参数。

具体实施步骤包括数据采集、信号处理和模态参数辨识。

首先，需要采集系统在不同频率下的响应数据。

使用激励信号激发系统，在传感器上采集到系统的响应信号。

为了得到较好的频率响应函数拟合结果，应该在不同频率下采集足够多的数据，并保证数据的信噪比较高。

其次，需要对采集到的响应数据进行信号处理。

首先，对采集数据进行预处理，包括去除噪声、滤波和降采样等操作，以提高数据质量。

然后，对处理后的数据进行频谱分析，可以使用傅里叶变换将时域信号转换为频域信号，然后计算频谱密度谱或功率谱密度谱等频域指标。

最后，通过拟合频率响应函数，得到系统的模态参数。

根据系统的特点，可以选择适合的频率响应函数进行拟合。

常见的选择包括模态曲线法、有限点法和广义谱方法等。

根据所选择的频率响应函数，通过最小二乘法等数值方法，拟合得到系统的模态参数，包括固有频率、阻尼比和振型等。

频域方法在模态参数辨识中具有以下优点：首先，由于仅对系统响应数据进行频域分析，不需要准确的系统模型，因此对于实际系统来说具有较高的适应性。

其次，频域方法能够较好地提取系统的模态信息，对于系统的非线性特性和随机性能够较好地处理。

此外，频域方法比较直观且易于实施，是一种常用的模态参数辨识方法。

总结来说，频域方法是一种常用的模态参数辨识方法，通过对系统在不同频率下的响应数据进行频域分析，可以得到系统的模态参数。

该方法具有较高的适应性和处理能力，是一种实用的系统辨识工具。

收稿日期 : 2005210221; 修回日期 : 2006212214. 作者简介 :孙晓兰 (1962— ) ,女 ,博士研究生 ,讲师 , sunxiaolan@126. com.
· 40·5
天 津 大 学 学 报 第 40卷 第 4期
(6)
根据卷积的微分性质 [8 ] , 由式 ( 6 ) 可得振动结构的速
度响应
∑ ∫ n φφ t
vik ( t) = xik ( t) =
r=1
ir kr
mr
- ∞ fk
(τ)
·
∑ ∫ n φφ ζω t
g2r ( t - τ) dτ +
r=1
ir kr r
m
ω
rd
r
nr
- ∞ fk
(τ) ·
]=
E [ x¨ik ( t + T) x¨jk ( t)
]
=
(
-
1) 2
d4
Rx ijk
( T)
dT4
因此对式 ( 11)求 4 阶导数即得系统加速度响应信号
φ r
qr
(
t)
(2)
r=1
式中 :Φ 为模态矩阵 ; q ( t)为模态坐标向量 ; qr ( t)为模
态坐标 ;φr 为第 r阶振型.
将式 ( 2)代入式 ( 1) ,并左乘 φT
q¨r ( t)
+ζrωnr qr ( t)
+ω2nr qr ( t)
=
1φT
mr r
f
(
t)
(3)
式中 :ωnr为第 r阶模态无阻尼固有频率 ;ζr 为第 r阶模
所谓振动结构工作模态参数识别是指利用系统响 应信号辨识系统的模态参数. 因此可用来研究系统工 作状态下的动态性能 ,并可进行在线模态分析. 由于不 需要激励信号 ,使测试设备大为简化 ,减少测试费用. 另外 ,工作模态参数识别也使那些无法测出激励信号 的工程结构 (如海洋平台 、超大建筑物和大型运输工 具等 )的模态分析成为可能.

图 ２ Ｆｉｇｕｒｅ．２ ｔｈｅ ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎ ｏｆ Ｒ 梯 ａｎｄ Ｒ矩
（１１）
这种形式便于计算机求解，是目前普 遍使用的求解方法。式中Ｎ △ ｔ 要大于系统 的调整时间。同样，自相关函数 Ｒｘｘ（τ） 和互相关函数 Ｒ ｘｖ（τ）都是用有限和来 近似计算积分的，引起的截断误差正比于 △ ｔ ２。这样，在辨识中存在的误差源主要 有随机干扰，量化误差，有限和代替积分产 生的误差。其中人为误差只有有限和代替 积分产生的截断误差，结合仿真结果，我们 得出：截断误差仅仅影响到对传递函数零 点的估计，对极点估计没有影响。这样我们 可以快速，高精度地估计出系统传递函数
Байду номын сангаас
的极点，从而判定系统的稳定性。
６ 互相关函数计算的梯形法改进
在前面提到，数字计算机中积分是化 为有限和近似计算的。由分析可以得知， 这种有限和计算实际上是积分的矩形近 似，引起的截断误差正比于△ ｔ ２。我们可 以用梯形法作一改进，以减小截断误差。
将梯形近似公式
（１２） 运用在互相关函数中，可得：
（２） 则（１ ）式可以表示为：
（３） 所以只要能正确的利用输入、输出序 列估计出θ就能得到被辨识系统的传递函 数， 最小二乘法是一种估计θ值的方法。 ３．２ 辨识方法 ３．２．１ 互相关函数法 相关性可用互相关函数来表示：
（４） τ是时间间隔。 当 ｘ（ｔ）＝ｙ（ｔ）时，互相关
函数就变成了自相关函数。 设 ｔ＝０ 时，ｘ（ｔ）＝０，而且 ｔ
若想得到系统的精确模型可以采取减小截断误差的方法如梯形近似法甚至四阶龙10可以把r看作是系统在rxvxx入下的响应这样要获得该系统的参数模型只需把分别看作xxxv系统的输入和输出然后按最小二乘法估计参数

——第三章辨识方法
2 最小二乘法
1
清华大学电机系
辨识技术
辨识技术
()
*
lim k k α
α
→∞
=辨识技术
远离最小值点
接近最小值点
最速下降法
高斯牛顿法
清华大学电机系
辨识技术
42
2
三种算法的比较
y
香蕉函数最小化问题：
f (x ) = 100 ( X 2–X 12)2+ ( 1 –X 1)2
高斯-牛顿法：11次迭代
最速下降法：60次迭代
阻尼最小二乘法：18次迭代
清华大学电机系
辨识技术
43
例：非线性函数的参数辨识
x
C e
C x f ⋅⋅=21)(高斯-牛顿法：80次迭代
最速下降法：401次依然未收敛
阻尼最小二乘法：10次迭代
真值C * = [5.420136187 -0.25436189]
当x m = [ 1 2 3 4 5 ]时
测量值：f m (x ) = [ 4.20 3.25 2.52 1.95 1.51 ]f *(x ) = [ 4.202834 3.258924 2.527006 1.959469 1.519394 ]
真值
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稳态电路。