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3.2函数表示法

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§4[1].3.2函数的极值及其求法

§4[1].3.2函数的极值及其求法

的极大(小)点。(证明从略)
[ 注： （1）若 f ( x ) 在a,b]
[a 上连续，则f ( x ) 在 ,b]
上必
有最大值和最小值。
（2） f ( x ) 在(a,b) 内某点取得“最值” x 是 f ( x ) ，则 的极值点，从而 x 一定是 f ( x ) 的驻点或导数不 存在的点。
2 x2 1 而 f (1) ， lim f ( x ) lim x 2e x lim 2 0, x x x e x e
1 ∴最大值是 f (1) 。 e
例 4．设某银行中的总存款量与银行付给存户年利率的平 方成正比。若银行以 20%的年利率把总存款的 90%贷出， 问银行给存户的年利率定为多少，它才能获得最大利润？
解：设银行付给存户的年利率为 x ，
T 总存款量为Q( x ) ，总利润为 ( x ) ，则
Q( x ) kx 2 （ k 为 常数） ，
T ( x )900 0200 0Q( x ) xQ( x ) ，即
T ( x ) 0.18kx 2 kx 3 ( 0 x 1) ，
T ( x ) 0.36 kx 3kx 2 3kx (0.12 x ) ，
当 x( x , x ) 时， f ( x ) 0 ，
则 f ( x ) 在点 x 取得极大值；
（2）若当 x( x , x ) 时， f ( x ) 0 ，
当 x( x , x ) 时， f ( x ) 0 ，
则 f ( x ) 在点 x 取得极小值； （3）若 f ( x ) 在点 x 的左、右邻域内保持同号，
x 0 是 f ( x ) x 3 的驻点，但 x 0 不是极值点。 例如：
（3） 称为可能极值点 。 导数不存在的点 驻点

3.2 函数的表示方法(教案)(2课时)-【中职专用】高一数学同步精品课堂(高教版2021·基础模块

3.2 函数的表示方法(教案)(2课时)-【中职专用】高一数学同步精品课堂(高教版2021·基础模块

3.2 函数的表示方法（教案）（2课时）-【中职专用】高一数学同步精品课堂（高教版2021·基础模块上册）【教学目标】1.了解函数的定义和基本特性；2.掌握函数的表示方法，包括显式表示法和隐式表示法；3.了解函数的图像和函数的性质。

【教学重点】1.函数的定义和基本特性；2.函数的表示方法。

【教学难点】1.隐式表示法的定义和应用；2.函数的图像和性质的掌握。

【教学方法】1.讲授法：教师针对学生的基础知识和现状，详细讲解函数的定义和表示方法，帮助学生理解函数的概念和特性。

2.练习法：通过实际的例子，进行练习和演示，帮助学生熟悉和掌握函数的表达。

3.探究法：通过课堂讨论、小组合作等方式，引导学生自主学习和自主探究，掌握函数的图像和性质。

【教学过程设计】第一课时一、引入教师通过给学生展示一些具有明显规律的图像，并提出一些问题，引导学生进入本课的教学内容。

二、概念解释1.函数的概念：教师向学生介绍函数的概念，并通过具体的例子说明函数的定义。

2.自变量和因变量的概念：教师向学生介绍自变量和因变量的定义，并举例说明。

3.函数符号的表示：教师向学生介绍函数的符号表示，并通过示意图说明。

三、函数的表示方法1.显式表示法2.隐式表示法四、函数图像1.函数图像的定义：教师向学生介绍函数图像的概念，并通过具体的例子说明函数图像。

2.函数图像的性质：教师向学生介绍函数图像的性质，并通过具体的例子说明函数图像的基本规律。

五、作业布置第二课时一、作业检查教师向学生布置作业，并对学生的作业进行检查，帮助学生掌握函数的基本知识。

二、隐式表示法1.隐式表示法的定义：教师向学生介绍隐式表示法的定义，并通过具体的例子说明隐式表示法的应用。

2.例题讲解：教师通过例题的演示，向学生说明隐式表示法的具体操作步骤。

三、函数图像的综合应用1.函数的几何特征：教师向学生介绍函数的几何特征，包括函数的单调性、最值点和奇偶性等。

2.例题讲解：教师通过例题的演示，向学生说明函数图像的综合应用。

3.2函数的表示方法

3.2函数的表示方法

3.2 函数的表示方法党的十八大以来，我国实施精准扶贫、精准脱贫方略，脱贫攻坚取得了的成就，为全面建成小康社会打下了坚实基础．我国成为世界上减贫人口最多的国家，也是世界上率先完成联合国千年发展目标的国家．2015-2019年年，全国农村贫困人口数见下表：此表建立了全国农村贫困人口数与年份之间的对应关系．在义务教育阶段，我们已经学习了利用数学表达式来表示函数，那么是否也可以用这个表格来表示函数？回顾学过的知识，除了表达式、列表，我们还有其他的方式来表示函数吗？函数的表示方法有几种？像这样利用解析式表示函数的方法称为解析法．如义务教育阶段学习的一次函数、一元二次函数、反比例函数等都是用解析法表示的．用表格表示全国农村贫困人口数与年份之间的对应关系．像这样通过列出自变量的值与对应函数值的相应表格来表示函数的方法称为列表法．3.1“情境与问题（2）像这样利用图像表示函数的方法称为图像法．3.1“情境与问题（3）”中的某地某天的气温与时间的对应关系也是用图像法表示的．3.1“情境与问题（3）综上所述，函数的表示方法通常有三种：解析法，列表法和图像法．函数的三种表示法各自的优势与不足吗？如果想要根据某同学五次考试成绩分析他这一学期的数学学习情况，试选择恰当的方法表示这个问题中的函数关系．（1）列表法表示见表解（1）依题意，得到应缴水费与用水量之间的关系，见下表每户每年用水不超过180m³时，水价为5元/ m³；超过180m³不超过260m³时，超过的部分按7元/m³收费；超过260m³时，超过的部分按9元/m³收费．由表得到函数的解析式：根据这个解析式，可以画出函数的图像．现实生活中，有很多函数是分段描述的．如，阶梯电费、出租车费、个人所得税等．这类函数的特点是：当自变量在不同范围内取值时，需要用不同的解析式来表示，我们称这样的函数为分段函数．分段函数的定义域是自变量的各段不同取值范围的并集，值域是函数在各段不同取值范围的函数值的并集．分段函数在整个定义域上仍然是一个函数，而不是几个函数．作分段函数的图像时，在各段不同取值范围内，根据相应解析式，做出相应部分的图像．练习练习练习1.书面作业：完成课后习题和学习与训练；2.查漏补缺：根据个人情况对课题学习复习与回顾;3.拓展作业：阅读教材扩展延伸内容.再见。

九年级数学二次函数的三种表示方法

九年级数学二次函数的三种表示方法

一起探究：
一、物理学家在当时经过反复试验，测量后，得到下表数据： t/s
0 1 2 3 4 5
h /m
0
4.9
19.6
44.1
78.4
122.5
1、根据数据的变化，你能判断h是t的函数吗? 解析：（1）我们学过一次函数、二次函数，反比例函数，这 三种情况都有可能出现．我们不妨假设h是t的一次函数，令 h=at+b，把数据t=0，h=0；t=1，h=4.9；t=2，h=19.6代入，可 以验证此假设不成立．而h是t的反比例函数，显然也不成立．
I=1.125 ，3.125 ， 6.125
作业：
课本第7页：习题1、2 预习下一节内容．
下课了!
驶向胜利 的彼岸
；天津妇科 / 天津妇科 2019年01月19日18:55:13 ；
；
有人能够击败鞠言.呐还是鞠言尚未获得善尊法印之前,一旦鞠言得到善尊法印,那么实历只会更加强横.“鞠言小儿,老夫再给你一次机会.现在,只要你交出虚化法术典籍,再乖乖赔礼道歉,那么你先后杀死俺两个徒弟呐件事,俺仍然能够不再追究下去.呐是,你最后一次机会.”吙云善尊沉闷の声音说 道.吙云善尊其实心中也没底气,如果他有绝对の把握,那肯定不会对鞠言多说,直接上去就将鞠言轰杀掉了.鞠言一个人灭掉戮申殿呐件事,确实是太过惊人了.此事他身边虽有多位帮手,但他还是没有太大の把握能杀死鞠言.他现在说の话,倒是没有欺骗鞠言,如果鞠言给他一个台阶下,那么他真の不 想追着鞠言死缠烂打.虽然鞠言杀了闽蓝和泗池两个他の徒弟,他也想杀了鞠言为弟子报仇,但呐需要一个前提,就是不需要拿自身性命冒险.鞠言闻言笑道：“吙云老儿,到了呐一步,你何必再多说呐些废话?据传你脾气吙爆极为护短,俺杀你两个善尊境界弟子,而你在俺面前还犹犹豫豫,你莫非是怕 了?”“你找死！

3.2函数的单调性与奇偶性课件-2024届高三数学一轮复习

3.2函数的单调性与奇偶性课件-2024届高三数学一轮复习

即练即清
1.判断正误(对的打“√”,错的打“✕”)
(1)函数y= 1 的单调递减区间是(-∞,0)∪(0,+∞). ( × )
x
(2)若定义在R上的函数f(x)有f(-1)<f(3),则函数f(x)在R上为增函数. ( × )
(3)偶函数图象不一定过原点,奇函数的图象一定过原点. ( × )
1
2.已知f(x)=ax2+bx是定义在[a-1,2a]上的偶函数,那么a+b的值是 3 .
因此f(1)≠f(-1), f(-1)≠-f(1),
故f(x)为非奇非偶函数.
(3)由1 x2 0, 得函数的定义域为(-1,0)∪(0,1),关于原点对称,
| x 2 | 2,
∴x-2<0,∴|x-2|-2=-x,∴f(x)= lg(1 x2) .
x
又∵f(-x)= lg[1 (x)2]=- lg(1 x2) =-f(x),
1 0
1
+b=ln +b=0,
2 (1 0)
2
∴b=-ln 1 =ln 2,此时f(x)=ln 1 1 +ln 2=ln 1 x ,满足题意.
2
2 1 x
1 x
综上可知,a=-1 ,b=ln 2.
2
答案 -1 ;ln 2
2
即练即清
3.判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=
1
3x x2
;(2)f(x)=|x|+x;
2.(2024届江苏淮安期中,7)若函数f(x)=(3aax, x1)x1 4a, x 1,是定义在R上的减函数,则a的 取值范围为 ( A )
A. 18
,
1 3

3.2函数的表示方法

3.2函数的表示方法

上表中，学期序号和成绩是两个变量，表中列出了不同学期序号对应 的数学成绩.
又如，下表也是用列表来表示函数关系的.
表 3-2 我国国内生产总值 年份 1997 1998 1999 2000 2001
单位：亿元 2002 2003 2004 2005
生产 78973.1 84402.3 89677.1 99214.6 109655.2 120332.7 135822.8 159878.3 183867.9 总值
3.2函数的表示方法
一个函数 y f ( x) 除了直接用自然语言来表述外，常用的表示方法还有解析法、列表 法和图象法三种。
表示方法一：解析法
在上一节开始给出的两个函数 s 100t(t 0,2) 和 V 15h(h 0,10), 都是用等式来表示两个变量 间的函数关系，这种表示函数的方法叫做解析法.例如， y x2 , y 2x, y x 等都是用解析法表示的函 数. 用解析法表示函数关系的优点是：函数关系清楚，容易由自变量的值求出其对应的函数值，便于用解 析式研究函数的性质.
解：这个函数的定义域是集合 1,2,3,4 ，函数解析式为： y 3x, x 1,2,3,4. 它的图象由 4 个离散 的点组成，如图 3-3 所示，这些点的坐标分别是 (1,3),(2,6),(3,9),(4,12).
例题
1 x 1 分析： 函数 y 是初中学过的反比例函数， 图象是双曲线， 它的定义域是 x | x 0. 当 x 0 ，y 0 ， x
表示方法二：列表法
把两个变量之间的对应值列成表格来表示函数的关系， 这种方法叫做列表法 .下表是一个例子，它记录了张超同学 中学期间数学期末考试成绩.
表 3-1 张超同学 12 次数学考试成绩 学期 1 序号 成绩 89 93 85 94 83 87 92 88 90 95 94 96 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

§3.2 求导数的方法——法则与公式

§3.2 求导数的方法——法则与公式
对y=x 两边取对数,得: lny=lnx y 两端对x求导,得: y x
y x y 即得 (x)=x1 x x
五、指数函数y=ax (a>0,且a1)的导数
两边取对数,得: lny=xlna y ln a y=ylna 两端对x求导,得: y 即得 (ax)=axlna 特别, (ex)=ex
sec2 y 0. (tan y )
1 1 1 1 从而 (arc tan x ) 2 2 2 (tan y ) sec y 1 tan y 1 x
1 类似 (arccotx ) 2 1 x
x a 2 x 2 a arcsin x 例18. 求函数 y 2 2 a 的导数 2 ( x a 2 x 2 ) ( a arcsin x ) 解: y 2 2 a 2 2 ( x ) ( a x ) a 2 2 2 a 1 a x x 2 2 2 a2 x2 2 x )2 1 ( a 2 2 2 2 a x x a 2 2 2 2 2 2 a x 2 a x 2 2 a x
u ) uv uv (v( x ) 0) (3) ( 2 v v 1 ) v 特别, ( 2 v v
推论:
(1) [ f i ( x )] f i( x )
i 1 i 1
n
n
(2) [Cf(x)]=Cf (x)
(3) [ f i ( x )] f1( x ) f 2 ( x ) f n ( x )
二、复合函数的求导法则
如果函数u=(x)在点x处可导, y=f(u) 在对应点u=(x)处也可导,则有复合函数 y=f[(x)]在点x可导,其导数为: dy dy du dx du dx

3.2函数的表示法

3.2函数的表示法

练习 255mL的雪碧每瓶2.5元，假设购买的数量为 x瓶，花了 y元。 （1）请根据题目的条件，用解析式y表示成x的函数。
（2）如果小林花了50元，共购买了多少瓶雪碧？
（3）如果小林要买5瓶雪碧，共要花多少元？
解析法可以精确地表示两个变量之 间的对应关系.但是，对许多有实际背景 的函数关系，很难找到它们的解析式.
3.2 函数的表示法
探究1:大型港口的水位通常随着潮汐的变化升高或降低。下图
给出了某个港口某天整点时的水位数据。根据下表提供的数据 回答下列问题：
时间/时 水位/m 时间/时 水位/m 时间/时 水位/m 时间/时 水位/m
1 14.6
7 19.4 13 14.4 19 19.6
2 15.5
8 19.6 14 15.4 20 19.3
（3）销售量大约为多少时，该公司收支平衡？
（4）销售量在什么范围内，该公司亏损？销售量在什么范围内， 该公司赢利？
图象法可以直观地表示一个函数的 变化过程、变化趋势和整体的变化规律. 但是，仅仅依据函数图象，常常难以求 得一些精确的函数值.
课堂总结:
函数的三种表示法： 1．列表法 2．解析法 3．图象法
5.42
6.72
8.07
9.75 11.07 12.59 13.35
（1）我国人口数首次突破8亿大约在哪一年？ 答：1969年
（2）我国人口数据变化的总趋势是什么？ 答：增长
（3）哪一个十年我国人口增长量最大？ 答：1969年至1979年。
练习 以下是南京地区2010年12月17日至31日的最高气温记录表。
例3 下图中的直线 m反映了某公司产品的销售收入与销售 量之间的关系，直线n反映了该公司产品的销售成本与销售量 之间的关系。根据图象回答下列问题：

3.2　函数与方程、不等式之间的关系

3.2　函数与方程、不等式之间的关系
有零点,如图(1)所示;若函数f(x)在区间(a,b)内有零点,则不一定有
f(a)·f()<0,如图(2)所示.
课前篇
自主预习
一
二
三
四
2.填空
(1)函数零点存在定理:
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是连续不断的,并且
f(a)·f(b)<0(即在区间两个端点处的函数值异号),则函数y=f(x)在区
四
2.填空
(1)定义:
一般地,如果函数y=f(x)在实数α处的值等于零,即f(α)=0,则α叫做
这个函数的零点.
(2)性质:
①当函数的图像通过零点且穿过x轴时,函数值变号.
②两个零点把x轴分为三个区间,在每个区间上所有函数值
保持同号.
课前篇
自主预习
一
二
三
3.做一做
下列函数中没有零点的是(
A.f(x)= B.f(x)=x2
1
令 h(x)=x2(x≠0),g(x)=.
在同一直角坐标系中画出 h(x)和 g(x)的图像,由图可知两个图像只
1

1
x2-=0,因为
有一个交点,故函数 f(x)=x2- 只有一个零点.
∴g(x)=ax2-bx=ax2-ax.∴g(x)的零点为0和1.
(2)要使函数有意义,只需x2+x-12≥0.
方程x2+x-12=0的解为x1=-4,x2=3.函数y=x2+x-12的开口向上,且
与x轴有两个交点(-4,0),(3,0).
故原不等式的解集为{x|x≤-4或x≥3}.
答案:(1)C (2)C
如果f(a1)·f(x1)>0,则零点位于区间[x1,b1]上,令a2=x1,b2=b1;

中职数学3.2-函数的表示方法

中职数学3.2-函数的表示方法
h 130t 5t 2（*）
函数的表示法
问题：
在初中我们已经接触过函数的三种表示法：解析 法、图像法和列表法．你能分别说说这三种表示方 法吗？
就是用图象表示两个变量之间的对应 关系，如下面的实例2．
实例2
曲线显示南极上空臭氧 层空洞的面积从1979～2001 年的变化情况．
函数的表示法
问题：
2 1
2 1 O 1 2 x 1 2 3
例2 解：列表
作函数
y
1 x2
的图象．
y
9
思考：
8
7
(1) 函数的定义域、值域是什么？
6
(2) 函数值 y 随 x 的增大有怎样的变化？
5
(3) f(a) 与 f(-a) 相等吗？有怎样的关系？
4
(4) 函数图象是轴对称图形还是中心对称图形？
3
2
么？并试着再举出一些用这三种方法分别表示函数的 实例．
列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关 系．
银行利率表
例：请画出y 2x 1的图象。
解： 其定义域，x R
列表： x
-2
-1
0
1
2

描点：
A(0,1)，B(1,3)
连线：y y=2x+1
3
1
01
x
描点法作图
描点法作函数图象的步骤： 取值列表 描点 连线
优点：能直观形象地表示自变量的变化，相应的函 数值变化的趋势，有利于我们通过图象来研究函数的 某些性质．图象法在生产和生活中有许多应用，如企 业生产图，股市走势图．
函数的表示法 思考二：比较三种表示法，它们各自的特点是什
么？并试着再举出一些用这三种方法分别表示函数的 实例．

《数学 基础模块》上册 3.2 函数的表示法

《数学 基础模块》上册 3.2 函数的表示法

3.2函数的表示法教学目标知识目标：理解函数的三种表示方法.能力目标：通过对比三种表示方法的特点，能够选择用适当的方法表示函数.情感目标：感体会函数的三种表示方法，感悟“数形结合”.教学重点函数的表示法．教学难点利用“描点法”描绘函数图像．教学备品教学课件．课时安排1课时．教学过程知识探究归纳总结列表法：通过列出自变量与对应函数值的表格来表示函数关系的方法。

练习：新中国成立后共进行了六次人口普查，各次普查得到的数据如下表所示年份195319641982199020002010总人口6.02 6.9510.0811.3312.6513.39数/亿试说出这个函数的定义域和值域.解：定义域{1953,1964,1982,1990,2000,2010}值域{6.02，6.95,10.08,11.33,12.65,13.39}观察探索探究新知实例3：如果弹簧原长10cm，每增加1kg的重物会使弹簧伸长0.5cm，那么怎样用含重物质量m（单位：kg）的式子表示受力后的弹簧长度l(单位：cm)解：关系式为：l=10+0.5m实例4：怎样用含有圆面积S的式子表示圆半径r？解：关系式为：S=πr2解析法：把两个变量之间的函数关系用一个等式来表示的方法.图像法：用图像来表示两个变量之间的函数关系的方法.过 程意图深入对比试说出三种表示方法的特点.表示法 特点列表法 很清楚地看出自变量x 对应的y ，即定义域和值域解析法 能够简明、准确地反映出事物变化过程中两个变量之间的变量关系。

图想法很容易看出函数的变化趋势。

带领 学生 总结 函数的三 种表 示法 的特点 巩固知识 典型例题例1 某种笔记本单价是5元，买x (x ∈{1,2,3,4,5})个笔记本需要y 元，试用函数的三种表示法表示函数y 解： 列表法：笔记本个数x/个1 2 3 4 5 钱数y/元510152025解析法：y =5x x ∈{1,2,3,4,5} 图像法：例2 画出函数f (x )=|x |的图像 解：根据绝对值的概念y ={x (x ≥0)−x (x <0)通过 例题 进一步领 会函 数三 种表 示方法的 特点xy 1 2 3 4 525 20 1510 5过 程意图运用知识 强化练习 教材 P62 1、2、3、4及时 了解 学生 知识 掌握 情况 归纳小结本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？ （1）本次课学了哪些内容？ （2）在学习方法上有哪些体会？培养 学生 总结 学习 过程 能力布置作业(1)书面作业： 教材P63(2)实践调查： 探究生活中函数知识的应用xy 1 2 3 44 3 2 1--3 --。

高中数学函数3.2第2课时零点的存在性及其近似值的求法课件新人教B版必修第一册

高中数学函数3.2第2课时零点的存在性及其近似值的求法课件新人教B版必修第一册

4.用“二分法”可求近似解，对于精确度 ε 说法正确的是( ) A．ε 越大，零点的精确度越高 B．ε 越大，零点的精确度越低 C．重复计算次数就是 ε D．重复计算次数与 ε 无关
B [依“二分法”的具体步骤可知，ε 越大，零点的精确度越低．]
5.若函数 f(x)在[a，b]上的图像为一条连续不断的曲线，且
因为|1.187 5－1.25|＝0.062 5<0.1，所以函数 f(x)＝2x＋3x－6 的
精确度为 0.1 的近似零点可取为 1.25.
类型 4 一元二次方程根的分布问题
【例 4】 已知关于 x 的方程 7x2－(m＋13)x－m－2＝0 的一个根
在区间(0,1)内，另一个根在区间(1,2)内，则实数 m 的取值范围为( )
C [对于 A 选项，可能存在，如 y＝x2；对于 B 选项，必存在但 不一定唯一，选项 D 一定存在．]
类型 2 对二分法概念的理解 【例 2】 下列图像与 x 轴均有交点，其中不能用二分法求函数 零点的是( )
B [利用二分法求函数的零点必须满足零点两侧函数值异号，在 选项 B 中，不满足零点两侧函数值异号，不能用二分法求零点．由 于 A、C、D 中零点的两侧函数值异号，故可采用二分法求零点．]
(a，b) (a，b) 的中点 f(a)
f(b)
fa＋2 b
(1,2)
1.5
f(1)<0 f(2)>0 f(1.5)>0
(1,1.5)
1.25
f(1)<0 f(1.5)>0 f(1.25)>0
(1,1.25)
1.125
f(1)<0 f(1.25)>0 f(1.125)<0

中等职业教育规划教材数学(山东省基础类)目录

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中等职业教育规划教材数学目录数学—101第一章集合1.1集合及其表示1.1.1集合1.1.2集合地表示方法1.2集合之间的关系1.3集合的基本运算1.3.1交集1.3.2并集1.3.3补集1.4充要条件阅读与实践02第二章2.1一元二次方程2.2不等式2.2.1不等式的基本性质2.2.2不等式的解集与区间2.2.3含绝对值的不等式2.2.4一元二次不等式阅读与实践03第三章函数3.1函数的概念3.2函数的表示方法3.3函数的单调性3.4函数的奇偶性3.5二次函数的图像和性质3.6函数的应用阅读与实践04第四章指数函数与对数函数4.1实数指数4.2指数函数4.3对数及其运算4.3.1对数4.3.2对数的运算4.4对数函数4.5幂函数4.6指数函数与对数函数的应用阅读与实践05第五章数列5.1数列5.2等差数列5.2.1等差数列的概念5.2.2等差数列的前n项和5.3等比数列5.3.1等比数列的概念5.3.2等比数列的前n项和5.4等差数列与等比数列的应用阅读与实践06第六章空间几何体6.1认识空间几何体6.1.1认识多面体与旋转体6.1.2棱柱、棱锥6.1.3圆柱、圆锥、球6.2空间几何体的表面积与体积6.2.1空间几何体的表面积6.2空间几何体的体积阅读与实践数学—207三角函数7.1任意角的概念与弧度制7.1.1任意角的概念7.1.2弧度制7.2任意角的三角函数7.2.1任意角的三角函数的定义7.2.2单位圆与正弦、余弦线7.2.3利用计算器求三角函数值7.2.4三角函数值在各象限的符号7.3同角三角函数的基本关系式7.4三角函数的诱导公式7.5正弦、余弦函数的图像、性质7.5.1正弦函数的图像和性质7.5.2余弦函数的图像和性质7.6已知三角函数值求角阅读与实践08第八章平面向量8.1向量的概念8.2向量的线性运算8.2.1向量的加法2.2向量的减法8.2.3数乘向量8.3平面向量的直角坐标运算8.3.1平面向量的直角坐标及其运算8.3.2平面向量平行的坐标表示8.3.3向量的长度公式和中点公式8.4向量的内积8.4.1向量的内积8.4.2向量的内积的直角坐标运算阅读与实践09第九章直线与圆的方程9.1直线的方程9.1.1直线的方向向量和向式方程9.1.2直线的斜率和点斜式方程9.1.3直线的法向量与点法式方程9.1.4直线的一般式方程9.2两条直线的位置关系9.2.1两条直线的平行99.2.2两条直线的交点与垂直9.3点到直线的距离9.4圆的方程9.4.1圆的标准方程9.4.2圆的一般方程阅读与实践10第十章立体几何初步10.1平面的基本性质10.2空间两条直线的位置关系10.3直线与平面的位置关系10.4平面与平面的位置关系阅读与实践11第十一章概率与统计初步11.1技术的基本原理11.2概率初步11.2.1随机事件与样本空间11.2.2古典概率11.3随机抽样11.3简单的随机抽样11.3系统抽样11.3分层抽样11.4用样本估计总体11.4.1用样本的概率分布估计总体发布11.4.2用样本的数字特征估计数字特征11.5一元线性回归分析。

第三章 3.2 第一课时 函数的零点,二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系

第三章 3.2 第一课时 函数的零点,二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系

教材拓展补遗 [微判断] 1.函数的零点就是函数的图像与x轴的交点.( × )
提示 函数的零点是函数的图像与x轴交点的横坐标. 2.一次函数y＝kx＋b(k≠0)只有一个零点.( √ ) 3.一次不等式的解集不可能为∅，也不可能为R.( √ ) 4.对于二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当Δ＝0时，此函数有两个零点，对应的
2.不等式9x2＋6x＋1≤0的解集是________.
解析 由 9x2＋6x＋1＝(3x＋1)2≤0，∴只有 3x＋1＝0 即 x＝－13时，不等式才 成立，即其解集为－13. 答案 －13
3.设二次不等式 ax2＋bx＋1>0 的解集为x－1＜x＜13，则 ab 的值为________. 解析 由题意知 a<0，且－1，13为方程 ax2＋bx＋1＝0 的两根， 根据根与系数的关系，得－ －11＋ ×1313＝ ＝－ 1a，ba， ∴ab＝ ＝－ －32， ，∴ab＝6.
3.2 函数与方程、不等式之间的关系
第一课时 函数的零点，二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系
课标要求
素养要求
1.通过求函数的零点，培养数学运算素 1.理解函数零点的概念，会求简单函数
养. 的零点.
2.通过二次函数的图像、零点、方程、 2.理解二次函数的零点与对应方程、不
不等式解集之间关系的对应，培养联系、 等式解集之间的关系，能借助二次函数
②当 a＝1 时，2a＝2，所以原不等式的解集为{x|x≠2}；
③当 a>1 时，2a<2，所以原不等式的解集为xx>2或x<2a. (3)当 a<0 时，原不等式可化为(－ax＋2)(x－2)<0，对应方程的两个根为 x1＝2a， x2＝2，则2a<2，所以原不等式的解集为x2a<x<2. 综上，当 a<0 时，原不等式的解集为x2a<x<2； 当 a＝0 时，原不等式的解集为{x|x<2}；
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例3 图中的直线m反映了某 公司产品的销售收入与销售 量之间的关系，直线n反映了 该公司的销售成本与销售量 之间的关系。 根据图象回答下列问题：
（1）当销售量为2t时，销售收入和销售成本分别大约是多少 元？此时该公司赢利多少元？
（2）当销售量为5t时，销售收入和销售成本分别大约是多少 元？此时该公司赢利多少元？ （3）销售量大约为多少时，该公司收支平衡？ （4）销售量在什么范围内，该公司亏损？销售量在什么范围 内，该公司赢利？
函数的表示法
1、列 表 法，就是列出表格来表 示两个变量间的对应关系。 2、解 析 法 ，就是用数学表达式 表示两个变量间的对应关系。
3、图 像 法，就是用图像表示两个 变量的对应关系。
探究
大型港口的水位通常随着潮汐的变化升高或降低，下表给出了 某个港口某天整点时的水位数据。
时间/ 时 水位/m 时间/ 时 水位/m
12 14.0 24 14.2
根据上表提供的数据回答下列问题： (1)这一天该港口水位最高是多少米？发生在这一天的什么时间? (2)这一天该港口水位最低是多少米？发生在这一天的什么时间？ (3)这一天什么时段内该港口水位高度的变化最快？ (4)一艘吃水约17m的轮船这一天是否可以停泊该港口？什么时间段停泊比较安 全？
练习：P60 练习1，2
作业：பைடு நூலகம்64 习题1，2
把一根长9.14m的铁丝弯成下 部为矩形、上部为半圆形的框 架，设矩形的底边长为x(m)， 此框架围成的图形的面积为 y(m2). (1)请将y表示成x的函数。 (2)当矩形的底边长为2m时， 该框架的面积为多少(精确到 0.01m2)？
探究
如图给出了某网络公司每 月收取的上网费用标准， 其中x表示上网时间(单位： h)，y表示收取的费用(单 位：元)。根据图象回答下 列问题： （1）若小燕本月上网时间为12h,她应缴纳的上网费 用是多少元？ （2）如果小君本月缴纳了20.4元的上网费用，他本 月的上网时间大约有多少小时？
图像法，就是用图像表示两个变量的对应关系
问题解决：
几名学生准备去某景点旅游，甲旅行社的报价为： 只要1人购买全票，其他人均可购买半票；乙旅行社的报 价为：2人以上参加旅游，所有人均享受原价的7折优惠。 请问：哪家旅行社的报价更优惠？
解：设票价为a元一张，共x名学生参加旅行，由已知可得 x>1. 设甲旅行社的总票价为y1元，乙旅行社的总票价为y2元， 则有 y1=a+0.5a(x-1)=0.5a(x+1), y2=0.7ax。 当y1>y2时，解得x<2.5，即2个人以内（包括2人）旅游， 乙旅行社的报价优惠；2人以上旅游，甲旅行社报价优惠。
图象法可以直观地表示一个函数的变化过程、变 化趋势和整体的变化规律，通过对函数图象特征 的观察，我们可以比较方便地预测它的总体变化 趋势。但是，仅仅依据函数图象，常常难以求得 一些精确的函数值。
时间-水位表 水位/m 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
1 14.6 13 14.4
2 15.5 14 15.4
3 17.2 15 18.1
4 18.5 16 18.5
5 19.5 17 19.4
6 21.2 18 20.0
7 19.4 19 19.6
8 19.6 20 19.3
9 16.9 21 17.0
10 15.4 22 15.6
11 14.3 23 14.7
解析法，就是用数学表达式表示两个变量 间的对应关系。
解析法有两个优点：
（1）函数关系清楚; （2）容易从自变量的值求出其对应的函数值； （3）便于研究函数的性质。
注意：解析法表示函数是中学研究函数的主要表示方法;用解析法表示函数时, 必须注明函数的定义域.
并不是所有的函数都能用解析法表示。
例2 求解下列问题： (1)一个三角形的底边一定，它的面积可以 看做什么变量函数？如果它的某条边上的高一 定呢？分别分析当自变量的值加1个单位时， 因变量如何随自变量的变化而变化。 (2)一个圆柱的底面半径一定，它的体积可 以看做什么变量的函数？如果它的高一定呢？ 分别分析当自变量的值增加1个单位时，因变 量如何随自变量的变化而变化
根据上表提供的数据回答下列问题： (1)我国人口数首次突破8亿大约在哪一年？ (2)我国人口数据变化的总趋势是什么？ (3)哪一个十年我国人口增长量最大？ 解：（1）由表格可知，我国人口数首次突破8亿大约在 1969年。 （2）由表格可知，我国人口数据变化的总趋势是增长。 （3）对表格的第二行数据采用“后一个数据减前一个数 据”的方法，可以得到如下结果：1.30，1.35，1.68，1.32， 1.52，0.76。因此，1969年至1979年的十年间，我国人口 增长量最大。
h a
h r
解：（1）由三角形的面积公式S=ah/2（a是一条边长，h是这条边上的高）可知，当 a一定时，S可以看做h的函数，而且h每增加1个单位长度，面积S就增加a(h+1)/2ah./2=a/2单位面积；如果h一定，则S可以看做a的函数，而且a每增加1个单位长度， 面积S就增加（a+1）h/2-ah/2=h/2单位面积。 由此可见，高的变化与底边长的变化对三角形面积的变化起到同样的影响。 （2）由圆柱的体积公式V= πr2h(r是底面半径，h是高)可知，当r一定时，V可以 看做h的函数，而且h每增加1个单位长度，体积V就增加πr2 (h +1）-πr2h=πr2单位体 积；如果h一定，则V可以看做r的函数，而且r每增加1个单位长度，体积V就增加 π(r+1)2 h -πr2h=πh(2r+1)单位体积。 由此可见，高的变化与底面半径的变化对圆柱体积的影响不同。
列表法，就是列出表格来表示两个变量间 的对应关系。
例1 下表给出了1949年到2009年间每十年我国人口的统 计数据（精确到了0.01亿）
年份 1949年 1959年 1969年 1979年 1989年 1999年 2009年 人口数 5.42 量/亿
6.72
8.07
9.75
11.07
12.59
13.35
一辆客车下午1时从甲地出发，以 60km/h的速度匀速行驶2h后到达乙地，在 乙地停留0.5h,然后以80km/h的速度匀速行 驶3h后到达丙地，请以时间t(h)为横坐标、 客车行驶的路程s(km)为纵坐标建立直角坐 标系，并在坐标系中画出每个整点时对应的 点，再用线段将它们连起来。根据图象提供 的信息回答下列问题： （1）下午3时和6时时，客车行驶的路程分别 是多少？ （2）哪一段时间内，客车行驶的路程没有发 生改变？ （3）甲地经乙地到丙地的路程是多少？
温故知新
f ( x) x 2 x ，则 1.已知函数
2 a a f (2) ___; f ( a) _____; f (2 a 1) 4a 6a 2 _____.
2
2
1 x 2.函数 f ( x) 的定义域为 x 1 {x | x 1且x 1} (或(-,-1) (1,1]) ______________.
420 360 300
240
180 120 60
1
2
3
4
5
6
7
解析法有两个优点：1、简明；2、给自变量 可求函数值。
图象法的优点：直观形象，反映变化趋势。
列表法的优点：不需要计算就可以直接看出 与自变量的值所对应的函数值。 并不是所有的函数都能用解析法表示。
列表法的优点：
不必通过计算就知道当自 变量取某些值时函数的对应值。
探究
生物学研究表明，某种蛇的长度y(cm)是其尾长 x(cm)的一次函数，当蛇的尾长是6cm时，测得蛇长 是45.5cm；当蛇的尾长是14cm时， 测得蛇长为 105.5cm。 （1）写出y与x之间的函数关系式。 （2）若一条该种蛇的尾长是10cm，它的长度是多 少？